第七章方差分析

1、第八章第八章 方差分析方差分析v第一节第一节 方差分析的基本问题方差分析的基本问题 v第二节第二节 单因素方差分析单因素方差分析v第三节第三节 双因素方差分析双因素方差分析第一节第一节 方差分析的基本问题方差分析的基本问题v一一. . 方差分析的内容方差分析的内容v二二. . 方差分析的原理方差分析的原理v三三. . F F 分布分布 ANOVA ANOVA 由英国统由英国统计学家计学家R.A.FisherR.A.Fisher首首创，为纪念创，为纪念FisherFisher，以以F F命名，故方差分析命名，故方差分析又称又称 F F 检验检验 （F F testtest）。用于推断）。用于推断

2、多多个总体均数个总体均数有无差异有无差异 什么是方差分析什么是方差分析? ? 表表7-1 7-1 该饮料在五家超市的销售情况该饮料在五家超市的销售情况超市超市无色无色粉色粉色橘黄色橘黄色绿色绿色1 12 23 34 45 526.526.528.728.725.125.129.129.127.227.231.231.228.328.330.830.827.927.929.629.627.927.925.125.128.528.524.224.226.526.530.829.632.431.732.8某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有

3、四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见表表7-17-1。试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。v检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就是检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同检验

4、四种颜色饮料的平均销售量是否相同v设设 1 1为无色饮料的平均销售量，为无色饮料的平均销售量， 2 2粉色饮料的粉色饮料的平均销售量，平均销售量， 3 3为橘黄色饮料的平均销售量，为橘黄色饮料的平均销售量， 4 4为绿色饮料的平均销售量，为绿色饮料的平均销售量，也就是检验下面也就是检验下面的假设的假设H H0 0: : 1 1 2 2 3 3 4 4 H H1 1: : 1 1 , , 2 2 , , 3 3 , , 4 4 不全相等不全相等v检验上述假设所采用的方法就是方差分析检验上述假设所采用的方法就是方差分析1 1、方差分析的实质：检验多个总体均值是否、方差分析的实质：检验多个总体均值是

5、否相等相等 。通过对样本。通过对样本各观察数据差异来源的分各观察数据差异来源的分析析判断多个总体均值的差异是否具有统计学上判断多个总体均值的差异是否具有统计学上的意义。的意义。2.2.变量构成：定类变量构成：定类- -定距（比例）定距（比例）3.3.用于分析完全随机化试验设计用于分析完全随机化试验设计方差分析的基本方差分析的基本思想和原理思想和原理方差分析的基本假设前提方差分析的基本假设前提v1 1、观测变量各总体应服从正态分布。、观测变量各总体应服从正态分布。v2 2、观测变量各总体的方差应相同、观测变量各总体的方差应相同( (方差齐性方差齐性) )。v3 3、随机抽样。、随机抽样。v为什么

6、必须进行方差齐性检验？为什么必须进行方差齐性检验？v方差分析的前提假设是该因素在各组之间的方差相同方差分析的前提假设是该因素在各组之间的方差相同, ,所以所以才可以构造才可以构造F F统计量统计量. .否则无法证明残差否则无法证明残差SeSe和组内平方和和组内平方和SrSr分分别服从自由度是别服从自由度是r r和和n-rn-r的卡方分布的卡方分布, ,也就无法检验也就无法检验. . v一组数据同时都减少或增加相同数值，其方差不变。一组数据同时都减少或增加相同数值，其方差不变。方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理v方差分析认为导致观测值变化的因素有两类：方差分析认为导致观测值变化的因

7、素有两类：v（一）控制因素不同水平产生的影响；（组（一）控制因素不同水平产生的影响；（组间变异）间变异） ( (二二) )随机因素所产生的影响。（组内变异）随机因素所产生的影响。（组内变异）方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理组间变异组间变异总变异总变异组内变异组内变异单因素方差分析单因素方差分析v单因素方差分析的数学模型单因素方差分析的数学模型: :),.,2 , 1;,.,2 , 1(rjkiaxijiij方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理v总变异总变异（Total variationTotal variation）：全部测量值）：全部测量值Yij与与总均数总均数

8、 间的差异间的差异 v组间变异组间变异（ between group variation between group variation ）：）：各组的均数各组的均数 与总均数与总均数 间的差异间的差异v组内变异组内变异（within group variation )within group variation )：每组：每组的每个测量值的每个测量值Yij与该组均数与该组均数 的差异的差异YYiYiY方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理v组间变异组间变异 SSASSA反映了各组均数反映了各组均数 的变异程度的变异程度v组间变异随机误差组间变异随机误差+ +处理因素效应处理因素效应

9、vdfdf组间组间=k-1(k=k-1(k为变量水平数为变量水平数) )v组内变异组内变异 SSESSE用各组内各测量值用各组内各测量值X Xijij与其所在组的与其所在组的均数差值的平方和来表示，反映随机误差的影响。均数差值的平方和来表示，反映随机误差的影响。vdfdf组内组内=N-k=N-k（N N为样本总数）为样本总数）v总变异总变异 SSTSSTvdfdf总总= df= df组间组间+ df+ df组内组内=N-1=N-1ix三种三种“变异变异”之间的关系之间的关系v总变异总变异 总总离差平方和离差平方和 v组间变异组间变异 组间组间离差平方和离差平方和 v组内变异组内变异 组内组内离

10、差平方和离差平方和 方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理( (计算均方计算均方MSMS) )v各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了消除观察值多少的影响，需要将其平均，了消除观察值多少的影响，需要将其平均，计计算方法是用算方法是用离差平方离差平方除以相应的自由度，即除以相应的自由度，即平平均均离差平方和，也离差平方和，也就是方差就是方差。 v三个离差平方和的自由度分别是：三个离差平方和的自由度分别是：SST SST 的自由度为的自由度为n n-1-1，其中，其中n n为全部观察值的个数为全部观察值的个数SSASSA的自由度为的自由度为k

11、k-1-1，其中，其中k k为因素水平的个数为因素水平的个数SSE SSE 的自由度为的自由度为n n- -k k方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理( (计算均方计算均方差差MSMS) )v SSA的平均离差平方和离差平方和也称组间方差组间方差，记为MSA，计算公式为1kSSAMSASSESSE的的平均平均离差平方和离差平方和也称组内方差，记为也称组内方差，记为MSEMSE，计算公式为，计算公式为knSSEMSE方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理( (计算检验的统计量计算检验的统计量 F F ) )将将MSAMSA和和MSEMSE进行对进行对比，即得到所需要比，即得

12、到所需要的检验统计量的检验统计量F F, ,F F 服从分子自由度服从分子自由度为为k k -1-1、分母自由、分母自由度为度为 n n - -k k 的的 F F 分分布布，), 1(knkFMSEMSAFkndfkdfknkFkknSSESSAF211), 1(1）（方差分析的基本思想和原理方差分析的基本思想和原理v如果不同颜色如果不同颜色( (水平水平) )对销售量对销售量( (结果结果) )没有影响，没有影响，那么在组间方差中只包含有随机差异，而没有系那么在组间方差中只包含有随机差异，而没有系统差异。这时，组间方差与组内方差就应该很接统差异。这时，组间方差与组内方差就应该很接近，两个方

13、差的比值就会接近近，两个方差的比值就会接近1.1.v如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中如果不同的水平对结果有影响，在组间方差中除了包含随机差异外，还会包含有系统差异，这除了包含随机差异外，还会包含有系统差异，这时组间方差就会大于组内方差，组间方差与组内时组间方差就会大于组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于方差的比值就会大于1.1.v当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异平之间存在着显著差异. .单因素方差分析的步骤单因素方差分析的步骤（一）提出假设（一）提出假设（二）构造检验统计量（二）构造检验统计量（三）计算（三）计算

14、F F值值（四）统计决策（四）统计决策（一）提出假设（一）提出假设v一般提法一般提法H0: 1 = 2 = k (因素有因素有k个水平）个水平）H1: 1 ， 2 ， ， k不全相等不全相等v对前面的例子对前面的例子H0: 1 = 2 = 3 = 4颜色对销售量没有影响颜色对销售量没有影响H1: 1 ， 2 ， 3， 4不全相等不全相等颜色对销售量有影响颜色对销售量有影响v如果虚无假设成立，如果虚无假设成立，即即v H0: 1 = 2 = 3 = 4四种颜色饮料销售的均值都相等，没有系统差异四种颜色饮料销售的均值都相等，没有系统差异v如果研究假设成立，即：如果研究假设成立，即：v H1: i

15、(i=1，2，3，4)不全相等不全相等 至少有一个总体的均值是不同的，有系统差异。至少有一个总体的均值是不同的，有系统差异。 单因素方差分析的数据结构单因素方差分析的数据结构 观察对象观察对象( j )因素因素(A) i 水平水平A1 水平水平A2 水平水平Ak12:n x11 x12 x1k x21 x22 x2k : : : : : : : : xn1 xn2 xnk（二）构造检验的统计量（二）构造检验的统计量 为检验为检验H H0 0是否成立，需要计算是否成立，需要计算1 1、各水平的均值、各水平的均值2 2、全部观察值的总均值、全部观察值的总均值3 3、离差平方和离差平方和4 4、方差

16、、方差( ( MS MS ) ) 1 1、计算各水平的均值、计算各水平的均值 计算 x xi i 公式为： ), 2 , 1(1kinxxinjijii式中：式中： n ni i为第为第 i i 个总体的样本观察值个数个总体的样本观察值个数 x xijij为第为第 i i 个总体的第个总体的第 j j 个观察值个观察值 2 2、计算全部观察值的总均值、计算全部观察值的总均值计算公式为：计算公式为： kkiiikinjijnnnnnxnnxxi21111式中：表表8-2 8-2 四种颜色饮料的销售量及均值四种颜色饮料的销售量及均值超市超市( ( j j ) )水平水平A A ( ( i i )

17、)无色无色( (A A1 1) )粉色粉色( (A A2 2) )橘黄橘黄( (A A3 3) )绿色绿色( (A A4 4) )1 12 23 34 45 526.526.528.728.725.125.129.129.127.227.231.231.228.328.330.830.827.927.929.629.627.927.925.125.128.528.524.224.226.526.530.830.829.629.632.432.431.731.732.832.8合计合计136.6136.6147.8147.8132.2132.2157.3157.3573.9573.9水平均值水平

18、均值观察值个数观察值个数 x x1 1 =27.32=27.32n n1 1=5=5x x2 2=29.56=29.56n n2 2=5=5x x3 3=26.44=26.44n n3 3=5=5x x4 4=31.46=31.46n n4 4=5=5总均值总均值X X = 28.7 = 28.7 3 3（1 1）计算总离差平方和计算总离差平方和 SSTSST全部观察全部观察值值 与总与总平均值平均值 的差的平方。的差的平方。计算公式为：计算公式为：ijxxkinjijixxSST112 前例的计算结果：前例的计算结果：3 3（2 2）计算误差项离差平方和）计算误差项离差平方和 SSESSE组

19、内离差平方和，反映的是随机误差的大小。组内离差平方和，反映的是随机误差的大小。计算公式为计算公式为 kinjiijixxSSE112前例的计算结果：前例的计算结果：SSE SSE = 39.084= 39.0843 3（3 3）计算组间离差平方和）计算组间离差平方和 SSASSA各组各组平均值平均值 与总平均值与总平均值 的离的离差平方和差平方和。计算公式为：计算公式为： kiiikinjixxnxxSSAi12112前例的计算结果：前例的计算结果：SSA = 76.8455), 2 , 1(kixix4 4、计算平均离差平方和计算平均离差平方和 MSMSvMSAMSA计算公式为计算公式为:

20、:1kSSAMSA MSEMSE计算公式为计算公式为: :knSSEMSE6152.25148455.76MSA前例的计算结果：4428. 2420084.39MSE前例的计算结果：（三）计算检验的统计量（三）计算检验的统计量 F F 将将MSAMSA和和MSEMSE进行对比，即得到所需要的检验进行对比，即得到所需要的检验统计量统计量F F计算公式为：计算公式为：), 1(knkFMSEMSAF486.104428. 26152.25F前例的计算结果：F F分布与拒绝域分布与拒绝域如果均值相等，如果均值相等，F F= =MSAMSA/ /MSEMSE1 1 不同自由度不同自由度dfdf1 1和

21、和dfdf2 2的的F F 分布曲线如图分布曲线如图F(8,)F(8,50)F(8,10)F(8,4)F(df1,df2 )统计决策统计决策 将统计量的值将统计量的值F F与给定的显著性水平与给定的显著性水平 的临界的临界值值F F 进行比较，作出接受或拒绝原假设进行比较，作出接受或拒绝原假设H H0 0的决的决策策根据给定的显著性水平根据给定的显著性水平 ，在在F F分布表中查找分布表中查找与第一自由度与第一自由度dfdf1 1k k-1-1、第二自由度、第二自由度dfdf2 2= =n n- -k k 相应的临界值相应的临界值 F 若若FF ，则拒绝原假设则拒绝原假设H H0 0 ，表明均

22、值之间的差异，表明均值之间的差异是显著的，所检验的因素是显著的，所检验的因素( (A A) )对观察值有显著影响对观察值有显著影响若若F F ，则不能拒绝原假设则不能拒绝原假设H H0 0 ，表明所检验的因，表明所检验的因素素( (A A) )对观察值没有显著影响对观察值没有显著影响 单因素方差分析表单因素方差分析表( (基本结构基本结构) )离差平方和离差平方和来源来源平方和平方和SSSS自由度自由度dfdf均方均方MSMSF F 值值组间组间( (因素影响因素影响) ) 组内组内( (误差误差) ) 总和总和SSASSASSESSESSTSSTk k-1-1n n- -k kn n-1-1

23、MSAMSAMSEMSEMSAMSA T To ot ta al l 2 2, ,1 10 01 1 1 10 00 0. .0 00 0 2 2+ + S Si ib bl li in ng g 1 11 12 2 5 5. .3 33 3 1 10 00 0. .0 00 0 1 1 S Si ib bl li in ng g 6 69 90 0 3 32 2. .8 84 4 9 94 4. .6 67 7 N No o S Si ib bl li in ng g 1 1, ,2 29 99 9 6 61 1. .8 83 3 6 61 1. .8 83 3 s si ib bs s F

24、 Fr re eq q. . P Pe er rc ce en nt t C Cu um m. . . t ta ab b s si ib bs s1 1、单因素方差分析、单因素方差分析B Ba ar rt tl le et tt t s s t te es st t f fo or r e eq qu ua al l v va ar ri ia an nc ce es s: : c ch hi i2 2( (2 2) ) = = 1 16 6. .0 09 98 86 6 P Pr ro ob b c ch hi i2 2 = = 0 0. .0 00 00 0 T To ot ta al

25、l 6 63 38 85 58 87 7. .7 77 75 5 1 18 88 85 5 3 33 38 8. .7 77 73 33 35 55 5 W Wi it th hi in n g gr ro ou up ps s 6 63 31 18 88 85 5. .3 36 68 8 1 18 88 83 3 3 33 35 5. .5 57 73 37 74 48 8B Be et tw we ee en n g gr ro ou up ps s 6 67 70 02 2. .4 40 06 63 31 1 2 2 3 33 35 51 1. .2 20 03 31 16 6 9 9.

26、 .9 99 9 0 0. .0 00 00 00 0 S So ou ur rc ce e S SS S d df f M MS S F F P Pr ro ob b F F A An na al ly ys si is s o of f V Va ar ri ia an nc ce e. . o on ne ew wa ay y w we ei ig gh ht t s si ib bs s单因素方差分析单因素方差分析的进一步分析：的进一步分析：方差齐性检验方差齐性检验与与多重比较检验多重比较检验v方差分析输出表格下方有这样一行话：方差分析输出表格下方有这样一行话：bartletts te

27、st for equal variances:chi2(2)=16.0523 probchis=0.000vscheffe ：采用：采用Scheffe 的方法，提供多重的方法，提供多重组间比较结果。组间比较结果。 0 0. .0 05 57 7 0 0. .9 90 07 72 2+ + S Si ib bl li i - -4 4. .6 63 35 58 84 4 - -. .8 88 82 26 64 43 3 0 0. .0 00 00 01 1 S Si ib bl li in n - -3 3. .7 75 53 32 2 C Co ol l M Me ea an n N No o

28、 S Si ib bl li i 1 1 S Si ib bl li in nR Ro ow w M Me ea an n- - ( (S Sc ch he ef ff fe e) ) C Co om mp pa ar ri is so on n o of f W We ei ig gh ht t o of f C Ch hi il ld dr re en n b by y s si ib bs sB Ba ar rt tl le et tt t s s t te es st t f fo or r e eq qu ua al l v va ar ri ia an nc ce es s: :

29、c ch hi i2 2( (2 2) ) = = 1 16 6. .0 09 98 86 6 P Pr ro ob b c ch hi i2 2 = = 0 0. .0 00 00 0 T To ot ta al l 6 63 38 85 58 87 7. .7 77 75 5 1 18 88 85 5 3 33 38 8. .7 77 73 33 35 55 5 W Wi it th hi in n g gr ro ou up ps s 6 63 31 18 88 85 5. .3 36 68 8 1 18 88 83 3 3 33 35 5. .5 57 73 37 74 48 8B B

30、e et tw we ee en n g gr ro ou up ps s 6 67 70 02 2. .4 40 06 63 31 1 2 2 3 33 35 51 1. .2 20 03 31 16 6 9 9. .9 99 9 0 0. .0 00 00 00 0 S So ou ur rc ce e S SS S d df f M MS S F F P Pr ro ob b F F A An na al ly ys si is s o of f V Va ar ri ia an nc ce e. . o on ne ew wa ay y w we ei ig gh ht t s si

31、ib bs s, , s sc ch he ef ff fe e多因素方差分析多因素方差分析 多因素方差分析多因素方差分析一一. . 双因素方差分析的基本问题双因素方差分析的基本问题二二. . 双因素方差分析的数据结构双因素方差分析的数据结构三、双因素方差分析的步骤三、双因素方差分析的步骤四、一个应用实例四、一个应用实例多因素方差分析多因素方差分析v两个以上控制变量对观测变量是否产生显著影响；两个以上控制变量对观测变量是否产生显著影响；v不仅能够分析多个因素对观测变量的独立影响，更能够不仅能够分析多个因素对观测变量的独立影响，更能够分析多个控制因素的交互作用能否对观测变量的分布产分析多个控制因

32、素的交互作用能否对观测变量的分布产生显著影响，进而最终找到利于观测变量的最优组合。生显著影响，进而最终找到利于观测变量的最优组合。v两个控制变量的饱和模型两个控制变量的饱和模型vSST=SSA+SSB+SSAB+SSESST=SSA+SSB+SSAB+SSEv三个控制变量的饱和模型三个控制变量的饱和模型vSST=SSA+SSB+SSC+SSAB+SSAC+SSBC+SSABC+SSESST=SSA+SSB+SSC+SSAB+SSAC+SSBC+SSABC+SSE双因素方差分析双因素方差分析v双因素方差分析的数学模型双因素方差分析的数学模型v设控制变量设控制变量A A有有m m个水平，个水平，B

33、 B有有n n个水平，每个水平，每个交叉水平下均有个交叉水平下均有L Lijij个样本。那么，在控个样本。那么，在控制变量制变量A A的水平的水平A Ai i和控制变量和控制变量B B的水平的水平B Bj j下下的的k k个样本值个样本值 可以定义为：可以定义为：),.2 , 1;,.,2 , 1;,.,2 , 1()(lknjmiabbaxijkijjiijkijkx双因素方差分析双因素方差分析v分析两个因素分析两个因素( (因素因素A A和因素和因素B B) )对试验结果的影对试验结果的影响响 v分别对两个因素进行检验，分析是一个因素在分别对两个因素进行检验，分析是一个因素在起作用，还是两

34、个因素都起作用，还是两个因素起作用，还是两个因素都起作用，还是两个因素都不起作用都不起作用v如果如果A A和和B B对试验结果的影响是相互独立的，分对试验结果的影响是相互独立的，分别判断因素别判断因素A A和因素和因素B B对试验指标的影响，这时的对试验指标的影响，这时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析析4 4、如果除了、如果除了A A和和B B对试验结果的单独影响外，对试验结果的单独影响外，因素因素A A和因素和因素B B的搭配还会对销售量产生一种的搭配还会对销售量产生一种新的影响，这时的双因素方差分析称为有交新的影响，这时的双因素方差分

35、析称为有交互作用的双因素方差分析互作用的双因素方差分析 5 5、对于无交互作用的双因素方差分析，其结、对于无交互作用的双因素方差分析，其结果与对每个因素分别进行单因素方差分析的果与对每个因素分别进行单因素方差分析的结果相同结果相同双因素方差分析的基本假定双因素方差分析的基本假定v每个总体都服从正态分布每个总体都服从正态分布v同一因素不同水平的各个总体的方差必须同一因素不同水平的各个总体的方差必须相同相同v观察值是独立的观察值是独立的无重复情况下的样本观测值无重复情况下的样本观测值 因素因素A(i) 因素因素(B) j 平均值平均值 B1 B2 BnA1A2:Am x11 x12 x1n x21

36、 x22 x2n : : : : : : : : xm1 xm2 xmn : :平均值平均值 jx.2.x1.x. ix.2xnx.1x.mxx), 2 , 1;, 2 , 1(njmixij双因素方差分析（无重复样本）双因素方差分析（无重复样本） jx. ix是因素是因素A A的第的第i i个水平下各观察值的平均值个水平下各观察值的平均值),2, 1(11.1.miTnxnxinjiji是因素是因素B B的第的第j j个水平下的各观察值的均值个水平下的各观察值的均值),2, 1(11.1.njTmxmxjmiijj 是全部样本数据的总平均值是全部样本数据的总平均值x.1111Tmnxmnxm

37、injij 双因素方差分析（无重复样本）双因素方差分析（无重复样本） minjijxxSST112)(minjixxSSA112.)(minjjxxSSB112.)(minjjiijxxxxSSE112.)(离差平方和离差平方和自由度自由度SSTSSTSSASSASSBSSBSSESSEmn-1mn-1m-1m-1n-1n-1(m-1)(n-1)(m-1)(n-1)计算均方计算均方 MSMSv各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少的影响，需要将其平均，这就是观察值多少的影响，需要将其平均，这就是方差方差。v计算方法是用离差平方和除以相

38、应的自由度。计算方法是用离差平方和除以相应的自由度。v三个离差平方和的自由度分别是：三个离差平方和的自由度分别是：SSTSST的自由度为的自由度为 mnmn-1-1SSASSA的自由度为的自由度为 m m-1-1SSBSSB的自由度为的自由度为 n n-1-1SSESSE的自由度为的自由度为 ( (m m-1)(-1)(n n-1)-1)构造检验的统计量构造检验的统计量( (计算均方计算均方 MSMS) )v因素因素A A的方差的方差: :1mSSAMSA 因素因素B B的方差：的方差：) 1)(1(nmSSEMSE1nSSBMSB 随机误差项的方差：随机误差项的方差：多因素方差分析的基本步骤

39、多因素方差分析的基本步骤v1 1，成立零假设，成立零假设va a1 1= =a a2 2=a am m=0; =0; vb b1 1= =b b2 2=b bn n=0=0多因素方差分析的基本步骤多因素方差分析的基本步骤v2,2,选择检验统计量选择检验统计量MSEMSBnmSSEnSSBFB) 1)(1/() 1/(MSEMSAnmSSEmSSAFA) 1)(1/() 1/( T To ot ta al l 1 1, ,1 12 25 5 9 97 76 6 2 2, ,1 10 01 1 U Ur rb ba an n 3 30 09 9 2 28 83 3 5 59 92 2 R Ru u

40、r ra al l 8 81 16 6 6 69 93 3 1 1, ,5 50 09 9 C Ch hi il ld dr re en n b bo oy y g gi ir rl l T To ot ta al l o of f S Se ex x o of f C Ch hi il ld dr re en n r re es si id de en nc ce e U Ur rb ba an n . . t ta ab b u ur rb ba an n g gi ir rl l有重复情况下样本观测值有重复情况下样本观测值 因素因素A(i) 因素因素(B) j 平均值平均值 B1 B2

41、BnA1A2:Am x11. x12. x1n. x21. x22. x2n. : : : : : : : : xm1. xm2 . xmn. : :平均值平均值 jx.2.x.1.x.ix.2x.nx.1x.mxx)2 , 1;, 2 , 1;, 2 , 1(rknjmixijk双因素方差分析的数据结构双因素方差分析的数据结构 . jx.ix是因素是因素A A的第的第i i个水平下各观察值的平均值个水平下各观察值的平均值),2, 1(11.11.miTnrxnrxinjrkijki 是因素是因素B B的第的第j j个水平下的各观察值的均值个水平下的各观察值的均值), 2 , 1(11.11.

42、njTmrxmrxjmikrijkj 是全部样本是全部样本数据的总平均值数据的总平均值xmnrTxmnrxnjrkijkmi.1111 minjRKixxSSA11122.)( minjrkjxxSSB11212.)( minjijijkrkxxSSE112.1 minjrkijkxxSST1112)( minjrkjiijxxxxSSAB1112.)( minjmiiRKimnrTnrTxxSSA1112.2.122.)(mnrTmrTxxSSBminjnjjrkj2.1112.212.)( minjijijkrkxxSSE112.1mnrTxxxSSTminjrkminjrkijkijk2

43、.11111122)( minjrkjiijxxxxSSAB1112.)(离差平方和离差平方和自由度自由度SSTSSTSSASSASSBSSBSSABSSABSSESSEmnr-1mnr-1或者或者 “ “样本总数样本总数-1-1”m-1m-1n-1n-1(m-1)(n-1)(m-1)(n-1)mn(r-1) mn(r-1) 或者或者 “ “样本总数样本总数-mn-mn”计算均方计算均方 MSMSv各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少的影响，需要将其平均，这就是观察值多少的影响，需要将其平均，这就是方差方差。v计算方法是用离差平方和

44、除以相应的自由度。计算方法是用离差平方和除以相应的自由度。v三个离差平方和的自由度分别是：三个离差平方和的自由度分别是：SSTSST的自由度为的自由度为 mnrmnr-1-1SSASSA的自由度为的自由度为 m m-1-1SSBSSB的自由度为的自由度为 n n-1-1SSABSSAB的自由度为的自由度为 ( (m m-1)(-1)(n n-1)-1)SSESSE的自由度为的自由度为:mn:mn（r-1r-1）构造检验的统计量构造检验的统计量( (计算均方计算均方 MSMS) )v因素因素A A的方差的方差: :1mSSAMSA 因素因素B B的方差：的方差：) 1( rmnSSEMSE1nS

45、SBMSB 随机误差项的方差：随机误差项的方差：4 4、交互项的方差：、交互项的方差：) 1)(1(nmSSABMSAB多因素方差分析的基本步骤多因素方差分析的基本步骤v1 1，成立零假设，成立零假设va a1 1= =a a2 2=a am m=0; =0; vb b1 1= =b b2 2=b bn n=0=0v( (abab) )1111=(=(abab) )1212=(=(abab) )mnmn=0=0多因素方差分析的基本步骤多因素方差分析的基本步骤v2,2,选择检验统计量选择检验统计量MSEMSBrmnSSEnSSBFB) 1(/) 1/(MSEMSArmnSSEmSSAFA) 1(

46、/) 1/(MSEMSABrmnSSEnmSSABFAB) 1(/1) 1/(）（多因素方差分析的基本步骤多因素方差分析的基本步骤v3,3,计算检验统计量观测值和概率计算检验统计量观测值和概率p p值值v4 4，给出显著度水平，给出显著度水平，并作出决策并作出决策2 2、双因素或多因素方差分析、双因素或多因素方差分析vanova edu urban girl urban|girl T To ot ta al l 1 15 55 51 10 0. .2 29 98 82 2 1 15 58 82 2 9 9. .8 80 04 42 23 33 39 99 9 R Re es si id du ua al l 1 15 53 30 02 2. .2 25 50 02 2 1 15 57 79 9 9 9. .6 69 91 11 10 02 20 06 6 u ur rb ba an