微积分课件不定积分5.1

1、第五章 不定积分微分学:( )( ? )Fx 积分学:( ? )( )f x 互逆问题三、 基本积分表5.1不定积分的概念和性质一、原函数与不定积分的概念二、 不定积分的性质 cos x 1(0),xx ，一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念sincos.xx是是的的一一个个原原函函数数sinxln x定义1（原函数）或dxxfxdF)()( )(xF)(xf那么函数就称为dxxf)(或I在区间内一个原)()(xfxF 函数.若1ln.是的一个原函数xx原函数存在定理：即 连续函数一定有原函数.问题：(1) 原函数是否唯一？例 sincosxx xCxcossin （C为任意常

2、数）(2) 若不唯一它们之间有什么联系？)(xfI如果函数在区间内连续，I( ),F x那么在区间内存在可导函数使Ix 都有( )( ).Fxf x 关于原函数的说明：（1）若 ，则对于任意常数C，)()(xfxF （2）若 和 都是 的原函数，)( xF)(xG)( xf则CxGxF )()(（C为任意常数）证（2） )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（C为任意常数）有有无无穷穷多多个个它它们们之之间间相相差差常常数数CxF )()(xf都是的原函数.CxFdxxf )()(被积表达式任意常数积分号被积函数定义2（不定积分）积分变量若 是 一个原函数，

3、则 的全体原函数 称为 在区间I内的不定积分,)(xf)(xf记为 dxxf)(原函数)(xf( ),F xCxF )(例5.1 求函数21()sin,().1fxx gxx的 不 定 积 分解21-cossin , arctan1xxxx21sincos,arctan1xdxx Cdxx Cx解例2 求不定积分.ax dx11,1+ aaaxx当 a- 1 时 ，11.1aax d xxCa11ln,xd xxCxx由 于 （ l n） =x 当a=-1,0时，不定积分的几何意义:( )df xx 的图形的所有积分曲线组成( )f x的平行曲线族.yxo0 x( )f x的原函数的图形称为(

4、 )f x的积分曲线 . 例5.3 求切线斜率为 并过点（4,4）的曲线方程解设曲线方程为),(xfy 根据题意知3,d yxd x32233,3yxdxxC3242 44.xyC 带入初始条件12.C 所求曲线方程为32212.yx)(xf3 x即是 的一个原函数. 3x由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ( )( ),fx dxf xC( )( ).df xf xC结论：微分运算与求不定积分的运算“.微分运算与求不定积分的运算的关系基本积分表(1)kdxkx C (k是常数);1(2)(1);1aaxx dxCaa (3)ln;dxxCx (4)xa dx ;lnCaax 0, 1dx Cdxdxx C 补补 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex 例5.4