选修35第十一章专题突破动量守恒定律的常见模型

1、专题突破 动量守恒定律的常见模型“人船”模型1.“人船”模型问题 两个原来静止的物体发生相互作用时，若所受外力的矢量和为零，则动量守恒， 在相互作用的过程中， 任一时刻两物体的速度大小之比等于质量的反比。 这样的 问题归为“人船”模型问题。2.“人船”模型的特点(1) 两物体相互作用过程满足动量守恒定律： m1v1m2v20。(2) 运动特点：人动船动，人静船静，人快船快，人慢船慢，人左船右；人船位 移比等于它们质量的反比；人船平均速度的大小 (瞬时速率 )比等于它们质量的反 比，即 x1v1m2。x2 v2 m1(3) 应用此关系时要注意一个问题：公式 v1、v2 和 x一般都是相对地面而言

2、的。 【例 1】 如图 1所示，长为 L、质量为 M 的小船停在静水中，质量为 m的人 从静止开始从船头走到船尾，不计水的阻力，求船和人相对地面的位移各为多 少？图1解析 设任一时刻人与船的速度大小分别为 v1、v2，作用前都静止。因整个过程 中动量守恒，所以有 mv1 Mv2而整个过程中的平均速度大小为 v1、v2，则有mv1Mv2。两边乘以时间t 有 mv1t Mv2t，即 mx1Mx2。且 x1x2 L，可求出 x1 M L， x2 m L。 m MmM答案 mmMMLL mM“人船”模型问题应注意以下两点(1) 适用条件系统由两个物体组成且相互作用前静止，系统总动量为零。 在系统内发生

3、相对运动的过程中至少有一个方向的动量守恒 (如水平方向或竖 直方向 )。(2) 画草图解题时要画出各物体的位移关系草图， 找出各长度间的关系， 注意两物体的位移 是相对同一参考系的位移。子弹打木块 ”模型1.模型图2.模型特点(1) 当子弹和木块的速度相等时木块的速度最大，两者的相对位移(子弹射入木块的深度 )取得极值。(2) 系统的动量守恒，但系统的机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等 于系统机械能的减少，当两者的速度相等时，系统机械能损失最大。(3) 根据能量守恒， 系统损失的动能 EkmMMEk0，等于系统其他形式能的增加。由上式可以看出，子弹的质量越小，木块的质量越大，动能损失越

4、多。(4) 解决该类问题，既可以从动量、能量两方面解题，也可以从力和运动的角度 借助图象求解。例 2】 (2018·海南高考)(多选)如图 2(a)，一长木板静止于光滑水平桌面上， t0时， 小物块以速度 v0滑到长木板上，图 (b)为物块与木板运动的 vt 图象，图中 t1、v0、v1 已知。重力加速度大小为 g。由此可求得 ()图2A. 木板的长度B. 物块与木板的质量之比C. 物块与木板之间的动摩擦因数D. 从 t0 开始到 t1时刻，木板获得的动能解析 木板在光滑水平面上，物块滑上木板后系统动量守恒，由图(b)可知最终12物块与木板以共同速度 v1 运动，有 mv0(Mm)v

5、1，mgx2(Mm)v211v0 v1 v112mv02，x(v 2 v2 )t1，由 式可求物块与木板的质量之比， B 项正确； 由 式可求物块与木板间动摩擦因数， C 项正确；木板质量未知，获得的动 能不可求， D 项错误。答案 BC“子弹打木块 ” 模型解题思路(1) 应用系统的动量守恒。(2) 在涉及子弹 (滑块 )或平板的作用时间时，优先考虑用动量定理。(3) 在涉及子弹 (滑块 )或平板的位移时，优先考虑用动能定理。(4) 在涉及子弹 (滑块 )的相对位移时，优先考虑用系统的能量守恒。(5) 滑块恰好不滑出时，有滑块与平板达到共同速度时相对位移为板长L滑块弹簧”模型模型特点对两个(

6、或两个以上 )物体与弹簧组成的系统在相互作用的过程中，应注意以下四 点：(1)在能量方面，由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化， 若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 (2)在相互作用过程中，系统动量守恒。(3) 弹簧处于最长 (最短 )状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统满足动量守 恒，机械能守恒。(4) 弹簧处于原长时，弹性势能为零。【例 3】 （2019 ·石家庄二中一模 ）如图 3 甲所示，物块 A、B 的质量分别是 mA 4.0 kg和 mB3.0 kg。用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块 B右侧与 竖直墙壁相接触。另有一

7、物块 C 从 t0 时以一定速度向右运动，在 t4 s 时与 物块 A相碰，并立即与 A粘在一起不再分开， C的 vt图象如图乙所示。求：图3（1）C 的质量 mC ；（2）B 离开墙后的运动过程中弹簧具有的最大弹性势能 Ep。解析 （1）由题图乙知， C 与 A 碰前速度为 v19 m/s，碰后速度为 v23 m/s， C 与 A 碰撞过程动量守恒。mCv1（mAmC）v2解得 mC2 kg。（2）由题图可知， 12 s时 B离开墙壁，此时 A、C的速度大小 v33 m/s，之后 A、B、C 及弹簧组成的系统动量和机械能守恒，且当 A、C与 B的速度相等时，弹 簧弹性势能最大（mAmC）v3

8、（mAmBmC）v41 2 1 22（mAmC）v32（mAmBmC）v4Ep解得 Ep 9 J。答案 （1）2 kg （2）9 J圆弧（或斜面）轨道滑块 （或小球）”模型1. 模型图2. 模型特点（1）最高点：m与 M 具有共同水平速度，且 m不可能从此处离开轨道，系统水平11 方向动量守恒，系统机械能守恒。 mv0 （M m）v 共，2mv202（M m）v2共mgh。mv0mv1（2）最低点： m与 M分离点。水平方向动量守恒，系统机械能守恒，Mv2，12mv2012mv21 21M v22【例 4】 如图 4所示，在足够长的光滑水平面上有一静止的质量为 M 的斜面， 斜面表面光滑、高度

9、为 h、倾角为 。一质量为 m（m<M）的小物块以一定的初速 度沿水平面向左运动， 不计冲上斜面时的机械能损失。 如果斜面固定， 则小物块恰能冲到斜面的顶端。 如果斜面不固定， 则小物块冲上斜面后能达到的最大高度A.hmhB.mMC.MD. MhD.mM解析 斜面固定时，由动能定理得mgh012mv02所以 v0 2gh 斜面不固定时，由水平方向动量守恒得mv0（Mm）v 由机械能守恒得 解得 hMMmh，选项 D 正确 答案 D21mv0221(Mm)v2mgh科学思维的培养 与图象结合的动量守恒定律的综合类问题 动量守恒定律往往与图象结合， 比较常见的就是速度图象、 位移图象。 解题

10、时从 两种图象中读出物体运动的速度或初、末速度并结合动量守恒定律作答。 【典例】 质量为 m11 kg 和 m2（未知 ）的两个物体在光滑的水平面上正碰，碰 撞时间极短，其 xt 图象如图 5 所示，则 （ ）图5A. 此碰撞一定为弹性碰撞B. 被碰物体质量为 2 kgC. 碰后两物体速度相同D. 此过程有机械能损失解析 xt 图象的斜率表示物体的速度，由题图求出 m1、m2 碰撞前后的速度分 别为 v14 m/s，v20，v12 m/s，v22 m/s；由动量守恒定律得 m1v1m1v1 m2v2，得 m23 kg；根据动能表达式以及以上数据计算碰撞前、后系统总动 能均为 8 J，机械能无损

11、失，因此是弹性碰撞， B、C、D 项错误， A 项正确。 答案 A变式训练】 （2019·潍坊名校模拟 ）在光滑的水平面上有 a、b 两球，其质量分 别为 ma、mb，两球在 t0 时刻发生正碰，并且在碰撞过程中无机械能损失，两球()A. ma>mbB.ma<mbC. ma mbD.无法判断解析 由题图图象知， a 球以某一初速度向原来静止的 b 球运动，碰后 a 球反弹 且速度大小小于其初速度大小，根据动量守恒定律知， a 球的质量小于 b 球的质 量，故 B 项正确。答案 B1. （2018 南·京模拟 ）下列说法错误的是 （）A. 火箭靠喷出气流的反冲作用

12、而获得巨大速度B. 体操运动员在着地时屈腿是为了减小地面对运动员的作用力C. 用枪射击时要用肩部抵住枪身是为了减少反冲的影响D. 为了减轻撞车时对司乘人员的伤害程度，发动机舱越坚固越好 解析 火箭靠喷出气流的反冲作用而获得巨大速度，故 A 项正确；体操运动 在着地时屈腿可以延长着地时间，从而可以减小地面对运动员的作用力，故 项正确；用枪射击时要用肩部抵住枪身是可以防止枪身快速后退而造成伤害， 是为了减少反冲的影响，故 C 项正确；为了减轻撞车时对司乘人员的伤害程度， 发动机舱应有弹性，从而延长作用时间而减小伤害，故 D 项错误。 答案 D2. (2019 黑·龙江大庆模拟 )两球在水

13、平面上相向运动，发生正碰后都变为静止。可 以肯定的是，碰前两球的 ( )A. 质量相等B.动能相等C.动量大小相等D.速度大小相等解析 两球组成的系统碰撞过程中满足动量守恒， 两球在水平面上相向运动， 生正碰后都变为静止，故根据动量守恒定律可以判断碰前两球的动量大小相等、 方向相反，选项 C 正确。答案 C3. 如图 7，质量为 M 的小船在静止水面上以速率 v0 向右匀速行驶，一质量为 的救生员站在船尾， 相对小船静止。 若救生员以相对水面速率 v 水平向左跃入 中，则救生员跃出后小船的速率为 ( )图7mA. v0MvmB.v0MvC.v0M（v0v）D. v0M（v0v）解析 设水平向右

14、为正方向，根据动量守恒定律，对救生员和船有 mvMv，解得 vv0Mm(v0v)，选项 C 正确。答案 C4. 如图 8所示，一质量为 M3.0 kg的长木板 B放在光滑水平地面上，在其右端 放一个质量为 m1.0 kg的小木块 A。给 A和 B以大小均为 4.0 m/s、方向相反的 初速度，使 A开始向左运动， B开始向右运动， A始终没有滑离 B。在 A做加速运动的时间内， B 的速度大小可能是 （图8D.3.0 m/sB 做减速运动，最终A.解析 A 先向左减速到零，再向右做加速运动，在此期间， 它们保持相对静止，设 A 减速到零时， B 的速度为 v1，最终它们的共同速度为8v2，取水

15、平向右为正方向，则 MvmvMv1，Mv1（M m）v2，可得 v13 m/s，8 v22 m/s，所以在 A 做加速运动的时间内， B 的速度大小应大于 2 m/s 且小于 3 m/s，只有选项 B 正确。答案 B活页作业（时间： 30分钟）一、单项选择题1.静止的实验火箭， 总质量为 M，当它以对地速度为 v0喷出质量为 m 的高温气 体后，火箭的速度为 （ ）A. mv0B. mv0C.m v0D.mv0A. MmB. M mC. MD. M解析 由动量守恒定律得 mv0（Mm）v0，火箭的速度为 v Mmvm选项 B 正确。答案 B2.如图 1 所示，一内外侧均光滑的半圆柱槽置于光滑的

16、水平面上。槽的左侧有一 竖直墙壁。现让一小球 （可认为质点 ）自左端槽口 A 点的正上方从静止开始下落， 与半圆槽相切并从 A 点进入槽内，则下列说法正确的是 （ ）A. 小球离开右侧槽口以后，将做竖直上抛运动B. 小球在槽内运动的全过程中，只有重力对小球做功C. 小球在槽内运动的全过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒D. 小球在槽内运动的全过程中，小球与槽组成的系统水平方向上的动量守恒 解析 小球从下落到最低点的过程中， 槽没有动， 与竖直墙之间存在挤压， 动量 不守恒；小球经过最低点往上运动的过程中， 斜槽与竖直墙分离， 水平方向动量 守恒；全过程中有一段时间系统受竖直墙弹力的作用， 故全

17、过程系统水平方向动 量不守恒，选项 D 错误；小球离开右侧槽口时，水平方向有速度，将做斜抛运 动，选项 A 错误；小球经过最低点往上运动的过程中，斜槽往右运动，斜槽对 小球的支持力对小球做负功， 小球对斜槽的压力对斜槽做正功， 系统机械能守恒， 选项 B错误，C 正确。答案 C3. 如图 2所示，具有一定质量的小球 A固定在轻杆一端， 另一端挂在小车支架的 O 点。用手将小球拉至水平，此时小车静止于光滑水平面上，放手让小球摆下与 B 处固定的橡皮泥碰击后粘在一起，则在此过程中小车将 ( )图2A.向右运动B. 向左运动C. 静止不动D.小球下摆时，车向左运动后又静止解析 水平方向上，系统不受外

18、力， 因此在水平方向上动量守恒。 小球下落过程 中，水平方向具有向右的分速度，因此为保证动量守恒，小车要向左运动。当撞 到橡皮泥，是完全非弹性碰撞， A 球和小车大小相等、方向相反的动量恰好抵消 掉，小车会静止，选项 D 正确。答案 D4. 如图 3所示，气球下面有一根长绳， 一个质量为 m150 kg 的人抓在气球下方， 气球和长绳的总质量为 m220 kg，长绳的下端刚好和水平面接触，当静止时人 离地面的高度为 h 5 m。如果这个人开始沿绳向下滑，当他滑到绳下端时，他 离地面高度是 （可以把人看做质点 ）（）图3解析 当人滑到绳下端时， 如图所示，由动量守恒定律，得 m1ht1m2ht2

19、， 且 h1h2 h。解得 h11.4 m；所以他离地高度 Hhh13.6 m，故 选项 B 正确。答案 B5. （2018海·南高考）如图 4，用长为 l的轻绳悬挂一质量为 M的沙箱，沙箱静止。 一质量为 m 的弹丸以速度 v 水平射入沙箱并留在其中，随后与沙箱共同摆动一 小角度。不计空气阻力。对子弹射向沙箱到与其共同摆过一小角度的过程 （ ）图4A.若保持 m、v、l 不变，M 变大，则系统损失的机械能变小B. 若保持 M、v、l 不变， m 变大，则系统损失的机械能变小C. 若保持 M、m、l 不变， v 变大，则系统损失的机械能变大D. 若保持 M、m、v 不变， l 变大，

20、则系统损失的机械能变大11解析 动量守恒 mv（Mm）V，系统损失的机械能 Ek2mv22（M m）V22Mmv2mv2Mv22（Mm） 2（1mvMm）2（MmMv 1），所以 A、B、D项错误，C项正确。答案 C二、多项选择题6. A、 B 两球沿同一条直线运动，如图 5 所示的 xt 图象记录了它们碰撞前后的 运动情况，其中 a、b 分别为 A、B 碰撞前的 xt 图象。 c 为碰撞后它们的 x t 图象。若 A 球质量为 1 kg，则 B 球质量及碰后它们的速度大小为 （ ）A.2 kgB.3 kgC.4 m/sD.1 m/s410402m/s2 m/s，碰撞后二者连在起做匀速直线运动

21、，解析 由图象可知碰撞前二者都做匀速直线运动， va 2 m/s 3 m/s， vb24vcm/s 1 m/s。4 2碰撞过程中动量守恒，即 mAvamBvb（mAmB）vc2可解得 mB3 kg由以上可知选项 B、D 正确。答案 BD7. 如图 6 所示，木块 A 的质量 mA1 kg，足够长的木板 B 的质量 mB 4 kg，质 量为 mC4 kg的木块 C置于木板 B上，水平面光滑， B、C之间有摩擦。现使 A 以 v012 m/s的初速度向右运动，与 B碰撞后以 4 m/s的速度弹回，则 （）图6A.B运动过程中的最大速度为 4 m/sB. B 运动过程中的最大速度为 8 m/sC.

22、C 运动过程中的最大速度为 4 m/sD. C 运动过程中的最大速度为 2 m/s解析 A与 B碰后瞬间， C的运动状态未变，此时 B的速度最大，由 A、B组成 的系统动量守恒 （取向右为正方向 ），有 mAv0 mAv A mBvB，代入数据得 vB 4 m/s ，选项 A 正确， B 错误； B 与 C 相互作用使 B 减速， C 加速，由于 B 足够 长，所以 B和 C能达到相同速度，二者共速后， C速度最大，由 B、C组成的系 统动量守恒，有 mBvB（mBmC）vC，代入数据得 vC2 m/s，选项 C 错误， D 正 确。答案 AD8. （2019 徐·州三中月考 ）光滑

23、水平地面上， A、 B 两物体质量都为 m，A 以速度 v 向右运动， B 原来静止，左端有一轻弹簧，如图 7 所示，当 A 撞上弹簧，弹簧被 压缩最短时 （ ）图7A.A、B 系统总动量仍然为 mvB. A 的动量变为零C. B 的动量达到最大值D. A、B 的速度相等解析 系统水平方向动量守恒， A 项正确；弹簧被压缩到最短时 A、B 两物体具 有相同的速度， D 项正确，B 项错误；但此时 B的速度并不是最大的，因为弹簧 还会弹开，故 B 物体会继续加速， A物体会继续减速， C 项错误。答案 AD9. 如图 8所示，箱子放在水平地面上， 箱内有一质量为 m的铁球以速度 v 向左壁 碰去，来回碰几次后停下来，而箱子始终静止，则整个过程中 （ ）图8A.铁球对箱子的冲量为零B. 铁球和箱子受到的冲量大小相等C. 箱子对铁球的冲量大小为 mv，向右D. 摩擦力对箱子的冲量大小为 mv，向右解析 根据动量定理，铁球受到的冲量为 I0mv mv，而箱子受到的冲量 始终为零，故B 项错误；根据动量定理，