高中数学必修1基本初等函数常考题型：幂函数

1、幂函数【知识梳理】1幂函数的概念一般地，函数y叫做幂函数其中x是自变量，是常数2常见幂函数的图象与性质解析式yxyx2yx3yy图象定义域RRRx|x00，)值域R0，)Ry|y00，)奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数单调性在(，)上单调递增在(，0上单调递减，在(0，)上单调递增在(，)上单调递增在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递减在0，)上单调递增定点(1,1)3幂函数的性质(1)所有的幂函数在区间(0，)上都有定义，并且图象都过点(1,1)(2)>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上是增函数特别地，当>1时，幂函数的图象下凸；当0<<1时

2、，幂函数的图象上凸(3)<0时，幂函数的图象在区间(0，)上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴【常考题型】题型一、幂函数的概念【例1】 (1)下列函数：yx3；y；y4x2；yx51；y(x1)2；yx；yax(a>1)其中幂函数的个数为()A1B2C3 D4(2)已知幂函数y，求此幂函数的解析式，并指出定义域(1)解析为指数函数，中系数不是1，中解析式为多项式，中底数不是自变量本身，所以只有是幂函数，故选B.答案B(2)解y为幂函数，m2m11，解得m2或m1.当m2时，m22m33，则y

3、x3，且有x0；当m1时，m22m30，则yx0，且有x0.故所求幂函数的解析式为yx3，x|x0或yx0，x|x0【类题通法】判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y(为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件【对点训练】函数f(x)是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式解：根据幂函数的定义得m2m11.解得m2或m1.当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数；当m1时，f(x)x3

4、在(0，)上是减函数，不符合要求故f(x)x3.题型二、幂函数的图象【例2】(1)如图，图中曲线是幂函数y在第一象限的大致图象，已知取2，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的的值依次为()A2，2B2，2C，2,2， D2，2，(2)如图是幂函数y与y在第一象限内的图象，则()A1<n<0<m<1Bn<1,0<m<1C1<n<0，m>1Dn<1，m>1解析(1)令x2，则22>2>2>22，故相应于曲线C1，C2，C3，C4的值依次为2，2.故选B.(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内

5、取x0，作直线xx0，与各图象有交点，则“点低指数大”如图，0<m<1，n<1.答案(1)B(2)B【类题通法】解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)(2)依据图象确定幂指数与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于yx1或y或yx3)来判断【对点训练】已知函数y，y，y的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为()Ac<b<a Ba<b<cCb<c<a Dc

6、<a<b解析：选A由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.由幂函数的性质知，当x>1，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.综上所述，可知c<b<a.题型三、利用幂函数的性质比较大小【例3】比较下列各组数中两个数的大小(1)与；(2)与；(3)与.解(1)幂函数y在(0，)上是单调递增的，又>，>.(2)幂函数y在(，0)上是单调递减的，又<，>.(3)函数y1为R上的减函数，又>，>.又函数y2在(0，)上是增函数，且>，>，>.【类题通法】比较幂值大小的方法(1)若指数相同，

7、底数不同，则考虑幂函数；(2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小【对点训练】比较下列各题中两个幂的值的大小：(1)，；(2)，；(3)，.解：(1)y为0，)上的增函数，且2.3<2.4，<.(2)y为(0，)上的减函数，且<，>.(3)y为R上的偶函数，.又函数y为0，)上的增函数，且0.31<0.35，<，即<.【练习反馈】1下列函数是幂函数的是()Ay2xBy2x1Cy(x1)2 Dy解析

8、：选D由幂函数的概念可知D正确2下列命题：幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；幂函数的图象不可能在第四象限；n0，函数y的图象是一条直线；幂函数y当n>0时，是增函数；幂函数y当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小正确的命题为()A BC D解析：选Dyx1不过(0,0)点，错误，排除A；当n0时，y的图象为两条射线，错误，排除C；yx2不是增函数，错误，排除B；因此答案选D.3已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f_.解析：设f(x)，则42，即f(x)，f.答案：4函数f(x)是幂函数，且在x(0，)时是减函数，则实数m_.解析：由m2m11，得m0或m1，再把m0和m1分别代入m22m3<0检验，得m0.答案：05比较下