同角三角函数基本关系式

1、121.1.任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义1.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式复习与回顾复习与回顾:),(,那么交点的终边与单位圆的是一个任意角设yxP_;cot)4(_;tan)3(_;cos)2(_;sin) 1 (yxyyxx叫余切函数，注意：yxcot3 sin cos tan cotRR,2|ZkkR 且且,|ZkkR 且且2.2.三角函数的定义域三角函数的定义域1.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式4xyo sin tan cosxyo xyo cot3.3.三角函数值的符号三角函数值的符号xyo全正全正s

2、in cottancos 记忆记忆: :一全二正弦，一全二正弦， 三切四余弦三切四余弦1.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式506 4 3 2 23 2的弧度数的弧度数角角 的度数的度数角角 030456090180270360 sin cos tan010212333212332222110存在存在不不1 000101 0存在存在不不4.4.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值1.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式已知：已知：sin 0.8，填空：，填空：cos _在初中，我们学过以下三个三角公式：在初中，我们学过以下三个三角公式：

3、22sincos1sintancostancot1在初中，公式中的角为锐角！对任意角这些公式是否成立？0.60.6还需重新证明！还需重新证明！sintancosyyrxxr 平方关系和商数关系平方关系和商数关系sin2 cos2 (sin)2 (cos)2yrxry2 2 x2 2 r2 2，sin2 cos2 1R22rxyP(x，y)xyOrsincostanyrxryx；cotxy81.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式1cossin22 . 1cottan 称为平方关系称为平方关系称为倒数关系称为倒数关系 tancossin 称为商数关系称为商数关系关于三

4、种关系式关于三种关系式1.“同角”的概念与角的表达形式无关.; 13cos3sin:22 如如; 12cot2tan .23tan23cos23sin 2.三种关系式(公式)都必须在定义域允许的范围内成立.,cottancossin. 3知一求三关系式可以利用上三种基本的对于同一个角 、同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式平方关系：平方关系：22sincos1 ，sintancos，tancot1 ，商数关系：商数关系：倒数关系：倒数关系：学习数学公学习数学公式需要做好式需要做好哪几件事？哪几件事？第一件事：第一件事：记住它！记住它！学习数学公式需要做好哪几件事？学习数学公式需要做

5、好哪几件事？v记住它！（通过分析式子的结构来记忆）记住它！（通过分析式子的结构来记忆）v明确公式成立的条件明确公式成立的条件（何时（何时“不必疑不必疑”？）？）公式成立的条件公式成立的条件平方关系：平方关系：22sincos1 ，sintancos，tancot1 ，商数关系：商数关系：倒数关系：倒数关系：R(Z)2kk(Z)2kk两边都有意义约定：约定：（详见课本（详见课本第第24页倒数页倒数第第5行）行）学习数学公式需要做好哪几件事？学习数学公式需要做好哪几件事？v记住它！（通过分析式子的结构来记忆）记住它！（通过分析式子的结构来记忆）v明确公式成立的条件（何时明确公式成立的条件（何时“不

6、必疑不必疑”？）？）v熟悉公式的变形熟悉公式的变形（换马甲）（换马甲）13基本变形基本变形 思考思考1 1：对于平方关系：对于平方关系 可作哪些变形？可作哪些变形？ 22sincos122sin1cos, 22cos1 sin, 2(si ncos )12si ncos ,aaaa+=+2(si ncos )12si ncos ,aaaa-=-1cossi n,si n1cosaaaa+=-1si ncos.cos1si naaaa+=-14思考思考2 2：对于商数关系对于商数关系 可作可作哪些变形？哪些变形？sintancossincostan,sincos.tan思考思考3 3：结合平方关

7、系和商数关系，结合平方关系和商数关系，可得到哪些新的恒等式？可得到哪些新的恒等式？221cos,1tanaa=+222tansi n.1tanaaa=+游戏：判断对错游戏：判断对错v1v2v3v4v5v62cos1sinsincostancoscotsin221tan+1cossin2 cos2 122sin 27 +cos 631 cos(30 )sin(30 ) cot(30 )xxx 2727学习数学公式需要做好哪几件事？学习数学公式需要做好哪几件事？v记住它！（通过分析式子的结构来记忆）记住它！（通过分析式子的结构来记忆）v明确公式成立的条件（何时明确公式成立的条件（何时“不必疑不必疑

8、”？）？）v熟悉公式的变形（换马甲）熟悉公式的变形（换马甲）v熟悉公式的一些典型应用熟悉公式的一些典型应用v熟悉应用公式时的易错点熟悉应用公式时的易错点公式运用三类题型公式运用三类题型v已知一个角的一个三角函数值，求这个角的已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其它几个三角函数值。其它几个三角函数值。第一类题型第一类题型公式运用之一公式运用之一已知一个角的一个三角函数值，求已知一个角的一个三角函数值，求这个这个角的其它几个三角函数值。角的其它几个三角函数值。sincostan19应用示例的值。是第二象限角，求，并且、已知例tan,cos31sin198311sin1cos1cossin2222

9、2得解：由0cos是第二象限角，又 322cos4232231cossintan20从而从而解解:因为因为 , 1sin, 0sin所以所以 是第三或第四象限角是第三或第四象限角.由由 得得1cossin22.2516531sin1cos222如果如果 是第三象限角是第三象限角,那么那么542516cos434553cossintan如果如果 是第四象限角是第四象限角,那么那么43tan,54cos的值。求、已知变式tan,cos,53sin121求值问题sin、cos、tan知一求二.tan),0, 1(sin2的值求、已知变式mmm1、解答题要严格一步步用公式写过程2、注意角的象限的讨论3

10、、小题有什么更快捷的解法？22v已知， 求 的值。3tan4 sin,cos解：解：3tan04yx IIII或或（1）当）当 时时I 0,0 xy3sin5yr 不妨设不妨设x=4，y=3225rxy4cos5xr （2）当）当 时时III 0,0 xy3sin5yr 不妨设不妨设x=-4，y=-3225rxy4cos5xr 分分类类讨讨论论变式变式323变式变式4已知已知 ，求，求sin、tan的值的值. 178cos分析：分析：cos0是第二或第三象限是第二或第三象限角因此要对角因此要对所在象限分类讨论所在象限分类讨论. 解：当解：当是第二象限角时，是第二象限角时，22815sin1 c

11、os1 (),1717 15sin1517tan.8cos817 24当当是第三象限角时，是第三象限角时，22815sin1 cos1 (),1717 15sin1517tan.8cos817 25解：解： cos m(0，1， 为第一、四象限角为第一、四象限角,当当 为第一象限角时为第一象限角时， sin 0 ，于是，于是分分 析？析？已知：已知：cos m，且且m (0，1，求，求tan 22sin1cos1m从而从而2sin1tancosmm当当 为第四象限角时为第四象限角时， 同理可得：同理可得： 21tanmm 不打草稿，你能否不打草稿，你能否找出其中的错误？找出其中的错误？sint

12、ancos公式运用之一公式运用之一已知一个角的一个三角函数值，求已知一个角的一个三角函数值，求这个这个角的其它几个三角函数值。角的其它几个三角函数值。sincostan22sincos1?27常用方法齐次式的处理222222coscossin2sin)4(cossin1) 3(;cos9sin4cos3sin2)2( ;cos9sin4cos3sin2) 1 (, 2tan. 1；求下列各式的值：已知的的形形式式，转转化化为为分分子子分分母母同同除除以以次次式式）的的齐齐次次式式（或或可可化化为为齐齐关关于于 nntancoscos,sin28已知：已知：tan 2，填空：，填空：（5）（6）

13、227sin_23cos2 2sin2 2cos2 33sin_sin3cos4sin sin (sin2 cos2 )229常用方法齐次式的处理.cossincot1)cos(sin,223tan1tan1. 22求已知30常用方法凑完全平方的取值范围；，求角若化简求值tan2sin1sin1sin1sin1. 4)20(2cos2sin212cos2sin21. 340cos140cos40cos40sin21. 22 ()()()()() cossincossincossincossincossincossincossincossin422112222222；可得：可得：由由你能总结出s

14、in与cos 的大小规律吗？Sin 与tan 呢？31常用方法 “1”的变换6644sincos1sincos1. 2化简：常用的“1”的三角代换：三个平方关系，三个倒数关系，;2tan12tan12sin2cos2cos2sin21. 122xxxxxx证明：32常用方法：三者间的互相转化sin+cos,sincos,sin-cos()33233cossin0cos,sin. 3cossin;tancossin, 0,51cossin. 2;cossin,16960cossin,0. 1两实根，求是与求已知求已知aaxx33一、化简 所谓化简，就是使表达式经过某种变形(如切化弦)，使结果尽可

15、能的简单，能求值的一定要求值。化简与证明化简与证明34化简1tancossin解：原式=coscoscossincossin1cossincossin35练习：练习：)sin1)(sin1 (化简， 22cos)tan1 ( 363、化简化简21 sin 4402cos 80cos80221 sin (360 80)1 sin 80解：原式解：原式4、化简化简1 2sin40cos402(sin40cos40 )|cos40sin40 | cos40sin4022sin 40 cos 40 2sin40cos40解：原式37三角恒等式的证明三角恒等式的证明xxxxcossin1sin1cos证

16、明：1、从繁到间或两边一起变2、切割化弦38求证求证xxxxcossin1sin1cos恒等式证明常用方法恒等式证明常用方法? ?基本思路基本思路: :由繁到简由繁到简可以从左边往右边证，可以从左边往右边证，可以从右边往左边证，可以从右边往左边证，也可以证明等价式。也可以证明等价式。39cossin1sin1cos求证：求证：证明：证明：cossin1sin1coscos)sin1 ()sin1 (cos220cos)sin1 (coscos22因此因此cossin1sin1cos作差法作差法比较法比较法40证法二：证法二：2sin1)sin1)(sin1 (因为因为2coscoscos因此因

17、此cossin1sin1cos由原题知：由原题知：0cos, 0sin1恒等变形恒等变形的条件的条件分析法分析法41证法三：证法三： 由原题知：由原题知：0cos则则1sin原式左边原式左边=)sin1)(sin1 ()sin1 (cos2sin1)sin1 (cos2cos)sin1 (coscossin1=右边右边因此因此cossin1sin1cos恒等变形恒等变形的条件的条件42练习：证明练习：证明1sin2cossin) 1 (2442222sintansintan) 2 (43423sin,cos,55tan.mmmm( (1 1) )已已知知是是第第四四象象限限角角求求的的值值)(

18、53cos,54sin,0是是第第四四象象限限角角不不合合与与时时当当 m.512tan,135cos,1312sin,8 时时当当m思考题思考题. 80, 0)8(:,1)53()524(1cossin2222 mmmmmmmm或或则则整整理理得得化化简简 解：解：注意挖掘隐含的条件注意挖掘隐含的条件: :22sincos11.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式44.tan1coscot1sin).(cossin0)13(2:2的的值值求求的的两两个个根根分分别别是是已已知知方方程程例例 Rm、mxx能力检测能力检测提示提示: :先化简后求值先化简后求值. .213: 答案答案1.2.21.2.2同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式452222cos5sincos3sin2)3(3cossin2sin4cos)2(cos9sin7cos3sin5) 1 (.5tan. ，求下列各式的值已知：练习21) 1 (321)2(1320)3(9tan73tan5)cossin