2020年江苏南通、泰州高考数学一模试卷

1、2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1 .已知集合A=-1,0,2,B=-1,1,2,则AAB=.2 .已知复数z满足(1+i)z=2i,其中i是虚数单位，则z的模为.3 .某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为.4 .根据如图所示的伪代码，输出的a的值为.:；WhileEndWhilePrinta5 .已知等差数列an的公差d不为0,且a1，a2,a4成等比数列，则1的值为.6 .将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的

2、概率为.7 .在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AAi=AB=2,则三棱锥A1-BB1C1的体积为.ff奸8 .已知函数加(3>0),若当x二三时，函数f(x)取得最大值，则3的最小值为.9 .已知函数f(x)=(m-2)x2+(m-8)x(mCR)是奇函数，若对于任意的xR,关于x的不等式f(x2+1)vf(a)恒成立，则实数a的取值范围是.10 .在平面直角坐标系xOy中，已知点A,B分别在双曲线C：x2-y2=1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点.若点A的横坐标为2,则点B的横坐标为.11 .尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如.地震

3、时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的倍.12 .已知UBC的面积为3,且AB=AC,若加,则BD的最小值为.13 .在平面直角坐标系xOy中，已知圆Ci：x2+y2=8与圆C2：x2+y2+2x+y-a=0相交于A、B两点.若圆Ci上存在点P,使得UBP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为.14 .已知函数f(x)=l1x<0,若关于x的方程f2(x)+2af(x)+1-a2=0有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是.

4、二、解答题(本大题共11小题，共142.0分)第1页，共17页15 .如图，在三棱锥P-ABC中，PA"面ABC,PC必B,D,E分别为BC,AC的中点.求证：(1)AB/狂面PDE；(2)平面PAB"面PAC.16 .在AABC中，已知AC=4,BC=3,cosB=-；(1)求sinA的值.(2)求皿的值.EJstI口也17 .如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：7+7=1(a>b>0)的焦距为4,两条准线间的距离为8,A,B分别为椭圆E的左、右顶点.(1)求椭圆E的标准方程：(2)已知图中四边形ABCD是矩形，且BC=4,点M,N分别在边BC,CD上，A

5、M与BN相交于第一象限内的点P.若M,N分别是BC,CD的中点，证明：点P在若点P在椭圆E上，证明:市，为定值，并求出该定值.椭圆E上;第2页，共17页18.在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转。到三角形AiBiCi,且各顺次连结A,Ai,B,Bi,C,Ci,A,得到六边形徽标AAiBBiCCi.(1)当0：时，求六边形徽标的面积；(2)求六边形微标的周长的最大值.耳匚19.20.已知数列an满足：ai=i,且当n>2时，an=?an-i+L'(入C

6、R).(i)若入=i证明：数列a2n-i是等差数列;若入=2设bn=a2n+3,求数列bn的通项公式；设Cn=一正士二1%,证明：对于任意的p,mCN*,当p>m,都有Cp圮m设函数fOO=(aCR),其中e为自然对数的底数.(1)当a=0时，求函数f(x)的单调减区间；第3页，共i7页(2)已知函数f(x)的导函数f'(x)有三个零点xi,X2,X3(X1VX2VX3)求a的取值范围；若mi,m2(mivm2)是函数f(x)的两个零点，证明：XivmiXi+1.21.已知a,bCR,向量;二自是矩阵A=(用的属于特征值3的一个特征向量.(I)求矩阵A；(2)若点P在矩阵A对应的

7、变换作用下得到点P'(2,2),求点P的坐标.22.俨=一8柩+I在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程y=_；(t为参数)，椭,v-2CO圆C的参数方程为y=sM(。为参数)，求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值.23.已知a,b,c都是正实数，且£+£+，=i.证明:(i)abc>27(2)5+、+"24.如图，在直四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，AD/BC,AB±AD,AB=AD=AAi=2BC=2.第4页，共i7页D(1)求二面角Ci-BiC-Di的余弦值；(2)若点P为棱AD的中点，点Q在AB上，且直线BiC与平面B

8、iPQ所成角的正弦值为咎求AQ的长.25一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只.现从口袋中先后有放回地取球2n次(nCN*),且每次取1只球.(1)当n=3时，求恰好取到3次红球的概率；(2)随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量了二1枝犒矍求丫的数学期望(用n表示).2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷答案和解析【答案】1.-1,21.1.3. 404. 115. 18. 59. (-00,1)10. ；11.1000第5页，共17页12.13. 7,8,9)14. 15. 证明：(1).D,E分别为BC,AC的中点,DE是三角

9、形ABC的一条中位线，.DE/AB,AB不在平面PDE内，DE在平面PDE内，.AB印面PDE；(2) tPAI平面ABC,AB在平面ABC内，.PASB,又PCUB,PAAPC=P,且PA,PC都在平面PAC内,W面PAC,.AB在平面PAB内，平面PAB外面PAC.16.解:(1)如图,r1COSB二一.,又AC=4,BC=3,fll_2l,加根据正弦定理得，遗一丽，解得立梯二七；*(2) 卜曲月:,nCOSA=元,.cosC=cos-MA+B)=-cos(A+B).一.-疑一】it=sinAsinB-cosAcosB=+而手丽加二-一品-四17.解：(1)设椭圆的E的焦距为2c,语二，产

10、=2则由题意，得解得所以b2=a2-c2=4,所以椭圆E的标准方程为；+：=1；(2)证明：由已知，得M(知2,2),N(0,4),B(23，0),直线AM的方程为y=+2i'2),直线BN的方程为y二-盘工+4,第6页，共17页因为笆:+鱼所以点P在椭圆上；解法一：设P(xo,yo),(xo>O,yo>O),则近=如-4)'直线AP的方程为y=总存(某+2的,令工=入反，得1yM二支市直线BP的方程y=言式X-R2),令得夕绒=他严所以HM4-8解法二：设直线AP的方程为y=与(工+22)(ki>0),令K=2寸2,得1yM=4回土1，设直线BP的方程为y=

11、七5-2松)(k2<0),令y=4,得了m-入怙=£，所以甥*:短用(电,H*y工设P(Xo,yo),(X0>0,yo>O),则£+：=1,18.解：(1)因为正三角形ABC的边长为a,所以ZAOB=120,且OA=OAi=OB=OBi=OC=OCi=,由旋转图形的性质可知，9iACi0ZAAiB0miBA怪ZBBiC0”iCB怪ZCCA,所以z7AiB=zAiBBi=ZBBiC=ZBiCCi=ZCCiA=ZCiAAi=120,在等腰以OAi中，因为z7OAi=9,所以ZAAiO=a,所以ZBAiO=y-=,因此z7iOb4,依止匕类推可得，ZB0B1=Z

12、00Ci4,ZBiOC=ZCiOa4U17*所以六边形徽标的面积S3启O04九日叫+SAB0ffl+SACOB1-ACOCl+S&AO=3('a人。月+贺)1)1 、可、2.#.-32=3?；X(才江)X(swig+£tn力招,32故六边形徽标的面积为严.第7页，共17页(2)由(1)可知，AiA=BiB=CiC,AiB=BiC=CiA,不妨设AiA=x,AiB=y,则六边形徽标的周长L=3(x+y)在AAAiB中，由余弦定理得，cosZAAiB=cos120=所以xx2+y2+xy=a2,变形得(x+y)2-xy=a2由基本不等式可知，工尸三殳子由解得，x+y<

13、;fl,当且仅当x=y=(口时取等号所以六边形徽标的周长L=3(x+y)<3«=23a故六边形徽标的周长的最大值为人金.19.解:(1)当入=1寸，则根据ai=1,an=an-1+(n“.1+1=«2n+1，付I口加二%T，所以a2n+1=a2n-1+1,即a2n+1-a2n-1=1为常数,即数列a2n-1是首项为1,公差为1的等差数列；当n"时,(2)入=24,a1=1,且当n>2时，an=2an-1+，F',+1,所以a2n=4a2n-2+2,贝Ua2n+=4(a2n-2+；),白=4是常数,又因为bn=a2n+；,即有bn=a2n+；=4

14、(a2n-2+；),22R而b1=a2+j=2a1+：=wQ所以J01wBQ2所以数列bn时首项为京，公比为4的等比数列，则bn的通项公式为bn=?4n-1=；?4n(nCN+);由知，a2n=bn-1=j(4n-1),a2n-1=.a2n=.(4n-1),则"：产濯+%)=；：1(T1=(E；.，-n川产f,所以心="£：二严严士电#f(nW),nrtC1)川Cn+1-Cn=L(Ji-3)+n+L+6tl?+14n+1Zrt(n+1)+；当n=1时，C2-C1=0,则C2=C1；当n=2时，03-02=0,则03=02；当nA3时，Cn+1-Cn>0,则C

15、n+1>Cn,故对于任意的p,mCN*,当p>m,都有Cp第m.20.解：(1)当a=0时，fx-其定义域为(-8,0)u(0,+8),二一.令f(x)V0,则x>1,f(x)的单调递减区间为(1,+8)(2)由=(收一二0)/,得(#)=3,设g(x)=ax3-x+1,则导函数f'(x)有三个零点，即函数g(x)有三个非零的零点.又g'(x)=3ax2-1,若aWQ贝Ug'(x)=3ax2-1<0,g(x)在(-8,+oo)上是减函数，g(x)至多有1个零点，不符合题意，a>0.第8页，共17页令g'(x)=0,|x=土后,则当X

16、C（一叫一点飞：,+8）时，g'（X）0;当x4-序曲，g'（X）0，又g(0)=i>0,.g(x)在(_-g（x）在（一序曲上单调递减，在（-巩一曲和点，上单调递增，.当0已营时,又函数g（x）的图象是连续不间断的,g（x）在（一8,-曲和信1+8）上各有且只有i个非零的零点,.实数a的取值范围是(0,玄.1口m：口叫一1=U由f(m1)=f(m2)=0,得q鬲_“叫_1=。，上Z.设p(x)=ax2-ax-1(a>0),且p(mi)=p(m2)=0,又.mivm2,miv0Vm2.xvmi或x>m2时，p(x)>0；mixvm2时，p(x)由知a&g

17、t;0,xk0<x2<x3.口；占+1=化"；=1一2,婚=K，1I.p(x)=-(7+口工)>口,必+1)=a®+l)2-a(x1+1)-1=-4<0,.xi<mivxi+i成立.2i.解：(i)由矩阵特征值和特征向量的关系可知：A=3/带入可知:修陋=3白，即:或卜部解得a=2，啊叫=一*0v0.b=-i,故矩阵2T212-A上有且只有i个非零的零点.（2）设P为（x,y）,因为点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2,2）解得x=1,y=0,故P(1,0).第9页，共i7页22.解：已知直线l的参数方程（t为参数），转换为直角坐

18、标方程为x+2y+乳2=0,椭圆C的参数方程为1%：需（。为参数），设椭圆上的点P(2cosQsin>到直线l的距离d=jNcarf+Ztind+mgJ2#品叫白+5+3卢|当sin(a+；)=1时，dTJ23.证明：（1）.a,b,c都是正实数,又工+5+广1,33三1，即abc>27得证;由+得，提+2K+3,5+3之;+彳+不二1,得证24.解：(1)在直四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，,.AA3面ABCD,AB,AD?平面ABCD,.ABIAAi,ADAAi,.ABLAD,以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AAi为z轴，建立空间直角坐标系，.AB=AD=AAi=2BC

19、=2.A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),Ai(0,0,2),Bi(2,0,2),Ci(2,1,2),Di(0,2,2),日也=(-2,2,0),b)(0,1-2),+设平面BiCDi的一个法向量“=(x,y,z),nEWi=-2n+2y=。-则、展=，取x=2,则“=(2,2,1)，.AB上平面BiCiC,平面BiCCi的一个法向量=B=(2,0,0)设二面角Ci-BiC-Di的的平面角为由图形得锐角，二面角Ci-BiC-Di的余弦值为：一*-!c0si=3>tZ-3-|n|*|再留(2)设AQ=X(0W入弓2,则Q(入，0,0),I'点P是

20、AD中点，则P(0,1,0)"pQ=(入-1,0),%Q=(M2,0,-2),第10页，共17页设平面BiPQ的法向量=(x,V,z),_LZm-PQ=Xxy=0IIIm/Q=(A2)x-2z=0,取x=2,得招(2,2人,设直线BiC与平面BiPQ所成角大小为3,.直线BiC与平面BiPQ所成角的正弦值为:,.“脏3I$|4sin=I瓯函庐M卜W+3-W1S解得入二域工=F.AQ=1.25.解：(1)当n=3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n=56个基本事件，叼，:一3125记“恰好取到3次红球”为事件A,则事件A包含的基本事件个数为m=f；：屋，.当n=3时，恰好

21、取到3次红球的概率P(A)=.,(2)由题意知随机变量丫的所在可能取值为0,1,3,5,，2n-1,(nCN*),则P(Y=2t+1)=:?(21+1)ii(2t+.E(Y)=0?P(Y=0)+3P(Y=3)+5P(Y=5)+-+(2n-1)P(丫=2n-1)%=54+Gl4+Ght4+Gl再2jf-12n-l4°r1j2n-23j2n-4yn=1+I则I'xn-yn=(4-1)2n-1=32n-1-即-JrE*2输ZnS"T+"E武卢7+fE)E(丫)=声甚尸声.=-【解析】1 .解：.集合A=-1,0,2,B=-1,1,2,.AnB=-1,2.故答案为

22、：-1,2.利用交集定义直接求解.本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2 .解：由(1+i)z=2i,信卜一ET7-L】+门门7)-1+1.则复数z的模为：立.第11页，共17页故答案为：国把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案.本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.3 .解：根据题意，5名党员教师的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值=1(35+35+41+38+51)=40,A5故答案为：40根据题意，由平均数的计算公式计算可得答案.本题考查平均数的

23、计算，注意平均数的计算公式即可，属于基础题.4 .解：模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a=1+1+2+3+4=11.故答案为：11.模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a的值.本题考查了利用程序计算并几个连续自然数和的应用问题，是基础题.5 .解：由题意，可知卜之=a1a4,2.(a+d)=a1(a1+3d),即+2a1d+d2=+3a1d.化简，得a1=d.本题根据等比中项有以七aa4,然后根据等差数列通项公式代入化简，可得a1与d的关系式，即可得到号的值.本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识，考查了方程思想的应用和数学运算能力.本题属中档题.6 .解：将

24、一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为：故答案为:将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，利用n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好出现2次正面向上的概率.本题考查概率的求法，考查n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.7 .解：如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=2,则三棱锥A1-BB1C1的体积1R=一06内1，A*%q?B1B=xf菖2工x2=1.j故答案为：孚由正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=2,可得：棱锥A1-BB1C1二/*第12页，共17页的体积=%-4产1匚广押

25、“启严产?BiB,代入即可得出.本题考查了正三棱柱的性质、三棱锥的体积计算公式、等边三角形的面积计算公式、等积变形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.8 .解：当x=£时，f(x)取得最大值,即f（：）=sin（，$）=1,即浮符2k&kZ,即«=12c+5,k&,由于w>0,所以当k=0时，3的最小值为5.故答案为：5.由已知可得sin=1,利用正弦函数的性质可得E4=.+2k7t,kCZ,结合w>0,可求3的最小值.本题主要考查三角函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于基础题.9 .解：由奇函数的性质可得，f(-x)=-f(x)恒成立

26、，即(m-2)x2-(m-8)x=-(m-2)x2-(m-8)x,故m-2=0即m=2,此时f(x)=-6x单调递减的奇函数，由不等式f(x2+1)vf(a)恒成立，可得x2+1>a恒成立，结合二次函数的性质可知，x2+1>J,所以a<1.故答案为：(-00,1)由已知结合奇函数的定义可求m,然后结合不等式的恒成立与最值的相互关系及二次函数的性质可求.本题主要考查了奇函数的定义及单调性奇偶性在不等式恒成立问题中的应用，属于基础试题.10 .解：设点B的横坐标为m,因为双曲线C：x2-y2=1,所以双曲线的渐近线方程为y=A,不妨设点A在直线y=x上，点B在直线y=-x上.则点

27、A坐标为(2,2),点B坐标为(m,-m),所以线段AB的中点坐标为(竽.竽),因为双曲线C经过线段AB的中点，所以(亨甘一竽)2=1,解得小二1故答案为:写出双曲线的渐近线方程，从而得到A和B两点的坐标，再利用中点坐标中式求得线段AB的中点，将其代入双曲线的标准方程，即可得解.本题主要考查了双曲线的渐近线方程和中点坐标公式，属于简单题.11 .解：地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量满足：lgE1=4.8+1.58.0,2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量满足：lgE

28、2=4.8+1.560.lgE1-lgE2=3,解得：目=103=1000.第13页，共17页故答案为：1000.根据地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.分别计算出：2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量Ei,2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量E2,利用对数运算性质即可得出；本题考查了对数运算性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.12 .解：如图，设AB=AC=x,由2扇，得AD=t,设/BAC=e(0<9<Tt),由余弦定理可得：cos必+1LSD,得我一本»第=3

29、画,由小BC的面积为3,得卜=即？=,*oWlP联立，得而於=拈濯人3-JIXJflV17tH八一八令y=；一,贝Uysin0=5BcosQMU一,一一7_，r.一、.5.ysin0+3cos,0即5y+Qsm(0+州=5,得sin(0+州=-？一,111Y由，M1,解得yR4或yW4(舍).hfy+9即5HD?14,得BD之挈，BD的最小值为.故答案为:由题意画出图形，设AB=AC=x,由团二2DAa得AD=x,设ZBAC=0(0v0<同，由余弦定理及那BC的面积为3得3折;岫山，则浊"令y=B，再由三角函数求最值，即可求得BD的最小值.本题考查平面向量的数量积运算，考查三角

30、形的解法，训练了利用三角函数求最值，是中档题.13. 解：已知圆C1：x2+y2=8与圆C2：x2+y2+2x+y-a=0相交于A、B两点，则AB所在直线的方程为2x+y-a+8=0,第14页，共17页若圆Cl上存在点P,使得UBP为等腰直角三角形，分2种情况讨论:，P为直角顶点，则AB为圆Ci的直径，即直线2x+y-a+8=0经过圆Ci的圆心Ci,必有-a+8=0,解可得a=8；，A或B为直角顶点，则点Ci到直线AB的距离d#r=：,则有d=Mh解可得a=7或9,综合可得：a的取值的集合为7,8,9；故答案为：7,8,9.a的值，综根据题意，求出AB所在直线的方程，按直角顶点的位置分情况讨论

31、，求出合即可得答案.本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的基本性质，属于中档题.14. 解：令f(x)=t,则g(t)=t2+2at+1-a2,作f(x)的图象如下，I。V。u1设g(t)的零点为ti,t2,由图可知，要满足题意，则需,故答案为：.令f(x)=t,则g(t)=t2+2at+i-a2,作f(x)的图象,观察图象可知，函数g(t)在(0,i)及(i,+8)各有一根，由二次函数的根的分布列出不等式组得解.本题考查函数与方程的综合运用，考查数形结合思想，属于中档题.15. (i)由中位线的性质可知DE/AB,由此即可得证；(2)先由PA"面ABC,可证PA必B,再结合已知PCXA

32、B,即可证得AB,平面PAC,进而得证.本题考查线面平行及面面垂直的判定，掌握基本的判定定理是解题的关键，属于基础题.画J国16. (i)根据条件可求出转林R=丁，然后根据正弦定理即可求出5油4=；(2)可以求出msA=工然后根据cosC=cos凭(A+B)即可求出cosC7,从而由11与»1BABC-E进行数量积的运算即可求出答案本题考查了正弦定理，sin2x+cos2x=i,三角函数的诱导公式，以及向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于中档题.17. (i)根据椭圆的性质列方程组即可求得a和b的值，求得椭圆方程；(2)求得直线AM和BN的方程，联立，求得P点坐标，由P满

33、足椭圆方程，即可判断P在椭圆E上；第i5页，共i7页解法一：根据直线的斜率公式及直线的斜率公式分别求得直线AP和BP的方程，求得M和N点坐标，表示出器，利用P在椭圆上，即可证明券为定值；解法二：设直线AP和BP的方程，同理求得M和N点坐标，根据直线斜率公式即可证明黑为定值.本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的方程及斜率公式的应用，考查定点的证明，考查计算能力，属于中档题.18. (1)由旋转图形的性质可知，图中存在全等三角形，再结合边长和角度的计算以及三角形的正弦面积公式，即可求出六边形徽标的面积；(2)由全等三角形的性质，可知六边形徽标的周长等于3(AAi+BAi),再结

34、合余弦定理和基本不等式的性质，即可得最大值.本题考查了解三角形中的正弦定理和余弦定理的应用，以及利用基本不等式求最值，突破口是找出图形在旋转过程中存在的规律，考查了学生的观察能力和直观想象能力，属于中档题.|U2u4-l=U2h+119. (1)将入=1弋入，则可得到外尸电11T，故a2n+1-a2n-1=1为常数，进而判断为等差数列；,一、一.r.JL一1(2)入=2寸,a=1,且当n>2时，an=2an-1+,有bn=a2n+±4(a2n-2+：),所以=4是常数，所以数列bn时首项为:，公比为4的等比数列，即可求出其通项公式；Cn=AM：严尸”=f(n玳+),当n=1时，02-01=0,则02=01；当n=2时,03-02=0,贝U03=02；当n>3时,Cn+1-Cn>0,则Cn+1>Cn,故对于任意的p,mCN*,当p>m,都有0p圮m.本题考查等差等比数列的证明，考