激光原理与技术p4ppt课件

1、上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术激激 光光 原原 理理第二章 开放式光腔与高斯光束上海大学物理系上海大学物理系电子信息科学与技术教研室电子信息科学与技术教研室上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术光腔高斯光束方式构成；分类；损耗；ABCD矩阵及应用；稳定条件数学解法；模式特性场分布、谐振频率、等相位面、衍射损耗等）高斯光束特性及在实际中的应用内容内容自由空间、透镜球面反射镜）、平面介电界面、球自由空间、透镜球面反射镜）、平面介电界面、球面镜谐振腔面镜谐振腔上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术2.1 光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题l谐振腔的

2、作用谐振腔的作用l无源谐振腔无源谐振腔l理论依据理论依据l开放式光腔开放式光腔l开腔的分类开腔的分类l光腔的损耗光腔的损耗一、概述一、概述上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术谐振腔的作用谐振腔的作用l提供轴向光波模的正反馈提供轴向光波模的正反馈l控制腔内振荡光束的特性控制腔内振荡光束的特性直接控制光束的横向分布特性、光斑大小、谐振频率直接控制光束的横向分布特性、光斑大小、谐振频率及光束发散角等及光束发散角等上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术无源谐振腔无源谐振腔l不考虑腔内激活介质的影响不考虑腔内激活介质的影响l无源腔的模式可以作为具有激活物质腔有源腔的激光模无

3、源腔的模式可以作为具有激活物质腔有源腔的激光模式的良好近似式的良好近似l激活介质的作用主要是补充腔内电磁场在振荡过程中的能量激活介质的作用主要是补充腔内电磁场在振荡过程中的能量损耗，使之满足阈值条件；激活介质对场的空间分布和振荡频损耗，使之满足阈值条件；激活介质对场的空间分布和振荡频率的影响是次要的，不会使模式发生本质的变化率的影响是次要的，不会使模式发生本质的变化上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术采用的理论采用的理论l衍射光学理论衍射光学理论衍射明显衍射明显, 模式的精细描述模式的精细描述l不同模式按不同模式按 场分布场分布,损耗损耗,谐振频率谐振频率 来区分来区分l几何光

4、学理论几何光学理论忽略反射镜边缘衍射效应，推导忽略反射镜边缘衍射效应，推导腔的稳定性条件腔的稳定性条件l不同模式按传输方向和谐振频率来区分，粗略、简不同模式按传输方向和谐振频率来区分，粗略、简单明了单明了上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术闭腔开腔气体波导腔波导管忽略侧面边界的影响波导管的孔径比较小，不能忽略侧面边界的影响光腔的构成与分类光腔的构成与分类l1l2l3折叠腔折叠腔环形腔环形腔光学谐振腔光学谐振腔 (Optical Cavity) (Optical Cavity) 上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术光腔的分类光腔的分类按腔的几何逸出损耗的高低分类:

5、稳定腔,非稳定腔,临界腔l稳定腔：旁轴傍轴光线在腔内多次往返而不逸出腔外，具有较低的几何损耗l非稳腔：傍轴光线在腔内经过少数几次往返就逸出腔外，具有较高的几何损耗l临界腔：性质介于稳定腔和非稳腔之间，只有少数特定光线能在腔内往返传播上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术谐振腔可以按不同的方法分类：稳定腔、非稳定腔、临界腔球面腔与非球面腔高损腔与低损腔驻波腔与行波腔两镜腔与多镜腔简单腔与复合腔端面反馈腔与分布反馈腔本章讨论：由两个球面镜构成的开放式光学谐振腔 上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术 二、光腔理论与模式二、光腔理论与模式 （概述）（概述） 1. 1. 光

6、腔理论光腔理论 ( (激光模式理论激光模式理论) ) 研究模式基本特征及其与腔结构研究模式基本特征及其与腔结构关系关系有限范围的电磁场分立的本征态腔内存在的场分布 激光模式沿光轴方向纵向场分布E(z) 纵模场分布场分布垂直于光轴方向(横向)场分布E(x,y)横模 模式主要特征： * 场分布，谐振频率，往返损耗，发散角上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术02,2LqcqLqq2220qLqq为整数L为腔的光学长度， L为腔的几何长度。在整个腔内充满折射率为的均匀物质。那么：/,0 LLF-P腔中沿轴向传播的平面波的谐振条件0q为腔的谐振波长，q为腔的谐振频率。谐振频率是分立的。L

7、qcqLqq2,2q为物质中的谐振波长(2-1-1)式(2-1-1)又称为光腔的驻波条件谐振条件干涉仪理论）谐振条件干涉仪理论） 纵模纵模上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术L 驻波场分布tkzEEsinsin20L波节波节 纵模间隔 满足q的平面驻波场是F-P平行腔的本征模式特点：腔的横截面内的场分布是均匀的；沿腔的轴线方向纵向形成驻波。驻波的波节数由q决定。q所表征的腔内纵向场分布为腔的纵模。纵模q单值地决定腔的谐振频率。LcLcqqq221q与q无关。 L减小，纵模间距增大上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术腔的纵模在频率尺度上等距离排列，每一个纵模均以具

8、有一定宽度c谱线表示。上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术n 几何偏折损耗：光线在腔内往返传播时，从腔的侧面偏折逸几何偏折损耗：光线在腔内往返传播时，从腔的侧面偏折逸出的损耗。其大小取决于腔的类型和几何尺寸。（与腔和腔出的损耗。其大小取决于腔的类型和几何尺寸。（与腔和腔内的模式有关）内的模式有关）n 衍射损耗：腔的反射镜片通常有有限大小的小孔，所以光在衍射损耗：腔的反射镜片通常有有限大小的小孔，所以光在镜面发生衍射时，有一部分能量损失。镜面发生衍射时，有一部分能量损失。n 腔镜反射不完全引起的损耗：包括镜中的吸收、散射以及镜腔镜反射不完全引起的损耗：包括镜中的吸收、散射以及镜的

9、透射损耗。通常镜至少有一个反射镜是部分透射的，另一的透射损耗。通常镜至少有一个反射镜是部分透射的，另一个通常称个通常称“全反射镜，其反射率不可能做到全反射镜，其反射率不可能做到100%。n 固有损耗：激光材料的吸收、散射等引起的损耗。固有损耗：激光材料的吸收、散射等引起的损耗。1和2为选择损耗：不同模式的几何损耗和衍射损耗各不相同。3和4为非选择损耗：对各个模式大体一样。光腔的损耗是评价谐振腔的一个重要标志。光腔的损耗是评价谐振腔的一个重要标志。上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术损耗的参数损耗的参数(loss per pass, photon lifetimes, and q

10、uality factor Q)1. 1. 平均单程损耗因子平均单程损耗因子 初始光强I0，在腔内往返一次后，光强衰减为I1，那么20eIIII0ln21假设I代表每一个引起损耗缘由的损耗因子，则总损耗ii为总损耗因子，为腔中各个损耗因子的总和。指数损耗因子上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术r1I0r22101rrII 21ln21rrr 211121rrrreII201透过损耗 (T)21ln21rrT反射损耗反射损耗透射损耗透射损耗上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术百分比损耗因子01021III 腔损耗很小时 指数损耗因子与百分比损耗因子指数损耗因子与百

11、分比损耗因子2)21(11220200010eIeIIIII201eII损耗的另一种定义损耗的另一种定义 用单程渡越时光强的平均衰减百分比定义单程损耗因子用单程渡越时光强的平均衰减百分比定义单程损耗因子上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术2. 2. 与腔损耗有关的参数与腔损耗有关的参数 光子寿命光子寿命R光子(平均)寿命tR腔内光强衰减到初始值的1/e 所需时间 根据定义，如何计算光子平均寿命mmeII20 RteItI0cLtm2谐振腔光学长度谐振腔光学长度LctmeII220=R1cLRmmmeIeII2020cLtm2 eItIttR00I0时，时的光强为 R称为腔的时间

12、常数称为腔的时间常数上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术上式表明R的物理意义经过R时间后，腔内光腔衰减为初始值的1/e。而且， 越大， R越小，则说明腔的损耗越大，腔内光腔衰减的越快。由于腔内存在损耗，光场不再为简谐振动，而是振幅随时间指数衰减的阻尼振荡，其强度按频率的分布有一宽度证明：证明： R等于光子在腔内的平均寿命等于光子在腔内的平均寿命Rc21线宽设t时刻腔内的光子数密度为NeNNttNR000时，时光子数密度为 vNhtI光在谐振腔中传播速度光在谐振腔中传播速度RteNN0由于损耗，腔内光子数密度随时间依指数衰减。上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术t

13、-t+dt 时间内减少的光子数密度N0个光子的平均寿命RtRdteNtNtdNNtR000011dteNdNRtR0RNdtdNRteNN001!naxnandxexcLR光子平均寿命取决于谐振腔的损耗 谐振腔损耗越小，腔内光子寿命越长 腔内有增益介质，使谐振腔净损耗减小，光子寿命变长上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术3、无源谐振腔的、无源谐振腔的Q值值V表示腔内振荡光束的体积腔内电磁场的振荡频率腔内电磁场的振荡频率2Q储存在腔内的总能量x）单位时间内损耗的能量P）定义定义RcLQ 2dtdNVhPVNhRteNN0 谐振腔的损耗越小，Q值越高。表示光腔的储能好，损耗小，腔内

14、光子的寿命长。1RQ上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术腔镜倾斜时的几何损耗腔镜倾斜时的几何损耗腔镜倾斜时的损耗DmLLL2) 12(62D为平面腔的横向尺寸直径）。 求出m值，根据光在腔内往返一次所需的时间可求出腔内光子的寿命及相应的。DL2设光在腔内往返m次后逸出腔外，那么(2-1-27)LDm2DLcLDcLmt2220cLt02cL平行平面镜腔的调整精度要求极高平行平面镜腔的调整精度要求极高上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术L2a-6-4-202460.00.81.0 第一极小值出现位置：aa61. 0222. 1假设：忽略第一暗环以

15、外的光，并且中央亮斑内光强均匀分布。W1到孔外能量，W0为孔内能量，则射到孔径以外的光能与总光能比等于该孔阑被中央亮斑所照亮的孔外面积与总面积的比。上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术LaLaaLLaaLaSSSWWW222222011011122. 12NLadd/112衍射损耗不太大时，单程指数衍射损耗（ d ）与能量相对百分数损耗（ d ，）近似相等，d=d，LaN2N为腔Fresnel 系数，是衍射现象中的一个特征参数，表征衍射损耗的大小。 N ， d ，即损耗越小。（2-1-29）上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术透过损耗 (dT) 衍射损耗 (dD

16、)几何偏折 (dn) 光线从腔侧面偏折出去工作物质质量 (dI) 气泡、杂质等引起吸收、散射其它插入损耗(do) 腔内插入其它元件等 21ln21rrTLaNND212aLonDIT总的单程损耗上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术 增益增益( (损耗损耗) )系数的定义及其与反转粒子数的关系系数的定义及其与反转粒子数的关系 光在增益光在增益& &损耗并存介质中传输时的光强变化公式损耗并存介质中传输时的光强变化公式 由光强引起的增益饱和的物理原因由光强引起的增益饱和的物理原因, , 极值光强的概念极值光强的概念 谐振腔的损耗对激光器阈值振荡条件的影响谐振腔的损耗对

17、激光器阈值振荡条件的影响 谐振腔中的各类损耗、指数损耗及百分数损耗因子谐振腔中的各类损耗、指数损耗及百分数损耗因子 腔内光子寿命的定义及与损耗的关系腔内光子寿命的定义及与损耗的关系总结总结上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术2.2 共轴球面腔的稳定条件共轴球面腔的稳定条件一、射线几何光学中的光线传输矩阵一、射线几何光学中的光线传输矩阵ABCDABCD矩阵）矩阵）r 1. 表示光线的参数 r 光线离光轴的距离 光线与光轴的夹角傍轴光线 tg sin 正,负号规定:0 0 02. 自由空间区的光线矩阵00,r,rLABA处：r0, q0 B处：r,q 000Lrr上海大学电子信息科

18、学与技术上海大学电子信息科学与技术自由空间光线矩阵1010000LTrTrDCBArLL用 描述任一光线的坐标r3. 空气与介质(折射率为n2)的界面,00rr入射出射0rr 201nn021nn21001nTLTL描述光线在自由空间中行进距离L时引起的坐标转换。上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术4.球面镜反射矩阵薄透镜传输矩阵）R,r ,r rDCBArrRrr 21201RTRf,r ,rll 21101RffTf f111 rllrlrlrrr rfrr1焦距为f=2/R的薄透镜与球面反射镜等效R为球面镜的曲率半径上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术5.

19、ABCD矩阵的应用球面镜腔的往返矩阵球面镜腔中往返一周的光线矩阵简称往返矩阵）0000004421rDCBArTrTTTTrLRLRLRLRDCBAT00112010011201211212212221RLRRCRLA21122121212RLRLRLDRLLB上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术往返n次的光线矩阵 111111rDCBArTrTTrnnnnnnn1sinsinsinsin1sinsinsin1nnDnCnBnnATnDA 21arccos 其中 光线在谐振腔中的传输可等效为在透镜波导中的传输。 往返矩阵与初始坐标、出发位置及往返顺序无关。 谐振腔往返矩阵的建立

20、方法：等效透镜波导；等效透镜波导；确定一个周期；确定一个周期；写出各部分光线矩阵的乘写出各部分光线矩阵的乘积。积。1111nnnnnnDrCBrAr上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术球面镜腔可以等效为周期透镜波导LLR1R2R1复杂腔的等效周期透镜波导及往返矩阵l1l2l3l1l2l3l1l2l3110110111011011101101332211flflfl上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术二、共轴球面镜腔的稳定条件Q Q：在什么条件下，傍轴光线能在腔内往返任意多次而不横向逸：在什么条件下，傍轴光线能在腔内往返任意多次而不横向逸出腔外？出腔外？稳定腔稳定

21、腔几何光学光线矩阵分析腔中几何偏折损耗，判断稳定与否几何光学光线矩阵分析腔中几何偏折损耗，判断稳定与否1sinsinsinsin1sinsinsin1nnDnCnBnnATnDA 21arccos共轴球面镜腔的稳定判据共轴球面镜腔的稳定判据121 0; 凸面镜 R 0; 平面镜 R 稳定条件: 几何偏折损耗 稳定腔 任何傍轴光线可以在腔内往返无限多次不会 逸出腔外 几何偏折损耗小 (低损耗腔)上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术讨论：121DA复数， nAn, Bn, Cn, Dn 非稳定腔(2)kDADA121121(3)k为奇数 (-1)k为偶数 (+1)1111211nD

22、nCnBnnAnTDAnn1111211nDnCnBnnAnTDAnnK为奇数K为偶数且随且随n的增大发生周期性的变化的增大发生周期性的变化随随n的增大按指数增大的增大按指数增大上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术 临界腔的典型例子 平行平面镜腔 ( R = ) 3. 共心腔 R1+R2=L 临界腔非稳腔1021LnTn1112nnLnrr11100rrrnn稳定腔 2. 对称共焦腔 R1=R2=L1001nT 往返两次自行闭合 稳定腔M1M2M1M2R1R2 121 121 121 临界腔非稳腔；稳定腔；DADADA 适用任何形式的腔适用任何形式的腔, ,只需列出往返矩阵就能

23、判断其稳定性只需列出往返矩阵就能判断其稳定性非对称共焦腔？非对称共焦腔？ R1+R2=2L上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术221111RLgRLg1211DA221RLA21121212RLRLRLD21221222121RRLRLRLDA111021RLRL1021gg临界腔，非稳腔；稳定腔；或 10 0 , 1 0, 0 10212121212121sdeyxVLiyxVyxyxik,yxyxikeLiyxyxK, sdyxVyxyxKyxV,其中积分方程的核 适用任何对称光腔平行平面，共焦，一般球面镜腔）适用任何对称光腔平行平面，共焦，一般球面镜腔） 求出求出V(x,

24、y) 开腔振荡模的场分布开腔振荡模的场分布 求解积分方程求解积分方程上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术五、自再现模积分方程的解法五、自再现模积分方程的解法 其它稳定球面镜腔可通过“等价对称共焦腔求得2. 数值解 (数值迭代法)2a2a2a2a.振幅振幅相位相位1. 解析解： 对称共焦腔才能得到解析解 精确解 近似方形镜共焦腔 长椭球函数 厄米高斯函数圆形镜共焦腔 超椭球函数 拉盖尔高斯函数上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术例：平行平面腔模的迭代解法例：平行平面腔模的迭代解法l平行平面腔的优点：光束方向性好发散角小）、模体积大、比较容易获得单横模l缺陷：调整精

25、度要求极高，与稳定腔比较，损耗也比较大l平行平面腔振荡模所满足的自再现积分方程至今尚得不到精确的解析解上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术利用迭代公式，直接进行数值计算。首先，假定在某镜面上存在一个初始场分布u1，将其代入上式，计算u2，u3, u4等。反复运算足够多次后，判断能否满足下式1dsKuuSjj.1,1121jjjjuuuu如果直接数值计算得到了这种稳定的场分布，则可认为找到了腔的一个自在现模或横模。上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术2a2a2a2au11，即认为整个镜面为等相位面，镜面上各点波的振幅均为1。振幅振幅相位相位将u1代入迭代得到u2，

26、然后使u2=1，将其在代入方程求得u3.上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术根据初始分布，经第一次及第300次渡越后得到的振幅和相位分布。300次渡越后形成自再现模。此稳态场的分布特点：镜面中心处振幅最大，从中心到边缘振幅慢慢降低，整个镜面上的场分布具有偶对称性。此特征的横模为腔的最低阶偶对称模或基模。（TEM00）上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术六、自再现模积分方程的解的物理意义1. 本征函数形式y ,ximnmnmney,xAy,xVy , xAmn镜面上振幅分布y, xmn镜面上场的相位分布sdey,xVLiy,xVy,x ,y,xik本征值本征值本征

27、函数本征函数y, xVmn镜面上场分布函数 (本征函数 横模)一般球面镜腔得不到解析解，唯有对称共焦腔有精确解上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术mnimnmne2. 本征值 g 复常数 与与 有关有关d 光场在腔中渡越一次的相对功率损耗单程损耗传输因子设ijjjjeueuuu111ie单程模振幅的衰减单程模振幅的衰减相移相移222212111mnmnjmnjmnjdeuuugmn量度自再现模的单程损耗, 不同横模有不同的d。 gmn 模的单程损耗上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术3. 单程相移 d mn自再现模在腔内渡越一次的总相移11arguarguarg

28、mnjjmnjjiuue11几何相移根据谐振条件qmn当gmn得知, 可求得模的谐振频率 LkLmn2附加相移自再现模在往返过程中形成稳定振荡场的条件：光在腔内一次往返的总相移=2的整数倍，即 qarg 1上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术l复常数 的模量度自在现模的单程损耗，l 它的辐角量度自在现模的单程相移，l 从而可以决定模的谐振频率。l对于非对称开腔，应按照场在腔内往返一次写出模式再现条件及相应的积分方程。其中的复常数的模量度自在现模在腔内往返一次的功率损耗， 的辐角量度自在现模的往返相移，从而决定模的谐振频率。上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术2.

29、5 2.5 方形镜对称共焦腔的自再现模方形镜对称共焦腔的自再现模xY2afL0+a+a-a-aXYR1R222aLLaaL 分离变量法分离变量法sdey,xVLiy, xVy ,x ,y ,xikyxyxikeLiyxyxK,yyxxyxyxyx, yyKxxKyxyxK,？ aayyaaxxydyVyyKyVxdxVxxKxVyVxVyxV,上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术(a)(a)以矩形平面腔镜为例以矩形平面腔镜为例上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术思索、a和L间数量关系，将上节方程式的K展开，并舍去高阶项，从而可进一步简化方程。222221LyyL

30、xxLLyyxx22442241818121211LyyLxxLyyLxxLyyLxxL2222bLLbNaLLaN当满足条件:LyyLxxikikLLyyLxxLikikeeee2) (2) (21212222幂级数展开上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术) , (),(2) (222dydxeyxveLiyxvLyyLxxikbbaaikL（2-3-18）)()(),(yvxvyxvyxLyyikikLyLxxikikLxybbyxaaxeeLiyyKeeLixxKdyyvyyKyvdxxvxxKxv2) (2) (22) ,() ,() () ,()() () ,()(将

31、求解一个二元函数积分方程转化成求解两个单元函数的积分方程。且两个方程的形状完全一样。了解：v(x)代表在x方向宽度为2a而沿y方向无限延伸的条状腔的自再现模。 v(y)代表在y方向宽度为2b而沿x方向无限延伸的条状腔的自再现模。（2-3-20）上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术满足v(x)和v(y)函数可能不止一个。我们可以vm(x)和vn(y)分别表示它的第m个和第n个解, m，n表示相应的复常数，那么：) () ,()() () ,()(dyyvyyKyvdxxvxxKxvnybbnnmxaamm整个镜面上的自再现模场分布函数为：)y(v )x(v)y,x(vnmmn 相

32、应的复常数为：nmmn （2-3-21）上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术上面的式子在数学上称为积分本征值问题。m，n是方程的本征值。vm(x),vn(y)是与本征值相对应的本征函数。它们决定着开腔自再现模的全部特性。包括场分布振幅和相位和传输特性如模的衰减、相移、谐振频率等）。LyyLxxLPPPPPPPPPPyxyx2) (2) () , ,(222122112121（b b一般球面镜腔中模式的分离变量方法一般球面镜腔中模式的分离变量方法: :aLP2(x,y)P1(x,y)P1P22122222212211122RyxPPRyxPP反射镜曲率半径，R1和R2，腔长L上海

33、大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术2211222221222122221,1)( 2)()(21222) (2) () , ,(RLgRLgyyxxyxgyxgLLRyxRyxLyyLxxLyxyx幂级数展开对称方形共焦腔，满足对称方形共焦腔，满足 R1=R2=R=L g1=g2=0R1=R2=R=L g1=g2=0yyxxLLyxyx1,sdeyxVLiyxVyxyxiks,上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术),(),(dydxeyxveLiyxvLyyxxikmnaaaaikLmnmn分离变量V mn=Fm(X)Gn(Y)nmmnNcyacY, xacX12

34、 YdeYGXdeXFieYGXFYiYccnXiXccmikLnmnm2Y方向和X方向无限长的窄带镜共焦腔的自洽积分方程XdeXFieXFXiXccmikLmm2 YdeYGieYGYiYccnikLnn2本征值本征值(2.5.6)上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术m，n=0,1,2,3,XdeXFieXFXiXccmikLmm2 YdeYGieYGYiYccnikLnn2(2.5.6) 精确解： 采用类比法 长椭球函数系 ,1 ,21101010dTTcSeTcScRimicTTmmm径向长椭球函数径向长椭球函数角向长椭球函数角向长椭球函数（2.5.11) cYcScXc

35、SYGXFyxVnmnmmn,00 aycScYcSYGaxcScXcSXFnnnmmm,0000上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术 本征函数角向长椭球函数 镜面上场的振幅、相位分布 cYcScXcSYGXFyxVnmnmmn,00 aycScYcSYGaxcScXcSXFnnnmmm,0000 本征值径向长椭球函数 决定模的相移和损耗ccXiXmikLmmXdeXFieXF212 tdtcSetcScRimtictmmm1101010,1 ,2径向长椭球函数径向长椭球函数角向长椭球函数角向长椭球函数(2-5-11)上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术 本征值

36、径向长椭球函数 决定模的相移和损耗 21102110212212ikLnnnikLmmmiecRciiecRci,ikLnmnmie 12121010,cRiccRicnnnmmm),(),()()(114101021cRcRNenmnmkLinmnmmn1)1 ,()1 ,()1(0)1(0,cRcRnm均为实函数均为实函数上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术二、厄米高斯函数 近似解C=2 N 1 模场分布集中在镜面中心附近 x , y 1不满足，在不满足，在镜面中心附近，厄米特镜面中心附近，厄米特-高斯高斯函数仍然能正确描述共焦腔函数仍然能正确描述共焦腔模的振幅和相位分布。模的振幅和相位分布。上海大学电子信息科学与技术上海大学电子信息科学与技术1. 镜面上场的振幅分布 基模: TEM00 m=0, n=020222000000