第12讲 隐零点问题处理方法

第12讲隐零点问题的处理方法整理：河北秦皇岛李永生一、问题综述导数中的“隐零点”问题是指：当一个函数的零点存在但有无法求得的零点问题．例如函数在上确实存在一个零点，但由于方程是一个超越方程，我们无法求得它的根，也就无法确定函数的零点，但的零点确实是存在的，这个时候我们常常虚设一个的零点，即，即，然后进行整体的代换或过度来解决某些问题．二、典例分析类型1：整体代换【例1】（2015年全国新课标I文）设函数．(1)讨论的导函数的零点个数；(2)证明：当时，．解析：(1)的定义域为，．当时,，没有零点；当时，因为，所以在单调递增．又，又当时，得，取且，则，故由零点存在定理知：当时，存在唯一零点．综上，当时，没有零点；当时，有一个零点．(2)由(1)知在存在唯一零点，当时，，单调递减；当时，，单调递增．同时，即，即，，故当时，．【方法小结】可转化为求，而的最小值恰好在的零点处取得，但是这个零点无法求得，这个时候我们可以利用零点满足的关系式(必要的时候需要一些变形)来化简的表达式，思想是将超越式消掉，即尽量不含等；本题是化简后利用了均值不等式得到所证结果．类型2：代换消参【例2】已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为．（1）求；（2）证明：当时，曲线与直线只有一个交点．解析：（1）的定义域为，，切线斜率，切线方程为，即，令得，；（2）与曲线只有一个交点，等价于只有一个零点，，=1\*GB3①当，即时，，在上单调递增，且，，所以存在唯一，使得，即的图象与轴只有一个交点．=2\*GB3②当，即时，有两根，不妨设，且有，，，，当时，单调递增；当时，单调递减．要使的图象与注只有一个交点，只要即可．又，同时即，，令，，在单调递减，，，综上知：当时，曲线与直线只有一个交点．【方法小结】本题第二问最终将问题转化为证明，其中是的零点，实际上的零点是可以求得的，不像类型1中零点不可求，也就是说本题中的零点不是隐零点，但我们仍然是视它为隐零点，不去求它，闭开繁琐的计算；像本题做法：利用零点的满足的关系式，消掉表达式中的参数，然后构造一个关于的函数．读者可以自己尝试以下求出，然后证明一个关于的式子大于零，会很难下手，甚至不可求．类型3：代换降次【例3】（2012年全国大纲卷文科）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设有两个极值点，若过两点的直线与轴的交点在曲线上，求的值．解析：(1)的定义域为，，方程的判别式，当时，即时，，且不恒为零，所以在上单调递增；当时，即时，有两个根,，，当时，单调递增；当时，，单调递减，(2)由(1)知且，，，，同理，因此直线的方程为，令得直线与轴交点的横坐标，所以，因为交点在曲线上，所以，解得，或，或．【方法小结】本题中虽然导函数的零点可求，但我们并没有去用这个确切的零点，而是利用零点满足的条件进行代换；本题很自然的想法应该是根据两点的坐标求出直线的方程，再令求得与轴的交点坐标，但是我们会发现直线方程比较复杂，而我们知道直线方程即是直线上任意一点横纵坐标的关系式，当然这个关系式一定是关于,的二元一次方程，所示本题通过化简，及，找到横纵坐标的一次关系，其中的操作就是利用隐零点满足的关系不断的降次．类型4：隐零点范围反解【例4】已知函数．（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若，证明：当时，．参考数据：，．解析：（1），函数在递增，，得，设，则，令，解得：，当时，，当时，，故函数在递减，在递增，故时，取得最小值，故，即的范围是（2）若，则，得，易知函数在递减，在递增，且注意到，，，则存在，使得，即，当时，，当，时，，则函数在递减，在，递增，则当时，函数取最小值()函数在单调递减，所以故时，．【方法小结】本题同类型1，用隐零点满足的关系式进行整体代换，不同之处在于寻找隐零点的范围，这个隐零点的范围要正好取到我们要的那个值，就是说这个范围卡的正好，不松不紧，在后面放缩时恰好能够得到题目给的那个很丑的数值，那么这个值是怎么找到的呢？这就应了此类型的标题“范围反解”，我们可以通过最小值的表达式反解得到．三、巩固练习1．（2018广州一测）设，若对任意的恒成立，求a的取值范围．2．（2013年全国新课标II理）已知函数．(1)设是的极值点，求并讨论的单调性；(2)当时，证明．3．（2012年全国新课标文）设函数．(1)求的单调区间；(2)若为整数，且当时，，求的最大值．4．（2009年全国II卷理科）设函数有两个极值点，且(1)求的取值范围，并讨论的单调性；(2)证明：．5．设函数，若恒成立，求正整数的最大值．6．已知，求证：恒成立．7．（2017新课标II卷）已知函数，且．(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且．8．已知函数，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．9．已知函数．(1)求证：；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．10．已知有个零点，求实数的取值范围．11．已知命题：关于的不等式对一切恒成立；命题：．那么命题是命题的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要补充分条件D．既不充分也不必要条件四、巩固练习参考答案1、解析：原问题等价于，即，则，令，，在上单调递增，且，在上存在唯一的零点，且当时，，单调递减；当时，，单调递增．，同时有，即，即，，即，设，则，在单调递增，所以，也即，，，即的取值范围为．点拨：本题采用分参的方法求参数的取值范围，问题转化为求的最小值；另一方面，的最小值在的零点处取得，所以问题转化为求，即的值，而的表达式很复杂，这时就需要用到隐零点的关系式来处理，即式子的处理，此处实际是进行了一个同构处理，十分巧妙；同构的形式当然也可以这样：．再构造，易知在上单调递增，所以有．2、解析：(1)，的单调增区间为，单调减区间为．(2)当时，，令，则只要证明即可．而，在上单调递增．又，，使得，当时，单调递减；当时，单调递增．．同时，即，即．，，．点评：整体代换3、解析：(1)的定义域为，．当时，，在单调递增；当时，令得，，则当时，，单调递减；当时，，单调递增．(2)当时，即，即令，则问题转化为求的最小值．，令，则由(1)知在单调递增，且，，使得当时，单调递减；当时，单调递增．，同时即，，即整数的最大值为．点评：整体代换4、解析：(1)，令，由题意知是方程的两个均大于的不相等的根，所以有，得．当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．(2)因为，，且，即设，在单调递增，，所以．点评：代换消参5、解析：由题意可得在内恒成立令，则，又令，则，在上单调递增而，，所以存在唯一的使得即，且当时，，在单调递减；当时，，在单调递增，所以，即正整数的最大值为．点评：整体代换，化复杂的超越式为普通式；其中需要注意隐零点的范围需要尽量小，因为的取值范围取决于的范围．6、整体代换，较简单答案略7、解析：(1)；(2)由(1)知，，，易知在上单调递减；在单调递增，且注意到，，，，所以存在唯一的，使得，且当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以存在唯一的极大值点，同时即，所以，另一方面，综上：存在唯一的极大值点，且，点评：整体代换，注意求的范围时注意到了．8、解析：，，所以在单调递增，且，=1\*GB3①当时，，此时在上单调递增，，要使恒成立，则，解得，=2\*GB3②当时，则，又，故存在，使得，即，且当时，；当时，，所以在单调递减；在上单调递增，所以，解得，．而，则易知在单调递增，所以．综上：的取值范围是．点评：代换消参．9、解析：(1)令，，当时，；当时，，所以在单调递增，在上单调递减，所以，即原不等式成立．(2)令，，令，且注意到，故存在，使得，即，当时，；当时，，所以在上单调递减；在上单调递增，所以，令，由(1)可知在上单调递增，在上单调递减，且，注意到，则若，则，又，故的取值范围是．点评：代换消参10、解析：，由得，设是方程的两根，则，，则当时，，当时，；