高考专题复习第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系

1、第二节空间点、直线、平面之间的位置关系学习要求-公众号：新课标试卷:1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理,能运用四个基本事实解决一些简单的证明问题.1.平面的基本性质(1)基本事实1: 过不在一条直线上的三点 ,有且只有一个平面. 提醒三点不一定能确定一个平面.当三点共线时,过这三点的平面有无数个.所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面.(2)基本事实2:如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么这条直线在此平面内. (3)基本事实3:如果两个不重合的平面有 一个 公

2、共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.空间两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系:共面直线平行相交异面直线:不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角:(i)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的 锐角(或直角) 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (ii)范围: 0,2 . (3)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(4)定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 相等或互补 . 3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有 相交、平

3、行 、在平面内三种情况. 提醒直线l和平面相交、直线l和平面平行统称为直线l在平面外,记作l.(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.知识拓展1.基本事实1的三个推论:推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.2.唯一性定理:(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)两个

4、平面,有一个公共点A,就说,相交于过A点的任意一条直线.()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()(3)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合.()(4)没有公共点的两条直线是异面直线.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人教A版必修第二册P131练习T1改编)是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m,n,且Am,A,则m,n的位置关系不可能是()A.垂直B.相交C.异面D.平行答案D3.若直线a不平行于平面,且a,则下列结论成立的是()A.内的所有直线与a异面B.内不存在与a平行的直线C.内存在唯一的直线与a平行D.内的直线与a都相交答案B4.(2020浙江衢

5、州四校联考)设m,n为两条不同的直线,为两个不同的平面,下列说法正确的是()A.若,m,n,则mnB.若,m,n,则mnC.若,=m,mn,则nD.若,m,n,则mn答案D5.(易错题)若直线ab,且直线a平面,则直线b与平面的位置关系是. 答案b与相交或b或b【易错点分析】判断直线与平面的位置关系时,忽视“直线在平面内”致误.共点、共线、共面问题1.在三棱锥A-BCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,若EFHG=P,则点P()A.一定在直线BD上B.一定在直线AC上C.在直线AC或BD上D.不在直线AC上,也不在直线BD上答案B2.如图,P,Q,R,S分别是正方

6、体或四面体所在棱的中点,则在下列图形中,这四个点共面的序号是() A.B.C.D.答案D3.下列说法正确的是()A.三点可以确定一个平面B.一条直线和一个点可以确定一个平面C.四边形是平面图形D.两条相交直线可以确定一个平面答案D4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别是AB、AA1的中点,连接D1F、CE.求证:(1)E、C、D1、F四点共面;(2)CE、D1F、DA三线共点.证明(1)如图所示,连接CD1、EF、A1B,E、F分别是AB、AA1的中点,EFA1B,且EF=12A1B.又A1D1BC,A1D1=BC,四边形A1BCD1是平行四边形,A1BCD1,EFC

7、D1,EF与CD1能够确定一个平面ECD1F,即E、C、D1、F四点共面.(2)由(1)知EFCD1,且EF=12CD1,四边形CD1FE是梯形,CE与D1F必相交,设交点为P,则PCE,且PD1F,CE平面ABCD,D1F平面A1ADD1,P平面ABCD,且P平面A1ADD1.又平面ABCD平面A1ADD1=AD,PAD,CE、D1F、DA三线共点.名师点评1.证明点或线共面问题的2种方法(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后证其余的线(或点)在这个平面内;(2)将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.2.证明点共线问题的2种方法(1)先由两点确定一条直线,

8、再证其他各点都在这条直线上;(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上.3.证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.空间两直线的位置关系典例1(1)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示GH,MN是异面直线的图形的序号为() A.B.C.D.(2)(2019课标理,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,ECD为正三角形,平面ECD平面ABCD,M是线段ED的中点,则()A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BMEN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BMEN,且直线BM,EN是异面直线答案

9、(1)D(2)B解析(2)过E作EQCD于Q,连接BD,QN,BE,易知点N在BD上.平面ECD平面ABCD,平面ECD平面ABCD=CD,EQ平面ABCD,EQQN,同理可知BCCE,设CD=2,易得EQ=3,QN=1,则EN=EQ2+QN2=3+1=2,BE=BC2+CE2=4+4=22.易知BE=BD,又M为DE的中点,BMDE,BM=BE2-EM2=8-1=7,BM=7>2=EN.BMEN.又点M、N、B、E均在平面BED内,BM,EN在平面BED内,又BM与EN不平行,BM,EN是相交直线,故选B.名师点评异面直线的判定方法(1)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平

10、行或相交,由假设出发,经过合理的推理,推出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.(2)定理:过平面外一点A与平面内一点B的直线,与平面内不过点B的直线是异面直线.(3)模型法:对于线面、面面平行或垂直的位置关系的判定,可构造长方体或正方体,化抽象为直观来进行判断.1.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列结论正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案D如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如

11、图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确,故选D.2.若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则()A.acB.a,c是异面直线C.a,c相交D.a,c平行或相交或异面答案D若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c可以平行,可以相交,可以异面.异面直线所成的角典例2如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45答案D如图,连接BC1,易证BC1AD1,则A1BC1或其补角即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=1,AA1=2,易得

12、A1C1=2,A1B=BC1=5,故cosA1BC1=5+5-22×5×5=45,即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45.变式1将本例条件“AA1=2AB=2”变为“AB=1,若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”,其他条件不变,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 答案12解析由平面ABCD内有且仅有一点到A1的距离为1,得AA1=1.此时正四棱柱变为正方体ABCD-A1B1C1D1.如图所示.由图知A1B与AD1所成角为A1BC1或其补角,连接A1C1,BC1,则A1BC1为等边三角形,A1BC1=60°,cosA1BC1=1

13、2,故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为12.变式2将本例条件“AA1=2AB=2”变为“AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为910”,其他条件不变,则AA1AB的值为. 答案3解析设AA1AB=t,则AA1=tAB.AB=1,AA1=t.A1C1=2,A1B=t2+1=BC1,cosA1BC1=t2+1+t2+1-22×t2+1×t2+1=910.t=3,即AA1AB=3.名师点评用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角;(2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角;(3)三求:解三角形,求出所作的角

14、.若求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;若求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.1.(2020广东江门模拟)正方体的平面展开图如图所示,AB,CD,EF,GH四条对角线两两一对得到6对对角线,在正方体中,这6对对角线成60°角的有()A.1对B.2对C.3对D.4对答案D平面展开图对应的正方体如图,其中AB与GH,AB与EF,GH与CD,EF与CD所成的角均为60°,共有4对.故选D.2.(2020辽宁本溪满族自治县高级中学模拟)我们打印用的A4纸的长与宽的比约为2,之所以是这个比值,是因为把纸张对折,得到的新纸的长与宽之比仍约为2,纸张的形状不变.已知圆柱的母线长小

15、于底面圆的直径(如图所示),它的轴截面ABCD为一张A4纸,若点E为上底面圆上弧AB的中点,则异面直线DE与AB所成的角约为()A.6B.4C.3D.23答案CABCD,EDC(或补角)为异面直线DE与AB所成的角,设CD的中点为O,过E作EF底面O,连接OE,OF,E是AB的中点,F是CD的中点,CDOF,又EF平面O,EFCD,EFOF=F,CD平面OEF,ODOE.设AD=1,则CD=2,故OF=22,EF=1,所以OE=12+222=62,tanEDO=OEOD=6222=3,EDO=3.3.(2019湖南湘潭二模)已知四棱锥P-ABCD的底面边长都为2,PA=PC=23,PB=PD,

16、且DAB=60°,M是PC的中点,则异面直线MB与AP所成的角为. 答案30°解析如图,连接AC与BD,相交于点N,连接MN,则MNPA,所以NMB(或NMB的补角)为异面直线MB与AP所成的角,在MNB中,由题意得NB=1,MN=3,BNMN,则tanNMB=NBMN=33,NMB=30°.A组基础达标1.(2019贵州贵阳质检)四条线段顺次首尾相连,它们最多可确定的平面有()A.4个B.3个C.2个D.1个答案A2.若直线a,b,c满足ab,a,c异面,则b与c()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线答案C3.

17、已知直线a,b分别在两个不同的平面,内,则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A4.l1,l2,l3是空间中三条不同的直线,则下列命题中为真命题的是()A.l1l2,l2l3l1l3B.l1l2,l2l3l1l3C.l1l2l3l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面答案B5.(多选题)2021年1月“八省(市)联考”如图是一个正方体的平面展开图,则在该正方体中()A.AECDB.CHBEC.DGBHD.BGDE答案BCD6.(2020福建福州模拟)已知m,n是两条不同的直线,是一个

18、平面,且m,则“mn”是“n”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A7.(2020辽宁抚顺一中模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ABBC,AB=BC=2,CC1=22,则异面直线AC1与A1B1所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°答案C8.(多选题)(2020山东临沂模拟)如图,点E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中棱AA1,AB,BC,C1D1的中点,则()A.GH=2EFB.GH2EFC.直线EF,GH是异面直线D.直线EF,GH是相交直线答案BD如图,取棱C

19、C1的中点N,A1D1的中点M,连接EM,MH,HN,NG,FG,AC,A1C1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,MHA1C1ACFG,M,H,F,G四点共面,同理可得E,M,G,N四点共面,E,F,H,N四点共面,E,M,H,N,G,F六点共面,均在平面EFGNHM内,EFHN,HNHG=H,HN,HG,EF平面EFGNHM,EF与GH是相交直线.易知EF=HN=NG=FG=EM=MH,3EF=GH,即GH2EF.9.如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,D是PC的中点.已知BAC=2,AB=2,AC=23,PA=2.则:(1)三棱锥P-ABC的体积为; (2)异面直线

20、BC与AD所成角的余弦值为. 答案(1)433(2)34解析(1)易知SABC=12×2×23=23,所以三棱锥P-ABC的体积V=13SABC·PA=13×23×2=433.(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则EDBC,所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.在ADE中,DE=2,AE=2,AD=2,所以cosADE=22+22-22×2×2=34.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为34.B组能力拔高10.(多选题)(2020山东烟台模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的

21、中点,将ADE沿直线DE翻转成A1DE(A1平面ABCD).若M,O分别为线段A1C,DE的中点,则在ADE翻转过程中,下列说法正确的是()A.与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B.异面直线BM与A1E所成的角是定值C.一定存在某个位置,使DEMOD.三棱锥A1-ADE外接球的半径与棱AD的长之比为定值答案ABD取DC的中点N,连接MN,NB.又M为A1C的中点,MNA1D.E为AB的中点,DNEB且DN=EB,四边形BNDE为平行四边形,NBDE.A1DDE=D,MNNB=N,平面MNB平面A1DE,MB平面A1DE,与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直,故A说法正确;取A1D的中

22、点F,连接MF,EF,则MFEB且MF=EB,四边形BEFM是平行四边形,BMEF,A1EF为异面直线BM与A1E所成的角.设AD=1,则AB=2AD=2,A1D=A1E=1,A1F=12,tanA1EF=12,故异面直线BM与A1E所成的角为定值,故B说法正确;连接A1O.A1DE为等腰直角三角形且O为斜边DE的中点,DEA1O.若DEMO,则DE平面A1MO,DEA1C.又DE=EC=2,DC=2,DE2+EC2=DC2,DEEC.又ECA1C=C,DE平面A1EC,DEA1E,与已知矛盾,故C说法错误;连接OA,OD=OE=OA=OA1,O为三棱锥A1-ADE的外接球球心.又OAAD=2

23、2,三棱A1-ADE外接球的半径与棱AD的长之比为定值,故D说法正确.故选ABD.11.(2020辽宁抚顺模拟)在四棱锥P-ABCD中,所有侧棱都为42,底面是边长为26的正方形,O是P在平面ABCD内的射影,M是PC的中点,则异面直线OP与BM所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°答案C由题可知O是正方形ABCD的中心,取N为OC的中点,所以OPMN,则BMN是异面直线OP与BM所成的角.因为OP平面ABCD,所以MN平面ABCD,因为在四棱锥P-ABCD中,所有侧棱都为42,底面是边长为26的正方形,所以OC=23,OP=32-12=

24、25,所以MN=5,在PBC中,cosBPC=PB2+PC2-BC22PB·PC=32+32-242×32=58,所以BM2=PB2+PM2-2PB·PM·cosBPC=32+8-2×42×22×58=20,即BM=25,所以cosBMN=MNMB=12,则异面直线OP与BM所成的角为60°.故选C.12.(多选题)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,下列结论正确的是()A.当直线AB与a成60°角时,AB与b成30&#

25、176;角B.当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角C.直线AB与a所成角的最小值为45°D.直线AB与a所成角的最大值为60°答案BC由题意知,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,又ACa,ACb,AC圆锥底面,在底面内可以过点B,作BDa,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DEBD,DEb,连接AD,设BC=1,在等腰ABD中,AB=AD=2,当直线AB与a的夹角为60°时,ABD=60°,故BD=2,又在RtBDE中,BE=2,DE=2,过点B作BFDE,交圆C于点F,连接AF,EF,BF=DE=2,AB

26、F为等边三角形,ABF=60°,即AB与b成60°角,故B正确,A错误;由最小角定理可知C正确;很明显,可以满足平面ABCa,直线AB与a所成角的最大值为90°,故D错误.故选BC.13.若两条异面直线所成的角为60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有对. 答案24解析在正方体ABCD-ABCD中,若要出现所成角为60°的异面直线,则直线需为面对角线,以AC为例,与之构成“黄金异面直线对”的直线有4条,分别是AB,BC,AD,CD,又正方体的面对角线有12条,所以所求的“黄金

27、异面直线对”共有12×42=24对(每一对被计算两次,所以要除以2).14.如图,在三棱锥P-ABC中,点D,E分别为PA,AC的中点.(1)求证:DE平面PBC;(2)试问在线段AB上是否存在点F,使得过三点D,E,F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行.若存在,请指出点F的位置并证明;若不存在,请说明理由.解析(1)证明:因为点E是AC的中点,点D是PA的中点,所以DEPC.又因为DE平面PBC,PC平面PBC,所以DE平面PBC.(2)存在,当F是线段AB的中点时,过点D,E,F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行.证明:如图,取AB中点F,连接EF,DF.由(1)可知DE

28、平面PBC.因为点E是AC的中点,点F是AB的中点,所以EFBC.又因为EF平面PBC,BC平面PBC,所以EF平面PBC.又因为DEEF=E,所以平面DEF平面PBC,所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行.C组思维拓展15.2021年1月“八省(市)联考”北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个顶点有3个面角,每个面角是3,所以正四面体在各顶点的曲率为2-3&#