湖南师范大学高等数学13函数的极限ppt课件

1、1.31.3函数的极限函数的极限1.3. 1自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限1.3.2自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限 1.3.3单边极限单边极限1.3.4函数极限的性质函数极限的性质 1.3.5函数极限的四则运算法则函数极限的四则运算法则 1.3.6函数极限的一个存在准则和两个重函数极限的一个存在准则和两个重要极限要极限基本要求基本要求 右极限之间的关系右极限之间的关系; ;2 2、掌握极限的性质及四则运算法则、掌握极限的性质及四则运算法则; ;3 3、掌握极限存在的准则，并会利用它们求极、掌握极限存在的准则，并会利用它们求极1 1、理解函数极

2、限的概念，理解函数左极限、理解函数极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、与右极限的概念以及函数极限存在与左、 限限; ;4 4、掌握利用两个重要极限求极限的方法、掌握利用两个重要极限求极限的方法. .1.3.1自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限 x趋于无穷大，实际上包括三种情形：趋于无穷大，实际上包括三种情形：x取取正值无限增大；正值无限增大；x取负值而绝对值无限增大取负值而绝对值无限增大; x既既1. x趋于正无穷大趋于正无穷大(记作记作 )xx无限增大无限增大.可取正值可取正值,也可取负值也可取负值,而而假设函数假设函数)(xfax ( a (

3、 a 为某个常数为某个常数) )时有时有定定当当义义, ,讨论当讨论当x)(xfn时函数时函数的极限与的极限与时数列时数列)(nfxn的极限是类似的的极限是类似的. .Axfx)(lim).()(xAxf或或正无穷大时函数正无穷大时函数f(x) 的极限，记作的极限，记作趋向于某一个常数趋向于某一个常数A，那么我们就称，那么我们就称A为当为当x趋向于趋向于 如果当x时时,对应的函数值对应的函数值f(x) 无限地无限地例如例如,由函数由函数xxfarctan)(的图形可见的图形可见,yxyarctanx222arctanx).(x,即即 时,x2xxfarctan)(当当常数常数2arctanli

4、mxx或记作或记作无限地趋向于无限地趋向于类似于数列极限的类似于数列极限的N定义定义, ,为了给出函数为了给出函数X极限的极限的Xx 表示表示x x无限增大无限增大, ,定义定义. .这里用这里用用用Axf)(0(趋向于常数趋向于常数A.A.任意小任意小) ) 表示表示f(x)f(x)无限地无限地Axfx)(lim下面给出下面给出的的X定义定义: 定义定义1 1 设函数设函数f(x)f(x)当当ax 有定义，如果函数有定义，如果函数f(x)f(x)与某个确定的常数与某个确定的常数A A 满足满足关系：对关系：对 Axf)(成立成立, ,那么常数那么常数A A称为函数称为函数f(x)f(x)当当

5、或者说函数或者说函数f(x)f(x)当当时收敛于时收敛于A A，记作，记作 xAxfx)(limAxf)().(x或或( a 为某个常数为某个常数)时时00XXx(无论多么小无论多么小)，,当当时时x时的极限时的极限, ,定义定义1 1的几何意义：的几何意义：直线直线Ay与与 Ay,则总存在一个正数则总存在一个正数X , 使得在区间使得在区间),(X这两条直线之间这两条直线之间. .yXAA-Axo)(xfy对对0Ay 的上、下方各作一的上、下方各作一,在直线在直线内内, ,函数函数f(x)f(x)的图形完全位于的图形完全位于.)(, 0, 0AxfXxX恒有时使当2.另两种情形另两种情形:X

6、x .)(Axf, 0, 0X使当使当恒有恒有x(1)Axfx)(lim情形：情形：x) 2(Axfx)(lim情形：情形：由于由于Xx XxXx 或或如下结论如下结论:,从而可得从而可得Axfx)(lim.)(lim)(limAxfAxfxx 且且例例1. 0sinlimxxx证明证证xxxxsin0sin x1 X1 , ,0sin xx, 0 ,1 X取取时恒有则当Xx . 0sinlimxxx故0sinlimxxx. 0sinlimxxx及及X 类似地类似地,用用定义可以证明定义可以证明1.3.2自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限考察函数考察函数 ) 2( 282

7、)(2xxxxfy) 2( x2x当当时的变化趋势。如下图所示：时的变化趋势。如下图所示：下面讨论当自变量下面讨论当自变量x x趋于有限值趋于有限值0 x对应的对应的无限接近于某一个常数无限接近于某一个常数A A的情形的情形 。)(xf时，时，何种方式趋于何种方式趋于2,2,相应的函数值相应的函数值 时我们称当时我们称当 2x时函数时函数f(x)f(x)以以3 3当当x x在实数轴上不论以在实数轴上不论以f(x)与与3无限接近无限接近,这这3) 2( 282lim22xxxx3) 2( 2822xxx).2( x记作记作或或为极限为极限, ,0-1-2-3123-4-1-2123) 2( 28

8、2)(2xxxxfyxy下面给出函数极限的下面给出函数极限的无限接近于常数无限接近于常数A.A.)(xf0(不论多么小不论多么小), Axf)(表示表示00 xx)0邻域的去心点x一般地一般地,用用表示表示x0 x(即即.xx0与与的接近程度的接近程度定义：定义：时，时，定义定义,若对若对, 0, 0 使当使当00 xx Axf)(则称函数则称函数 当当 时以时以A A为极限为极限, ,记作记作 )(xf0 xx或或Axfxx)(lim0Axf)().(0 xx 设函数设函数定义定义2 20 x)(xf的某一去心邻域有的某一去心邻域有在点在点恒有恒有作一直线作一直线 Ay Ay与与得一带形区域

9、得一带形区域 , ,则总可则总可以以),(00 xx内函数的图形内函数的图形完全位于这两条直线之间。完全位于这两条直线之间。函数函数)(xf0 xx时以时以A A为极限的几何解释为极限的几何解释: :当当),(00 xx与与使得在区间使得在区间找到相应的一个正数找到相应的一个正数,0Ay对任意给定的对任意给定的的上、下方各的上、下方各,在直线在直线)(xfy A0 x0 x0 xxyoAA理解定义理解定义2应注意两点：应注意两点：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 3)2(2822xxx221x324xAx

10、f)(3) 2( 2822xxx,从而得从而得. 3) 2( 282lim22xxxx定义证明：定义证明：例例2 2 用用证证 对于对于 02x,当当时，有时，有,)( Axf,只要只要,221x于是要于是要220 x取取，当，当，有，有. 3) 2( 282lim22xxxx.lim00 xxxx ,min00 xx取取,00时时当当 xx, 0 任给任给,)( Axf要要使使,0 xx就就有有证证0)(xxAxf 00 xxxx ,00 xxx .且且x x不取负值不取负值00只要只要 xxx例例3.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明1.3.3单边单边(或单侧或单侧)极限极限

11、00 xxx00 xx或或x是以是以0 xx在上述在上述时函数极限的定义时函数极限的定义2 2中，中，任何方式趋于任何方式趋于0 x的的 . .,xx000 xx换成换成 相应地把定义相应地把定义2中中)(xf0 xxA称为函数称为函数当当时的左极限。时的左极限。即得即得Axfxx)(lim0的的定义。定义。, A)x( f0 xx0 x假如假如仅从仅从的左侧趋于的左侧趋于0 xx（记作（记作）时，）时，或或Axfxx)(lim0Axf )0(0记作记作.xxx0000 xx或或,xx000 xx换成换成 相应地把定义相应地把定义2中中即得即得A)x( flimxx0的的定义。定义。)(xf0

12、 xxA称为函数称为函数当当时的右极限。时的右极限。, A)x( f0 xx0 x假如假如仅从仅从的右侧趋于的右侧趋于0 xx（记作（记作）时，）时，同理可得右极限的概念：同理可得右极限的概念：或或.A)x( f00记作记作A)x(flimxx0下面给出左极限与右极限的关系：下面给出左极限与右极限的关系：注意到注意到0000 xxxxxx00 xxx定理定理1 1Axfxx)(lim0)(lim0 xfxx.)(lim0Axfxx左、右极限的用途主要在下面两个方面左、右极限的用途主要在下面两个方面:(1)研究自变量趋于区间端点时研究自变量趋于区间端点时,函数的极限问题函数的极限问题;(2)研究

13、分段函数在分段点两侧表达式不相同的研究分段函数在分段点两侧表达式不相同的情形情形,考察在分段点处的极限问题考察在分段点处的极限问题.例例4 判断函数判断函数, 1,0, 1)(xxxf. 0, 0, 0 xxx11-1-10 xy)(lim0 xfx. 1) 1(lim0 xx解解)(lim0 xfx, 1) 1(lim0 xx)00( f),00( f由于由于不存在。不存在。)x(flimx00 x时极限是否存在时极限是否存在? ?当当1.3.4函数极限的性质函数极限的性质2.局部有界性局部有界性1.唯一性唯一性定定理理 2 若若)(limxf存存在在,则则极极限限唯唯一一. 本节所讨论的函

14、数极限的各种情形也具有本节所讨论的函数极限的各种情形也具有类似于类似于1.21.2所述的关于数列极限的那些性质所述的关于数列极限的那些性质. .存在，那存在，那么么)(lim0 xfxx)(xf0 x),(0 xUo内有界。内有界。某个去心邻域某个去心邻域定理定理3 假设假设在在的的0),(0 xUxo，当，当 时时, ,有有 .1)(AAAxfAAxfxf)()(1)( Axf)(xf0 x),(0 xUo即即在在的去心邻域的去心邻域内有界。内有界。定理定理3 的证明类似的证明类似.X,X在在和和内有界。内有界。)(limxfx)(xf定理定理3 假设假设存在，那么必存在存在，那么必存在X0

15、,使得使得Axfxx)(lim01,取取，那，那么么设设证证3.局部保号性局部保号性0)(lim0Axfxx定理定理4 4 假设假设),0(A或证证 设设0A2,A取，由极限的定义，由极限的定义, , 必必0，当，当 时时, ,有有 ),(0 xUxo,)(Axf或或0A对对的情况，取的情况，取. 02A),(0 xUo那么那么),(0 xUox0)(xf。)x(f(0或,使得对于使得对于内的一切内的一切，有，有AxfA)(,因因2AA. 02)(Axf,故故),(0 xUxo, 0则).()(xgxf有推论推论 设设.)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx且且AB，由定理由定理4 4

16、的证明的证明, , 可得下列更强的结果可得下列更强的结果: : 定理定理44假假设设, 0)(lim0Axfxx),0(或那那么么2)(Axf).2)(Axf或),(0 xUo使得使得),(0 xUxo，有，有).0)(0)(xfxf或类似地可以证明类似地可以证明:0)(limAxfx0（或（或假假设设），）， 那么必存在那么必存在0XX ,X,使得在使得在和和内内, 有有BAxgxf则有),()(),(0 xUxo.推论推论 设设.)(lim,)(lim00BxgAxfxxxx, 0假假设设0)(xf,)(lim0Axfxx且),0)(xf或那么那么0A0A或（或（ ）。）。证明从略反证法）

17、证明从略反证法）.0 x),(0 xUo定理定理5 若在若在的某个去心邻域的某个去心邻域内内4. 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系.)(limAxfnn0limxxnn )(0 xxxnn任何数列任何数列，当，当时时, ,都有都有 函数极限不存在。另一方面函数极限不存在。另一方面,可由函数可由函数 )(nxf定理定理6 6的作用：一方面可以通过数列的作用：一方面可以通过数列Axfxx)(lim0定理定理6 6的充分必要条件是对于的充分必要条件是对于时的子数列时的子数列.)(nxf)(xf0 xx 数列数列称为称为当当)(xf的极限来确定函数的极限来确定函数极限的某些性质或用来说

18、明极限的某些性质或用来说明)(xf的极限的极限)(nxf来求数列来求数列的极限。的极限。.)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当Axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒恒有有时时使使当当对对上上述述,)( Axfn从而有从而有.)(limAxfnn 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又证证必要性必要性充分性充分性假设假设.)(lim0Axfxx0（反证法）（反证法）则对则对),(00 xUxAxf)(，使得，使得，现取一列nn1), 2 , 1(nnx),10 (0nxxn必存在必存在 Axfn)(满足满足.)(limAxfnx与题设矛盾与题设矛盾, ,

19、故故但但0 x ),(0 xxxn由此得到一个收敛于由此得到一个收敛于的数列的数列)(nxf对应的函数值数列对应的函数值数列却不可能以却不可能以A A为极限为极限, , ,2141nxn又取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 0 , 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx例如例如.1sinlim0不不存存在在证证明明xx证证 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且1.3.5函数极限的四则运算法则函数极限的四则运算法则 关于函数的极限关于函数的极限,

20、也有类似于数列极限的四则也有类似于数列极限的四则运算法则运算法则.为了简单起见，下面仅给出当为了简单起见，下面仅给出当0 xx时函数极限的运算法则，对于自变量的变化过时函数极限的运算法则，对于自变量的变化过程为其它情形时函数的极限也有类似法则。程为其它情形时函数的极限也有类似法则。)(lim0 xfxx)(xg)(lim0 xfxx)(lim0 xgxx（1）)()(lim0 xgxfxx)(lim0 xfxx)(lim0 xgxx(2)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx. 0)(lim0 xgxx(3)，其中，其中)(lim0 xfxx)(lim0 xgxx定理定理7 假设假设与与都存在，那么都存在，那么Bxgxx)(lim0证证(2)(2)设设,)(lim0Axfxx。由定理。由定理6(6(利用利用 )(0 xxxnn必要性必要性),),对任何数对任何数列列 0limxxnn，当，当时，有时，有,)(limAxfnnBxgnn)(lim于是由数列极限的运算性质于是由数列极限的运算性质 得得ABxgxfxgxfnnnnnnn)(lim)(lim)()(lim再利用定理再利用定理6(6(充分性充分性) )可得可得 )()(lim0 xgxfxx存在，且存在，且等于等于AB,即