一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题含答案

1、学习必备欢迎下载一元二次不等式及其解法考点梳理|E思西域奇门融1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax>b(aw0)的形式.当a>0时，解集为;当a<0时，解集为.2.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的.(3)一元二次不等式的解：函数与小等式A>0A=0A<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象Jridy,兀一次方程ax2+bx+

2、c=0(a>0)的根后两相异实根xi,x2(xiVx2)后两相等实根一bxi=X2=-2a无实根ax2+bx+c>0(a>0)的解集Rax2+bx+c<0(a>0)的解集x|xi<x<x2?3.分式不等式解法化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0,左边化为fJ的形式.gX)(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如:学习必备欢迎下载f(x)g(x)>0f(x)g(x)>0;f(x)-<0?g(x)f(x)g(x)<0;f(x)>0?f(X)g(X)>0，g(x)g(x)丰0;5rW0?f(x)g(&quo

3、t;0，g(x)g(x)丰0.基础自测1|小艺活中刃小魂(2014课标I)已知集合A=x|x2-2x-3>0,B=x|-2<x<2,则AAB=(A.-2,1B.-1,2)C.-1,1D.1,2)解：,.A=x|x>3或xw1,B=x|-2<x<2,.AnB=x|2Wx<-1=-2,1.故选A.设f(x)=x2+bx+1且f(-1)=f(3),则f(x)>0的解集为()A.x|xCRB.x|xw1,xCRC.x|x>1D.x|x<1解：f(-1)=1-b+1=2-b,f(3)=9+3b+1=10+3b,由f(-1)=f(3),得2b=1

4、0+3b,解出b=2,代入原函数，f(x)>0即x22x+1>0,x的取值范围是xw1.故选B.已知一1<1<2,则x的取值范围是()2x1cleA.2<x<0或0<x<2B.2<x<211C.x<2或x>2D.x<2或x>2解：当x>0时，x>1;当x<0时，x<-2.2''所以x的取值范围是x<2或x>：故选D.不等式上号>0的解集是.x+1一211-2x，一解：不等式>0等价于(12x)(x+1)>0,x+1也就是故填学习必备X2卜+1

5、)<0,所以一1<x<2.冈1VXV2,xCR欢迎下载3（2014武汉倜研）若一元二次不等式2kx+kx8<0对一切头数x都成立，则k的取值范围为.解：显然kw0.若k>0,则只须（2x2+x）max<.，解得kC?；若kv0,则只须1;v（2x2okok+x）min,解得kC（3,0）.故k的取值范围是（3,0）.故填（3,0）.典里解析全关解"融臭中通类型一一元一次不等式的解法已知关于x的不等式（a+b）x+2a3bv0的解集为-0°,3）求关于x的不等式(a-3b)x+b-2a>0的解集解：由（a+b）xv3b2a的解集为13

6、'3b2a得a+b>0,且a+b从而a=2b,贝Ua+b=3b>0,即b>0,将a=2b代入(a-3b)x+b-2a>0,得bx3b>0,xv3,故所求解集为(8,-3).点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为ax>b（aw0）的形式.挖掘隐含条件a+b>0且3b二&=1是解本题的关键.a+b3匡亘9解关于x的不等式：（m2-4）x<m+2.解：（1）当m24=0即m=2或m=2时，当m=2时，原不等式的解集为？，不符合学习必备欢迎下载当m=2时，原不等式的解集为R,符合(2)当m24>0即mv2或m>2时，x<

7、1m-2,当m24v0即一2vmv2时，x/2类型二一元二次不等式的解法区解下列不等式：22(1)x7x+12>0;(2)x2x+3>0;22(3)x-2x+1<0;(4)x-2x+2>0.解：(1)x|x<3或x>4.(2)x|-3<x<1.?.因为AV0,可得原不等式的解集为R.叵0(2013金华十校联考)已知函数f(x)=+1'x<0,则不等式x+(x+1)f(xlx1,x>0,+1)W1的解集是()A.x|-1<x<V2-1B.x|x<1C.x|x<-1D.x|-2-1<x<V2-1

8、解：由题意得不等式x+(x+1)f(x+1)W1等价于x+K0,或(x+1)(x+1)+1W1x+1>0,(x+1)(x+1)-1<1,解不等式组得xv1；解不等式组得1WxW421.故原不等式的解集是x|x<V2-1.故选C.类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系已知关于x的不等式x2-bx+c<0的解集是x|5Wxw1,求实数b,c的值.解：:不等式x2bx+cw0的解集是x|5Wxw1,学习必备欢迎下载.xi=-5,X2=1是x2bx+c=0的两个实数根,-5+1=b,b=-4,由韦达定理知<<5X1=c,|c=-5.奕式区已知不等式ax2+bx+

9、c>0的解集为x|2vxv3,求不等式cx2bx+a>0的解集.解：:不等式ax2+bx+c>0的解集为x|2vxv3,.a<0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系得a=2+3,'-=2X3,aa<0.b=-5a,即Sc=6a,a<0.代入不等式cx2bx+a>0,得6ax2+5ax+a>0(av0).即6x2+5x+1<0,所求不等式的解集为R；vxv1:23类型四含有参数的一元二次不等式解关于x的不等式：mx2(m+1)x+1v0.解：(1)m=0时，不等式为一(x1)<0,得x1>0,不等式

10、白解集为x|x>1;(2)当mw0时，不等式为m,，j(x1)<0.当m<0,不等式为8卜1)>0,一建.不等式的解集为'x|xv1或x>1(mJm,当m>0,不等式为12h1)v0.(I)若工<1即m>1时，不等式的解集为ix|1<x<1/；ml.mJ(n)若.>1即0vmv1时，不等式的解集为x|1<x<->Jmm1mJ(m)若工=1即m=1时，不等式的解集为?.m学习必备欢迎下载点拨：当x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对mw0与m=0进行讨论，这是

11、第一层次；第二层次：X2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m<0与m>0进行讨论；第三层次：1与1大小的不确定性，对mvl、mm>1与m=1进行讨论.变式。解关于x的不等式ax22>2xax(aR).解：不等式整理为ax2+(a-2)x-2>0,当a=0时，解集为(一00,1.当aw0时，ax2+(a2)x2=0的两根为一1,2,所以当a>0时,a解集为(00当一2vav0时，解集为当a=2时，解集为x|x=1;当av2时，解集为-1,2a类型五分式不等式的解法区(1)解不等式£1&1.xnx1x1解：<1?-K0?2x+12x+

12、1-x-2x+2<0?>0.2x+12x+12x-2->0?2x+1(x+2)(2x+1)>0,2x+1W0.1一得xx>2或x<-2.,，,x2派(2)不等式20的解集是x十3x十2解:说扁>0?学习必备欢迎下载x2(x+2)(x+1)>0?(x2)(x+2)(x+1)>0,数轴标根得x|2vxv1或x>2,故填x|2vxv1或x>2.点拨:分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为0(注意：一

13、定要保证x的最高次哥的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根.(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下互画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根，“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“>”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“V”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有号，写解集时要考虑分母不能为零.一式反若集合A=x|1W2x+K3,B=，xxx2W0则AAB=()A.x|-1<x<0B.x|

14、0<x<1C.x|0<x<2D.x|0<x<1-一一j,、，rx(x2)<0,解：易知A=x|1WxW1,B集合就是不等式组,的解集，求出B=lx*0x|0<x<2,所以AnB=x|0<x<1.故选B.x1(2)不等式2：w0的解集为()Af2TB.卜”C.U0°,221,+8)D.-8,2lu1,+OO)x-1(x1)(2x+1)<0,解:<0?S2x+1l2x+10学习必备欢迎下载加1，-.得2<x&1.故选A.类型六和一元二次不等式有关的恒成立问题它立，则a的最小值为()区(1)若不等式

15、x2+ax+1>0对于一切xC(05A.0B.2C.万D.3aR-解：不等式可化为x+x在021上是减函数，k+xf(x)=-x-n=xmax552.-a>5.(2)已知对于任意的aC1,1,函数f(x)=x2+(a4)x+42a的值总大于0,则x的取值范围是()A.1<x<3B.xv1或x>3C.1vxv2D.xv1或x>2解：记g(a)=(x2)a+x24x+4,aC1,1,12g(1)>0,x3x+2>0,依题意，只须I?I2?xv1或x>3,故选B.g(1)>0lx2-5x+6>0点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量

16、转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x的二次不等式转换为关于a的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x的取值范围.一式反对于满足|a|W2的所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2x+a成立的x的取值范围.解：原不等式转化为2,2上恒大于0,故有:(x1)a+x2-2x+1>0,设f(a)=(x1)a+x22x+1,则f在rr2._rf(2)>0,x-4x+3>0,x>3或x<1,即121c解得,一f(2)>0lx-1>0x>1或xv1.xv1或x>3.学习必备欢迎下载类型七二次方程根的讨论口7若方程2a

17、x2x1=0在(0,1)内有且仅有一解，则a的取值范围是()A.a<-1B.a>1C.-1<a<1D.0<a<1解法一：令f(x)=2ax2-x-1,则f(0)f(1)<0,即一1x(2a2)<0,解得a>1.解法二：当a=0时，x=1,不合题意，故排除C,D;当a=2时，方程可化为4x2+x+1=0,而=1-16<0,无实根，故a=-2不适合，排除A.故选B.课时作韭|北扁仲“加事也通x21 .不等式&0的解集是()x+1A.(巴1)U(1,2B.-1,2C.(-oo,1)U2,+8)D.(-1,2解：x-2<0?(x

18、+1)(x2)W0,且xw1,即xC(-1,2,故选D.尸r12 .关于x的不等式(mx1)(x-2)>0,若此不等式的解集为4xfm<x<2>,则m的取值范uJ围是()A.m>0B.0<m<2-1C.m>2D.m<0解：由不等式的解集形式知m<0.故选D.rfA.1.V3.(2013女微)已知一兀二次不等式f(x)<0的解集为x|x<1或x>2;则f(10x)>0的解集为()A.x|x<1或x>lg2B.x|1<x<lg2C.x|x>lg2D.x|x<lg2解：可设f(x)

19、=a(x+1)卜一j,(a<0),由f(10x)>0可得(10x+1),0x；j<0,从而10x<；,解得x<-lg2,故选D.学习必备欢迎下载4.(2013陕西)在如图所示的锐角三角形空地中,形花园(阴影部分)，欲建一个面积不小于300m2的内接矩()则其边长x(单位:m)的取值范围是A.15,20B.12,25C.10,30D.20,30解：设矩形的另一边为ym,依题意得40=404=-y?即y=40-x,所以x(40-x)>300,解得10WxW30.故选C.5.若关于x的不等式2x28x4a>0在(1,4)内有解，则实数a的取值范围是()A.a

20、<12B.a>-4C.a>-12D.a<-4解：关于x的不等式2x28x4a>0在(1,4)内有解，即a<2x2-8x-4在(1,4)内有解，令f(x)=2x2-8x-4=2(x-2)2-12,当x=2时，f(x)取最小值f(2)=12;当x=4时，f(4)=2(42)212=4,所以在(1,4)上，一12Wf(x)v4.要使avf(x)有解，则av4.故选D.6 .若不等式x2-kx+k-1>0对xC(1,2)恒成立，则实数k的取值范围是.解：,.x(1,2),，x1>0.则x2kx+k1=(x1)(x+1k)>0,等价于x+1k>0,即k<x+1恒成立，由于2<x+1<3,所以只要kw2即可.故填(一8,2.7 .(2014,江苏)已知函数f(x)=x2+mx1,若对于任意xCm,m+1,都有f(x)v0成立，则实数m的取值范围是.，什一小一一一一，一，、"f(m)=2m2T<0,解：由题可得f(x)<0对于xCm,m+1恒成立，即i2解得If(m+1)=2m+3mv0,一乎vmv0.故填(00)8 .若关于x的不等式x2axaw3的解集不是空集，求实数a的取值范围.解：x2axaw3的解集不是空集？x2axa+3=0的