大学物理习题集

1、例例: :已知某质点的运动方程为：已知某质点的运动方程为：)0t)(m(j)t2(i )1t 2(r32求：求：（1 1）轨迹方程；）轨迹方程；（2 2）t=0（s）至至t=2（s）末的位移末的位移（3 3）t=0（s）至至t=2（s）内的平均速度；内的平均速度；（4 4）t=0（s）和和t=2（s）时的瞬时速度；时的瞬时速度；（5 5）t=0（s）至至t=2（s）内的平均加速度内的平均加速度; ;（6 6）t=2（s）时的瞬时加速度。时的瞬时加速度。解：解：（1）1x21x2yt2y1t 2x2/332 j8i8j2i 1j6i7rrr0t2t（2）s/mj4i42j8i8trvjt 3i

2、t4dtrdv20vs/mj12i8v022s/mj6i420j12i8tvaj t6i4dtvda22s/mj12i4a（6）（5）（4）（3）0v例：如图，一人拉着例：如图，一人拉着绳子的一端在水平面绳子的一端在水平面上以速度上以速度 匀速前进。匀速前进。求当绳子与水平面夹求当绳子与水平面夹角为角为 时，重物上升的时，重物上升的速度和加速度。速度和加速度。0v22yhxhL00022cosv xdydy dxdyvvvdtdx dtdxxh222300022 3/2sin()v hvdvdv dxdvavdtdx dtdxxhh（1）建立坐标系）建立坐标系（2）解：解：例：已知一个质点作直

3、线运动，其加速度为例：已知一个质点作直线运动，其加速度为 , ,在在t=0t=0的初始时刻，其位置在的初始时刻，其位置在x=0 x=0处，速度为处，速度为0 0。试求任意时。试求任意时刻质点运动的速度和位置。刻质点运动的速度和位置。 解：解： 因为：因为：位移、速度、加速度等都是矢量位移、速度、加速度等都是矢量 ，他们随时间的变，他们随时间的变化关系，可以分别用沿各坐标轴的分量随时间的变化关系来化关系，可以分别用沿各坐标轴的分量随时间的变化关系来代替，这样，代替，这样，任何一个多维运动可以分解为沿各任何一个多维运动可以分解为沿各坐标轴的分坐标轴的分运动运动来研究。来研究。 2632tta0v

4、,0 x ,0t00t 2t 3tdt)2t6t 3(adtvv23t02t00234t023t00ttt41dt)t 2t 3t (vdtxx由初始条件由初始条件 一维运动处理问题的方法、步骤完全适用于多维运动。一维运动处理问题的方法、步骤完全适用于多维运动。例：有一质点沿半径为例：有一质点沿半径为R=2(m)圆轨道作圆周运动，圆轨道作圆周运动，t时刻的角时刻的角位置位置 （弧度），求（弧度），求t=1(s)时质点的速度和加速度。时质点的速度和加速度。2t2tdtddtd)s/m(2t2Rv)s/m(e2vt)s/m(e2e2a2n2t解：解：， ， )s/m(2t2Ra)s/m(2Ra22

5、222n2tj )t2sin(2i )t2cos(2r22j)t2cos(t2i )t2sin(t2dtrdv221t s/mi2vj)t2cos(2)t2sin(t2i)t2sin(2)t2cos(t2dtvda22222222 )s/m( j2i2a22 另解：另解： : :炮弹相对炮弹相对“定系定系”B B的速度，大小的速度，大小 ，方向待求。，方向待求。例：如图，例：如图，A舰自北向南以速率舰自北向南以速率v1行驶行驶, ,B舰自南向北以速率舰自南向北以速率v2行驶。当两舰连线与航线垂直时，行驶。当两舰连线与航线垂直时，B舰向舰向A舰发射炮弹，随后舰发射炮弹，随后击中击中A舰。炮弹发射

6、时的速率为舰。炮弹发射时的速率为v0，求发射方向与航线的夹角，求发射方向与航线的夹角（忽略炮弹在竖直方向的运动）。（忽略炮弹在竖直方向的运动）。解：解：取取B B舰为舰为“定系定系”，A A舰为舰为“动系动系”，炮弹视为质点。，炮弹视为质点。建建立如图所示的坐标系。立如图所示的坐标系。ABDADBvvvDBv0v : :炮弹相对炮弹相对“动系动系”A A的速的速度，在度，在A A舰看来炮弹自东向西舰看来炮弹自东向西DAv:两舰相对速度两舰相对速度ABvjvvvvvBAAB)(21012cosvvv120cos()vvv得到图中的速度矢量三角形得到图中的速度矢量三角形 海岸海岸ABYXYX1v2

7、vDAvDB0vvABv第二章第二章例：如图，斜面静止在地面上，轻绳连接例：如图，斜面静止在地面上，轻绳连接m m1 1、m m2 2，已知，已知 时时系统保持静止，系统保持静止， ， ， 求求t t时刻时刻m m1 1、m m2 2的加速度和速度。的加速度和速度。 Nt15t 58 . 9F2kgm410230,1kgm0tamgmTamTgmF1122sin)s/m(t 3tmmsingmgmFa222112t0v0adtdvadtdvdtdva解：解： )/(21)3(3202smttdtttvt例例: : 长为长为l l的的细线一端固定于天花板，另一端连接质量为的的细线一端固定于天花板

8、，另一端连接质量为m m的小球，初始时细线与水平方向的夹角为的小球，初始时细线与水平方向的夹角为 ，小球静止，然，小球静止，然后释放。不计空气阻力。求细线与水平方向成后释放。不计空气阻力。求细线与水平方向成 角时小球的角时小球的速率速率v v，并表示为，并表示为 的形式。的形式。0 vdtdvmmacosmgtdtdvcosgddvlvddvdtdddvdtdvv0vdvdcosgl00sinsingl2v解：解： 在切线方向上在切线方向上 例：将绳索在木桩上绕例：将绳索在木桩上绕几圈，只要用很小的力几圈，只要用很小的力拽住绳的一端，就能使拽住绳的一端，就能使绳索另一端受到极大的绳索另一端受到

9、极大的力。并且绳索能够固定力。并且绳索能够固定在木桩上，如图所示，在木桩上，如图所示，试说明其原因。试说明其原因。 解：解： 00TTNf0maxsffNd2/d2/dTTN0fsin()sin022ddNTTdTcos12d略去二阶无穷小量略去二阶无穷小量 NTdSdTN消去消去N得得: :SdTdT100TsTdTdT10sTT e max0sTT e 6若绳在木桩上绕三圈，若绳在木桩上绕三圈， 0.5s05TN4max6.17 10TN2d2dsinNf2dcosT2dcosdTTs0例：如图，设所有的接触面都光滑，求物体例：如图，设所有的接触面都光滑，求物体m 相对于斜面的相对于斜面的

10、加速度和加速度和M 相对于地面的加速度。相对于地面的加速度。011sincossinMaNmamgNmamgyx aaa0sincos00aaaaayx01010sinsincos) cos(sinMaNmamgNaammg202sincossinsinsin)(mMmgamMgmMa解解1：以地面作参考系：以地面作参考系O0agM1N2N1gma01010sin0sincoscossinMaNmamgNmamamg202sincossinsinsin)(mMmgamMgmMa解解2：讨论木块时以斜面作为参考系：讨论木块时以斜面作为参考系例：变质量系统的动量例：变质量系统的动量宇宙飞船以恒速宇

11、宙飞船以恒速 在空间飞行过程中，空间的粒子流在空间飞行过程中，空间的粒子流以以 的质量变化速率附着在飞船上。尘粒在与飞的质量变化速率附着在飞船上。尘粒在与飞船船“碰撞碰撞”之前的速度为之前的速度为 ， 时刻，飞船的总质时刻，飞船的总质量量 ，如图所示。求保持飞船匀速飞行所必须的外，如图所示。求保持飞船匀速飞行所必须的外力力 。Vdm dtUt( )M t解：设解：设 是是 时间内飞船增加的时间内飞船增加的质量。附着在飞船上的尘粒和飞船质量。附着在飞船上的尘粒和飞船视为一个系统视为一个系统 dtdm系统的初动量系统的初动量 未动量未动量 动量变化动量变化 (dPdmVUdtdt)(dmFVUdt

12、)F UdmVtMtP VdmVtMdttP UVdmtPdttPPd例：如图所示，一轻绳悬挂质量为例：如图所示，一轻绳悬挂质量为m m1 1的砂袋静止下垂，质量为的砂袋静止下垂，质量为m m2 2的子弹以速度的子弹以速度v v0 0、倾斜角、倾斜角射入砂袋中不再出来，求子弹与射入砂袋中不再出来，求子弹与砂袋一同开始运动时的速度。砂袋一同开始运动时的速度。1m2m0v解：解： 动量的竖直分量不守恒动量的竖直分量不守恒 动量的水平分量守恒动量的水平分量守恒 vmmsinvm21022102mmsinvmv例：小游船靠岸的时候速度已几乎减为零，坐在船上远离例：小游船靠岸的时候速度已几乎减为零，坐在

13、船上远离岸一端的一位游客站起来走向船近岸的一端准备上岸，设岸一端的一位游客站起来走向船近岸的一端准备上岸，设游人体重游人体重m m1 1=50kg=50kg，小游船重，小游船重m m2 2=100kg=100kg，小游船长，小游船长L=5mL=5m，问，问游人能否一步跨上岸。（水的阻力不计）游人能否一步跨上岸。（水的阻力不计）1v1m2m1x2x当游客走到船近岸一端时，游客对岸行走了距离当游客走到船近岸一端时，游客对岸行走了距离 ，游，游船对岸行走了距离船对岸行走了距离 。1x2x解：解：将游客与游船视作一个系统，该系统水平方向不受外力将游客与游船视作一个系统，该系统水平方向不受外力作用，动量

14、守恒。设游客速度作用，动量守恒。设游客速度v v1 1，游船速度，游船速度v v2 2。 0vmvm2211mLmmmx67. 1510050502112t011dtvxt022dtvx12xLx可得游船已离岸：可得游船已离岸：可见游客要想一步跨上岸是很困难的，最好用缆绳先将船可见游客要想一步跨上岸是很困难的，最好用缆绳先将船固定住，游人再登陆上岸。固定住，游人再登陆上岸。 例：见下图，一链条长为例：见下图，一链条长为l l，质量，质量m m，放在光滑的水平桌面上，放在光滑的水平桌面上，链条一端下垂，长度为链条一端下垂，长度为a a。假设链条在重力作用下由静止开。假设链条在重力作用下由静止开始

15、下滑，求链条全部离开桌面时的速度。始下滑，求链条全部离开桌面时的速度。 重力重力重力的元功重力的元功重力的功重力的功解解(1)：gxGgxdxlml dGdA222alglmgxdxlmdAAla根据动能定理根据动能定理0212222mvallmgA22allgv解解(2)：根据功能原理，以桌面为重力势能零点根据功能原理，以桌面为重力势能零点2aaglm2llglmmv21222allgv例：质量为例：质量为mB的木板静止在光滑桌面上，质量为的木板静止在光滑桌面上，质量为mA的物体放的物体放在木板在木板B的一端，现给物体的一端，现给物体A一初始速度一初始速度 使其在使其在B板上滑动，板上滑动，

16、如图如图(a)(a)，设，设A、B之间的摩擦因数为之间的摩擦因数为 ，并设，并设A滑到滑到B的另一的另一端时端时A、B恰好具有相同的速度，恰好具有相同的速度， ，求，求B板的长度以及板的长度以及B板走过的距离。（板走过的距离。（A可视为质点）可视为质点），0vBAmm 由质点系动能定理由质点系动能定理 对对B B板应用质点的动能定理板应用质点的动能定理 解：解： 动量守恒动量守恒 vmmvmBAA020vv 2022121vmvMmglmABAAgvL4200212vmxgmBAgvx820mgh)vv(m21MV210MVmv2y2x2x vVvsincosvvVvvyx)sinmM)(mM

17、(cosghmVsinmMgh)mM(2 v222解：解：例：如图，质量为例：如图，质量为m的物体自高度为的物体自高度为h，倾角为，倾角为 ，质量为，质量为M的斜面的顶端以零初速滑下，求当物体滑到斜面底端时的速的斜面的顶端以零初速滑下，求当物体滑到斜面底端时的速度。（设所有的接触面都光滑）度。（设所有的接触面都光滑）这个例子进一步说明，角动量这个例子进一步说明，角动量 是依赖于参考点的选择的。是依赖于参考点的选择的。例例: :质量为质量为m，大小可忽略的滑块，以速度，大小可忽略的滑块，以速度 沿着沿着X轴自轴自由地滑动，如图所示。分别求其绕由地滑动，如图所示。分别求其绕O点的角动量点的角动量

18、和绕和绕B点的点的角动量角动量i vvoLBL解解： i xro0)vm(rLoo或：以或：以B点作原点点作原点 kmvlkmvljimvlxkjivmrLBB00000Lklmv)vm(rLBB例：有心力场中质点的运动例：有心力场中质点的运动视地球为质点，太阳为力心。设在时刻视地球为质点，太阳为力心。设在时刻 和和 ，地球对太，地球对太阳的位矢分别为阳的位矢分别为 和和 )(dttr)(trdtt t图中阴影部分是矢径在时间间隔图中阴影部分是矢径在时间间隔 内扫过的面积，因行星内扫过的面积，因行星( (地地球球) )的角动量守恒的角动量守恒dtvmrdtrdrm|sindrmrdt常量1|s

19、in2dAr dr常量dtdA开普勒第二定律开普勒第二定律 常矢量常矢量常矢量常矢量在任意相等的时间里，地球矢径扫过的面积相等在任意相等的时间里，地球矢径扫过的面积相等第三章第三章例：如图所示，一正方形边长为例：如图所示，一正方形边长为l，它的四个顶点各有一个质，它的四个顶点各有一个质量为量为m的质点，求此系统对（的质点，求此系统对（1 1）z1轴；（轴；（2 2）z2轴；（轴；（3 3）z3轴轴的转动惯量。的转动惯量。解：解：(1)对对z z1 1轴轴 22224mllmrmIii(2)对对z z2 2轴轴 22mlI (3)对对z z3 3轴轴2222224mllmrmIii1Z2Z3Z例

20、：求长为例：求长为L、质量为、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。惯量。ABLXABL/2L/2CX解：取如图坐标，解：取如图坐标，dm= dxdmrI2CdmrI2A3/mLdxx2L0212/mLdxx22L2L2例、求质量为例、求质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。圆环平面垂直并通过圆心。解解: :dmrI2I是可加的，所以若为薄圆筒是可加的，所以若为薄圆筒（不计（不计宽宽度）结果相同。度）结果相同。222mRdmRdmRROdmROdm例：有一质量均匀分布的圆环，半径为例：有一质量均匀分布

21、的圆环，半径为R R，质量为，质量为m m，求，求圆环对过圆环直径的转轴的转动惯量。圆环对过圆环直径的转轴的转动惯量。OddlRrdl)sinr(dmrI22202222mRRdsinRI解解：一质量为一质量为m ，半径为，半径为R、厚为厚为l的均匀圆盘，求通过盘中心的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。并与盘面垂直的轴的转动惯量。rdrRrdr2dmdmrdI2R03drr2I24212mRRO取半径为取半径为r宽为宽为dr的薄圆环的薄圆环可见，转动惯量与可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是也是mR2/2。例：均匀球体对

22、过直径的转轴的例：均匀球体对过直径的转轴的转动惯量转动惯量解：取距离中心为解：取距离中心为r r的一个圆盘，的一个圆盘，它的转动惯量为：它的转动惯量为：)cosR(d)sinR(R34m)sinR(21dzrr2/1dmr2/1dI232222)(cosd)coscos21(mR83I4220zrdzR2mR52刚体形状刚体形状转轴位置转轴位置转动惯量转动惯量细棒细棒中垂轴中垂轴细棒细棒一端的垂直轴一端的垂直轴圆柱体圆柱体几何对称轴几何对称轴薄圆环薄圆环几何对称轴几何对称轴薄圆环薄圆环任意直径为轴任意直径为轴圆盘圆盘几何对称轴几何对称轴圆盘圆盘任意直径为轴任意直径为轴球体球体任意直径为轴任意直

23、径为轴圆筒圆筒几何对称轴几何对称轴常常见见刚刚体体的的转转动动惯惯量量2121mlI 231mlI 221mRI 222121RRmI221mRI 2mRI 221mRI 241mRI 252mRI 例：右图所示，刚体对经过棒端例：右图所示，刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？计算？( (棒长为棒长为L L、球半径为、球半径为R R）2L1LLm31I2ooRm52I 2002002L)RL(mIdmII2o2o2L)RL(mRm52Lm31ILmOm解：解：例：如图，例：如图， 、 、 和和 都已知，绳子与滑都已知，绳子与滑轮间无相对滑动，求轮间无相对

24、滑动，求 、 的加速度。的加速度。m2m1图136(a)RMgm11Tgm22TR1T2TgMQ图136(b)2/,2212122111MRIRaIRTRTamgmTamTgm2/)(2121Mmmgmma解：解：1m2mMR1m2m碰到滑轮问题，一般取一顺的方向碰到滑轮问题，一般取一顺的方向例：如图，质量为例：如图，质量为m，长为，长为l的均匀细棒绕过的均匀细棒绕过O点的转轴自水平点的转轴自水平位置以零角速度自由下摆位置以零角速度自由下摆，(1)求细棒运动到与水平夹角为求细棒运动到与水平夹角为 时时的角加速度和角速度的角加速度和角速度;(2);(2)此时细棒末端此时细棒末端A A的速度和加速

25、度。的速度和加速度。解解:(1):(1) 杆受到的重力矩等于杆上各质杆受到的重力矩等于杆上各质点受到的重力矩之和点受到的重力矩之和lAgdmCrdrcoslmgcosgrlmdrcosgrdmdM杆受到的总重力矩：杆受到的总重力矩：cosmgl21rdrcoslmgMl0和把杆看成受到作用于重心的重力和把杆看成受到作用于重心的重力 计算结果相同计算结果相同gmgmdddtddddtdsin3gllvsing3la2/cosg3la2nt(2)lgmllMg2cos331cos22lsing300dl 2cosg3ddl 2cosg3ddlAgmC例例: : 如图，已知：如图，已知： ， ， ，

26、 且且 ，t=0时系统保持静止，求时系统保持静止，求t时时m1的的速度。速度。IvRmvRmRdt)singmgmF(21t012)s/m(tt21141dt)t18t6(2/Mmmdt)singmgmF(v32t0221t0122/MRI,Rv2kgm41kgm12kgM2030)(1868 . 92NttF解：解：m2 m1FRM图163lAgmC（2） sin3gllvsin32/cos32glaglanl 2cosg3dddtddddtd例：如图，质量为例：如图，质量为m，长为，长为l的均匀细棒的均匀细棒OA自水平位置以零初自水平位置以零初速自由下摆，求速自由下摆，求(1)(1)细棒摆

27、到某一角位置细棒摆到某一角位置 时，细棒的角速度时，细棒的角速度和角加速度，和角加速度，(2)(2)细棒末端细棒末端A A的线速度和线加速度。的线速度和线加速度。解：解：sin21cos200mgldlmgdMA222k0k)ml31(21I21E,0E0kkEEAlg/sin3（1）由由得：得：（2）例：如图，滑轮质量为例：如图，滑轮质量为M M，半径为，半径为R，物体质量，物体质量m，弹簧倔强，弹簧倔强系数系数k，斜面倾角，斜面倾角 均为已知。开始时扶住物体均为已知。开始时扶住物体m，使系统保持，使系统保持静止，弹簧无伸缩，然后放开。求静止，弹簧无伸缩，然后放开。求(1)(1)物体下滑距离

28、为物体下滑距离为x时的时的速度为多少？速度为多少？(2)(2)物体下滑的最大距离为多大？（设绳子与滑物体下滑的最大距离为多大？（设绳子与滑轮间无相对滑动）轮间无相对滑动）(3)(3)下滑距离下滑距离x为多大时，物体的速度为最为多大时，物体的速度为最大，最大速度为多少？大，最大速度为多少？2/Mmkxsinmgx2v2解：解：2222MR21IRvsinmgxkx21I21mv210k/2/Mmsinmgv,ksinmgx0dxdvmaxmxxmkmgxvxxsin20maxmax1）2）3）例：如图，长为例：如图，长为l l，质量为，质量为M M的均匀细棒可饶过的均匀细棒可饶过O O点的转轴在

29、竖点的转轴在竖直面内自由转动。一质量为直面内自由转动。一质量为m m的质点以初速的质点以初速v v0 0沿水平方向运动，沿水平方向运动，与静止在竖直位置的细棒的末端发生完全非弹性碰撞，碰撞与静止在竖直位置的细棒的末端发生完全非弹性碰撞，碰撞后两者一起上摆。求碰撞后瞬间两者一起上摆的角速度后两者一起上摆。求碰撞后瞬间两者一起上摆的角速度 ，两两者一起上摆的最大角度者一起上摆的最大角度 。（2）上升过程，机械能守恒，以上升过程，机械能守恒，以O O为重力势能零点为重力势能零点 cos2lMgcosmgl2lMgmgl)3Mlml(21222gl)Mm2)(Mm3(vm31cos202lMmmv)3

30、(30解：（解：（1 1）碰撞时，角动量守恒碰撞时，角动量守恒)3/(220Mlmllmv R车轮上任意一点的速度：车轮上任意一点的速度：Cvrv例：车轮的纯滚动例：车轮的纯滚动RacdxoABdAoBRddx RdtdRdtdxvc地心心轮地轮vvvRvc柯尼希定理：柯尼希定理：刚体的动能等于刚体的动能等于质心的平动动能质心的平动动能与与对质心的转对质心的转动动能动动能之和之和222121CCkImvECvBRGARGRABARBRG点的速度点的速度0GCvvr B点的速度点的速度2BCCvvRvA点的速度点的速度22()2ACCvvRvCvrvGR例：一根质量为例：一根质量为 ，长度为，长

31、度为 的匀质的匀质细杆，最初竖立在无摩擦的桌面上，细杆，最初竖立在无摩擦的桌面上，并由此位置开始倾倒，如图所示试并由此位置开始倾倒，如图所示试求质心的速率求质心的速率 随其位置变化的关系随其位置变化的关系式式mlOyCx解解:22k1122CCEmvI机械能守恒定律机械能守恒定律 221111d2222dCClmgymgmvIt质心坐标为质心坐标为cos2yl ddsind2dCylvtt 222222244ddsin4CCvvtlly212CIml求得求得: : 22223()(4)4(3)Cly glyvlycv例：讨论一匀质实心的圆柱体在斜面上的运动。例：讨论一匀质实心的圆柱体在斜面上的

32、运动。Ngmfxy解：解：rCfmgmaxsincosmgN0rfIr221mrI 圆柱体下降时没有滑动，只在斜面上作纯滚动圆柱体下降时没有滑动，只在斜面上作纯滚动 rgsin32sing32axC，sin31mgfr如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离x x， gh34singx34xa2vxC2gh34v ra 本题也可用机械能守恒定律讨论。圆柱体在斜面上作纯粹本题也可用机械能守恒定律讨论。圆柱体在斜面上作纯粹滚动下落时，所受到的滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和正压力都不作功斜面的摩擦力和正压力都不作功，满，满足机械能守恒的条件。圆柱体从静止滚

33、下，它没有初动能，足机械能守恒的条件。圆柱体从静止滚下，它没有初动能，只有重力势能只有重力势能mgh，当它滚动下降这段高度时，全部动能是当它滚动下降这段高度时，全部动能是221122CkCEmvI 纯滚动纯滚动: : 机械能守恒机械能守恒: :求得求得:2Cmr21I43Cvgh和以前的结果完全一致。和以前的结果完全一致。mghEKrvC例：一质量为例：一质量为m、半径为、半径为R的均质圆的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图，如图。求质心的加速度和

34、圆柱所受的静。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。摩擦力。解：设静摩擦力解：设静摩擦力f f的方向如图所示的方向如图所示CFfma圆柱对质心的转动定理：圆柱对质心的转动定理：CFlfRI纯滚动条件：纯滚动条件：RaC圆柱对质心的转动惯量：圆柱对质心的转动惯量： FaC212CImRlf由质心运动方程：由质心运动方程：mR3)lR(F2aCFR3l 2Rf由此可见：由此可见：l0, 静摩擦力向后静摩擦力向后 lR/2, f0为计时零点，写出振动方程为计时零点，写出振动方程, ,并计算振动频率。并计算振动频率。XOmx 确定平衡位置，确定平衡位置，mg=k l取为原点取为原点 k=mg/ l )t

35、cos(Ax0s/rad10098.08 .9lgmk解：解：令向下有位移令向下有位移x x, , 则：则：f=mg-k( l+x)=-kx作谐振动作谐振动设振动方程为：设振动方程为：由初始条件得由初始条件得,0)xv(arctg000m098. 0)v(xA2020由由x0=Acos 0=-0.0980 cos 00 x0=Acos 0=0 , cos 0=0 0= /2 ,- /2 v0=-A sin 0 , sin 0 0) cos(tAx ) cos(t12. 0 xm由初始条件由初始条件用解析法用解析法求初相求初相 3cos21 0sinAv03 0)0sin(0Avcos 12.

36、006. 0由由A由初始条件由初始条件用旋转矢量法用旋转矢量法求初相求初相 当当t = 0时时, , 位移为位移为6 cm，且向，且向 x 轴正轴正方向运动方向运动OxA/233 振动表达式为振动表达式为 mtx)3cos(12.0 （2） t = 0.5 s 时质点的位移、速度和加速度时质点的位移、速度和加速度1ms dd189. 0)3tsin(12. 0txv5 . 0t5 . 0t5 . 0tm 104. 0)3tcos(12. 0 x5 . 0t5 . 0t25 . 0t25 . 0t5 . 0t103. 0)3tcos(12. 0tvams ddyx34（3 3）质点从）质点从 x

37、 = - 6 cm 向向 x 轴负方向运动，第一次回到平轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需要的时间衡位置所需要的时间。3223 x = - 6 cm s s 83. 0653223t1两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点点 1 在在 x1 = A/2 处，处，向向 x 轴负方向运动时，另一个质点轴负方向运动时，另一个质点 2 2 在在 x2 = 0 处，向处，向x 轴正方向运动。求这两质点振动的相位轴正方向运动。求这两质点振动的相位差。差。Ox31 22 65) 2 (3 21质点质点1的振动超前质点的振动超前质点2的振的振动动

38、65 例：一轻弹簧的劲度系数为例：一轻弹簧的劲度系数为 ，其下端悬有一质量为，其下端悬有一质量为 的盘的盘子。现有一质量为子。现有一质量为 的物体从离盘底为高度的物体从离盘底为高度 处自由下落到处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动。若以物体落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动。若以物体落到盘底时为计时零点、以物体落到盘子后的平衡位置为坐标原盘底时为计时零点、以物体落到盘子后的平衡位置为坐标原点、以向下为点、以向下为 轴正向，求盘子的振动方程。轴正向，求盘子的振动方程。kxhmM解：令解：令 与与 系统处于平衡位置处为坐标原点，向下为正方系统处于平衡位置处为坐标原点，向下为正

39、方向向mMOx0 x由动量守恒由动量守恒 它们共同振动的周期它们共同振动的周期 未下落时未下落时 1kxMg 与与 处于平衡位置处于平衡位置m)()(21xxkgMmV)Mm(mVgh2V kMmT2MmkT220 xxM自由下落自由下落Vv0初始条件初始条件 0t 20 xxMmgh2mVV0g)mM(kh21kmgVxA22020g)Mm(kh2xVtan00由于由于 00 x0V0)23,(gmMkharctg)(2振动方程为振动方程为 gmMkharctgtmMkgmMkhkmgx)(2cos)(211A例：两个同方向的简谐振动曲线（如图所示）例：两个同方向的简谐振动曲线（如图所示）1

40、 1、求合振动的振幅。、求合振动的振幅。2 2、求合振动的振动表达式。、求合振动的振动表达式。12AAA解解2A1AxT)(1tx)(2txt两个简谐振动同方向，同频率两个简谐振动同方向，同频率 = 2 / T ，反相反相合振动振幅合振动振幅合振动初相合振动初相22AA合振动的振动表达式合振动的振动表达式)2tT2cos(AAx1226cosAA2AAA12122A1A6两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm20cm，与第一个振动的相位差为与第一个振动的相位差为 。若第一个振动的振幅。若第一个振动的振幅为为 ，求：，求：1 1、第二个振

41、动的振幅；、第二个振动的振幅；2 2、两个简谐振动、两个简谐振动的相位差。的相位差。61cm 310cm106sinAsinA216sin10206sinAAsin2212122Ax3n0)cos21(B)2/sin()2/sin(B)2/sin()2/3sin(aA例如：当例如：当例：例：2tT4cosA2t2cosAx112tT2cosA2tcosAy12txy8T1A2A228T202A8T31A2A228T4008T51A2A228T602A8T71A2A22T00000可以将上式看成是可以将上式看成是 关于时间关于时间 的参数方程的参数方程y, xT即：即：0, 1:2:1221解：

42、弱阻尼振动的运动学方程：解：弱阻尼振动的运动学方程：)tcos(Aext其中其中2202， 为振动系统的固有频率为振动系统的固有频率0由题意：由题意：3/11AeAeTtt3lnT 3ln2T213ln22220所以：所以：%49. 113ln23ln213ln22200第八章第八章例：例： 容器中储有容器中储有标准状态下的氢气。求：标准状态下的氢气。求：（1 1）分子的平均平动动能、平均转动动能和平均动能；）分子的平均平动动能、平均转动动能和平均动能；（2 2）系统的内能）系统的内能。)(100 . 43kg解：解：（1）标准状态下）标准状态下氢气可以看成刚性双原子分子氢气可以看成刚性双原子

43、分子)J(1065. 5kT23kT2t21kt)J(1077. 3kTkT2r21kr)(1042. 92521JkTk（2） )J(1013. 1RTMm25RT25RT2iU45i ,0s ,2r , 3t例：已知某种理想气体，在例：已知某种理想气体，在 ， 时，内时，内能能 ，问它是单原子、双原子或多原子分子理想气，问它是单原子、双原子或多原子分子理想气体中的哪一种？体中的哪一种？ 1patm44.8Vl解：解：因为因为容易看出它是单原子分子理想气体。容易看出它是单原子分子理想气体。J6807U PV2iU 3108 .4410013. 168072PVU2i35例例: :就就质量而言，空气是由质量而言，空气是由76%的的N2，23%的的O2和和1%的的Ar三种三种气体组成，它们的分子量分别为气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量空气的摩尔质量为为28.9 10-3kg，试计算，试计算1mol空气在标准状态下的内能。空气在标准状态下的内能。解解: : 1mol空气空气中中N2质量质量kg101 .22%76109 .28M331摩尔数摩尔数mo