高考专题复习6-第6练　函数的综合应用新课标试卷

1、第6练函数的综合应用一、选择题 1.著名数学家华罗庚先生曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中,我们经常用函数的图象来研究函数的性质,也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征,如某体育品牌的LOGO,可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线,下列函数中,其局部图象大致可“完美”表达这条曲线的是()A. f(x)=sin5x2-x-2xB. f(x)=cosx2x-2-xC. f(x)=cos5x|2x-2-x|D. f(x)=sin5x|2x-2-x|答案C观察题图可知,函数的图象关于y轴对称,A中, f(-x)=sin(-5x)2x-2-

2、x=sin5x2-x-2x=f(x),为偶函数,B中, f(-x)=cos(-x)2-x-2x=cosx2x-2-x=-f(x),为奇函数,C中, f(-x)=cos(-5x)|2-x-2x|=cos5x|2x-2-x|=f(x),为偶函数,D中, f(-x)=sin(-5x)|2-x-2x|=sin5x|2x-2-x|=-f(x),为奇函数,选项B,D中的函数,不符合题意;对选项A而言,当x0,5时, f(x)<0,不符合题意,故选C.2.已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间m2,n上的最大值为2,则m,n的值分别为()

3、A.12,2B.12,4C.22,2D.14,4答案Af(x)=|log2x|=log2x,x1,-log2x,0<x<1.其大致图象如图所示,根据f(m)=f(n)(m<n)及f(x)的单调性,知mn=1且0<m<1,n>1.由图象知f(x)max=f(m2),xm2,n.故f(m2)=2,易得m=12,n=2.3.函数f(x)的定义域为D,若对于任意x1,x2D,当x1<x2时,都有f(x1)f(x2),则称函数f(x)在D上为非减函数.设函数f(x)在0,1上为非减函数,且满足以下三个条件:f(0)=0;fx3=12f(x);f(1-x)=1-f

4、(x),则f13+f18=()A.12B.34C.1D.23答案B由可令x=0,可得f(1)=1,由可令x=1,可得f13=12f(1)=12,令x=13,可得f19=12f13=14,由结合f13=12,可知f23=12,令x=23,结合可得f29=12f23=14,因为19<18<29且函数f(x)在0,1上为非减函数,所以f18=14,所以f13+f18=34,故选B.4.(多选题)记函数f(x)与g(x)的定义域的交集为I.若存在x0I,使得对任意xI,不等式f(x)-g(x)(x-x0)0恒成立,则称(f(x),g(x)构成“M函数对”.下列选项中所给的两个函数能构成“M

5、函数对”的是()A.f(x)=ln x,g(x)=1xB.f(x)=ex,g(x)=exC.f(x)=x3,g(x)=x2D.f(x)=x+1x,g(x)=3x答案AC因为f(x)=ln x在(0,+)上单调递增,g(x)=1x在(0,+)上单调递减,所以f(x)与g(x)在(0,+)上只有一个交点,所以A符合题意;B中,f(x)g(x)在R上恒成立,故B不符合题意;C中,在区间(0,1)上, f(x)<g(x),在区间(1,+)上,f(x)>g(x),所以存在x0=1,使得对任意xI,不等式f(x)-g(x)(x-x0)0恒成立,所以C符合题意;D中,f(x)=f(x)-g(x)

6、存在两个非零的零点,故D不符合题意.5.已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有x2f(x1)-x1f(x2)x1-x2<0,记a=f(40.2)40.2,b=f(0.42)0.42,c=f(log0.24)log0.24,则()A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b答案C不妨设x1>x2>0,由题意得x2f(x1)-x1f(x2)<0,即f(x1)x1<f(x2)x2,同理,当0<x1<x2时,有f(x1)x1>f(x2)x2,据此可得函数g(x)

7、=f(x)x在区间(0,+)上单调递减,且函数g(x)是偶函数,因此a=f(40.2)40.2=g(40.2),b=f(0.42)0.42=g(0.42),c=f(log0.24)log0.24=g(log0.24)=g(-log54)=g(log54),因为0<0.42=0.16<0.5<log54<1<40.2,所以g(40.2)<g(log54)<g(0.42),即a<c<b.6.设a0,若对任意xR,都有(ax-1)e(a+1)x-20,则实数a的值为()A.ln 2-1B.1ln2-1C.e2D.1e-2答案B由题意知,不等式(a

8、x-1)e(a+1)x-20等价于对任意xR,ax-1与e(a+1)x-2同号,令f(x)=ax-1,g(x)=e(a+1)x-2,则f(x)和g(x)都是R上的单调函数,且图象都过定点(0,-1),因此当且仅当f(x)和g(x)有相同的零点时, f(x)与g(x)同号(如图所示),由f(x)=ax-1=0得x=1a,代入g(x)得ea+1a-2=0,解得a=1ln2-1.7.(多选题)定义域和值域均为-a,a的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,其中a>b>c>0,则下列四个结论中正确的是()A.方程fg(x)=0有且仅有三个解B.方程gf(x)=0有且仅有三个解

9、C.方程ff(x)=0有且仅有九个解D.方程gg(x)=0有且仅有一个解答案AD由图象可知对于函数y=f(x),当-ay<-c时,其对应的方程有一解,当y=-c时,其对应的方程有两解,当-c<y<c时,其对应的方程有三解,当y=c时,其对应的方程有两解,当c<ya时,其对应的方程有一解.对于函数y=g(x),由图象可知,函数g(x)为单调递减函数,当-aya时,其对应的方程有唯一解.设t=g(x),则fg(x)=0,即f(t)=0,此时方程有三个t的值,即t=g(x)有三个不同的值,又由函数g(x)为单调递减函数,所以方程fg(x)=0有三个不同的解,所以A正确;设s=

10、f(x),则gf(x)=0,即g(s)=0,此时只有唯一的解s=b,即方程b=f(x)此时只有一解,所以B不正确;设s=f(x),则ff(x)=0,即f(s)=0,此时s=-b或s=0或s=b,则方程s=f(x)有5个解,所以C不正确;设t=g(x),则gg(x)=0,即g(t)=0,此时t=b,则方程b=g(x)只有唯一的一个解,所以D正确.8.设函数f(x)的定义域为R,若存在常数m>0,使|f(x)|m|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为“倍约束函数”.现给出下列函数:f(x)=0;f(x)=x2;f(x)=xx2+x+1;f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x1,x2均有|

11、f(x1)-f(x2)|2|x1-x2|.其中是“倍约束函数”的序号是()A.B.C.D.答案D对于,m是任意正数时都有0m|x|,所以f(x)=0是倍约束函数,故符合要求;对于,若f(x)=x2,则|f(x)|=|x2|m|x|,即|x|m,因为不存在这样的m对一切实数x均成立,故不符合要求;对于,|f(x)|m|x|,即xx2+x+1m|x|,当x=0时,m可取任意正数,当x0时,只需m1x2+x+1max,因为x2+x+134,所以m43,故符合要求;对于,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以|f(x)|是偶函数,由|f(x1)-f(x2)|2|x1-x2|,得|f(x)|2|x|成立

12、,故存在m2,使|f(x)|m|x|对一切实数x均成立,故符合要求.二、填空题9.若xx|1x2,tt|1t2,使得x+2>t+m成立,则实数m的取值范围是. 答案(-,2)解析由题意得x+2的最小值大于t+m,因此3>t+m.又由tt|1t2,使得t+m<3成立,得t的最小值小于3-m,即3-m>1,解得m<2.因此,实数m的取值范围是(-,2).10.已知f(x)是偶函数,且f(x)在(0,+)上是增函数,若f(kx+1)f(2-x)在x12,1上恒成立,则实数k的取值范围是. 答案-2,0解析f(x)是偶函数,且f(x)在(0,+)上是增函数, f(x)在(-,0)上为减函数, 要使当x12,1时,不等式f(kx+1)f(2-x)恒成立,则需|kx+1|2-x|在x12,1上恒成立,即|kx+1|1,当k=0时,显然恒成立;当k0时,得-1kx+11,即-2kx0,x12,1,-2xk0,-2k0,故答案为-2,0.11.已知函数y=f(x)(xR),函数y=g(x)(xD),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为y=h(x)(xI),y=h(x)满足:对任意xI,两个点(x,h(x),(x,g(x)关于点(x, f(x)对称,若h(x)是g(x)=4-x关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)<g(x)恒成