第四部分导热问题的数值解法教学ppt课件

1、第四章导热问题的数值解法第四章导热问题的数值解法4-0 引言引言 求解导热问题的三种根本方法：求解导热问题的三种根本方法：(1) 实际分析法；实际分析法；(2) 数数值计算值计算 法；法；(3) 实验法实验法 三种方法的根本求解过程三种方法的根本求解过程 (1) 所谓实际分析方法，就是在实际分析的根底上，直所谓实际分析方法，就是在实际分析的根底上，直接对微分方程在给定的定解条件下进展积分，这样获得的接对微分方程在给定的定解条件下进展积分，这样获得的解称之为分析解，或叫实际解；解称之为分析解，或叫实际解； (2) 数值计算法，把原来在时间和空间延续的物理量的数值计算法，把原来在时间和空间延续的物

2、理量的场，用有限个离散点上的值的集合来替代，经过求解按一场，用有限个离散点上的值的集合来替代，经过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；点上被求物理量的值；并称之为数值解； (3) 实验法实验法 就是在传热学根本实际的指点下，采用对所就是在传热学根本实际的指点下，采用对所 研讨对象的传热过程所求量的方法研讨对象的传热过程所求量的方法3 三种方法的特点三种方法的特点 (1) 分析法分析法 a 能获得所研讨问题的准确解，可以为实验和数值计算提供比较根据；能获得所研讨问题的准确解，可以为实验和数

3、值计算提供比较根据； b 局限性很大，对复杂的问题无法求解；局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响明晰可见分析解具有普遍性，各种情况的影响明晰可见 (2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺陷，顺应性数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺陷，顺应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比本钱低验法相比本钱低(3) 实验法实验法: 是传热学的根本研讨方法，是传热学的根本研讨方法，a 顺应性不好；顺应性不好； b 费用昂贵费用昂贵数值解法：有限差分法数值解法：有限差分法finite-difference、 有限元法有

4、限元法finite-element 、 边境元法边境元法boundary- element、 分子动力学模拟分子动力学模拟MD 4-1 导热问题数值求解的根本思想导热问题数值求解的根本思想 及内部节点离散方程的建立及内部节点离散方程的建立1 物物 理理 问问 题题 的的 数数 值值 求求 解解 过过 程程建立控制方程及定解条件确定节点区域离散化建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程能否收敛能否收敛解的分析解的分析改良初场是否0tyf3thf2thf1thx02222ytxt二维矩形域内稳态无内热二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题源，常物性的导热问题2 例题条件例题条件

5、?),(yxtxyxynm(m,n)MN3 根本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长根本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长二维矩形二维矩形域内稳态域内稳态无内热源，无内热源，常物性的常物性的导热问题导热问题4 建立离散方程的常用方法：建立离散方程的常用方法：(1) Taylor泰勒级数展开法；泰勒级数展开法；(2) 多项式拟合法；多项式拟合法；(3) 控制容积积分法；控制容积积分法；(4) 控制容积平衡法控制容积平衡法(也称为热平衡法也称为热平衡法)(1) 泰勒级数展开法泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的温度的温度ti,j来表示节点来表

6、示节点(i+1,j)的温度的温度ti+1,j用节点用节点(i,j)的温度的温度ti,j来表示节点来表示节点(i-1,j)的的温度温度ti-1,j! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm假设取上面式右边的前三项，并将式和式相加假设取上面式右边的前三项，并将式和式相加移项整理即得二阶导数的中心差分：移项整理即得二阶导数的中心差分：同样可得：同样可得：)(222, 1, 1,22xoxtttxtnmnmnmnm)(2221,1,22yoytttytnmnmnmnm截断误差截断误差未明确写出

7、的级数余项未明确写出的级数余项中的中的XX的最低阶数为的最低阶数为2 2 对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为：微分方程为：其节点方程为：其节点方程为：0ytxtv22220ytt2txtt2tj , i ,v21j , ij , i1j , i2j ,1ij , ij ,1i(2) 控制容积平衡法控制容积平衡法(热平衡法热平衡法)根本思想：对每个有限大小的控制容积运用能量守恒，从根本思想：对每个有限大小的控制容积运用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从根本物理景象和根本定而获得温度场的代数方程组，它从根本物理景象和根本定律出发，

8、不用事先建立控制方程，根据能量守恒和律出发，不用事先建立控制方程，根据能量守恒和Fourier导热定律即可。导热定律即可。能量守恒：流入控制体的总热流量控制体内热源生成热能量守恒：流入控制体的总热流量控制体内热源生成热 流出控制体的总热流量控制体内能的增量流出控制体的总热流量控制体内能的增量即：即： 单位：单位：oviWvoi)(ovi即：从一切方向流入控制体的总热流量即：从一切方向流入控制体的总热流量 控制体内热源生成热控制体内热源生成热 控制体内能的增量控制体内能的增量留意：上面的公式对内部节点和边境节点均适用留意：上面的公式对内部节点和边境节点均适用01,1, 1, 1nmnmnmnm稳

9、态、无内热源时：稳态、无内热源时：从一切方向流入控制体的总热流量从一切方向流入控制体的总热流量0内部节点：内部节点：0右左下上(m, n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1) x x y y (m,n+1)以二维、稳态、有内热源的导热问题为例以二维、稳态、有内热源的导热问题为例此时：此时：0v右左下上xtyxtAdddd左可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道所以，必需假设相邻节点间的温度分布方式，这里我们所以，必需假设相邻节点间的温度分布方式，这里我们假定温度呈分段线性分布，如下图假定温度呈分段线性分布，如下图xt dd(m,n)

10、(m-1,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,nxttyxtynmnm, 1dd左可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。此时：此时：xttynmnm, 1右yttxnmnm,1,上yttxnmnm,1,下内热源：内热源：yxVv0v右左下上0,1,1, 1, 1yxyttxyttxxttyxttynmnmnmnmnmnmnmnmyx时：时：042,1,1, 1, 1xtttttnmnmnmnmnmxtttttnmnmnmnmnm21,1, 1, 1,4xtttttnmnmnmnmnm21,1,1,1,4无内热源时

11、：无内热源时：变为：变为：1,1, 1, 1,4nmnmnmnmnmttttt重要阐明：所求节点的温度前的系数一定等于其他重要阐明：所求节点的温度前的系数一定等于其他一切相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用一切相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边境节点。但这里不包括热流于边境节点。但这里不包括热流(或热流密度或热流密度)前的前的系数。系数。4-2 4-2 边境节点离散方程的建立及代数边境节点离散方程的建立及代数 方程的求解方程的求解对于第一类边境条件的热传导问题，处置比较简单，由于对于第一类边境条件的热传导问题，处置比较简单，由于知边境的温度，可将其以数值的方式参与到内节点的离散知

12、边境的温度，可将其以数值的方式参与到内节点的离散方程中，组成封锁的代数方程组，直接求解。方程中，组成封锁的代数方程组，直接求解。而对于第二类边境条件或第三类边境条件的热传导问题，而对于第二类边境条件或第三类边境条件的热传导问题，就必需用热平衡的方法，建立边境节点的离散方程，边境就必需用热平衡的方法，建立边境节点的离散方程，边境节点与内节点的离散方程一同组成封锁的代数方程组，才节点与内节点的离散方程一同组成封锁的代数方程组，才干求解。干求解。为了求解方便，这里我们将第二类边境条件及第三类边境为了求解方便，这里我们将第二类边境条件及第三类边境条件合并起来思索，用条件合并起来思索，用qw表示边境上的

13、热流密度或热流表示边境上的热流密度或热流密度表达式。用密度表达式。用表示内热源强度。表示内热源强度。1.1.边境节点离散方程的建立：边境节点离散方程的建立：qwxyqw(1) 平直边境上的节点平直边境上的节点2,1,1, 1,224xttqxttnmnmnmwnmnm0222,1,1, 1yxyttxyttxyqxttynmnmnmnmnmwnmnmyx(2) 外部角点外部角点2222,1, 1,xqxtttnmwnmnmnm0222222,1, 1yxyttxqxqyxttynmnmnmwwnmnmyxxyqw(3) 内部角点内部角点)22322(6122, 11,1, 1,wnmnmnmn

14、mnmqxxttttt0432222,1,1, 1, 1yxqxyttxyttxqyxttyxttynmwnmnmnmnmwnmnmnmnmyxxyqwqw的情况：的情况：(1) 第二类边境条件：将第二类边境条件：将 ，带入上面各式即可，带入上面各式即可 绝热或对称边境条件？绝热或对称边境条件？第三类边境条件：将第三类边境条件：将 ，带入上面各式，带入上面各式 即可即可 constqw)(,nmfwtthq课堂作业：将课堂作业：将 带入外部角点的带入外部角点的温度离散方程，并化简到最后的方式温度离散方程，并化简到最后的方式)(,nmfwtthq(3) 辐射边境条件：辐射边境条件：)(4,4nm

15、fwTTqconstqw或其他或其他2.2.节点方程组的求解节点方程组的求解nnnnnnnnnnnbtatatatbtatatatbtatatat.2211222221212112121111写出一切内节点和边境节点的温度差分方程写出一切内节点和边境节点的温度差分方程n个未知节点温度，个未知节点温度，n个代数方程式：个代数方程式：代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法直接解法：经过有限次运算获得代数方程准确解直接解法：经过有限次运算获得代数方程准确解; 矩阵求逆、高斯消元法矩阵求逆、高斯消元法迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不迭代解法

16、：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改良、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。断予以改良、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算曾经收敛。称迭代计算曾经收敛。缺陷：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性缺陷：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题假设物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数问题假设物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新应地不断更新迭代解法有多种：简单迭代迭代解法有多种：简单迭代Jacobi迭代、高斯迭代、

17、高斯-赛德尔赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等迭代、块迭代、交替方向迭代等高斯高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是运用节点温度的最赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是运用节点温度的最新值新值在计算后面的节点温度时应按下式采用最新值在计算后面的节点温度时应按下式采用最新值例如：根据第例如：根据第 k 次迭代的数值次迭代的数值(k)n(k)2(k)1.ttt、可以求得节点温度：可以求得节点温度：)(1)(1)(212)(111) 1(1.kknnkkkbtatatat)()() 1(11) 1(22) 1(11) 1()(3)(3) 1(232) 1(131) 1(3)(2)(2)(222) 1(121) 1(2.knknnnknnnknknknkknnkkkkknnkkkbtatatatatbtatatatbtatatat判别迭代能否收敛的准那么：判别迭代能否收敛的准那么：)(max)() 1()()() 1()() 1(maxmaxmaxkkikikikikikikittttttttk及及k+1表示迭代次数；表示迭代次数；第第k次迭代得到的最大值次迭代得到的最大值(k)maxt当有接近于零的当有接近于零的t 时，第三个较好时，第三个较好36 10 10 允许的偏差；相对偏差 值一般取思索题：思索题：1.节点的概念节点的概念.2.向前差分向前差分, 先后差分先后差分, 中心