高分子材料加工计算机模拟第二章 材料科学研究中的数学模型

1、聚合物熔体在毛细管中完全发展区的流场可以简化为如图的形式。rRLdz熔体流速方向为z 方向，速度梯度方向为r方向，方向为圆周方向。对聚合物熔体在毛细管内的动态流动作理论分析时，进行如下假设：(1)动态挤出时，料筒内经毛细管挤出的物料已完全塑化熔融。弹性形变塑性形变Shock wave激光冲击应力为一维平面波，在激光冲击区取一个微体积元，仅在x方向考虑被压缩，即冲击波沿X方向传播，考虑应力和应变的关系，为保持x的单轴应变条件而假设y= z,形变侧面Y、Z方向尺寸不变，X方向有弹塑性变形，激光冲击后弹性变形恢复不完全，导致了残余应力的产生。xyxyxX0 x=+2xy=+2yz=+2z式中： x

2、yz，因为是单轴变形，侧面受到介质约束， x（V0-V)/V, y =z=0,V是体积，2(+u)，和u是材料的拉梅常数，是泊松比。（）因为不存在塑性膨胀，所以有微元体中的残余应力是弹性和塑性应变引起的，dx=d+2(dy=d+2（dz=d+2(（）1-x 实际上x是随冲击应力波的衰减而变化，故残余应力y也是随x的变化而变化，设：x e-x有x=maxe-bx(3)(4)其中b为参量；Pmax=0.2871/3(A.q0)2/3如果有max=pmax代入公式（）x=pmaxe-bxy= pmaxe-bx1-(5)1-(8)x=EkPmaxe-bx/Ey=Ek Pmaxe-bx/E1-(9)公式

3、(9)较好地反映了材料受到激光冲击作用时的综合力学性能与残余应力之间的关系，只需代入相应的参数并利用相应的实验数据对式(9)进行拟合，从而求得K和b，就可以拟合出激光冲击强化工作产生的残余应力的一般计算公式。8E-1式中：y-残余应力 E-材料弹性模量 x-沿激光冲击波方向的深度 Pmax-激光冲击波的峰值压力 (0,1,2,3,)!mEEP memm（1） 显然有 01mP m （） mmP mE把水波扩散模型作为结晶前期的模型来讨论薄层熔体形成“二维球晶二维球晶”的情况。雨滴接触水面相当于形成晶核，水波相雨滴接触水面相当于形成晶核，水波相当于二维球晶的生长表面，当于二维球晶的生长表面，当m

4、=0时，意味着所有的球晶面都不经过p点，即p点仍处于非晶态。根据式（）可知其概率为： 0EPe设此时球晶部分球晶部分占有的体积分数为 ，则有C 10EcPe （） 下面求平均值E，它应为时间的函数。(a) 先考虑平面内一次性同时成核的情况先考虑平面内一次性同时成核的情况，它对应所有雨滴同时落入水面，到t时刻，水波前进的距离为 ，那么，以为半径的圆面内的雨滴所产生的水波都将通过p点。（见图）。rrrdrrrrdr 把这个面积称为有效面积，通过p点的水波数等于这个有效面积内落入的雨滴数。设单位面积内的平均雨滴数为设单位面积内的平均雨滴数为N,当时间由t增加到t+dt时，有效面积的增量，即图中阴影部

5、分的面积，为 ，平均值E的增量为:2 rdr2dENrdrpvrvt2 2002EvtEdENrdrNv t代入式（1）得2 21eNv tc（4） 式（4）表示晶核密度为N，一次性成核时体系中的非晶部分与时间的关系。2 rdrrtv2rdEI trdrv积分得2 3023vtrEI trdrIv tv代入式（） 中得2 31exp3cIv t （5） 此为晶核不断形成时，聚合物的非结晶度与时间的关系。24 r dr23 30443vtENr drNv t 对于不断成核体系，定义I为单位时间，单位体积中产生的晶核数，则23 4043vtrEI tr drIv tv代入（c)=e-E1expnc

6、kt 式中，k是同核密度及晶体一维生长速度有关的常数，称为结晶速度常数。该式称为Avrami方程。下面对所建的模型进行检验。 尼龙1010等温结晶体数据的Avrami处理结果lgt0lglnthhhh,iix y yf x或 ,0F x y 1,2in2012mmybb xb xb x作为对输出（观测值）y 的估计。若能确定其阶数及系数 01,mb bb，则所得到的就是回归方程-数学模型。各项系数即回归系数。当输入为 ，ix输出为 iy时，多项式拟合曲线相应于ix的估计值估计值为： 2012,1,2miiimiybb xb xb xiniyiy21niiiQyy为最小，这就是最小二乘法，令0,

7、1,2jQjmb得到下列正规方程组01001101202020mimiimimiiimmimiiimQbb xb xybQbb xb xyxbQbb xb xyxb（1-65） 一般数据点个数 大于多项式阶数 ，这样，从式（1-65）可求出回归系数 ，从而建立所回归方程数学模型。由已知观测值寻求x与y之间函数关系的方法在工业控制应用中称为“系统辩识”nm01,mb bbsds表1-3 低碳钢屈服点与晶粒直径40050105286121180242345s12dsyyabx,iiX YieiiieabXY所有实验数据点误差的平方和为222511221iieab XYab XY222334455a

8、 bXYa bXYa bXY521iie5210iiea及 5210iieb得出5551115552111iiiiiiiiiiiiYabXX YaXbX5511555111255211151515iiiiiiiiiiiiiiaYbXX YXYbXX（1）i51i siY12idX22()siY2122idX12siidX Y12345861211802423459740.050.140.3160.4470.7071.6673961464132400585641190252320260.00250.020.10.20.50.82254.316.9456.88108.74243.915430.2095511555111255221