对数与对数运算(1)

1、1.庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。（1）取）取4次，还有多长？次，还有多长？（2）取多少次，还有）取多少次，还有0.125尺？尺？2.假设假设2009年我国国民生产总值为年我国国民生产总值为a亿元，亿元，如果每年平均增长如果每年平均增长8%，那么经过多少年国，那么经过多少年国民生产总值是民生产总值是2009年的年的2倍？倍？解：解：1.?21) 1 (4?125. 021)2(xx?2%81xx这是已知底数和幂的值，求指数这是已知底数和幂的值，求指数! !你能看得出来吗？怎样求呢？你能看得出来吗？怎样求呢？2. a(1+8%)x=2a1.对数的定义：对

2、数的定义：一般地，如果一般地，如果a ( a 0 , a 1 )的的x次幂等于次幂等于N，二、新课二、新课那么就称那么就称x是以是以a为底为底N的对数，的对数，注：底数注：底数a的取值范围：的取值范围： )10( aa且且真数真数N的取值范围的取值范围 :)0( NxNalog记作：Nax即：底数底数 真数真数 aN Nloglogx x?)5(log)2(的取值范围是实数中，思考：在aaxa 051202aaa解解：NaxxNalog底数底数幂幂真数真数指数指数对数对数2.指数式与对数式的互化指数式与对数式的互化:xNNaaaaxlog1, 0时，当表达形表达形式式abN对应的运算对应的运算

3、ab=NbN=alogaN=b底数底数方根方根底数底数指数指数根指数根指数对数对数幂幂被开方数被开方数真数真数乘方，乘方，由由a，b求求N开方，开方，由由N，b求求a对数，对数，由由a，N求求b比较指数式、根式、对数式：比较指数式、根式、对数式：（1）开方运算、对数运算都是指数运算的逆运算。）开方运算、对数运算都是指数运算的逆运算。探究探究：对数的性质：对数的性质 负数与零没有对数（在指数式中负数与零没有对数（在指数式中 N 0 ） 1loga aalog对任意对任意 0 a且且 1 a都有都有 10a01loga aa11log aa）,N,a,axN(在a010log 中? ? 0 1 （

4、1）常用对数常用对数： 我们通常将以我们通常将以10为底的对数叫做为底的对数叫做常用对数常用对数。 为了简便为了简便,N的常用对数的常用对数 N10log简记作：简记作：lgN。 例如：例如： 5log10简记作：简记作：lg5； 5 . 3log10简记作：简记作：lg3.5. （2）自然对数自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以为底的对数，以e为底的对数叫为底的对数叫自然对数自然对数。 为了简便，为了简便，N的自然对数的自然对数 Nelog简记作：简记作：lnN。 例如：例如： 3loge简记作简记作ln3 ; 10loge简记

5、作：简记作：ln103.两个重要对数两个重要对数:讲解范例讲解范例 例例1 将下列指数式写成对数式：将下列指数式写成对数式： （1） （4） （3） （2） 3225532log2 2121121log2 813xx 81log3 614xx 61log4练习练习 1.把下列指数式写成对数式把下列指数式写成对数式:（1） （3） （2） 823 38log2 312731 3131log27 208. 1 xx 2log08. 1256128 （4） 82561log2 讲解范例讲解范例 （1） （4） （3） （2） 例2 将下列对数式写成指数式：01. 0102 201. 0lg12515

6、3 31251log510303. 2 e 303. 210ln27313 327log31练习练习 （1） （4） （3） （2） 2 将下列对数式写成指数式：将下列对数式写成指数式：81134 4811log312553 3125log54122 241log2932 29log327log)1(9625log)3(345例例3计算：计算： ,27log)1(9 x设设解解：23,33,27932 xxx则则625log)3(345 x设设 ,625534 x,55434 x3 x81log)2(3625log)3(5,81log)2(3 x设设4,33,8134 xxx则则,625log

7、)3(5 x设设4,55,62554 xxx则则27log)1(9变式变式： 81log)2(43,27log)1(9 x设设解解：3,339,27932 xxxx则则,81log)2(43 x设设1644,3344 xxx则则注：注：对数恒等式对数恒等式baba log)1(）（探究：已知（探究：已知010 ,N,aa 31log)4(aa23 2log)1(aa 5log)2(aa 3log)3(aa53181log)2(3625log)3(5例例3计算：计算： 43log43 45log45 3.3.对数恒等式对数恒等式：baba log)1(xaba log证明：设证明：设bxaabx

8、 ,baba logNaNa log)2(xaNa log证证明明：设设NxNxaa ,loglogNaNalog例例4 求下列各式中求下列各式中x的值的值: . xeln4; x100lg3; 68log2;32xlog12x641.求下列各式的值求下列各式的值巩固练习巩固练习 （1） （4） （3） （2） 100lg2 5log2521 21log21 1log50 3log31 3log311 （5） （6） 1loga0 （7） aalog1 （8） 2.求下列各式的值求下列各式的值练习练习 （1） （4） （3） （2） 1log5 . 00 9log91 625log252 10000lg4 64go l43 2log22 （5） （6） 思考 :nmaaanm 2.3log,2