数控机床编程与操作7、数控加工图形的数学处理

1、第7讲 数控加工图形的数学处理7.1 数控机床编程中的图形数学处理内容数控机床编程中的图形数学处理内容7.2 直线和圆弧轮廓基点计算方法直线和圆弧轮廓基点计算方法7.3 非圆曲线的节点计算非圆曲线的节点计算7.4 刀位点轨迹坐标的计算刀位点轨迹坐标的计算 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 对零件图形进行数学处理（又称数值计算）是数控编程前的主要准备工作，对手工编程还是自动编程都是必不可少的。图形的数学处理就是根据零件图样的要求，按照已确定的加工路线和允许的编程误差，计算出数控系统所需输入的数据。11.1 数控机床编程中的图形数学处理内容数控机床编程中的图形数学处理内容 对图形的数学处理一

2、般包括两个方面： 根据零件图样给出的形状、尺寸和公差等直接通过数学方法（如三角、几何与解析几何法等）计算出编程时所需要的有关各点的坐标值、圆弧插补所需要的圆弧圆心、圆弧端点的坐标数值，即计算零件轮廓的基点和节点坐标，以便编制加工程序； 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 按照零件图给出的条件还不能直接计算出编程时所需要的所有坐标值，也不能按零件图给出的条件直接进行工件轮廓几何要素的定义来进行自动编程时，那么就必须根据所采用的具体工艺方法、工艺装备等加工条件，对零件原图形及有关尺寸进行必要的数学处理或改动，才可以进行各点的坐标计算和编程工作。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理1数值换算

3、数值换算（1）选择原点、换算尺寸）选择原点、换算尺寸 原点是指编制加工程序时所使用的编程原点。加工程序中的字大部分是尺寸字，这些尺寸字中的数据是程序的主要内容。同一个零件同样的加工，如果原点选择不同，尺寸字中的数据就不一样，所以编程之前首先要选定原点。从理论上讲原点选在任何位置都是可以的。但实际上为了换算尽可能简便，以及尺寸较为直观（至少让部分点的指令值与零件图上的尺寸值相同），应尽可能把原点的位置选得合理些。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 车削件的编程原点X向应取在零件的回转中心，即车床主轴的轴心线上，所以原点的位置只在Z向做选择。原点Z向位置一般在工件的左端面或右端面两者中做选择

4、。如果是左右对称的零件，Z向原点应选在对称平面内，这样同一个程序可用于调头前后的两道加工工序。对于轮廓中有椭圆之类非圆曲线的零件，Z向原点取在椭圆的对称中心较好。（2）标注尺寸换算）标注尺寸换算 在很多情况下，因其图样上的尺寸基准与编程所需要的尺寸基准不一致，故应首先将图样上的基准尺寸换算为编程坐标系中的尺寸，再进行下一步数学处理工作。 1）直接换算。）直接换算。直接通过图样上的标注尺寸，即可获得编程尺寸的一种方法。进行直接换算时，可对图样上给定的基本尺寸或极限尺寸的中值，经过简单的加、减运算后即可完成。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理例如，在图图1b 中，除尺寸37.32mm外，其余

5、均属直接按图图1a 标注尺寸经换算后得到编程尺寸。其中，50.95mm、17mm及120.05mm 三个尺寸为分别取两极限尺寸平均值后得到的编程尺寸。 在取极限尺寸中值时，如果遇到有第三位小数值（或更多位小数），基准孔按照“四舍五入”的方法处理，基准轴则将第三位进上一位，例如： 当孔尺寸为30 0 mm时，其中值尺寸值取30.04mm；+0.072 当轴尺寸为26-0.05 mm时，其中值尺寸取25.9750.005为25.98mm；0当孔尺寸为26 0 mm时，其中值尺寸取26.03mm。+0.05 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理( b )( a )23 83 02 4 5 03 0

6、4 0+ 0 . 1 01 2 01 2 0 . 0 550-0.103 0 3 0 303050.95170.0217133 7 . 3 2图图1 标注尺寸换算标注尺寸换算(b)(a)238302 45 03040+0.10120120.0550-0.103030303050.95170.02171337.32 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理2）间接换算）间接换算 指需要通过平面几何、三角函数等计算方法进行必要解算后，才能得到其编程尺寸的一种方法。 用间接换算方法所换算出来的尺寸，是直接编程时所需的基点坐标尺寸，也可以是为计算某些基点坐标值所需要的中间尺寸。图1b 中所示的尺寸37.

7、32mm就是间接换算后得到的编程尺寸。2尺寸链计算尺寸链计算 如果仅仅为得到其编程尺寸，只须按上述方法即可。但在数控加工中，除了需要准确地得到其编程尺寸外，还需要掌握控制某些重要尺寸的允许变动量，这就需要通过尺寸链解算才能得到。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 在数控加工中，除了要准确地获得编程尺寸外，还要掌握控制某些重要尺寸的允许变动量，这就要通过尺寸链解算才能得到，故尺寸链解算是数学处理中的一个重要内容。尺寸链的基本概念：尺寸链的基本概念： 在机器装配或零件加工过程中，由相互连接的尺寸形成的封闭尺寸组，称为尺寸链。尺寸链按其功能分为设计尺寸链和工艺尺寸链。（1）设计尺寸链）设计尺寸

8、链 组成尺寸全部为设计尺寸形成的尺寸链即为设计尺寸链，它又分为两种：一种是装配尺寸链。即全部组成尺寸为不同零件设计尺寸所形成的尺寸链。另一种是零件尺寸链。即全部组成尺寸为同一零件的设计尺寸所形成的尺寸链。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理（2）工艺尺寸链）工艺尺寸链 组成尺寸全部为同一零件的工艺尺寸所形成的尺寸链即为工艺尺寸链。所谓工艺尺寸，是加工要求而形成的尺寸，如工序尺寸、定位尺寸等。（3）尺寸链简图）尺寸链简图 如图图2 a 所示，设计图样上标注的设计尺寸为A1、A0，钻孔时若以左侧面为定位基准，则A2及A1为钻孔时的工艺尺寸（或工序尺寸），A0则变为加工过程中最后形成的尺寸。此时

9、，A1、A2、A0形成封闭外形，如图图2 b 所示。绘制工艺尺寸链简图时，应由加工中自然形成的尺寸画起，然后依次给出与该处尺寸要求有关的尺寸。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理A1A0A1A0A2（ a ）（ b ）图图2 工艺尺寸链简图工艺尺寸链简图A1A0A1A0A2（ a）（ b） 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理（4）尺寸链的环）尺寸链的环 列入尺寸链中的每一个尺寸都称为尺寸链中的“环”。由长度尺寸表示的环则称为长度环，并用大写斜体字母A、B、C表示。每个尺寸链中至少应有3个环。1）封闭环）封闭环2）组成环）组成环 在零件加工或机器装配过程中，最后自然形成（间接获得）的环称

10、为封闭环。封闭环以加下标“0”表示，如图图2 b 中的A0是封闭环。一个尺寸链中只能有一个封闭环。 尺寸链中除封闭环以外的其余各环均称为组成环。同一尺寸链中的组成环用同一字母、不同的下标表示，如图图2 b 中的A1、A2都是组成环。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理3）增环）增环4）减环）减环 在尺寸链简图上，任意假设一个旋转方向，即由尺寸链中任何一环的基准出发，绕该链轮廓转一周，并回到出发基准。按该旋转方向（顺、逆时针）给每个环标出箭头，如图图2 b 所示。凡是其箭头方向与封闭环相反的为增环，箭头方向与封闭环相同的则为减环。 在其他组成环（尺寸）不变的条件下，当某个组成环增大时，封闭环

11、亦随之增大，则该组成环称为增环。增环用字母上加符号“”表示。 在其他组成环不变的条件下，当某个组成环增大时，封闭环却随之减小，则该组成环称为减环。减环用字母上加“”符号表示。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理（5）解尺寸链）解尺寸链 在手工编程工作中，为了使图样上的给定尺寸符合工艺要求和编程的需要，常常要计算封闭环的各有关尺寸，或根据已知的封闭环去计算所需的某个组成环，这些解算工作称为解封闭环。下面介绍采用完全互换法中的极值法求解封闭环的过程。1）封闭环的基本尺寸）封闭环的基本尺寸 封闭环的基本尺寸等于所有增环的基本尺寸之和减去所有减环的基本尺寸之和，其计算分式为：nnLLL0式中：L

12、0 封闭环的基本尺寸； L n n个环的基本尺寸。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理2）封闭环的最大极限尺寸）封闭环的最大极限尺寸 封闭环的最大极限尺寸等于所有增环的最大极限尺寸之和减去所有减环的最小极限尺寸之和，其计算公式为：min,max,max,0nnLLL式中：L0,max 封闭环的最大极限尺寸； L n, max n 个环的最大极限尺寸； L n, min n 个环的最小极限尺寸。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理max,min,min,0nnLLL式中：L0,min 封闭环的最小极限尺寸。 如因验算或工艺要求需要解算出封闭环的极限偏差或公差，则可按有关尺寸公差的知识解决

13、。3）封闭环的最小极限尺寸）封闭环的最小极限尺寸 封闭环的最小极限尺寸等于所有增环的最小极限尺寸之和减去所有减环的最大极限尺寸之和，其计算公式为： 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理11.2 直线和圆弧轮廓基点计算方法直线和圆弧轮廓基点计算方法1.基点的含义基点的含义 一个零件的轮廓曲线可能由许多不同的几何要素所组成，如直线、圆弧、二次曲线等。构成零件轮廓的不同几何要素的交点或切点称为基点。如直线与直线的交点，直线与圆弧的交点或切点，圆弧与二次曲线的交点或切点等。基点坐标是编程中需要的重要数据，可以直接作为其运动轨迹的起点或终点，如图图3 所示。2.基点坐标计算基点坐标计算 基点坐标计算的

14、主要内容有：每条运动轨迹（线段）的起点或终点在选定坐标系中的坐标值和圆弧运动轨迹的圆心坐标值。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 基点坐标计算的方法比较简单，一般可根据零件图纸所给已知条件用人工完成。即依据零件图纸给定的尺寸，运用代数、三角、几何或解析几何的有关知识，直接计算出数值。 例如图图4中，基点A、B、D、E的坐标值，从图中给出的尺寸可以很容易地得到，如A（0，0），B（0，12），D（110，26），E（110，0）。但基点C是过B点的直线与圆心为O2、半径为30的圆弧的切点，这个尺寸，图中并未直接给出，要用解联立方程组的方法，才能求出切点C的坐标。 第11讲 数控机床编程中的

15、图形数学处理ABCDEABCDEF(a)(b)图图3 3 零件轮廓上的基点和节点零件轮廓上的基点和节点图图4 4 基点坐标计算基点坐标计算 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 求C点的坐标值有多种方法，这里采用直线方程与圆方程联立求解的方法。先求出直线BC的方程，然后与圆心为O2、半径为30的圆的方程联立求解。为了计算方便，可先将坐标原点选在B点上，构成新的坐标系。 由图可知，在新的坐标系中，圆心为O2 、半径为30的圆方程是：222301480YX 过B点的直线方程为Y= k X。直线BC的方程当然也如此。此时k= tan（）。为求k值，应求出及值。由图可知： 第11讲 数控机床编程中的

16、图形数学处理tan =（2612）80=0.17511029而BO O2= =81.215，CO O2=30，228014 Sin = CO O2BO O2 0.3694，于是：24.087 ； tan（）0.6153即k= 06153。将两方程联立：222301480YXY=0.6153X可求得以B为原点的C点坐标是（64.278，39.550）。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 换成编程用的以A点为原点的坐标值，则得 C（64.278，51.550）。在计算时，要注意将小数点后边的位数留够，以保证足够的精度。 求其他零件几何元素的基点坐标与上例类似。从原理上讲，求基点坐标是比较简单

17、的，但运算过程可能十分繁杂。因此，为了提高编程效率，应尽量使用自动编程系统或用计算机辅助完成坐标数据的计算。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理11.3 非圆曲线的节点计算非圆曲线的节点计算 当被加工零件轮廓形状与机床的插补功能不一致时，如在只有直线和圆弧插补功能的数控机床上加工椭圆、双曲线、抛物线、阿基米德螺旋线或用一系列坐标点表示的列表曲线时，就要用直线或圆弧去逼近被加工曲线。这时，逼近线段与被加工曲线的交点就称为节点。如图图5所示的曲线当用直线逼近时，其交点A、B、C、D、E、F等即为节点。 在编程时，要计算出节点的坐标，并按节点划分程序段。节点数目的多少，由被加工曲线的特性方程（形

18、状）、逼近线段的形状和允许的插补误差来决定。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 显然，当选用的数控机床系统具有相应几何曲线的插补功能时，编程中的数值计算是最简单的，只需求出基点坐标，而后按基点划分程序段就行了。但一般数控机床不具备二次曲线与列表曲线的插补功能，因此就要用逼近法加工，这就需要求出节点的数目及其坐标值。为了编程方便，一般都采用直线段去逼近已知的曲线，这种方法称为直线逼近，或称线性插补。常用的逼近方法主要有等间距直线逼近法、等弦长直线逼近法、等误差直线逼近法和圆弧逼近法等。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理ABCDEF图图5 5 零件轮廓上的节点零件轮廓上的节点 第11讲

19、 数控机床编程中的图形数学处理1. 非圆曲线的节点计算非圆曲线的节点计算 用直线或圆弧逼近曲线y = f（x）时，节点的数目及其坐标值主要取决于曲线的特性、逼近段的形状及允许的逼近误差。根据这三个条件，可以用数学方法求出各节点的坐标，采用直线还是圆弧作为逼近线段，主要根据是在保证逼近精度的前提下，使节点数目尽量少，这样程序段数目少，计算简单。对于曲率半径大的曲线用直线逼近较为有利，若曲率半径较小则用圆弧逼近较为合理。下面介绍常用的几种节点计算方法。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理（1）等间距直线逼近法）等间距直线逼近法 这种方法是使每一个程序段中的某一个坐标的增量相同。在直角坐标系中，

20、可令X坐标的增量相同。如图图6所示，已知方程Y= f（X），根据给定的X，可求出Xi，将Xi代人方程Y= f（X）中，即可求得一系列Yi，得到一系列点的坐标（X0，Y0），（X1，Y1），( Xi，Yi)，这些点即为所求节点，也是每个逼近线段的终点。用这些点的坐标可以编制直线加工程序段。X的大小取决于曲线的形状和逼近误差，一般先取X= 0.l mm试算。校验的方法如图图6所示。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理图图6 6 等间距节点计算等间距节点计算 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 设m n为某一逼近线段，作m n平行于m n并与曲线相切，切点至m n的距离为允允，设MN的方程为

21、：AXBYC = 0则m n的方程为：AXBYC 允允 =0 （11 - 1）22BA设m为（X1，Y1），n为（X2，Y2），则上式中A = Y1Y2B = X1X2C = Y1（X1X2）X1（Y1Y2） 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理设m为（X1，Y1），n为（X2，Y2），则上式中：A = Y1-Y2B = X1-X2C = Y1（X1-X2）-X1（Y1-Y2）将（11 - 1）式与曲线方程联立： Y = f（X） （11 - 2）AXBYC =022BA允允 其解有三种情况：无解、一个解或两个解。无解即表示曲线Y= f（X）与m n无交点，即逼近误差小于允允；如果有一个解，

22、说明只有一个交点，即逼近误差等于允允；如果有两个解，说明有两个交点，即逼近误差接近允允。显然无解或有一个解的情况是满足误差要求的。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 有两个解时，说明逼近误差取得大了，应缩小等间距坐标的增量值，一般是使X减半，重新计算切点并验算逼近误差，直至上述方程无解或有一个解时为止。（2）等弦长直线逼近法）等弦长直线逼近法 这种方法是选择每个程序段的直线段长度相等。由于零件轮廓曲线各处的曲率不同，因此各段的逼近误差不相等，必须使最大误差小于允允。一般来说，零件轮廓曲线的曲率半径最小的地方，逼近误差最大。据此，先确定曲率半径最小的地方，然后在该处按照逼近误差小于或等于允

23、允的条件求出逼近线段的长度，用此弦长分割零件的轮廓曲线，即可求出各节点的坐标。如图图7所示。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理图图7 等弦长节点计算等弦长节点计算 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 在图图7中，已知零件轮廓的曲线方程为Y=F（X），则曲线的率半径为： （11- 3）2/3/)1 (2YYR该式对X求一阶导数，并令其为零，得： （11 - 4）0)1 ()1 (32/322/ 122 YYYYY 利用（11 - 4）式可求出极值点的X值，将其代入（11 - 3）式中便得最小曲率半径。对于半径为 的圆弧，当逼近误差为允允时，其逼近的弦长L为：minR L= 2 2 （1

24、1 - 5）2min2min(）允 RR允min2 R 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 以曲线的起点a（X a ，Y a）为圆心，L为半径作圆，与Y = f（X）曲线交于b点，求解联立方程：222LYYXXaaY = f（X） 可得b点的坐标（X b，Y b）。顺次以b，C ，为圆心，L为半径作圆，重复上述步骤，即可求得c ，d，e 各节点的坐标值。 该方法与等间距直线逼近法比较，计算复杂，但程序段少，适用于曲率变化不大的曲线的节点计算。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理（3）等误差直线逼近法）等误差直线逼近法 该方法是使每个直线段的逼近误差相等，并小于或等于允允 。如图8所示：

25、图图8 等误差节点计算等误差节点计算 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理计算步骤如下： 确定允允的圆方程。即以本段起点a（X a ，Y a）为圆心，以允允为半径作圆，其方程式为：222允aaYYXX 求圆与曲线公切线PT的斜率k：K =（YT- YP）（XT- XP） 求直线PT的方程。解如下联立方程： 圆方程 圆切线方程 曲线方程 曲线切线方程可得XT ，XP ，YT ，YP，并得到直线PT的方程。ppXFY)()()(PPTPTXFXXYYTTXfY)()()(TPTPTXfXXYY 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 求弦a b的方程。因为a b与PT平行，所以弦a b的方程为：

26、Y Y a = k（X - X a） 求b点及其他各点坐标。求解联立方程：Y = f（X）Y Y a= k（X - X a） 可得b点的坐标（X b ，Y b）。重复上述步骤，可依次求得c 、d、各节点的坐标值。 此方法计算较繁琐，但因求得的切点数目最少，故目前应用最为普遍。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理（4）圆弧逼近法）圆弧逼近法 上面讲述的三种方法都是直线段逼近曲线的方法，如果数控系统具有圆弧插补功能，也可以用圆弧段去逼近工件的轮廓曲线。这时，需求出每段圆弧的圆心、起点和终点的坐标，以及圆弧的半径。计算节点的依据依然是要使圆弧段与工件轮廓曲线间的误差小于或等于允许的逼近误差允允。

27、 用圆弧逼近曲线，目前常用的算法有三点圆法、相切圆法和曲率圆法。三点圆法是通过已知的三个节点求圆，并作为一个圆弧插补程序段。相切圆法是通过已知的四个节点分别做出两个相切的圆，编出两个圆弧插补程序段。这两种方法都是先用直线逼近方法求出各节点的坐标，然后再求出各圆，计算很繁琐。图图9所示为一种等误差逼近的曲率圆法。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理图图9 9 圆弧逼近节点计算圆弧逼近节点计算 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理其计算步骤如下： 求曲线Y= f（X）在起始点（X n ，Y n）处的曲率半径和圆心坐标（R n ， n， n）：R n = nnYY2/32)1( n = X n

28、 -21nnnYYY n = Y n21nnYY以点（ n， n）为圆心，R n 允为半径作圆，与曲线相交，求其交点（Xn+1，Yn+1）。解联立方程： 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理（X- n）（Y- n） =（R n允允）222Y = f（X） 求过点（X n，Y n）和（Xn+1，Yn+1）且半径为R n的圆的圆心（ m， m）。即解联立方程： 即可求得圆弧的圆心坐标（ m， m）。该圆弧即为等误差曲率圆法的逼近圆弧段，其起点为（X n ，Y n），终点为（Xn+1，Yn+1），圆心坐标为（ m， m），半径为R n 。（X n m） （Y n m） = R n（X n +1 m

29、） （Y n +1 m） = R n222222 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 重复上述步骤，可依次求得其他逼近圆弧段。 在上述四种逼近计算中，只是计算了曲线轮廓的逼近线段或圆弧线段。对于无刀具半径自动补偿的数控系统，还应用等距线或等距圆的数学方法计算刀具中心轨迹的各节点坐标，作为编程的依据。2. 列表曲线的数学处理列表曲线的数学处理 被加工零件的轮廓形状，除了可以用直线、圆弧或其他非圆曲线组成之外，还可以通过实验或测量的方法得到。这些通过实验或测量得到的数据，在图纸上以坐标点的表格形式给出。 这种由列表点（又称为型值点）给出的轮廓曲线称为列表曲线。这类列表轮廓零件在以传统的工艺方法

30、加工时，其加工质量完全取决于钳工的技术水平，且生产效率极低。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 目前广泛采用数控加工，但在加工程序的编制方面遇到了较大困难，这主要是由于数学方程的描述与数控加工对列表曲线轮廓逼近的一般要求之间，往往存在矛盾。也就是说，要获得比较理想的拟合效果，其数学处理过程相应就会比较复杂。 若列表曲线给出的列表点密至足以满足曲线的精度要求时，可直接在相邻列表点间用直线段或圆弧编程。但往往给出的只是一部分点，只能描述曲线的大致走向，这时，就要增加新的节点，也称插值。在数学处理方面，目前处理列表曲线的方法通常是采用二次拟合法。即在对列表曲线进行拟合时，第一次先选择直线方程或

31、圆方程之外的其他数学方程式来拟合列表曲线，称为第一次拟合。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 对列表曲线进行数学处理，传统的方法有牛顿插值法、三次样条曲线拟合、圆弧样条拟合与双圆弧样条拟合等。目前应用更多的是计算机辅助几何设计中的各种建模方法。如Bezier曲线、NURBS曲线等。这些模型在多种CADCAM系统中都能实现。 然后根据编程允差的要求，在已给定的各相邻列表点之间，按照第一次拟合时的方程（称为差值方程）进行插点加密求得新的节点，也称第二次曲线拟合，从而编制逼近线段的程序。插值加密后相邻节点之间，采用直线段编程还是圆弧段编程，取决于第二次拟合时所选择的方法。第二次拟合的数学处理过

32、程，与前面介绍的非圆曲线数学处理过程一致。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理3. 空间曲面的数学处理空间曲面的数学处理 有的空间曲面可以用方程 z = f（x ，y)来描述，如球面、锥面、鞍形面等。这类曲面数控机床上加工时，无论是行切法还是用多坐标加工，都可以根据曲面方程来计算其加工轨迹。但是还有大量的空间曲面，如飞机机体、汽车车身、模具的型腔等，只有模型、实物或实验数据，没有描述它们的解析方程。这类曲面要进行数控加工时，首先就是建立曲面的数学模型。 为了建立曲面的数学模型，首先在零件模型或实物的表面上划出横向和纵向两组参数线，这两组线在零件表面上构成网格，这些网格定义了许多小的曲面片，

33、每一块曲面片都以四条光滑连续的曲线作为边界，然后相对于某一基准面测定这些网格顶点的坐标值。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 这样，就可以根据这些顶点的坐标，对两组曲线和被曲线划分的网格的每块曲面片进行数学描述，从而求出曲面的数学模型，这就是所谓的曲面拟合。下面介绍几种常见的数学处理方法：（1）简单立体型面的数值计算）简单立体型面的数值计算 三坐标数控机床加工立体型面零件，可由加工数个平面曲线叠加而成。因此，平面零件的数值计算方法，可以在三坐标数控机床加工立体零件中应用。简单立体型面零件是指以直线为母线沿导线运动所形成的立体型面。如图图10所示，母线是与Z轴夹角为的直线，导线是椭圆，母线

34、沿导线运动扫过的面为椭圆锥体，它是简单立体型面的例子。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 这类零件，可在三坐标数控铣床上用球头刀或圆弧盘铣刀采用“行切法”加工，此时刀具沿X一Y平面运动一圈，在零件轮廓上加工出一个平面曲线，然后在Z方向移动一个行距Z，再加工出一个新的平面曲线，直至整个表面加工完。 就加工每个平面曲线来说，其数值计算方法与平面曲线零件的数值计算方法相同。对立体型面来说，还需解决两个问题，即合理确定行距Z和计算球头铣刀的有效半径 r 。如图图11所示。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理图图10 10 简单立体型面的数控加工简单立体型面的数控加工 第11讲 数控机床编程中

35、的图形数学处理图图11 行距与切残量的关系行距与切残量的关系 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 当球头刀从O点移动一个行距Z至O点时，在加工表面留下残留面积，其高度为h。这样就造成了加工表面的微观不平度，行距越大，微观不平度也越大。若表面粗糙度允许的表面不平度为h允，则 S = 2 222允允hRh允Rh2所以 Z= S sin = 2 sin 允Rh2 式中：为母线与X一Y平面的夹角，即= 90-。当母线为曲线时，角决定于曲线在该点的斜率；当母线为直线时，为常数。不变时，行距Z也不变。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 对于简单立体型面，母线为直线，角不变，r亦不变；当母线为曲线

36、时，线上各点的角不同，r也随之变化。简单立体型面编程的计算方法与平面轮廓曲线相同。计算刀具中心轨迹时，应取刀具的有效半径r。 数控机床加工简单立体型面零件时，数控系统要有三个坐标控制功能，但加工平面曲线只要有两坐标就可以。刀具作Z方向运动时，不要求X，Y方向同时运动。这种三坐标运动、两坐标联动的加工编程方法称为两轴半联动加工。 球头刀加工时的实际有效半径，与球头刀和型面接触的切点斜率有关。设球头刀半径为R，而刀具的有效半径为r，则有r = R sin 。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理（2）自由曲面的数学处理）自由曲面的数学处理 对于自由曲面零件，如蜗轮叶片及各种其他叶片、机翼翼型、汽

37、车覆盖件模具等，不管是通过计算机辅助设计还是通过实验手段测定，型面都是用一组列表数据表达的。因此，对这类零件进行数控加工编程时，常常都是以三维坐标点（X i ，Y i ，Z i ）表示的。 自由曲面的拟合方法很多，有B样条法、贝齐尔（Bezier）方法、高斯（Coons）方法等。B样条法和高斯方法需用反求法实现插补，因而适于对精度要求高的曲面；在粗加工和半精加工中时常采用贝齐尔方法。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理（3）组合曲面的数学处理）组合曲面的数学处理 组合曲面是指由多种曲面，包括解析曲面及自由曲面相贯而成的复杂的曲面，这种曲面在飞机、舰船、汽车、模具及其他制造业中有着广泛应用。

38、 组合曲面的处理是CADCAM中的一个较难解决的问题，可通过曲面求交等方法来处理，但都有一定的局限性。以下介绍处理组合曲面的“最高点法”。 最高点法首先是在XOY坐标面上确定一个有限的矩形区域，将这个矩形区域按一定的步长网络化，然后在每一个节点上解曲面方程组，得出各个曲面元素上的Z坐标值，取最大的Z坐标值为组合曲面在该点的Z坐标。“最高点法”是求取一组曲面在规定范围的矢量组的方法。如果这些曲面是解析的，欲求最高点必须求出投影面上每个点（X，Y）对应的Z坐标。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 例如，模具型腔是由设计图或物理模型给出的，组成型腔的曲面元素两两交出一条空间曲线或折线，有时设计

39、者能设法求出这些交线方程。 最高点法可一次求出组合曲面的加工数据，而不需求相贯线，适用于解析曲面。自由曲面的组合和计算方法简单、直观。下面对空间平面圆柱面、圆锥面、椭球面、椭圆抛物面、旋转面及可用方程表示的二次曲面的组合曲面的处理加以说明。 最高点法的主要任务就是求对应于投影面上（X，Y）点的各曲面的Z坐标： 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 平面上Z坐标的计算 空间平面可以有多种定义形式：不共线的三点；平面上一点及其法向矢量；平面上一点及与之相切的圆锥或圆柱；平行平面及两面的距离；平面方程 a X + b Y + c Z + d = 0 等。无论平面是如何定义的，最终都可转化成 a X

40、 + b Y +c Z + d = 0的形式。这时，Z可表示为X、Y的函数Z=f（X，Y）。由此，对应于每个点（X，Y）都可求出一个对应的Z坐标。 圆柱面、圆锥面、椭球面、椭圆抛物面、椭圆柱面及旋转面上Z坐标的计算 先给出各曲面的标准方程式：圆柱面：X Y = Z （设Z轴为中心轴）；222圆锥面：X Y =（Z tan ） （设Z轴为中心轴）；222 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理椭球面： =1； 222222cZbYaX椭圆抛物面： ；cZbYaX22222椭圆柱面： （设z轴为中心轴）；12222bYaX旋转面：母线方程为a X b Y c Z d = 0（a不为0，b、c 不同

41、时为0），设旋转轴为Z轴，则旋转面方程为a（X Y ）十b Z c Zd=0222222综合以上几种曲面形式，用通式表示为：a X b y c Z d Ze =0222 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 但因曲面标准方程只在局部坐标系中才成立，由多个曲面组合而成的物体具有整体坐标系，由于局部坐标系与整体坐标系的位置是任意的，因此曲面在整体坐标系中不具有标准方程。如果X、Y已知，要求出曲面上对应的Z值，可采用下面的方法： 取两点（X，Y，0）、（X，Y，m ），其中m 为不等于零的任意值。过两点有一条直线L，经过旋转、平移等坐标变换，得出它们在局部坐标系中的坐标值P1（X1，Y1，Z1），

42、P2（X2，Y2，Z 2），则直线L在局部坐标系中的参数方程为：X = X1 （X2X1）tY = Y1 （Y2Y1）tZ = Z1 （Z2Z 1）t 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理式中：t为参数，将其代人曲面方程：a X b Y c Z d Z e = 0222得到：aX1（X2X1）t bY1（Y2Y1）t cZ1（Z2Z1）t dZ1（Z2Z1）te = 0222 求出两个解t1和t2，即可求出直线与曲面的两个交点在局部坐标系中的坐标。再通过旋转、平移变换，便可求出这两个点在整体坐标系中的坐标。 二次曲面上Z坐标的计算二次曲面上Z坐标的计算，实际上是已知二次曲面方程：A1X A2

43、Y A3Z A4XYA5YZA6XZA7XA8YA9ZA10=0222求对应于（X，Y）点的Z坐标值。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理二次曲面的普通方程可以化成以Z为未知数的二次方程：a Z b Zc = 02式中： a = A 3b = A5 YA6 X A 9c = A1X A2Y A4XYA7XA8YA1022解该方程，即得到对应于（X，Y）的Z值：Z = aacbb242 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理11.4 刀位点轨迹坐标的计算刀位点轨迹坐标的计算1. 刀位点的选择及对刀刀位点的选择及对刀 刀位点是刀具上代表刀具在工件坐标系中所在位置的一个点。编程时用该点的运动来描

44、述刀具的运动，运动所形成的轨迹称为编程轨迹。刀位点是仅就刀具作平动的数控加工而言的。对于包含刀具轴线摆动的四坐标或五坐标数控加工，应使用刀位矢量的概念。 在不使用刀具补偿功能编写程序时，编程轨迹就是刀具上刀位点的实际运动轨迹。采用刀具补偿功能之后，情况就发生了变化。刀具半径补偿功能将使实际的刀位点运动轨迹偏移一个刀具半径；刀具长度补偿功能则可将刀具长度的变化叠加到刀具轴向移动坐标中。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 对于旋转型的刀具，如各种立铣刀、钻头等，刀位点的选择比较简单，应使刀位点位于刀具轴心线某一确定位置上。对平底铣刀，选择刀具底面中心为刀位点。对于球头立铣刀可以用球心作为刀位

45、点，也可以用刀端点。用刀端点作为刀位点时，可以直接测量其位置，而用球心作为刀位点时，仍应测量刀端点，然后再换算为球心点坐标。 钻头类刀具常用钻头钻尖作为刀位点。但编程时，应根据图样上对加工孔的尺寸标注，适当增加钻尖的长度。数控车床使用的刀具，由于刀具的结构特点，刀位点选择有时比较复杂。目前数控车床用机夹可转位刀片，刀尖处均含有半径不大的圆弧，数控编程时，通常应考虑刀尖圆弧半径对零件加工尺寸的影响。还有一些刀具，如切槽刀实际上存在两个刀尖位置，选择哪个位置作为刀位点主要考虑便于对刀和测量，并做出统一规定。 第11讲 数控机床编程中的图形数学处理 对刀是指操作者在启动程序之前，通过一定的测量手段，确定刀位点与对刀点的关系。实际中可以用对刀仪对刀，其操作比较简单，测量数据也比较准确。也可以在数控机床上定位好夹具或安装好工件之后，使用量块、塞尺、千分表和各种对刀附件等，利用机床上的坐标显示对刀。2. 刀心轨迹的数值计算刀心轨迹的数值计