中北大学数字信号处理原理及应用3

1、第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换1/178第第3 3章章 离散傅里叶变换离散傅里叶变换第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换2/178()( )jtX jx t edt dejXtxtj)(21)( 非周期非周期的的连续时间连续时间函数函数 非周期非周期的的连续频率变换连续频率变换函数函数 3.1傅里叶变换的几种形式傅里叶变换的几种形式1 1、连续时间、连续频率、连续时间、连续频率连续傅里叶变换连续傅里叶变换第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换3/1780000001()( )tTjkttX jkx t edtT 00( )()jktkx tX jke 周

2、期周期的的连续时间连续时间函数函数 非周期非周期的的离散频率变换离散频率变换函数函数 2 2、连续时间、离散频率、连续时间、离散频率连续傅里叶级数连续傅里叶级数第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换4/1783 3、离散时间、连续频率、离散时间、连续频率序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换 nnjjenxeX )()( deeXnxnjj)(21)(时域的取样对应于频域的周期延拓时域的取样对应于频域的周期延拓第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换5/1784 4、离散时间、离散频率、离散时间、离散频率离散傅里叶级数离散傅里叶级数210( )( )DFSNjknNnX kx n

3、e 2101( )( )IDFSNjknNkx nX k eN 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换6/178( )x tt0()X j 0FT第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换7/178( )x tt0()X j 0FT( )x t t00()X jk 0FST0 002T 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换8/178( )x tt0()X j 0FT( )x t t00()X jk 0FS)(nxn0)( jeX 2 -2 0DTFT T0 002T T 2sT 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换9/178)(kXk 0n)(nx0DF

4、S T0 002T T 2sT 一个域的离散必造成另一个域的周期延拓一个域的离散必造成另一个域的周期延拓一个域的周期延拓必造成另一个域的离散一个域的周期延拓必造成另一个域的离散 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换10/178 ( )x nx nrN周期为周期为N的周期序列的周期序列( )nnx nz 周期序列不满足绝对可和的条件，其周期序列不满足绝对可和的条件，其z变换不变换不存在，因此也不存在严格意义上的傅里叶变换存在，因此也不存在严格意义上的傅里叶变换。3.2 周期序列的离散傅立叶级数及性质周期序列的离散傅立叶级数及性质第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换11/1

5、783.2.1 周期序列的离散傅立叶级数周期序列的离散傅立叶级数 2jknNkene 2/k N N周期，周期，1/N数字基本频率，数字基本频率，k/N数字频率，数字频率，k归一化数字频率，归一化数字频率， 为数字角频率。为数字角频率。j ne 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换12/17822()22()22() (,)jn N kjnkNNjn k NjnkNNjnk NjnkNNeeeen kee 2jnkNe 对对 均以均以N为周期。即：为周期。即：nknk、 、周期序列的级数展周期序列的级数展开式中只有开式中只有N个独立个独立的谐波。的谐波。周期性：周期性：第第3 3章

6、章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换13/1782210()NjnkjnmNNnee 共轭正交性：共轭正交性：0NkmrNkmrN 2210NjnkjnmNNnee 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换14/178210( )NjknNkkx na e 210( )NjmnNnx n e 211()00NNjk m nNkknae 将将 展成傅立叶级数展成傅立叶级数( )x n 2jmnNe 两边同乘以两边同乘以 ，并对，并对n n在一周期内求和在一周期内求和211()00NNjkm nNknka e kNa 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换15/1782101(

7、)NjknNknax n eN ( )kNaX k 令10( )( )NnX kx n 101( )( )Nkx nX kN 2jknNe nkNW2jknNe nkNW DFSIDFS210( )NjknNkkx na e 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换16/178 各周期复指数序列称为序列各周期复指数序列称为序列 的频的频率分量，其频率为数字基频率分量，其频率为数字基频 的整数倍。的整数倍。( )x n 物理意义：物理意义： 任何周期为任何周期为N的序列都可以分解为的序列都可以分解为N个个周期复指数序列的和。周期复指数序列的和。1N第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅

8、里叶变换17/178( )X kN 频谱频谱(spectrum)( )X kN 幅度谱幅度谱(amplitude spectrum)( )ArgX kN 相位谱相位谱(phase spectrum)周期序列的频谱是离散谱，且只有周期序列的频谱是离散谱，且只有N条独立的条独立的谱线谱线 (N个独立的频率分量个独立的频率分量)。第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换18/178例例 题题DFS1) ( )?n 210( )( )1NjnkNnX kn e DFS2 1)? ( )Nk 210( )NjnkNnX ke 22 101jkNNjkNNkrNekrNe 第第3 3章章 快离散傅

9、里叶变换快离散傅里叶变换19/1782DFS3) ?jmnNe 2210( )NjmnjnkNNnX kee , 0, NkmrNkmrN ()Nkm 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换20/178DFS24) cos?mnN 22DFS1() ()()22jmnjmnNNNeekmkm DFS25) sin?mnN 221() ()()22jmnjmnDFSNNNeekmkmjj 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换21/17846) ( )R nDFS?以以8 8为周期作周期延拓为周期作周期延拓( )1,1,1,1,0,0,0,0 x n 2780( )( )jn

10、knX kx n e 340jnkne 411j kjkee 38sin2sin8jkkek 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换22/178取取 的一个周期作的一个周期作DTFT：( )x n ( )1,1,1,1,0,0,0,0 x n 30()jj nnX ee 411jjee 32sin2sin2je 228kkN 38sin2sin8j kkek 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换23/178-15-10-5051015-0.500.511.5-10-8-6-4-202468101201234( )x n ( )X k 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散

11、傅里叶变换24/178DFST( )( )x nX k DTFT( )()jx nX e 2kN 时域周期延拓，频域离散化时域周期延拓，频域离散化取主取主值序值序列列第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换25/178对于两个周期序列对于两个周期序列 和和 ，若，若 则对任意常数则对任意常数a a，b b，有，有3.2.2 DFS的主要性质与定理的主要性质与定理1122( )DFS( ) ,( )DFS( )Xkx nXkxn1212DFS( )( )( )( )ax nbx naX kbXk1( )x n )(2nx2( )x n 1.线性性质线性性质第第3 3章章 快离散傅里叶变换

12、快离散傅里叶变换26/178对于周期序列对于周期序列 ，若，若则则 DFS( )( )x nX k ( )x n 2.时域周期移位性质时域周期移位性质 2DFS()( )( )mkNjmkNx nmWX keX k 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换27/1783.频域移位（调制）特性频域移位（调制）特性 对于周期序列对于周期序列 ，若将其，若将其DFS DFS 移移位位m m后得后得 ，则有，则有()( )nmNX kmDFS Wx n ( )x n ( )X k ()X km 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换28/178周期为周期为N的周期序列的周期序列 ，

13、的周期卷的周期卷积为：积为：2( )x n 1( )x n 4.周期卷积定理周期卷积定理（）时域周期卷积定义（）时域周期卷积定义121120( )( )( ) ()() ()Nmy nx nx nx m x nmn 也是周期为也是周期为N的周期序列。的周期序列。()y nN 12()()x nNx nN( )y n 只需计算主值区间只需计算主值区间 范围内的值范围内的值 0,1N 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换29/178结结 论论参与运算的两个周期序列是参与运算的两个周期序列是同周期序列同周期序列，求和区间是周期序列的主值区间。求和区间是周期序列的主值区间。卷积结果序列也是

14、同周期的周期序卷积结果序列也是同周期的周期序列。列。第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换30/178)(1mx（）周期卷积过程（）周期卷积过程例题例题计算序列计算序列 和和 的周期卷积。的周期卷积。 1( )x n 2( )x n 12( )1, 1,2, ( )3,0, 1x nx n周期：周期：N=3计算出：计算出：(0), (1), (2)yyy ( )4, 5,5y n 1120( )() () ()Nmy nx m x nmn 2120() ()mx m x nm 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换31/178( )3, 3,5,1, 2y n 12( )1

15、, 1,2, ( )3,0, 1x nx n12( )1, 1,2, ( )3,0, 1x nx n( )4, 5,5y n 周周期期延延拓拓周周期期延延拓拓周周期期延拓延拓以以 为周期为周期N第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换32/1781122( )()( )()iix nx niLx nx niL 卷积关系定理卷积关系定理1( )()iy ny niL 12( )( )( )y nx nx n12( )( )( )y nx nxn 两个序列线性卷积两个序列线性卷积序列的周期延拓序列的周期延拓两序列周期延拓所两序列周期延拓所得周期序列的周期得周期序列的周期卷积。卷积。|第第3

16、 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换33/178（）时域周期卷积定理（）时域周期卷积定理 对于两个周期序列对于两个周期序列 和和 ，若，若 ，则则 和和 的周期卷积序列的周期卷积序列 的的DFS为为11( )( )X kDFS x n 22( )( )XkDFS x n ( )y n 12( ) ( )( )( )Y kDFS y nXk Xk 该定理表明，两周期序列周期卷积的该定理表明，两周期序列周期卷积的DFSDFS为各自为各自DFSDFS的乘积。的乘积。2( )x n 1( )x n 2( )x n 1( )x n 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换34/178证明证

17、明111200( ) ( )()()NNknNnmY kDFS y nx m x nm W 11()120()( )NNmk r mNmrmx mx r W 111200()()NNknNmnx mx nm W 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换35/17811120()( )NNmkmkrNNmrmx m Wx r W 111200()( )NNkmkrNNmrx m Wx r W 12( )( )Xk Xk 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换36/178（）频域周期卷积定理（）频域周期卷积定理 周期序列的乘积对应着频域的周期卷积。周期序列的乘积对应着频域的周期卷

18、积。即若即若 则则证明方法与时域周期卷积定理类似。证明方法与时域周期卷积定理类似。12( )( )( )y nx n x n 112011201( ) ( )()()1()()NmNmY kDFS y nXm XkmNXkm XmN 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换37/178142512( )( ) ( )(1)( )6( )( )x nR nx nnR nx nx n例：已知序列，分别将序列以周期为 周期延拓成周期序列和，求两个周期序列的周期卷积和。1120( )( )()Nmy nx m x nm解： 5120( )()mx m x nm第第3 3章章 快离散傅里叶变换快

19、离散傅里叶变换38/178第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换39/1780 5 0 5 4 3 2 1 4 3 2 15 4 5 4 3 2 1 0 3 2 1 04 3 4 3 2 1 0 5 2 1 0 53 2 3 2 1 0 5 4 1 0 5 42 1 2 1 0 5 4 3 0 5 4 31 0 1 0 5 4 3 2 5 4 3 21 2 1 2 3 4 5 0 3 4 5 01 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 06 7 0 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1n m1/x n m2xm21xm22xm23xm24xm25xm2/xn m10 8 6

20、10 14 12 ( )y n第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换40/178引入冲激函数( )(2)kk )(02462已知已知 ，IDTFT()?jX e ()2( )jX e 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换41/178解：解：IDTFT()jX e 1212 DTFT12( ) 12()2jned n 2( )j nne 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换42/1780DTFTjne 解：解：DTFT 0jne 0()jnne 0jnj nnee 02() 2( )j nne 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换43/178求求 的

21、的DTFTDTFT00cos,sinnn解：0001cos()2jnjnnee 0001sin()2jnjnnee DTFT00 ()() DTFT00 ()()j 00020220DTFT cosn 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换44/178()( )jj nnX ex n e 2101( )Njnkj nNnkX k eeN 21()01( )Njk nNknX keN 0DTFT02()jne 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换45/1783.2.3周期序列的傅立叶变换周期序列的傅立叶变换1022( ) ()NkX kkNN 22()(2)rkkrNN 2

22、2()( ) ()jkX eX kkNN 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换46/178基本序列的DTFT)(2 nnje12( )DTFT ( )1DTFTn 002()jnDTFTe 000cos ()()DTFTn 000sin ()()DTFTnj 总结第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换47/1783.3离散傅立叶变换离散傅立叶变换 数字计算机处理的数据是离散的，而且是有限长数字计算机处理的数据是离散的，而且是有限长的。因此，为了在计算机上对信号进行频谱分析及其的。因此，为了在计算机上对信号进行频谱分析及其它方面的处理，就要求所处理的信号在时域和频域都它方面

23、的处理，就要求所处理的信号在时域和频域都应是离散的且是应是离散的且是有限长有限长的。在前面讨论过的四种形式的。在前面讨论过的四种形式的傅里叶变换中，只有周期离散时间信号的傅里叶级的傅里叶变换中，只有周期离散时间信号的傅里叶级数数(DFS)(DFS)在两个分析域中都是离散的，但并不是有限在两个分析域中都是离散的，但并不是有限长的。但由于长的。但由于DFSDFS在两个分析域中都是周期的，即只在两个分析域中都是周期的，即只有个独立的序列值，所以只要知道它的一个周期的信有个独立的序列值，所以只要知道它的一个周期的信息，其他周期的信息也就可以知道了。息，其他周期的信息也就可以知道了。 第第3 3章章 快

24、离散傅里叶变换快离散傅里叶变换48/178周期周期N=4N=4区间区间00，N-1N-1称为周期序列的称为周期序列的主值区间主值区间。令令00，N-1N-1外的序列值为零，保留主值区间外的序列值为零，保留主值区间中的值，构成的有限序列称为周期序列的中的值，构成的有限序列称为周期序列的主主值序列值序列。01 2 3 4 5 6 7 8432101 2 3 4 5 6 7 843211、周期序列的表示方法周期序列的表示方法3.3.1 离散傅立叶变换的定义离散傅立叶变换的定义第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换49/178(1)(1)主值区间法：主值区间法： ( )(0),(1),(1)

25、x nxxx N ( )4,3,2,1x n ( )4,3,2,1x n ( )( )( )Nx nx nRn 01 2 3 4 5 6 7 84321窗化窗化周期序列周期序列主值序列主值序列 ( )(0),(1),(1)x nxxx N 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换50/178(2)(2)模模N N法：法：( )( )Nx nx n ( )Nn表示表示n n除以除以N N后的余数。后的余数。5, (8)(3)Nxx ( 2)(3)xx 把周期序列主值区间外的值映射到主值区间内。把周期序列主值区间外的值映射到主值区间内。第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换51/

26、178 将非周期序列转变成相应的周期序列将非周期序列转变成相应的周期序列的过程称为周期延拓的过程称为周期延拓。实现：将非周期序列实现：将非周期序列 按周期按周期L L作作无限次移位相加得到无限次移位相加得到 ，即：，即： ( )x n( )x n ( )()rx nx nrL 2 2、周期延拓、周期延拓- -平移法平移法第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换52/178平移法周期延拓图示：平移法周期延拓图示：( )x nnN将序列将序列 以以L为周期进行周期延拓。为周期进行周期延拓。( )x n第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换53/178( )x n nNLLN 第第

27、3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换54/178( )x n nNLLN 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换55/178LN ( )x n nNL第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换56/178例题：例题：( ) 3,2,1,4x n 将序列将序列 分别以分别以4、6、2为周期进行周为周期进行周期延拓。期延拓。( )x n01 2 3 4 5 6 7 843 21第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换57/17801 2 3 4 5 6 7 843 2143 2143 2143 2143 214L ( ) 3,2,1,4x n 第第3 3章章 快离散

28、傅里叶变换快离散傅里叶变换58/17801 2 3 4 5 6 7 843 2143 2143 2143 216L ( ) 3,2,1,4,0,0 x n 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换59/17801 2 3 4 5 6 7 843 2143 2143 2143 2143 212L ( ) 2,6x n 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换60/1783 2 1 4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 n3 2 1 4 3 2 1 4 4L ( )x n()x nL ()x nL 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 第第3 3章章 快离散

29、傅里叶变换快离散傅里叶变换61/1783 2 1 4 654321 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n3 2 1 4 3 2 1 4 6L ( )x n()x nL ()x nL 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 0 000第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换62/1783 2 1 4 2 1 0 1 2 3 4 5 n3 2 1 4 3 2 1 4 2L ( )x n()x nL ()x nL 2 6 2 6 2 6 2 6 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换63/178结结 论论将将长度为长度为N的序列的序列 以以L为周期为周期进行周期进行周

30、期延拓得到周期序列延拓得到周期序列 ： :LN ( )x n ( )x n :LN ( )( )( )Nx nx nRn ( )( )( )Nx nx nRn 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换64/17810( )( )NnkNnX kx n W 101( )( )NnkNkx nX k WN DFSIDFS3 3、有限长序列的离散傅里叶变换、有限长序列的离散傅里叶变换第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换65/17810( )( ) (01)NnkNnX kx nWkN 101( )( ) (01)NnkNkx nX k WnNN 10( )DFT( )( )( )

31、NnkNNnX kx nx n WRk 101( )IDFT( )( )( )NnkNNkx nX kX k WRnN 3 3、有限长序列的离散傅里叶变换、有限长序列的离散傅里叶变换第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换66/178几点说明：几点说明： 同一序列的不同点数的同一序列的不同点数的DFT一般不同。一般不同。 DFT研究研究N点有限序列点有限序列 DFS研究周期为研究周期为N的周期序列的周期序列 DFT是用主值序列研究周期序列的结果。是用主值序列研究周期序列的结果。 计算计算DFT的点数可以大于序列长度，序列不足的点数可以大于序列长度，序列不足 的部分补零。的部分补零。第第

32、3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换67/178例题例题4( )R n求求 的的4点、点、8点、点、16点点DFT。4( )R nn01234( )1,1,1,1R n 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换68/17800.511.522.53024012345670240510150244点点DFT8点点DFT16点点DFT结论：结论： 对同一序列，对同一序列，不同点数不同点数的的DFT，其，其结果也不同结果也不同！ 一般：一般：DFT点数应点数应大于等于大于等于序列长度！序列长度！ 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换69/178算法实现算法实现0 10 (

33、1)1 0111 (1)2 0212 (1)(1) 0(1) 1(1) (1)0 0(0)(0)(1)(1)(1)(0)(1)(1)(2)(0)(1)(1)(1)(0)(1)(1)NNNNNNNNNNNNNNNNNNNXxWxWx NWXxWxWx NWXxWxWx NWX NxWxWx NW 10( )( ) (01)NnkNnX kx n WkN 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换70/178写成矩阵的形式写成矩阵的形式0 00 10 (1)1 01 11 (1)2 02 12 (1)(1) 0(1) 1(1) (1)(0)(0)(1)(1)(2)(2)(1)(1)NNNNN

34、NNNNNNNNNNNNNNXxWWWXxWWWXxWWWX Nx NWWW *knkNnXWx 或者或者 *nkknNXxW 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换71/178MATLAB程序程序xn = ones（1，4）；N = 4；n = 0 : N - 1;k = 0 : N - 1;WN = exp( - j * 2 * pi / N);nk = n * k;WNnk = WN . nk;Xk = xn * WNnk;第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换72/1783.3.2 DFT3.3.2 DFT与与Z Z变换以及变换以及DTFTDTFT之间的关系之间的关

35、系1.1.DFT与与Z变换的关系变换的关系 10)()(2 NkzXkXkNjez 21100( )( )( )NNjnknkNNnnX kx n Wx n e 10( )( )( )NnnnnX zx n zx n zDFT是是Z变换变换在在单位圆单位圆上上的的N点点等间隔采样等间隔采样第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换73/1782( )() (01)jkNX kX ekN 21100( )( )( )NNjnknkNNnnX kx n Wx n e 10()( )( )Njj nj nnnX ex n ex n eDFT是是DTFT在在0，2 )上的上的N点点等间隔采样等间

36、隔采样2.2.DFT与与DTFT的关系的关系 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换74/178第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换75/178离散频率与数字频率和模拟频率之间的关系离散频率与数字频率和模拟频率之间的关系模拟频率模拟频率：f 和和，单位为赫兹（，单位为赫兹（Hz）和弧）和弧度度/秒（秒（rad/s）。）。2f 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换76/178离散信号数字频率离散信号数字频率：，单位为弧度（，单位为弧度（rad）。）。并通过采样信号的频谱，建立了模拟频率与并通过采样信号的频谱，建立了模拟频率与数字频率之间的关系：数字频率之间的关系

37、：sfTf2 取值范围取值范围02或或第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换77/178离散的数字频率：离散的数字频率：用用k表示。表示。因此可得出离散频率因此可得出离散频率k k与数字频率和模拟频率与数字频率和模拟频率之间的对应关系为：之间的对应关系为： 01k N sfkkfkNN2 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换78/1783.4 3.4 离散傅里叶变换的性质及定理离散傅里叶变换的性质及定理3.4.1 3.4.1 离散傅里叶变换隐含的周期性离散傅里叶变换隐含的周期性1.X(k)是是X(ej )的等间隔的等间隔(2 /N)采样，采样，X(ej )以以 2 为周期

38、，所以为周期，所以X(k)隐含以隐含以N为周期。为周期。2.2.因为：因为：)()(mNnkNmNknNnkNWWW 所以：所以：X(k+mN)=X(k)3.3.因为因为X(k)是是DFS的主值序列，所以的主值序列，所以X(k)隐隐含以含以N为周期为周期第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换79/1783.3.2 3.3.2 离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换的性质在下面的讨论中，认为在下面的讨论中，认为x1(n)、x2(n)都是长度为都是长度为N的有限长序列（的有限长序列（ x1(n)、x2(n)）的长度不同，则）的长度不同，则将长度小的序列补零以使二者的长度相同），将长度小的序列

39、补零以使二者的长度相同），且它们的且它们的DFT分别为分别为11( )DFT( )Xkx n 22( )DFT( )Xkx n 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换80/1781 1线性性质线性性质若若12( )( )( )x nax nbx n 式中式中a、b为任意常数，则为任意常数，则1212( )( )( )( )( )X kDFT ax nbx naX kbXk 如果没有这个性质，如果没有这个性质，DFTDFT作为分析工具可能没作为分析工具可能没有用处，因为我们只能对那些包含单个正弦有用处，因为我们只能对那些包含单个正弦波的输入进行变换，而实际信号比单个正弦波的输入进行变换

40、，而实际信号比单个正弦信号复杂。信号复杂。第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换81/1782 2循环移位性质循环移位性质设设N点有限序列点有限序列 ，称，称 ( )()( )NNy nx nmRn（1 1）序列的循环移位：）序列的循环移位：( )x n为为 的的 m 次循环移位序列。次循环移位序列。 ( )x n第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换82/17801 2 3 4 5( )x n01 2 3 4 5(1)( )NNx nRn 01 2 3 4 5(2)( )NNx nRn 01 2 3 4 5(3)( )NNx nRn 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散

41、傅里叶变换83/178()( )NNx nmRnx(n)周期延拓序列的周期延拓序列的m次移位序列次移位序列( )()( )NNg nx nmRnN点有限序列的点有限序列的m次循环移位次循环移位 对应周期序列做对应周期序列做m次移位后取主值序列次移位后取主值序列 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换84/17801 2 3 4 5( )x n01 2 3 4 5( )x n 01 2 3 4 5(2)x n 01 2 3 4 5(2)( )(2)( )NNNx nRnx nRn 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换85/178（2 2）时域移位性质）时域移位性质 若若则有

42、则有 ( )()( )NNy nx nmRn 2( )DFT ( )( )( )jmkmkNNY ky neX kWX k 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换86/1781100( )()( )()NNknknNNNNNnnY kx nmRn Wx nmW nmr1()( )mNk r mNNr mx rW 1100( )( )NNkmkrkmkrNNNNNNrrWx rWWx rW证明证明令令1( )mNkmkrNNNr mWx rW ( )kmNWX k 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换87T( )cos()DFT( )( )()(

43、)()( )jnljnlNNNNNNDx nnlx n ex n eNXklRkXklRk （3 3）频域移位性质（调制性质）频域移位性质（调制性质） 2IDFT()( )( )( )jnlnlNNNNXklRkex nWx n 例 已知已知 ，求，求 的的DFTDFT。( )DFT ( )X kx n 2( )cos()x nnlN 2DFT( ( )()( )jnlNNNx n eXklRk 2DFT( ( )()( )jnlNNNx n eXklRk 解解 依据频域移位性质，得依据频域移位性质，得则所求则所求DFTDFT为为第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换88/1783.

44、 3. 反转性质反转性质证明 100(1)10DFT()()( )( )()NknNNNNNnknNNnNNknNnNNxnRkxnRk WxnWx n WXkRk DFT()NNNNxnRkXkRk第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换89/1784. 4. 序列的累加序列的累加110000( )|( )|( )NNknkNknnX kx n Wx n 5. 5. 序列的初始值序列的初始值11000011(0)( )|( )|( )NNknnNnkkxx nX k WX kNN 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换90/1786. 6. 共轭对称性质共轭对称性质 1,

45、0N 由于由于 、 是长度为是长度为 的有限长序列，的有限长序列，所以所以DFTDFT的对称性是指在主值区间的对称性是指在主值区间 范围范围内的对称，即关于内的对称，即关于 点的对称。点的对称。( )x n( )X kN0,1N / 2N第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换91/178（1 1）周期序列的共轭对称分量与共轭反对称分量）周期序列的共轭对称分量与共轭反对称分量*11( ) ( )() ( )() 22eNNx nx nxnx nxNn *11( ) ( )() ( )() 22oNNx nx nxnx nxNn 共轭对称分量共轭对称分量共轭反对称分量共轭反对称分量( )

46、( )( )eox nx nx n*( )()eex nxn*( )()oox nxn 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换92/178（2 2）有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭）有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量反对称分量*1( )( )( ) ( )() ( )2epeNNNNxnx n Rnx nxNnRn *1( )( )( ) ( )() ( )2opoNNNNxnx n Rnx nxNnRn 圆周共轭对称分量圆周共轭对称分量圆周共轭反对称分量圆周共轭反对称分量第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换93/178( )( )( )( )( )(

47、 )( )( )( )( )NeoNeNoNx nx n Rnx nxn Rnx n Rnxn Rn ( )( )( )epopx nxnxn 因为因为所以所以 注意：注意： 、 并不是周期序列，它并不是周期序列，它们只是分别表示周期序列们只是分别表示周期序列 、 的一的一个周期。个周期。( )epxn( )opxn( )ex n ( )ox n 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换94/1780122201222()(),()(),epepopopNNNxnxnnNNNxnxnn 0101( )(),( )(),epepopopxnxNnnNxnxNnnN 当当N N为偶数时，为

48、偶数时，2Nnn 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换95/178第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换96/178*( )()( )opopNNXkXN kR k 12* ( )() ( )NNNX kXNkR k ( )( )( )epopX kXkXk 12*( )() ( )NNNX kXNkRk *( )()( )epepNNXkXNkR k 同理同理第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换97/178*DFT( )()( )()( )NNNNxnXkRkXNkRk 证明证明: :11001010*()*DFT( )( )( )( )( )( )( )(

49、 )( )()( )NNnknkNNNNnnNNnnkNNNnNNk nNNnNNx nx n WRkx n WRkx n WWRkx n WRkXNkRk 对称性质对称性质1 1第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换98/178对称性质对称性质2 2 证明：证明：*DFT()( )( )NNxnRnXk 10101010*()*DFT()( )()( )()( )( )( )NnkNNNNNnNnkNNnNnkNNnNnkNnxnRnxnRn WxnWxnWx n WXk 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换99/178对称性质对称性质3 3 12*DFTRe ( )(

50、 )() ( )( )NNNepx nXkXNkRkXk 对称性质对称性质4 4 12*DFT Im ( )( )() ( )( )NNNopjx nXkXNkRkXk 对称性质对称性质5 5 对称性质对称性质6 6Re( )DFT( )epX kxn Im( )DFT( )opjX kxn 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换100/178对称性质对称性质7 7 虚、实序列的对称特性虚、实序列的对称特性 当当 为实序列时，由性质为实序列时，由性质3 3可知，其可知，其DFTDFT只有周期共轭对称分量，即只有周期共轭对称分量，即( )x n12*( )( )( )() ( )epN

51、NNX kXkXkXNkRk 所以所以*( )()( )NNX kXNkRk 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换101/178 当当 为纯虚序列时，由性质为纯虚序列时，由性质4 4可知，可知，其其DFTDFT只有周期共轭反对称分量，即只有周期共轭反对称分量，即( )x n12*( )( )( )() ( )opNNNX kXkXkXNkRk 所以所以*( )()( )NNX kXNkRk 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换102/1787 7帕塞瓦尔（帕塞瓦尔（ParsevalParseval）定理）定理设设 、 均为均为 点有限长序列，若点有限长序列，若则则( )

52、x n( )y nN( )DFT ( )X kx n ( )DFT ( )Y ky n 11001*( )( )( )( )NNnnx n y nX k YkN 令令( )( )y nx n 1122001( )( )NNnnx nX kN 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换103/1783.5 3.5 有限长序列的循环卷积定理有限长序列的循环卷积定理两个长度分别为两个长度分别为 和和 的有限长序列的有限长序列 ， 的循环卷积为的循环卷积为1N1( )x n2( )x n1120( )()()( )NNmy nx m xnmRn 1120()()( )NNNNmxmxnmRn 2

53、N1.1.循环卷积：循环卷积：12max,NNN 1120()()( )NNNmx m xnmRn 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换104/178例题例题计算序列计算序列 和和 的的3 3点循环卷积。点循环卷积。 ( )x n( )y n12( )1, 1,2, ( )3,0, 1x nx n1120( )()() (01)NNmy nx m xnmnN 21230()() (02)mx m xnmn 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换105/178计算出：计算出：(0), (1), (2)yyy( )4, 5,5y n 21230(0)()()myx m xnm

54、 123(0)(0)xx 123(1)( 1)xx123(2)( 2)xx12(0)(0)xx 12(1)(2)xx 12(2)(1)xx 4 21230(1)()(1)myx m xm 5 21230(2)()(2)myx m xm 5 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换106/178( )4, 5,5y n 12( )1, 1,2, ( )3,0, 1x nx n12( )1, 1,2, ( )3,0, 1x nx n( )4, 5,5y n 周周期期延延拓拓周周期期延延拓拓周周期期延拓延拓以以 为周期为周期N第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换107/1781(

55、 )( )y nx n 2( )xnN1122( )()( )()iix nx niNx nx niN 卷积关系定理卷积关系定理2( )()iy ny niN 12( )( )( )y nx nx n 有限序列循环卷积有限序列循环卷积序列的周期延拓序列的周期延拓两序列周期延拓所两序列周期延拓所得周期序列的周期得周期序列的周期卷积。卷积。|第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换108/178例题例题计算序列计算序列 和和 的的5点点循环卷积。循环卷积。 ( )x n( )y n12( )1, 1,2, ( )3,0, 1x nx n1120( )()() (01)NNmy nx m x

56、nmnN 41250()() (04)mx m xnmn ( )3, 3,5,1, 2y n 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换109/178结结 论论一般地，参与运算的序列都是一般地，参与运算的序列都是同长度的有同长度的有限长序列限长序列，结果也是同长度的有限长序列。，结果也是同长度的有限长序列。不同长度的有限长序列做循环卷积，通过不同长度的有限长序列做循环卷积，通过补补零零使主值区间拓展成同长度的序列。使主值区间拓展成同长度的序列。若若x(n)，y(n)长度为长度为N1，N2，则循环卷积长，则循环卷积长度度N：12max,NNN 第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变

57、换110/178两个长度分别为两个长度分别为 和和 的有限长序列的有限长序列 ， ，2.2.时域循环卷积定理时域循环卷积定理若若则则11DFT( )( )x nX k 22DFT( )( )x nXk N2( )x n1( )( )y nx n 12( )DFT ( )( )( )Y ky nX k Xk 两个等长序列循环卷积的离散傅里叶变换等于两个等长序列循环卷积的离散傅里叶变换等于这两个序列的离散傅里叶变换的乘积。这两个序列的离散傅里叶变换的乘积。1N1( )x n2( )x n2N第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换111/1783.3.频域循环卷积定理频域循环卷积定理若若则

58、则12( )( )( )y nx n xn N2()Xk11( )( )Y kXkN 两个等长序列乘积的离散傅里叶变换等于这两两个等长序列乘积的离散傅里叶变换等于这两个序列的离散傅里叶变换的循环卷积。个序列的离散傅里叶变换的循环卷积。两个长度分别为两个长度分别为 和和 的有限长序列的有限长序列 ， ，11DFT( )( )x nX k 22DFT( )( )x nXk 1N1( )x n2( )x n2N第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换112/178卷积关系定理卷积关系定理1卷积关系定理卷积关系定理2线性卷积线性卷积周期卷积周期卷积循环卷积循环卷积卷积关系定理卷积关系定理3、4

59、、54.4.有限长序列的线性卷积与循环卷积有限长序列的线性卷积与循环卷积第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换113/178( )2,3,1, 2,2x n ( ) 1,2,1h n 长度长度M=5M=5长度长度L=3L=3例例 题题计算它们的计算它们的线性卷积、线性卷积、 5、6、7、8点循环卷积点循环卷积。第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换114/178( ) 2,1,7,7, 5,2,2y n 5( )0,3,7,7, 5y n 6( )0,1,7,7, 5,2y n 7( ) 2,1,7,7, 5,2,2y n 8( ) 2,1,7,7, 5,2,2,0y n

60、第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换115/178( )01x nnM( )01h nnL对对x(n)和和h(n)补零，使其长度均为补零，使其长度均为N点点( )( )()Nrh nh nh nrN 对对h(n)周期延拓：周期延拓：循环卷积和线性卷积之间的关系：循环卷积和线性卷积之间的关系：第第3 3章章 快离散傅里叶变换快离散傅里叶变换116/17810()()( )NNmrx mh nrNm Rn10() ()( )NNrmx m h nrNm Rn ()( )Nry nrNRn 10( )() () ( )NNNNmynx m h nmRn 循环卷积：循环卷积：第第3 3章章