高等代数与几何第二章第一节

1、第二章第二章 空间解析几何空间解析几何 解析几何就是用代数的方法来研究一些几何图形，解决一些几何问题。解析几何的基本方法就是坐标法。解析几何在代数，分析，力学，物理和一些工程技术方面有着广泛的应用，它是学习其他课程和解决某些实际问题的基础。 在本章，我们将讨论三维欧式空间，平面和直线及其它们的相互关系，最后介绍几种重要的曲面和二次曲面。 2.1 2.1 坐标系、三维向量坐标系、三维向量 笛卡儿坐标设 是相交于一点但是不在同一平面上的 123,L L L三条实数轴，则 构成了一个空间笛卡儿 123,L L L坐标系，其交点称为坐标原点记为 ； 123,L L LO称为坐标轴(分别称为 轴， 轴，

2、 轴)； xyz12,L L所在的平面称为 面， xOy 所在的平面称为 所在的平面称为 面；这些平面 23,L L13,L LxOzyOz面，统称为坐标面。 yzxO1L2L3L坐标轴 : 轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面 :xOy面0 zyOz面0 xzOx面0 yxyzO 轴交于 ，对应于实数轴上的三个实数面， 面平行的平面，它们分别与 轴， 轴， 显然点 按照上述方法对应于有序数组xyz) 0 , 0 ,(01xM) 0 , 0(02yM), 0 , 0(03zMO),(000zyxM设 是空间上一点，过点 分别作与 面， xOyMMyOzxOzxyz123,M MM000

3、,.xyzM000(,)xyz是一个一一对应。称 为 的坐标，000(,)xy zM记为 或 ，其中称 为点 的 000(,)M xyz000(,)xyzMx0 x坐标或横坐标， 称 为点 的 M0yy坐标或纵坐标， 称 为点 的 坐标或竖坐标。 M0zz则点 的坐标为 ； xyz) 0 , 0 ,(01xM) 0 , 0(02yM), 0 , 0(03zMO),(000zyxM),(000zayxMa如果点 是点 平行 轴移动 个单位时， M000(,)M xyzyaM000(,)xya z平行 轴移动 个单位时， xa当点 是点 M000(,)M xyz则点 的坐标为 ； M000(,)x

4、a yz当点 是点 M000(,)M xyz平行 轴移动 个单位时，则 za点 的坐标为 . M000(,)xy za总之, 设点 123,M MM 是点 000(,)M xyz分别平行 轴， 轴， 轴移动 个单位， 则点 123,M MM的坐标分别为000(,),xa y z000(,),xya z000(,).xyzaxyza三个坐标平面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限。xyzx轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)面yOzzOx面O面xOy不同卦限内的点的坐标符号如下：卦限 坐标( , , ), ( , , ). ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )

5、, ( , , ), ( , , ), 如果我们选取的三条实数轴是互相垂直的，并且其单位长度相同，则称为直角坐标系。如果直角坐标系中 轴， 轴， 轴满足右手法则(即用右手由 轴的正向向 轴的正向握拳，拇指正好指向 轴的正向)，则称这个直角坐标系是右手系的。在本章中我们都假设迪并且是右手系的。xyzxyzxyzx轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)O卡儿坐标系是直角坐标系，xoyzMN0z00r柱面坐标柱面坐标对于空间上的点 ，过点 作 平面的垂线，它 xOyMM的垂足 与 的距离记为 ，将 轴正向与线段 的逆时针角（ 轴在 平面上绕 逆时针旋转与 线段 重合时所需旋转的角度）记为 ， 为点的

6、轴坐标。这样对于空间上点 就有一个有序数组 与它对应，称 为点 的柱面坐标.NO0rxONxxOyOON0z0MzM000( ,)rz000( ,)rzM如果点 不在 轴，点 与它的柱面坐标000( ,)rz00(0,02 )r是一一对应的；为 ，其中 由 唯一确定，而MzM如果点 在 轴上,则点 的柱面坐标MzM00(0,)z 可以是大于等于0小于 的任意数。0M0z2xoyzMN0z00r如果设点 的柱面坐标为 ，000( ,)rzM点 的直角坐标为 ，则从M000(,)xy z图中和三角函数公式可以看出直角坐标与柱面坐标的转换公式：00000000cossinxryrzz；2200000

7、02222000000arcsinarccos.rxyyxxyxyzz0 x0y 的任意数；如果点 在 轴上，但不是原点, 则Mz点 的球面坐标 中 和 由xoyzMNQRP00r0球面坐标球面坐标设 是空间一点，将 与坐标原点 的距离记为 ，将 轴正向与线段 的夹角记为 ，将 轴正向与线段 在 上的投影的逆时针角记为 。这样对于空间中点 就有一个有序数称 为点 的球面坐标.MM组 与它对应，000( ,)r 000( ,)r 如果点 不在 轴,点000(0,02 ,0)r是一一对应的；唯一确定，而MzM 可以是大于等于0小于02 与它的球面坐标 M000( ,)r 000( ,)r 00rM

8、如果点 是原点，则点M 的球面坐标 中 而 M000( ,)r 00r 00, 为满足 的任意数。 0002 ,0MMO0rzOM0 xOMxOy0000( ,)r xoyzMN0 x00r0如果设点 的球面坐标为 ，M点 的直角坐标为 ，则从M000(,)xyz图中和三角函数公式可以看出直角坐标与球面坐标的转换公式：000( ,)r 00000000000sincossinsincosxryrzr；22200000002222000000222000arcsinarccos.arccosrxyzyxxyxyzxyz0y0z, , ,a b c定义2.1.2 一个既有大小, 又有方向的量称为向

9、量。向量向量最简单的量是在取定单位以后可以完全用一个实数来表示，例如距离，时间，体积，温度等等，这种只有大小的量称为数量。另外还有一些比较复杂的量，它们不仅有大小而且还有方向，例如力，速度，力矩等等。(也称为矢量). 表示法: 有向线段 M1 M2 ,或,或a,b,c,向量的长度 :向量的大小,21MM记作,a或或|a|(也称向量的模). 是一个非负实数。1M2M向量的起点向量的终点零向量: 一个长度（模）为 0 的向量称为零向量,记为0.注意：零向量的方向不定。负向量：与向量a的长度相同方向相反的向量称为a的负向量，记为a。单位向量: 一个长度（模）为 1 的向量。自由向量：与起点无关的向量

10、.用有向线段表示向量的时候，起点可任取. 即长度相等，方向相同的向量相等。如图M1M1PP1 1MPM P 点 与a 的终点 重合，连接两向量a,b, 得一折线向量的加法向量的加法定义2.1.3 设a ,b ,平行移动b，使b的始1 1M P 22M P2M ，从折线的起点 到终点 的向量s 1 122()M P MP1M2P称为a,b的和，记为s=a+b. （三角形法则）也可用平行四边形来定义向量的加法。2P1M12()P Ms=a+bbas=a+bba（三角形法则）（平行四边形法则）1P 是一个数 ,规定 :时，0,0时,00时）时（或者 a总之:，同向与aa 与 a 的乘积是一个新向量,

11、 记作.a;aa，反向与aa;aa.0aaa向量与数的乘法注：模也为零，方向不定。我们将向量放到一个直角坐标系里。设 为空间直角坐标系。Oxyz向量的坐标表示xyzO由此可得到一个向量a 。xOyzN对于任意向量a ，将它的起点放到坐标原点 OP 上，则它的终点坐标 由a唯一确定，给定三个数 ，则在直角坐标系有一个唯一的 (,)xyzP a a a,xyza aaO点 与它对应，OP (,)xyzP a aa这样在有序三元数组 与向量a之间建立了一(,)xyza aa个一一对应，因此，一个向量a可以由有序三元数组(,)xyza aa表示，称 为向量a的坐(,)xyza aa标，记为a 。(,)

12、xyza a a(,)xyzP a aaaxayaza反之，其中 称为a的方向余弦。Oyzx2设 分别是a与x轴正向，123, y轴正向，z轴正向的夹角，0,1,2,3.ii命题2.1.4 设a ，b 。则有(,)xyza aa(,)xyzb b b222xyzaaa；,xxyyzzab ab ab；,xyzaaa；12222222cos,cos,yxxyzxyzaaaaaaaa3222cos,zxyzaaaa123cos,cos,cos(1) |a|(4)(3) a(2) a+b（证明略）1a3称为a的方向角。其中向量的运算性质：性质2.1.1 设a，b，c是任意向量，k，l是任意实数，则

13、(1) a+b=b+a.(2) (a+b)+c=a+(b+c).(3) 零向量0=(0,0,0)，而且0+a=a.(4) 如果a ，则a (,)xyza aa(,),xyzaaa 而且a +（a ）=0.(5) 1a =a .(6) l(ka) =(lk)a .(7) (l+k)a =la +ka.(8) k(a+b) =ka+kb.xOyzMN如果设i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1), 它们分别表示为与x轴，y轴，z轴正向一致的单位向量, a 可以表示为a=axi+ayj+azk (,)xyza aa例2.1.5 把ABC的BC边五等分， 设分点分别为D1,D2,D3

14、,D4, 再把它们分别与A连接，设AB=c，BC=a，试求DiA，i=1,2,3,4.解 由于 ,5iiiiBDBC BDD ABA 所以 c a =.5iiiD AABBD aijkxayaza则向量例2.1.6 设M(x1,y1,z1), P(x2,y2,z2)是三维空间上的两个点，求向量MP的坐标。OyzxMP解 （如图） 212121(,).MPOPOMxx yy zz 例2.1.7 点P把有向线段P1P2分成定比已知P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2)和 ，(1) ：12PPPP ， 求P的坐标。 解 设P(x,y,z),由 推出 111222(,)(,)xx yy zzxx yy zz，121212()()()xxxx