初中数学平面几何轴对称变换习题教案

1、几何变换-轴对称变换提高题【知识提要】 1. 如果已知平面上直线和一点，自点作的垂线，垂足设为，在直线上、的另一侧取点，使得，如图所示，我们称点是点关于直线的轴对称点，或者说点与点关于直线为轴对称，其中称为对称轴.2. 图形的每一点关于直线的对称点组成的图形，称为关于轴的轴对称图形.把一个图形变为关于直线的轴对称图形的变换，叫作轴对称变换(或反射变换)，直线称为对称轴(反射轴).3. 我们容易想到，一条线段关于它的垂直平分线为轴对称图形，一个角关于它的角平分线为轴对称图形.在几何证题或解题时，如果图形是轴对称图形，则经常要添加对称轴以便充分利用轴对称图形的性质；如果图形不是轴对称图形，往往可选

2、择某直线为对称轴，补为轴对称图形，或将对称轴一侧的图形反射到该直线的另一侧，以实现条件的相对集中.4. 在几何问题中有两种常用而比较普遍的对称图形，它们是轴对称图形和中心对称图形.利用对称性解题是解决几何问题的有效方法之一，本讲重点讲解轴对称图形.(1) 轴对称变换：把一个图形变为关于某一直线为对称轴的轴对称图形，这种变换称为轴对称变换.在几何图形中，如果是轴对称图形，则常添加对称轴，以充分利用对称的性质.如等腰三角形、等腰梯形的对称轴可以应用三线合一等；对于正方形、菱形，经常添加对角线等.(2) 中心对称变换：把一个图形绕着一个定点按一定方向、一个角度旋转而得到另一个图形，这种变换称为旋转变

3、换.特殊地，当旋转角为时，称为中心对称变换.平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形.在对称变换下，可使某些相关元素相对集中，为充分运用已知条件、转化结论提供方便.【例题精讲】 【例1】在中，由点向边引高线，垂足落在上，如果，求证：.【解法1】如图所示，以为对称轴翻折到的位置，则在上，.在中，根据外角定理可知，所以，故.【解法2】以为对称轴翻折到的位置，则，从而.进而，而(由“翻折”的特点决定)，故.【解法3】回顾一下我们在第10讲中所学的知识，可知，即.注意到，故，即，亦即，故.【点评】题设中的给了我们太多的联想！我们不妨回忆一下第4讲、第5讲、第10讲，

4、看看是否还有其他解法(比如延长至，使).【例2】如图所示，在四边形中，求证：.【解析】注意到，这提示我们可以进行对称变换以“创造”出角.以为对称轴将翻折到的位置，连接.则，故为等边三角形.从而，等号成立时平分.【变式】(第3届英国数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在中，、为的两条高，求证：.【解法1】将改写为，可形成下面的思路：的平分线记为，作点关于的对称点，作点关于的对称点，过点作的垂线，因为，而，故.【解法2】我们用“分析法”寻求思路：.注意到，故.而由、.【例3】如图所示，在四边形中，求四边形的面积.【解析】直接计算四边形的面积有困难，注意到，我们以的垂直平分线为对称轴，作的关于的轴对称

5、图形，从而可以将角度集中.，所以，因此，是直角三角形.由勾股定理求得.在中，.而.由勾股定理的逆定理可知.【变式】在凸四边形中，,.如果厘米，求四边形的面积.【解析】如图所示，以边上的中垂线为对称轴作的轴对称图形，则，故、共线.又因为，由可知，而，故.因此，是等腰直角三角形.故.【例4】(1993年圣彼得堡数学奥林匹克竞赛试题) 已知点是四边形的边的中点，且,证明：.【解析】显然，要证题设的不等式，应当把，三条线段首尾连接成一条折线，然后再与线段比较.要实现这一构想，折线之首端应与点重合，尾端应与点重合，这可由轴对称来实现.以为对称轴，作点关于的对称点，连接、，则，即，由此.再以为对称轴，作点

6、关于的对称点，连接、，则，即，由此.而，所以.注意到，因此，而，所以是等边三角形，.由于两点之间以直线段为最短，所以，即.【变式】(2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题) 设是凸四边形的边的中点，求证：.【解析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，则，且，.而，则，故.【例5】(2001年波罗的海地区数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在中，的平分线交于点，已知，且，求的各个内角.【解析】是角平分线提示我们可以进行“翻折”.将点翻折到的位置，且在的延长线上，且，.延长至点，使，则，故，从而，则，故为等边三角形.故，.【变式】如图所示，已知在中，的平分线交于，求之长.【解法1】由于平

7、分，因此这就提供了以为轴进行对称变换的可能性.取的中点，连接，交于，易知与关于对称，且.由于，所以.延长至，使，连接交的延长线于点.显然和关于对称，且.由于是的中位线，所以，.因为，所以.所以，.于是.【解法2】回顾一下我们学过的第9讲例3之“变式2”：如图所示，在中，平分且交于点，求证：.直接应用此结论可得，即.下面的题目作为备用题：【备选1】如图所示，在中，为三角形内一点，求证：.【解析】由已知条件，考虑作直线于，并以为对称轴将翻折至的位置，连接.由轴对称的性质有，.因为，于是，即是正三角形，从而可得，.再由三内角之和为，即，整理后得.【备选2】如图所示，在中，为的中点，是边上的点，求的面

8、积与的面积的两倍的和.【解析】将补成一个等边三角形，并作的对称三角形，可以发现等边三角形的面积等于.作，其中点在的延长线上，则为等边三角形.作于点，并取点关于点的对称点，则有.而，故，且相似比为.则.而()，故.【复习巩固】 练习1. 如图所示，在中，是边上的高，点在内部，求证：.【解析】作点关于的对称点，连接并延长交于点，连接.因为，是边上的高，易得.因为，故.练习2.(1997年罗马尼亚数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，在四边形中，求证：(1) ；(2) .【解析】(1) 以为对称轴将翻折到的位置，则由可知在上，且，.将平移到的位置，则由可知在的延长线上，且，因此是一个等腰梯形，所以，于是

9、.(2) 由(1)可得，即，而由及勾股定理可得，故.练习3. 在中，为内部一点，求的度数.【解析】容易求得，.的对称轴为，作点关于的对称点，则，故为等边三角形，则平分，.故.练习4. 如图所示，为边上的一点，且，已知，试求的度数.【解析】作出点关于直线的对称点，连接、，则，如图所示.取的中点，连接，则为等边三角形，故，.又因为，故，故平分，故点到直线、等距，从而是的外角平分线，所以. 别看悉尼奥运会开着的时候很风光，但赛事一结束，许多奥运会的设施就将告别悉尼，以赛场座椅为例，比赛结束后，将有一半的座椅要远渡重洋，运回法国。为了节约开支，本届奥运会有不少东西都是“借的”。据负责奥林匹克公园场馆建

10、筑设计的官员介绍，本届奥运会不少场馆是临时的，比如排球馆是娱乐中心，举重馆是会议中心，击剑馆则是展览中心，羽毛球馆竟是农展馆。这里面的观众席大多是临时搭建的，由于澳洲根本没那么多椅子，新生产又担心在奥运会后无法处置，因此精明的澳大利亚人想起了租借，这五六万把椅子就是从遥远的法国租来的，赛后就将被拆下来运回法国。临时性的不仅是场馆和座椅，就连奥林匹克公园里的所有的空调系统都是从美国租来的，赛后也都物归原主。老家院里有几棵核桃树，每年春夏之交，长得枝繁叶茂，一派欣欣向荣的景象。没事的时候我就数树上的花朵，看看今年到底能结多少核桃。数不胜数的花让我心里暖暖的，今年核桃肯定能够大丰收。我望着核桃树，脸

11、上是丝毫掩饰不住的对丰收的渴盼表情。核桃刚成形的时节，邻居家馋嘴的小孩经常趁我们不注意的时候，用石块、长棍将我家伸出墙外的核桃树一阵乱打。等我出门时，他们早已跑得无影无踪。看到地上打落的树枝和叶子，我很心疼。毕竟果实还没成熟不能入口啊！再看看被打伤的核桃树，有的树枝被打断了，歪歪斜斜地掉了下来；有的枝丫主干被打断了，仅仅连着一点点树皮；有的核桃皮被打烂了，惨不忍睹。我很痛心地叹息道：“完了，今年的核桃肯定减产了！”站在一边的父亲却笑嘻嘻地说：“这是好事啊，这是好事！”我弄不懂父亲到底是什么意思。父亲说：“等秋天收核桃的时候你就明白了。”语气平和坦然，一点都没有责备人家的意思。此后，经常有不懂事

12、的小孩子光顾我家，趁我们不在家或者不注意的时候袭击我家的核桃树。我想出门拦阻时，总被父亲劝住：“由着他们吧，实际上他们在帮我们的忙呢。”父亲如此宽宏大量，我也不好再说什么了，眼睁睁地看着他们由着性子用石块、棍子和我家的核桃树亲密接触。快到秋天收核桃的时节，我发现我家的核桃树遍体鳞伤，几乎没有一根完整的树枝。同时，我发现了一个奇怪的现象，被小孩子打过的核桃枝上的核桃比没有打过的树枝上结的核桃大多了，而且结的果实也比一般的多。核桃成熟后一尝，果然受伤的核桃比没受伤的核桃可口得多。这引起了我浓厚的兴趣，便向父亲请教其中的原因。父亲解释说：“核桃树的脾性和一般的果树不一样，越是使它的枝丫受伤，它长得越茂盛，果实越香，而且第二年比第一年更好，尤其是正在结果成形的时候受的惩罚越多越利于结果。”吃了多年核桃，我从没深究过其中的奥秘，父亲的一席话使我恍然大悟。第二年挨打的那些枝丫的长势比第一年还茂盛蓬勃，花开得更艳更密。