【统计】概率论与数理统计课后习题答案

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持【关键字】统计习题1.1解答1 .将一枚均匀的硬币抛两次，事件分别表示第一次出现正面”，两次出现同一面”，至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件中的样本点。解：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)(正，正)，(正，反)；(正，正)，(反，反)(正，正)，(正，反)，(反，正)2 .在掷两颗骰子的试验中，事件分别表示点数之和为偶数”，熏数之和小于5”,熏数相等”，至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件中的样本点。解：；553.以分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用表示以下事件：(1)只订阅日报；(2)只

2、订日报和晚报；(3)只订一种报；(4)正好订两种报；(5)至少订阅一种报；(6)不订阅任何报；(7)至多订阅一种报；(8)三种报纸都订阅；(9)三种报纸不全订阅。解：(1)；(2);(3);(4) ；(5);(6);或(8) ;(9)4 .甲、乙、丙三人各射击一次，事件分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：，.解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5 .设事件满足，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：，.解：如图：6 .若事件满足，试问是否成立？举例说明。解：不一定

3、成立。例如：，那么，但。7 .对于事件，试问是否成立？举例说明。解：不一定成立。例如：，那么，但是。8 .设，试就以下三种情况分别求：(1) ,(2),(3).解：(1)；(2);(3)。9.已知，求事件全不发生的概率。1文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持解:10.每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：三个都是红灯”建红“；全绿”；全黄"；无红"；无绿"；三次颜色相同”；颜色全不相同”；颜色不全相同工解：；.11.设一批产品共

4、100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件(分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次)，试求：(1)取出的3件中恰有1件是次品的概率；(2)取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：一次拿3件：(1) ；(2);每次拿一件，取后放回，拿3次：(2) ；(2);每次拿一件，取后不放回，拿3次：(1)；(3)12 .从中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：解：；或13 .从中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。解：14 .一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：(1) 6人中至少有1人生日在10月份；(2) 6人中恰

5、有4人生日在10月份；(3) 6人中恰有4人生日在同一月份；解：(1) ；(2);(4)15.从一副扑克牌(52张)任取3张(不重复)，计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。解：2文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持习题1.2解答1 .假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%、10%,从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令取到的是等品”，2 .设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令两件中至少有一件不合格”，两件都不合格

6、”3 .为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93,在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85,求(1)两种报警系统I和II都有效的概率；(2)系统II失灵而系统I有效的概率；(3)在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。解：令A“系统(I)有效”，B"系统(n)有效”则P(A)0.92,P(B)0.93,P(B|A)0.85(1) P(AB)P(BAB)P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B|A)0.93(10.92)0.850.862(2) P(BA)P(AAB)P(A)P(AB)0.92

7、0.8620.058(3) P(A|B)P(AB)0.0580.8286P(B)10.93(4) 0P(A)1,证明事件A与B独立的充要条件是证：A与B独立，A与B也独立。P(B|A)P(B),P(B|A)P(B)P(B|A)P(B|A)0P(A)10P(A)1又P(B|A)吁P(B|A)3P(A)P(A)P(B|A)迪迪P(A)P(A)P(A)P(B)P(AB)而由题设P(B|A)即1P(A)P(AB)P(AB)P(A)P(B)，故A与B独立。B发生的概率都(5) 事件A与B相互独立，两个事件只有A发生的概率与只有是1，求P(A)和P(B).4''''3文档来

8、源为：从网络收集整理.word版本可编辑文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持1 解：P(AB)P(AB)又A与B独立41P(AB)P(A)P(B)1P(A)P(B)41P(AB)P(A)P(B)P(A)1P(B)42 1P(A)P(B),P(A)P2(A)-41即P(A)P(B)-o26 .证明若P(A)>0,P(B)>0,则有(1)当A与B独立时，A与B相容；(2)当A与B不相容时，A与B不独立。证明：P(A)0,P(B)0(1)因为A与B独立，所以P(AB)P(A)P(B)0,A与B相容。(2)因为P(AB)0,而P(A)P(B)0,P(AB)P(A)P

9、(B),A与B不独立。7 .已知事件A,B,C相互独立，求证AB与C也独立。证明：因为A、B、C相互独立，P(AB)CP(ACBC)P(AC)P(BC)P(ABC)P(A)P(C)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(AB)P(C)P(AB)P(C)AB与C独立。8 .甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7,0.8和0.9,求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令A,A2,A3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么P(A1)0.7,P(A2)0.8,P(A3)0.9令B表示最多有一台机床需要工人照顾，那么P(B

10、)P(A1A2A3A1A2A3AA2A3A1A2A3)P(AiA2A3)P(aiA2A3)P(AiA2A3)P(A1A2A3)0.70.80.90.30.80.90.70.20.80.70.80.10.9029.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p(0p1),(称为元件的可靠性)，假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。系统I文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持P(A)P,A1,A2,A2n相互独立。那么P(A)P(AA2An)(人1人2AQ(An1An2A2n)P(A1A2A2n)2nP(Ai)i1P(A1A2An)Pn2nP(A)P(A)1

11、 1in12PnP2nPn(2Pn)P(B)P(AiAni)(A2An2)(AnA2n)注：利用第7题的方法可以证明(AAni)与(AjAnj)ij时独立。张，求nP(AAni)i1nP(Ai)P(Ani)P(Ai)P(Ani)i1n2PP2Pn(2P)ni110 .10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1(1)前三人中恰有一人中奖的概率;(2)第二人中奖的概率。解：令A"第i个人中奖”，1,2,3P(AA2A3A1A2A3A1A2A3)P(AA2A3)P(AA2A3)P(AiA2A3)P(A)P(Az|A)P(A31AA2)P(A)PC|A)P(A31AA2)P(A)P(A2|A

12、)P(A31AA2)46565410或Pc4c62Cw1012£45110982(2)P(A2)P(A)P(A2|Ai)P(Ai)P(A2|A)4364210910955文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持11 .在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10000人中有4人患有肝癌,试求:(1)某人经此检验法诊断患有肝癌的概率;(2)已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。解：令B“被检验者患有肝癌”，A“用该检验法诊断被

13、检验者患有肝癌”那么，P(A|B)0.95,P(A|B)0.10,P(B)0.0004(1) P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)0.00040.950.99960.10.10034(2)P(B|A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)0.00380.00040.950.00040.950.99960.112.一大批产品的优质品率为30%,每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：(1)取到的5件产品中恰有2件是优质品;(2)在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品解：令Bi“5件中有i件优质品”，i0,1,2,3,4,5(1)

14、(2)P(B2)C；(0.3)2(0.7)30.30875P(B2|Bi)i1P(B2|Bo)P(B2)1P(Bo)P(B±Bo)P(Bo)0.30871(0.7)50.37113.每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%,1件次品被误判是正品的概率是5%,试计算:(1)抽取的1件产品为正品的概率；(2)该箱产品通过验收的概率。解：令A“抽取一件产品为正品”A“箱中有i件次品”，i0,1,2B“该箱产品通过验收”22110i(1) P(A)P(A)P(A|Ai

15、)0.9i0i03106文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持(2) P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.90.980.10.050.88714.假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了n(n2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求:(1)全部能出厂的概率;(2)其中恰有2件不能出厂的概率；(3)其中至少有2件不能出厂的概率。解：令A“仪器需进一步调试”；B“仪器能出厂”A“仪器能直

16、接出厂”；AB“仪器经调试后能出厂”显然BAAB,那么P(A)0.3,P(B|A)0.8P(AB)PA)P(B|A)0.30.80.24所以P(B)P(A)P(AB)0.70.240.94令Bi“n件中恰有i件仪器能出厂”，i0,1,n(1) P(Bn)(0.94)n(2) P(B丹2)C：2(0.94)n2(0.06)2C；(0.94)n2(0.06)2(3) P(巳)1P(Bm)P(Bn)1C10.06(0.94)n1(0.94)n15.进行一系则独立试验，每次试验成功的概率均为p,试求以下事件的概率：(1)直到第r次才成功；(2)第r次成功之前恰失败k次；(3)在n次中取得r(1rn)次

17、成功；(4)直到第n次才取得r(1rn)次成功。解：(1) Pp(1p)r1PC；：iP(1P)k(3)PC；pr(1p)nr(4)PC；pr(1p)nr16.对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4,第二次为0.5,第三次为0.7.击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2,击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6,若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。7文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑解:文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持“恰有i次击中飞机”，i0,1,2,3“飞机被击落”显然：P(Ao)P(A)(10.4)(10.5)(10

18、.4(10.360.5)(10.7)0.090.7)(10.4)0.5(10.7)(10.4)(10.5)0.7P(A)0.40.5(10Q0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.7PA)0.410.4而P(B|Ao)所以0.50,0.70.14P(B|A)0.2,P(B|A2)0.6,P(B|A3)P(B)3P(Ai)P(B|Ai)i00.458;P(B)1P(B)10.4580.5421.设X为随机变量，且习题1.3解答P(Xk)/(k1,2,),则解:(1)判断上面的式子是否为X的概率分布;(2)若是,试求P(X为偶数)和P(X5).令P(Xk)Pk1,2,(1)显然0PkPkk1

19、:1,112k所以P(Xk)且12112k,k1,2,为一概率分布。(2)P(X为偶数)P2kP(X5)Pk152k22k125114_142.设随机变量X的概率分布为P(X解:kc一e1k!0一e0!1,1,k)116Ck!e(k1,2,)，且k一e0k!(1e)18文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持3.设一次试验成功的概率为p(0p1),不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量X表示试验的次数，求X的概率分布。解：P(Xk)p(1p)k1,k1,2,4.设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1,当生产过程

20、中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求(1)X的概率分布；(2)P(X5)o解：(1) P(Xk)(1p)kp(0.9)k0.1,k0,1,2,(2) P(X5)P(Xk)(0.9)k0.1(0.9)5k5k55 .一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？1解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为p,所以这是一个n5,p4的独立重复试验。4143515301P(X4)C；()4Cf(-)5(-)04444646 .为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为

21、0.01,各台设备工作情况相互独立。(1)若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；(2)设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01?解：(1) 1(0.99)20200.01(0.99)190.0175(按Poisson(泊松)分布近似)(2) n100,np1000.011(按Poisson(泊松)分布近似)P(XN1)查表得N4100C1k00(0.01)k(0.99)100k1001ke1kN1k!7.设随机变量X服从参数为的Poisson(泊松)分布，且P(X0.010)2,求(1)

22、 ;(2)P(X1).ln20)P(X1)1_01解：P(X0)e0!2P(X1)1P(X1)1P(X1111 2”22(1ln2)8 .设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。9文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持解:P(X1)P(X2),1即一e1!2e2!(X(e0)2)42e8e9 .在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关(

23、时间以小时计)，求(1)某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；10 在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)(1)某一天从中午(2)某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率;解:10.已知X试求(解:P(XP(X0)1)51P(X0)1e"-2-101232a3aaa2a的概率分布为:2(2)YX21的概率分布。Da；2a1o0d3aaa2a1101。10(2)10文档来源为

24、：从网络收集整理.word版本可编辑文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持(2)f(x)1x21-x60x1,0)x0,3)其它(3)P(2X2)11(x)dx2211x)dx62111212.设连续型随机变量X的概率密度为试确定常数a并求p(x解：令f(x)dx1,6).a即sinxdx10cosx1,即cosa0,aP(X6)2sinxdx.2cosx|613.乘以什么常数将使x2e变成概率密度函数？解：令cex2xdx(x试求14.解:f(x)1)21e4dx随机变量X1.6ef(x)4x62),其概率密度函数为f(x)dx4x4二(f(x)dx，求C.2(x2)2

25、2(3)211文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持若f(x)dxc可知cf(x)dx,由正态分布的对称性2.15.设连续型随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复试验中“X1”出现的次数，试求概率P(Y2).解：P(X122xdx0P(Y2)2123C32(-)2(-)449o6416.设随机变量X服从1,5上的均匀分布，试求P(x1Xx2).如果解:(2)17.(1)Xi1X25；X的概率密度为P(x1Xx2)P(x1Xx2)f(x)(2)1140x15x2.其他1一dx41-dx4设顾客排队等待服务的时间待服务，

26、若超过10分钟，他就离开。内他未等到服务而离开的次数，试求解：P(XP(YP(Y10)1P(Xk2k,4k)C5(e)(11)1(1e2)51.P(X解:已知随机变量X3)0.5,试求10)F(x)0.20.5,1,21F(x)曲线:14(x214(51)x1)X(以分计)服从他一个月要去等待服务Y的概率分布和11011e5P(Ye2)5k,k0,1,2,3,4,50.5167习题1.4解答的概率分布为P(X1)X的分布函数;P(0.5P(0.5F(x)12文出来源为：从网络收集整理1的指数分布。某顾客等55次，以Y表示一个月1).P(X2)0.3,X2)；画出F(x)的曲线。X2)0.5.w

27、ord版本可编辑.文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持2.设连续型随机变量X的分布函数为试求：(1)X的概率分布；P(X2|X1).解：(1)P(X2|X1)P(X1)2P(X1)33.从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4,设X为途中遇到红灯的次数，试求(1)X的概率分布;(2) X的分布函数解：23(1)P(Xk)C；()k()3k,k0,1,2,355列成表格F(x)027125811251171251x00x11x22x3x34.试求习题1.3中第11题X的分布函数，并画出F(x)的曲线解：F(x)12x11x

28、00x3x35.设连续型随机变量X的分布函数为试求：(1)A,B的值；(2)P(1X解：(1)F()lim(ABe2x)1x又lim(ABe2x)F(0)0x01);(3)概率密度函数A1BA1f(x).13文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持(2) P(1(3) f(x)X1)F'(x)F(1)F(1)1e2e2x,x00,x06.设X为连续型随机变量，其分布函数为试确定F(x)中的a,b,c,d的值。解：F()0a1又F()1d1又lim(bxlnxcx1)a0c1x1又lim(bxlnxx1)d1bee1xe7.设随机变量X的概率密度函数为f(x)和P(X1).a,试确定a的值并求F(x)(1x2)解：a-dx1(1x2)a即一arctanx|1a1F(x)丁dtarctanx,(1t2)2P(|X|1)FF(1)0.5N(t)服从参数为,11,、J1,(arctan1)arctan(1)228.假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数0.1的Poisson(泊松)分布，X表示连续两次地震之间相隔的时间(单位：年)，试求：(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数;(2)今后3