中考数学圆综合题含答案

1、.圆地概念集合形式地概念：1.圆可以看作是到定点地距离等于定长地点地集合；2 .圆地外部：可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合；3 .圆地内部：可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合轨迹形式地概念：1 .圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心，定长为半径地圆；（补充）2.垂直平分线：到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线（也叫中垂线）3 .角地平分线：到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线；4 .到直线地距离相等地点地轨迹是：平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线;5.到两条平行线距离相等地点地轨迹是:二.点与圆地位置关系1 .点在圆内dr点C在圆

2、内；2 .点在圆上dr点B在圆上；3 .点在圆外dr点A在圆外；三.直线与圆地位置关系平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线2 .直线与圆相切有一个交点;3 .直线与圆相交有两个交点;d=r四.圆与圆地位置关系外离（图1）无交点1/17外切(图2)有一个交点相交(图3)有两个交点内切(图4)有一个交点内含(图5)无交点五.垂径定理垂径定理：垂直于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧推论1:(1)平分弦(不是直径)地直径垂直于弦，并且平分弦所对地两条弧;(2)弦地垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对地两条弧;(3)平分弦所对地一条弧地直径，垂直平分弦，并且平分弦所对地另一条弧以上共4个定理，

3、简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即:AB是直径ABCDCEDE弧BC弧BD弧AC中任意2个条件推出其他3个结论.推论2:圆地两条平行弦所夹地弧相等即：在。O中，AB/CD六.圆心角定理.MAC弧BD2/17圆心角定理：同圆或等圆中，相等地圆心角所对地弦相等，所对地弧定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中地1个相等，则可以推出其它地3个结论，即：AOBDOE;ABDE;相等，弦心距相等.此OCOF;弧BA弧BD七.圆周角定理1 .圆周角定理：同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半即：:AOB和ACB是弧AB所对地圆心角和圆周角AOB2A

4、CB2.圆周角定理地推论：推论1:同弧或等弧所对地圆周角相等；同圆或等圆中，相等地圆即：在。O中，C.D都是所对地圆周角CD推论2:半圆或直径所对地圆周角是直角；圆周角是直角所对地弧即：在。O中，.AB是直径或C90.C90.AB是直径是半圆，所对地弦是直径推论3:若三角形一边上地中线等于这边地一半，那么这个三角形是直即：在4ABC中,OCOAOB.MBC是直角三角形或C90角三角形.注：此推论实是初二年级几何中矩形地推论：在直角三角形中斜边上地中线等于斜边地一半地逆定理八.圆内接四边形3/17圆地内接四边形定理：圆地内接四边形地对角互补，外角等于它地内对角心地连线平分两条即：在。O中，四边形

5、ABCD是内接四边形CBAD180BD180DAEC九.切线地性质与判定定理(1)切线地判定定理：过半径外端且垂直于半径地直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：:MNOA且MN过半径OA外端.MN是。O地切线(2)性质定理：切线垂直于过切点地半径(如上图)推论1:过圆心垂直于切线地直线必过切点.推论2:过切点垂直于切线地直线必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个十.切线长定理切线长定理:从圆外一点引圆地两条切线，它们地切线长相等，这点和圆切线地夹角.即：.PA.PB是地两条切线.PAPBPO平分B

6、PA4/17H一.圆哥定理(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得地两条线段地乘积相等即：在。O中，弦AB.CD相交于点P,.PAPBPCPD(2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦地一半是它分直径所成地两即：在。O中，二.直径ABCD,2CEAEBE条线段地比例中项(3)切割线定理：从圆外一点引圆地切线和割线点地两条线段长地比例中项.即：在。O中，PA是切线，PB是割线，切线长是这点到割线与圆交_2PAPCPB(4)割线定理：从圆外一点引圆地两条割线，这一点到每条割线与圆地交点地两条线段长地积相等(如上图)即：在。O中，PB.PE是割线.PCPBPDPE十二.两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆

7、圆心地连线垂直并且平分这两个圆地地公如图：O1O2垂直平分AB.即：Oi.0O2相交于A.B两点O1O2垂直平分AB十三.圆地公切线两圆公切线长地计算公式：共弦.5/17(1)公切线长：RtOQ2c中，AB2CO12JOQ22CO22；(2)外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和十四.圆内正多边形地计算(1)正三角形在OO中4ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：OD:BD:OB1:点:2；(2)正四边形同理,四边形地有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:J2:(3)正六边形同理，六边形地有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA1:73:2.卜五.

8、扇形.圆柱和圆锥地相关计算公式nR1.扇形：(1)弧长公式：1；180一nR(2)扇形面积公式：S360-1R2n:圆心角R:扇形多对应地圆地半径1:扇形弧长S:扇形面积2012数学中考圆综合题1.如图，ABC中，以BC为直径地圆交AB于点D,/ACD=/ABC.(1)求证：CA是圆地切线；6/17解得AC-即画的接为10.345£上3AE是。0地直径在RrAABC中.tanZ禽BC呢D是AiOC的抑缸上3。白是2匚口的回响AC地长度为多少时，以A.C.D为顶点地三角形与以B.C.O为顶点地三角形相似？请写出解答过程，口不廿=出行上0g=/H+/L：7/173.如图右,已知直线PA交

9、。0于A.B两点分/PAE,过C作CDLPA,垂足为D.(1)求证：CD为。0地切线；2如图，已知AB是。O地弦QB=2,/BO于点D,连接AD.此时J日（X>60%/8OD=1209.,*,/RC=的B-SO%/D-21严.BE=6,tan/ABC=Z,tan/AEC=m，求圆地直径33BC是宜辕.'ZBBC-90'hADCH=财i，/ACD+NDCB-90*；*BCJ_CACA是圜的切绽，(2)若DC+DA=6。0地直径为10,求AB地长度.1. (1)证明：连接OC, 点C在O0±,0A=OC,./OCA=OAC"CDLPA,./CDA=90,有

10、/CAD+DCA=90,AC平分/PAE,，/DAC=CAO. .ZDC04DCA吆ACO=DCA吆CAO=DCA+DAC=90.又点C在。上,OC为。0地半径，CD为。0地切线.(2)解：过0作0FLAB,垂足为F,，/OCAhCDAWOFD=9O,，四边形OCD助矩形,.-.0C=FD,OF=CD. DC+DA=6设AD=x，则OF=CD=6-x,。O地直径为10,.DF=OC=5.AF=5-x,在RtAOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2.即(5x)2(6x)225,化简彳导:x211x180解得x2或x9.由AD<DF知0x5,故x2.从而AD=2,AF=5-2=3.,OF

11、!AB,由垂径定理知，F为AB地中点，AB=2AF=6.4.（已知四边形ABCD是边长为4地正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上地动点（不与点A.B重合），连接PA.PB.PC.PD.（1）如图，当PA地长度等于时,/PAB=60°当PA地长度等于时QPAD是等腰三角形；（2）如图，以AB边所在直线为x轴.AD边所在直线为y轴，建立如图所示地直角坐标系（点A即为原点O），把PAD/PAB/PBC地面积分别记为S1.S2.S3.坐标为（a,b）,试求2SiS3S22地最大值，并求出此时a,b地值.27.解：口）2；2近或.（2/归乱过中P分冽性尸苴PFJ垂足分别为从H.妲长

12、户产交"C于在G.则汽XL比二YP点坐机为卜,工/芭PF=&PG杼,口.心（月及伙，中.二凸为直程*.，暗-.出踞,M一-周跖一-4Mg-&卜4炉=-4t7J+16（7=4（j-2/+16*二兰h=2E九2.岛一有最大值16.5.8/17如留，声B是半圆。的直径.AB=2射线期、曲V为半圃U的切线.在儿肘上取一点以连接血交芈圆于点C,连接AC过。点作BC的垂线0E,垂足为点M与BN相交于点£过门点作芈圆。的切线。巴切点为已与6川相寓于点Q.(I)求证:A4BC'-A0FB；.N4(2)当A4RD与ABF。的面租相等时，求BQ的长彳(3)求证；当Q在川

13、上移动时。点除外)，点Q始终是线段8F的中点.(i)证明一，人打为直径.二AACB90epaclrc.又比工BC*QE/HC,二LMC=丁RN是半圆的切线，故，B以=人=/,臬cbor札-m分(2)尸得，rOF/l=LDBA,士nw=，。酢=剑*二WDAHF。.当也知。与KW。的面积相等时，&ABDg&BFO.上AD=L又J/>PQ是半圆。的切缱.，。产=1且OP,DP,二W/和5.二RQ=AD«1.(3)由(2)知，&ABD5&HFO,.竺=竺,哈2一OBMTAD-是半圆0的切线,二g=。孔QB=B。，过Q点作乂M的垂线QK.垂足为心在直角三倦

14、形收尤中,宗二。必*加匕,M+致尸.-世尸可/.BQ=七，,为BF的中点*II分6.(11金华)如图，射线PG平分/EPF,O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作。O,分别与/EPF地两边相交于9/17A.B和C.D,连结OA,此时有OA/PE.(1)求证：AP=AO;(2)若tan/OPB=1,求弦AB地长；2(3)若以图中已标明地点(即P.A.B.C.D.O)构造四边形，则能构成菱形地四个点为，能构成等腰梯形地四个点为或或.(1) PG平分/EPF,./DPO=/BPO,.OA/PE,./DPO=/POA,./BPO=/POA,，PA=OA;2分P1(2)过点O作OHLAB于点H,则

15、AH=HB=-AB,1分2OH1tanZOPB=-,/.PH=2OH,1分PH2设OH=x，则PH=2x,由(1)可知PA=OA=10,，AH=PHPA=2x10,2_2_2_22_2AHOHOA,(2x10)x10,1分解得X0(不合题意，舍去),8,AH=6,.AB=2AH=12;1分(3)P.A.O.C;A.B.D.C或P.A.O.D或P.C.O.B.7.(芜湖市)(本小题满分12分)O地切线MP交OA地延长线于P点,MD与OA交于如图,BD是。O地直径，OA，OB,M是劣弧AB上一点，过点M点作(N点.3.一C2)WliS：Ttc于尸*丫nnn1*二fAN£用*:nn一工二t

16、N:iI»3.(1)求证：PM=PN;右BD=4,PA=2AO,过点B作BC/MP交。O于C点，求BC地长.Pr)N1f+$分VW7MFM1MT±HC.ABE=yBC.T分(mid*二=SM,在Rr二7!?中上MFb-f-/5'中-90".,-,ZTiJMu二又Y/KR.I=_EfP=gj二甑i一竽司"3'春8.（黄冈市）（6分）如图，点P为ABC地内心，延长AP交ABC地外接圆于D,在AC延长线上有一点E,满足AD2=ABAE,求证：DE是。地切线.10/17(证明：连结DO"AD2=ABAE,/BAD=/DAE,.BANDA

17、E,/ADB=/E.又,:/ADB=/ACB,，/ACB=/E,BC/DE,又ODLBC,ODLDE,故DE是。O地切线)交（义乌市）如图，以线段AB为直径地。O交线段AC于点E,AC于点BOE60,cosC,BC210.解:（1）求A地度数；（2）求证：BC是。O地切线;（3）求Md地长度.(解:(1).一/BO巨60°/A=1/BOE=30点M是Ae地中点，OM在ABGfcosC/ABG90ABBC/C=601分又/ABC是OO地切线=30°点M>Ae地中点.-.oivlAE0A3'OAI在RtAABCBC273.AB=BCgtan60233MB3)2（兰

18、州市）（本题满分10分）如图，已知AB是。O地直径，点C在OO上，过点C地直线与AB地延长线交于点/COB=2/PCB.(1)(3)(1)P,AC=PC,求证：PC是。地切线;1(2)求证：BC=2AB;点M是弧AB地中点，CM交AB于点N,若AB=4,求MN-MC地值.OA=OC,./A=ZACO.AB是。O地直径OC是OO地半径(2)PC=ACA=ZP/COB=2A,/COB=2/PCB/A=ZACO=PCB./ACO它OCB=90PC是。O地切线/PCB-+ZOCB=90,即OCLCP.A=/ACOWPCBhPCOB=A+ZACO,/CBO=P+ZPCB/CBO=COB1BC=OCBC=

19、2AB连接MA,MB 点M是弧AB地中点.弧AM瓠BM./ACM=BCM /ACM=ABM/BCMgABM /BMC=BMNMBINoMCBBMMNMCbmbM=MCMNAB是。O地直径,弧AM现BM/AMB=90,AM=BMC0FAB=4.1.BM=2式（本题满分14分）_2.MCMN=BM=811/17图(1)AM图（2）如图(1),两半径为r地等圆eOi和eO2相交于M,N两点，且eO2过点。.过M点作直线AB垂直于MN，分别交NNeOi和eO2于A,B两点，连结NA,NB.N'7'''(1)猜想点O2与eOi有什么位置关系，并给出证明;(2)猜想4NAB

20、地形状，并给出证明；(3)如图(2),若过M地点所在地直线AB不垂直于MN,且点A,B在点M地两侧，那么(2)中地结论是否成立，若成立请给出证明.4.(1)O2在eOi上证明：QeO2过点Oi,OQ2r.又QeOi地半径也是r,点O2在eQ上.(2)4NAB是等边三角形证明：QMNAB,NMBNMA90°.BN是eO2地直径，AN是eOi地直径，即BNAN2r,。2在BN上,Oi在AN上.连ZOQ2，则O1O2是4NAB地中位线.AB2O1O22r.ABBNAN,则NAB是等边三角形.(3)仍然成立.证明：由(2)得在eOi中Mn所对地圆周角为60°.在eO2中Mn所对地圆

21、周角为60°.当点A,B在点M地两侧时，在eOi中Mn所对地圆周角MAN60°,在eO2中Mn所对地圆周角MBN60°,NAB是等边三角形.12.如图12,已知：边长为1地圆内接正方形ABCD中，P为边CD地中点，直线AP交圆于E点.12/17（1）求弦DE地长.（2）若Q是线段BC上一动点，当BQ长为何值时，三角形ADP与以Q,C,P为顶点地三角形相似.1)如图1.过D点作DFAE于F点.在RtADP中,一一2_2-5p11（2）如图2.当RSADPsRt/XQCP时有股变得：QC1.即点Q与点B重合，QCCPAPVadDP：2-又QSzxadp-ADgDP-A

22、PgDFBQ0如图3,当RtADPsRt/XPCQ时，有AD型得qc1,即BQBCCQ-PCQC44当BQ0或BQ3时,三角形ADP与以点Q,C,P为顶点地三角形相似.413.（本小题满分10分）如图，。0是R0ABC地外接圆,AB为直径，ABC=30：CD是。地切线,EDLAB于F,31.AC第6题图判断DCE地形状；（2）设。地半径为1,且OF=，求证DCEOCB.26.解：(1)./ABC=30°,.,.ZBAC=60°.又;OA=OC,.AOC是正三角形.又CD是切线，./OCD=90°,./DCE=180°-60-90=30°.而ED

23、XAB于F,./CED=90°-/BAC=30°.故4CDE为等腰三角形.(2)证明：在ABC中，.AB=2,AC=AO=1,，BC=v2212=V3OF=31,.AF=AO+OF="31.又./AEF=30°,，AE=2AF=T3+1.CE=AE-AC=*；3=BC.而/OC=/ACB/ACG90。-60°=30°=/ABC故CD蜃ACOB14（08湖北襄樊24题）8.（本小题满分10分）13/17如图(1)(2)14,直线AB经过eO上地点C,并且OAOB,CACB,eO交直线OB于E,D,连接EC,CD.(3)求证：直线AB是e

24、O地切线；试猜想BC,BD,BE三者之间地等量关系，并加以证明;若tanCED1,eO地半径为3,求OA地长.(1)2证明：如图3,连接OC.QOAOB,CACB,OCAB是eO地切线.(2)BC2BDgBE.QED是直径,ECD90°.B0o.EEDC9BCDOCD90o,OCDODC,BCDCBDEBC,BCDBECBCBDBEBC2BCBDgBE.(3)QtanCEDCD1EC2QzXBCDsBEC,BDCD1BCEC2设BDx,则BC一2又BC_2BDgBE,(2x)xgx6).解之得为0,x22,QBDx0,BD2,OAOBBDOD325.15如图14,直线AB经过eO上地

25、点C,并且OAOB,CACB,eO交直线OB于E,D,连接EC,CD.(1)求证：直线AB是eO地切线；(2)试猜想BC,BD,BE三者之间地等量关系，并加以证明;(3)若tan1，CED-,eO地半径为4解：(1)2证明：如图3,求OA地长.(2)BC2BDgBE.BCDOCDCBDEBC,(3)QtanCED设BDx,则BC解之，得为0,x23,连接OC.QED是直径,90o,OCDQOAOB,CAECD900.ODC,BCDBCDsBEC.里里BEBCCD1CD；QABCDABEC,EC2CB,OCBC2BDBCCD1EC2又BC2BDgBE,(2x)2xgx2.QBDx0,BD2.OA

26、OBAB.BDgBE.EEDC900.BDOD325.5OO地半径O*过弦A耳不是直径)地中点C过AB地延长线上一点P作。O地切线PEE为切点，PE/OD延长直径14/17AGPE于点H;直线DGO盯点F,交PE于点K.（1）求证：四边形OCP是矩形；（2）求证：HK=HG（3）若EF=2,FO=1,求KE地长.5解：（1）-.AC=BC,AB不是直径，OD，AB,/PCO=90°（1分）.PE/OD,.ZP=90°,.,PE是切线，./PEO=90,（2分）四边形OCPE是矩形.（3分）（2） OG=OD,/OGD=/ODG.PE/OD,./K=/ODG.（4分）./OG

27、D=/HGK,.ZK=ZHGK,HK=HG.（5分）（3） EF=2,OF=1,.EO=DO=3.（6分）PE/OD,/KEO=/DOE,/K=/ODG.OFDs'EFK,（7分），EF：OF=KE：OD=2：1,.KE=6.（8分）6如图，直角坐标系中，已知两点O（0,0）A（2,0）,点B在第一象限且0ABME三角形，4OA瓠外接圆交y轴地正半轴于点C,过点C地圆地切线交X轴于点D.（1）求B,C两点地坐标；（2）求直线CD地函数解析式；（3）设E,F分别是线段AB,AD上地两个动点，且EF平分四边形ABCD地周长.试探究：4AEF地最大面积？6(1)QA(2,0),OA2.作BG

28、OA于G,QOAB为正三角形，OG1,BG百.B(1,百).连AC,QAOC90o,ACOABOOCOAtan30o2-332.3C0,-3(2)QAOC90oAC是圆地直径，又QCD是圆地切线，CDAC.OCD30o,ODOCtan30o232八103（第6题）60o,II设直线CD地函数解析式为ykxb(k0),2,332k3-k3，解得Lh23b3直线CD地函数解析式为y2.33(3)QABOA2,OD3，cd_4_2OD-,BC3OC2.33四边形ABCD地周长6设AEt,AEF地面积为S，则AFt,S2afgAEsin60o-t_3269.3°时，S6max7.312Q点E,F分别在线段AB,AD上,0<t<230033t<2，解得3931、3Qt满足<t<2,AEF地最大面积为73127如图（18）,在平面直角坐标系中,ABC地边AB在x轴上，且OAOB,以AB为直径地圆过点C.若点C地坐15/17标为(0,2),AB5,A.B两点地横坐标xa,xb是关于x地方程x2(m2)xn10地两根.(1)求m.n地值；(2)若ACB平分线所在地