高等代数电子教案(Ⅱ)

1、韩山师范学院数学与信息技术学院张君敏4.1 4.1 消元法消元法4.2 4.2 矩阵的秩矩阵的秩 线性方程组可解的判别法线性方程组可解的判别法4.3 4.3 线性方程组的公式解线性方程组的公式解4.4 4.4 结式和判别式结式和判别式4.1 消元法学习内容学习内容 4.1.1 线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换 4.1.2 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 阶梯形矩阵阶梯形矩阵 4.1.3 线性方程组有解的判别线性方程组有解的判别 前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系方程组有相等个数的方程和未知量，

2、并且方程组的系数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性数行列式不等于零，在这一章我们要讨论一般的线性方程组：方程组：在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法消元法. . .,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa（1）例1 解线性方程组：从第一和第三个方程分别减去第二个方程的从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/21/2倍和倍和2 2倍，来消去这两个方程中的未知量倍，来消去这两个方程中的未知量. 25342, 3335, 13121321321321xxxxxxxxx（2）)

3、(11的系数化为零即把xx得到：得到：4233352121213232131xxxxxxx. 421, 33353231321xxxxxxx为了计算的方便，把第一个方程乘以为了计算的方便，把第一个方程乘以 -2 -2 后，与第二后，与第二个方程交换，得：个方程交换，得：2x把第二个方程的把第二个方程的2 2倍加到第三个方程，消去后一方程倍加到第三个方程，消去后一方程中的未知量中的未知量 ，得到，得到.213335332321xxxxxx239353221xxxx234321xxx现在很容易求出方程组（现在很容易求出方程组（2 2）的解）的解. . 从第一个方程从第一个方程减去第三个方程的减去第

4、三个方程的3 3倍，再从第二个方程减去第三倍，再从第二个方程减去第三个方程，得个方程，得再从第一个方程减去第二个方程的再从第一个方程减去第二个方程的5/35/3倍，得：倍，得：这样我们就求出方程组的解这样我们就求出方程组的解. 交换两个方程的位置；交换两个方程的位置；用一个不等于零的数某一个方程；用一个不等于零的数某一个方程；用一个数乘某一个方程后加到另一个方程用一个数乘某一个方程后加到另一个方程. .线性方程的初等变换：线性方程的初等变换：对方程组施行下面三种变换：对方程组施行下面三种变换：这三种变换叫作线性方程组的初等变换这三种变换叫作线性方程组的初等变换. .定理定理4.1.14.1.1

5、 初等变换把一个线性方程组变为一个与初等变换把一个线性方程组变为一个与 它同解的线性方程组它同解的线性方程组线性方程组的（线性方程组的（1 1）的系数可以排成下面的一个表：）的系数可以排成下面的一个表：而利用（而利用（1 1）的系数和常数项又可以排成下表：）的系数和常数项又可以排成下表：mnmmnnaaaaaaaaa212222111211（3）mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211（4） stssttccccccacc212222111211ijc定义定义1 1 由st个数排成一个排成一个s s行行t t 列的表列的表 叫做一个s行t列（或st）的矩阵，ijc 叫

6、做这个矩阵的元素. 注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表个矩阵仅仅是一个表. . 矩阵（矩阵（3 3）和（）和（4 4）分别叫作线性方程组（）分别叫作线性方程组（1 1）的系）的系数矩阵和增广矩阵数矩阵和增广矩阵. . 一个线性方程组的增广矩阵显一个线性方程组的增广矩阵显然完全代表这个方程组然完全代表这个方程组. . 定义定义2 2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：施行的下列变换

7、：3) 3) 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上个元素后加到另一行（列）的对应元素上. . 1) 1) 交换矩阵的两行（列）交换矩阵的两行（列）2) 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素；个元素；显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于

8、对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵. . 因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题. .下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出. . 在对于在对于 一个线性方程组施行初等变换时，我们的一个线性方程组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化

9、简目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简. . 因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题线性方程组的系数矩阵的问题. . 在此，为了叙述的方在此，为了叙述的方便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种列初等变换允许施行第一种列初等变换. . 后一种初等变换相当于后一种初等变换相当于交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研究究. . 在例在例1 1中，我们曾把方程组（中，我们曾把方程组（2 2）的

10、系数矩阵）的系数矩阵 5342335113121 1001103351 先化为先化为 100010001然后，进一步化为然后，进一步化为 定理定理4.1.2 设设A是一个是一个m行行n列的矩阵：列的矩阵：mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式：00000*1000*10*1行r(5)这里,nrmror * * 表示矩阵的元素，但表示矩阵的元素，但不同位置上的不同位置上的 * * 表示的元素未必相同表示的元素未必相同. .ija证证 若是矩阵若是矩阵A A的元素的元素都等于零，那么都等于零，那么A A已有（已有（5 5）的形式）

11、的形式进而化为以下形式，进而化为以下形式， 00001000001000011,21,211,1rnrrnrnrcccccc（6）ija1 乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适当倍数，矩阵当倍数，矩阵A A化为化为ija设某一设某一不等于零，必要时交换矩阵的行和不等于零，必要时交换矩阵的行和列，可以使这个元素位在矩阵的左上角列，可以使这个元素位在矩阵的左上角. .*0*0*1B若若B B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，中，除第一行外，其余各行的元素都是零， 那么那么B B 已有（已有（5 5）的形式）的形式. . 设设B B 的后的后m

12、m 1 1 行中有行中有一个元素一个元素b b 不为零，把不为零，把b b 换到第二行第二列的换到第二行第二列的交点位置，然后用上面同样的方法，可把交点位置，然后用上面同样的方法，可把B B 化为化为*00*00*10*1如此继续下去，最后可以得出一个形如（如此继续下去，最后可以得出一个形如（5 5）的矩阵）的矩阵. . 形如（形如（5 5）的矩阵可以进一步化为形如（）的矩阵可以进一步化为形如（6 6）的矩阵是）的矩阵是 显然的显然的. . 只要把由第一，第二，只要把由第一，第二，第，第r r 1 1 行行分别减去第分别减去第r r 行的适当倍数，再由第一，第二，行的适当倍数，再由第一，第二，

13、第第r r 2 2行分别减去第行分别减去第r r 1 1行的适当倍数，等等行的适当倍数，等等. . 4.1.3用消元法解线性方程组考察方程组（考察方程组（1 1）的增广矩阵（）的增广矩阵（4 4）. . 由定理由定理4.1.24.1.2，我们可以对（我们可以对（1 1）的系数矩阵（）的系数矩阵（3 3）施行一些初等变）施行一些初等变换而把它化为矩阵（换而把它化为矩阵（6 6）. . 对增广矩阵（对增广矩阵（4 4）施行同）施行同样的初等变换，那么（样的初等变换，那么（4 4）化为以下形式的矩阵：）化为以下形式的矩阵：mrrrnrrnrnrdddccdccdcc000010001000111,2

14、21, 2111, 1(7)与（与（7 7）相当的线性方程组是）相当的线性方程组是mrrirnirriiniriiniridddxcxcxdxcxcxdxcxcxnrrnrnr0011,221, 2111, 111211（8） 由于方程组（由于方程组（8 8）可以由方程组（）可以由方程组（1 1）通过方程组的初）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理4.1.14.1.1，方程组（，方程组（8 8）与方程组（）与方程组（1 1）同解）同解. . 因此，要因此，要解方程组（解方程组（1 1），只需解方程组（），只需解方程组（8 8）.

15、 . 但方程组（但方程组（8 8）是否有解以及有怎样的解都容易看出是否有解以及有怎样的解都容易看出. . niii,21这里 是1，2，n 的一个全排列.情形情形1 1， mrddmr,1而这时方程组（这时方程组（8 8）无解，因为它的后）无解，因为它的后m r m r 个方程中个方程中至少有一个无解至少有一个无解. . 因此方程组（因此方程组（1 1）也无解）也无解. . 不全为零，不全为零，情形情形2 2，当当r = n r = n 时，方程组（时，方程组（9 9）有唯一解，就是）有唯一解，就是ntdxtit, 2 , 1,这也是方程组（这也是方程组（1 1）的唯一解）的唯一解. .mrd

16、dmrmr,1而或全为零，这时方程组（全为零，这时方程组（8 8）方程组）方程组 rirnirriiniriiniridxcxcxdxcxcxdxcxcxnrrnrnr112111,221,2111, 1同解同解. . (9)(9)当当r n r 0r0 . . 这时，矩这时，矩阵（阵（3 3）含有一个）含有一个r r 阶的子式：阶的子式：),(tksk定义定义1 在一个在一个s行行t列的矩阵中，任取列的矩阵中，任取k行行k列列定义定义2 2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩个矩阵的秩. . 若一个矩阵没有不等于零的子式，就认若一个矩阵

17、没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩是零为这个矩阵的秩是零. . 按照定义，一个矩阵的秩的不能超过这个矩阵的按照定义，一个矩阵的秩的不能超过这个矩阵的行的个数，也不能超过它的列的个数行的个数，也不能超过它的列的个数. . 一个矩阵一个矩阵A A的的秩用秩秩用秩A A来表示来表示. . 显然，只有当一个矩阵的元素都为零是，这个矩显然，只有当一个矩阵的元素都为零是，这个矩阵的秩才能是零阵的秩才能是零. .这个子式不等于零这个子式不等于零. . 但矩阵（但矩阵（3 3）不含阶数高于）不含阶数高于r r的不的不等于零的子式等于零的子式. . 这是因为；在这是因为；在r = m r = m 或或r =

18、 n r = n 时，矩时，矩阵（阵（3 3）根本不含阶数高于）根本不含阶数高于r r的子式；而当的子式；而当r m r m ， r n r s r r . . 那么有三种可能的情形那么有三种可能的情形: : D D不含第不含第i i 行的元素，这时行的元素，这时D D也是矩阵也是矩阵A A的一个的一个s s阶阶子式，而子式，而s s大于大于A A的秩的秩r r ，因此，因此D D= 0.= 0. 设把一矩阵的第设把一矩阵的第j j 行乘以行乘以k k加到第加到第i i行而得到矩阵行而得到矩阵B B：sssjtjtititjtjtjtitjtitaaaaaakaakaaD1111111因为后一

19、行列式是矩阵因为后一行列式是矩阵A A的一个的一个s s阶子式阶子式. . D D含第含第i i行的元素，也含第行的元素，也含第j j行的元素行的元素. . 这时，由这时，由命题命题3.3.103.3.1021111kDDkaakaaDsjtitjtitsjtjtititaaDaaD11121这里这里1D2D由于由于是矩阵是矩阵A A的一个的一个s s阶的子式，而阶的子式，而 与与A A的的一个一个s s阶子式最多差一个符号，所以这两阶子式最多差一个符号，所以这两个行列式都等于零，个行列式都等于零，从而从而D = 0D = 0 . . D D含第含第i i行的元素，但不含第行的元素，但不含第j

20、 j行的元素，这时行的元素，这时BA秩秩但我们也可以对矩阵但我们也可以对矩阵B B 施行第三种行初等变换而得到施行第三种行初等变换而得到矩阵矩阵A A. . 因此，也有因此，也有AB秩秩因此，在矩阵因此，在矩阵B B有阶数大于有阶数大于r r的子式的情形，的子式的情形，B B 的任何的任何这样的子式都等于零，而这样的子式都等于零，而B B的秩也不超过的秩也不超过r r . . 这样，在任何情形，都有这样，在任何情形，都有这样，我们也就证明了，秩这样，我们也就证明了，秩A A = = 秩秩B B ，即第三种行初，即第三种行初等变换不改变矩阵的秩等变换不改变矩阵的秩. . 对于其它的初等变换来说，

21、对于其它的初等变换来说，我们可以完全类似地证明定理成立我们可以完全类似地证明定理成立. . 这样，我们就解决了前面的第一个问题（甲）这样，我们就解决了前面的第一个问题（甲）. .定理定理4.2.14.2.1给了一种方法，不必计算一个矩阵给了一种方法，不必计算一个矩阵A A的的子式就能求出子式就能求出A A的秩来的秩来. . 我们只需利用初等变换我们只需利用初等变换把把A A化成化成4.14.1中（中（5 5）型的矩阵，然后数一数，在）型的矩阵，然后数一数，在化得的矩阵有几个含有非零的元素的行化得的矩阵有几个含有非零的元素的行. . 这样，这样，问题（乙）也就容易解决问题（乙）也就容易解决. .

22、 A表示方程组（表示方程组（1 1）的增广矩阵：）的增广矩阵：证证mmnmmnnbaaabaaabaaaA21222221111211定理定理4.2.24.2.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组（线性方程组可解的判别法）线性方程组（1 1）有解的充分且必要条件是：）有解的充分且必要条件是：它的系数矩阵与增广它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩矩阵有相同的秩. .mrrrnrrnrnrdddccdccdccB000010001000111,221, 2111, 1A那么那么 的前的前n n 列作成的矩阵列作成的矩阵 A A 就是（就是（1 1）的系数矩阵）的系数矩阵. . 利用定理利用定理4.

23、1.24.1.2所指出的那种初等变换把所指出的那种初等变换把 化为化为A并且用并且用B B表示表示 的前的前n n列作成的矩阵列作成的矩阵. . 那么由定理那么由定理4.2.14.2.1得：得：BBArBA秩秩秩秩,（4 4） 故定理得证故定理得证. . 01mrddrB AA秩秩现在设线性方程组（现在设线性方程组（1 1）有解）有解. . 那么或者那么或者r = mr = m，或者，或者r mr m ，而，而 ，这两种情形都有，这两种情形都有秩秩 . .于是由（于是由（4 4）得，）得， . . AA秩秩01mrdd反过来，设反过来，设 ，那么由（，那么由（4 4）得，的秩也是）得，的秩也是

24、r r ，由此得，或者由此得，或者r = mr = m ，或者，或者r mr m 而而 ，因而方程组（因而方程组（1 1）有解）有解. . 定理定理4.2.34.2.3 设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵有相设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩，那么当同的秩，那么当r r 等于方程组所含的未知量的个数等于方程组所含的未知量的个数n n时，方程组有唯一解；当时，方程组有唯一解；当r nr 1）次多项式，次多项式，令令 的全部根（重根按重数计的全部根（重根按重数计算）。乘积算）。乘积)(,21xfCn是叫做多项式叫做多项式 的判别式（这里的判别式（这里表示求积的符号）。表示求积的符号）。)(x

25、f由判别式的定义很容易看出，多项式由判别式的定义很容易看出，多项式 有重有重根的充分且必要条件是它的判别式等于零。根的充分且必要条件是它的判别式等于零。 )(xf由定理由定理2.5.2容易推出，多项式容易推出，多项式 有重根必要且只有重根必要且只要要 与它的导数与它的导数 有公根，因为有公根，因为 ，所以，所以由定理由定理4.4.1和和4.4.3， 有重根必要且只要有重根必要且只要 与与 的结式的结式 ，由此可见，由此可见， 的判别式与结式的判别式与结式 之间有密切的关系，下面我们将导出这个关之间有密切的关系，下面我们将导出这个关系，根据定理系，根据定理4.4.2，公式（，公式（1），我们有）

26、，我们有 )(xf)(xf)(xf 00a)(xf)(xf)(xf 0),( ffR)(xf( ,)R ff ).()()(),(2110nnfffaffR)()()(210nxxxaxfniniixxxxaxf11110).()()()(在在CxCx里，里，求导数，我们有求导数，我们有所以所以).()()()(1110niiiiiiiaaaaaaf这样，这样，).()()(),(2110nnfffaffR)()(13121120nnaaaa)()(23212naaa)()(121nnnnaaa 在这个乘积里，对于任意在这个乘积里，对于任意i 和和j（ij）都出现两个因式：都出现两个因式： 和

27、和 ，它们的乘积等于，它们的乘积等于 ，由于满足，由于满足条件条件 的指标的指标i 和和j 一共有一共有 对，所以对，所以jiij2)(ji1jin2) 1( nnDaaffRnnnnjinjin0121202)1(2)1() 1()() 1(),(D是多项式是多项式 的判别式的判别式 )(xf 从表示从表示 的行列式的第一列显然可以提出因的行列式的第一列显然可以提出因子子 ，因此多项式，因此多项式 的判别式的判别式D可以表成由系数可以表成由系数 所组成的一个行列式，因而是所组成的一个行列式，因而是 的多项式。的多项式。 ),(ffR0a)(xfnaaa,10naaa,10)4(2002),(

28、2acbababacbaffR于是于是 .4),(),(1) 1(2212acbffaRffRaD所以判别式是所以判别式是cbxaxxf2)( 例例3 求二次多项式求二次多项式 的判别式。的判别式。 baxxf2)(先求出先求出 解解:5.1 矩阵的运算矩阵的运算 5.2 可逆矩阵可逆矩阵 矩阵乘积的行列式矩阵乘积的行列式5.3 矩阵的分块矩阵的分块 5.1 矩阵的运算学习内容学习内容5.1.1 认识矩阵认识矩阵5.1.2 矩阵的运算矩阵的运算5.1.3 矩阵的运算性质矩阵的运算性质5.1.4 方阵的多项式方阵的多项式5.1.5 矩阵的转置矩阵的转置 5.1.1 认识矩阵11121212221

29、2nnmmmnaaaaaaAaaa称为称为F上上 nm矩阵矩阵, 简写简写: )()(ijnmijaAaA或矩阵的产生有丰富的背景矩阵的产生有丰富的背景: 线形方程组的系数矩线形方程组的系数矩阵阵., 矩阵的应用非常广泛矩阵的应用非常广泛. 设设F是数域是数域, 用用F的元素的元素 排成的排成的m行行n列的数表列的数表 ija5.1.2 矩阵的运算定义定义1 1 (矩阵的数乘) 给定数域F中的一个数k与矩阵A的乘积定义为 111211112121222212221212nnnnmmmnmmmnaaakakakaaaakakakakAkaaakakaka定义定义2（矩阵的加法） 给定两个 mn矩

30、阵 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa111212122212nnmmmnbbbbbbBbbbA和B加法定义为:111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab定义定义3（矩阵的乘法）给定一个 m n矩阵和一个 nl矩阵 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa111212122212llnnnlbbbbbbBbbbA和B的乘法定义为niilminiiminiiminiiliniiiniiiniiliniiiniiibababababababababaAB1121112122112111211

31、11注意注意: 相加的两个矩阵必须同型相加的两个矩阵必须同型, 结果也同型结果也同型; 相乘的两相乘的两个矩阵必须个矩阵必须:第一个的列数等于第二个的行数第一个的列数等于第二个的行数, 试问试问: 结果结果的形状的形状?5.1.3 矩阵的运算性质 矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A，B，C 均为F上的矩阵，k，l为数域F中的数）(1) 加法交换律 ABBA(2) 加法结合律 )()(CBACBA(3) 零矩阵 AA0(4) 负矩阵 0)(AA(5) 数乘结合律 AkllAk)()(6) 数乘分配律 kBkABAk )(lAkAAlk )(7) 乘法结合律 )()(BCACAB)(

32、)()(kBABkAABk(8) 乘法分配律 BCABCBA)(CABAACB)(注意注意: 矩阵的乘法不满足交换律矩阵的乘法不满足交换律, 消去律消去律: CBACABA , 0也不满足也不满足. 满足满足: BAAB 的两个矩阵称为可交换的的两个矩阵称为可交换的. 例例 1 已知052110351234,230412301321BA, 求.23BA例例2已知,612379154257,864297510213BA且,2BXA求.X例例 3 若,012321,132132BA求.AB例例5求与矩阵0000100001000010A可交换的一切矩阵 .例例 6证明: 如果,BCCBACCA则有

33、).()();()(ABCCABBACCBA5.1.4 方阵的多项式单位矩阵 :主对角线上全是1,其余元素全是0的方阵称为单位矩阵, 记为 nI或 I1100nn单位矩阵也可以记为 EEn或.它有如下性质: ,mnmnnAAImnmmnAIA方阵A的方幂: kAAAA.规定规定: IA 0设多项式 0111.)(axaxaxaxfnnnn 那么, IaAaAaAaAfnnnn0111.)(在多项式的等式中, 用A代x可以作出形式相同的矩阵等式.5.1.5 矩阵的转置 设111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa把矩阵 A的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵 A的转置矩阵转置矩阵,

34、 记为记为 A或 .TA转置有下面的性质: AA) (9)(BABA(10)ABAB(11)5.2 可逆矩阵 矩阵的乘积的行列式 学习内容学习内容 5 52 21 1 可逆矩阵的定义可逆矩阵的定义 5 52 22 2 可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质 5 52 23 3 初等矩阵的定义、性质初等矩阵的定义、性质 5 52 24 4 矩阵可逆的判别矩阵可逆的判别 5 52 25 5 逆矩阵的求法逆矩阵的求法 5 52 26 6 矩阵乘积的行列式矩阵乘积的行列式5.2.1 可逆矩阵的定义定义定义1 1 A A为为F F上上n n 阶方阵，若存在阶方阵，若存在n n阶方阵阶方阵B B，使，使AB = B

35、A = AB = BA = I称称A A为可逆矩阵（非奇异矩阵），为可逆矩阵（非奇异矩阵），B B称称为为A A的逆矩阵的逆矩阵. . 例：例：BA10013152215321533152A A与与B B互为逆矩阵互为逆矩阵. . 注注1 1 有零行或零列的矩阵不可逆有零行或零列的矩阵不可逆. . 5.2.2 可逆矩阵的性质 A A可逆，则可逆，则A A的逆矩阵唯一。的逆矩阵唯一。证证 设设B,CB,C均为均为A A的逆矩阵的逆矩阵 ，则，则 AB = BA =I,AC = CA =IB = BI = BAC =（BA）C = IC = C 证证 注意到注意到 即得即得. .IAAAA11)(

36、证证 注意到注意到 即得即得. .IABABABAB)()(1111 A可逆，则可逆，则)()(,11AAA且可逆 A A可逆，则可逆，则 可逆，且可逆，且1AAA11)( 由由 有有 .IAAAA11IAAAA)()(11证证 A A，B B可逆，则可逆，则ABAB也可逆，且也可逆，且 . .111)(ABAB5.2.3 初等矩阵的定义、性质定义定义2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵初等矩阵. n = 4000101000010100014P100001000100001)(100000000100001)(243kkTkkD定理定理

37、1 对对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左乘乘A; 对对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘A。如。如1、交换、交换A的的i ，j 行相当于用行相当于用 .ijPA左乘1112133131331,321222321222313313233111213aaaaaaaaaaaaP Aaaaaaa 如如 2、把、把A的第的第i 行乘以数行乘以数k 相当于用相当于用 .( )iD kA左乘3、把、把A的第的第j 行乘以行乘以k后加到第后加到第i 行相当于用行相当于用 .( )ijT kA左乘即即 .,AAEAA

38、E 行为相应的初等矩阵定理定理2 初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.且且 )()()1()(111kTkTkDkDPPijijiiijij引理引理1 1 ，则，则 . （初等变换（初等变换不改变可逆性）不改变可逆性）. AA 行可逆可逆AA定理定理3 任一任一mn矩阵矩阵A总可以通过初等变换化为总可以通过初等变换化为 rnrmrrmrnrrOOOIA,证证 由定理由定理4.1.2，A可通过行及列变换化为可通过行及列变换化为(*)00001000100011,21,211,1rnrrnrnrCCCCCC对（对（*）作第三种列变换即可化为）作第三种列变换即可化为

39、A5.2.4 矩阵可逆的判别n 阶矩阵阶矩阵A可逆可逆AIA 可写成初等矩阵的乘积0|AnA秩证明：证明：AOOoIArnrnrrnrnrr, A可逆可逆,则则 可逆，可逆， 无零行，即无零行，即 . 反之，若反之，若AI，由，由I可逆知可逆知A可逆可逆. AAIA AI，即，即IA 即存在初等矩阵即存在初等矩阵 使使tssEEEE,11AEIEEEEtss112注注 A可逆可逆,则则A可经初等行变换化为可经初等行变换化为I. 由由 AI， nIAn 秩秩0AnA秩5.2.5 逆矩阵的求法 行初等变换法行初等变换法 A可逆，由可逆，由 ，即存在初等矩阵，即存在初等矩阵 ，使使IA行sEE,11

40、1212AIEEEIAEEEss从而即即1|A II A 行例例1 1,814312201AA求解：解：1161042211,1161042211)|(1AIIA即 公式法公式法设设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211*212221212111AAAAAAAAAAnnnnnn令令 称称 .*的伴随矩阵为AA则由行列式的依行依列展开公式则由行列式的依行依列展开公式jijiAaAaAanjinjiji0|A|2211，有，有nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnAaAaAaAaAaAaAaAAAAAAAAAaaaaaaaaaAA1122212111121211112122

41、21212111212222111211*000000即即IAAAAAAAA|000|0000|*若若A可逆，则可逆，则|A|0，从而，从而IAAAAA)1()1(*即即*11AAA 例例2： 22122111*,1112AAAAAA1|, 2, 1, 1, 122211211AAAAA21111A故故 例例3：求矩阵求矩阵 的逆矩阵的逆矩阵. 021112111A解法一解法一 利用公式利用公式.11AAA因为因为, 04021112111A计算每个元素计算每个元素 的代数余子式的代数余子式ija:ijA, 10112, 202111211AA, 20211, 521122113AA, 121

42、11, 101112322AA, 11211, 211113231AA. 3121133A所以所以,.3151112224114341454141412121211AAA解法二解法二 行初等变换法行初等变换法.101315102110400201101012001110130111100010001021112111)()3(32) 1(31) 1( 13) 1( 12IA,1000100010101000011011021101002014341454141412121213 , 2414141434145212121) 1 (23)2(21434145412 所以所以.4341454141

43、412121211A例例4 解矩阵方程解矩阵方程 其中其中,BAX .315241,100210321BA解解 显然显然A是可逆的是可逆的.先求出先求出.1002101211A再在原方程两边左乘再在原方程两边左乘 得得,1A.11BAAXA所以所以.31110943152411002101211BAX注：当注：当n 3时，求时，求 的计算量较大，因此公式的计算量较大，因此公式（*）常用于理论的证明）常用于理论的证明. *A5.2.6 矩阵乘积的行列式引理引理5.2.6：n阶矩阵阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等总可以通过第三种行和列的初等变换化为对角矩阵变换化为对角矩阵 ndddA0021|

44、21AdddAn且 若若A的第一行、第一列元素不全为零，则总可使的第一行、第一列元素不全为零，则总可使A的左上角的元素不为零的左上角的元素不为零. 1112112122211120000nnnnnnaaadaaaBAaaa 若若A的第一行，第一列元素全为零，则已具有的第一行，第一列元素全为零，则已具有 的形式，同理，可以把的形式，同理，可以把 化为化为1B1B0000000000221Add继续作第三种初等变换，则可将继续作第三种初等变换，则可将A化为对角形矩阵，化为对角形矩阵，且且ndddAA21|定理：定理：设设A，B为为n 阶矩阵，则阶矩阵，则 |AB| = |A| |B| 证证 若若A

45、为对角矩阵为对角矩阵 ndddA21nnnnnnnnnadadadadadadadadadAB212222221211121111则|21BABdddABntssTTATTTA121 对一般情形，由引理对一般情形，由引理5.2.6，A可通过第三种变换化可通过第三种变换化为对角矩阵为对角矩阵 ，即存在初等矩阵，即存在初等矩阵 使使AsTT,1|121BTTATTTABtss从而从而 |)(11121BABTTABTTABTTATTTtststss推广推广 |2121mmAAAAAA 相当于对相当于对 作第三种行作第三种行初等变换初等变换. 故故 BTTAts1)(121BTTATTTtss定理定

46、理 A，B为为mn及及np阶矩阵，则秩（阶矩阵，则秩（AB）秩秩A，秩（秩（AB）秩秩B. 特别当特别当A可逆时，秩（可逆时，秩（AB）= 秩秩B. 推论：推论： ),min()(2121mmAAAAAA秩秩秩秩例例5 A可逆，则存在可逆，则存在 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵P，Q，使，使 PAQ = I证：证：A可逆，则可逆，则1111,ppqppqAIEE AEEIPEEQEE 令,易知P,Q可逆.学习内容学习内容 5.3.1 5.3.1 分块矩阵的概念分块矩阵的概念 5.3.2 5.3.2 分块矩阵的运算分块矩阵的运算 5.3.3 5.3.3 特殊的分块矩阵特殊的分块矩阵 在行列式在行列式

47、中任意取定了中任意取定了 行行.由这由这 行元素所组行元素所组成的一切成的一切 级子式与它们的级子式与它们的代数余子式代数余子式的乘积的和等的乘积的和等于行列式于行列式 .DkkkDsssssrrrrrsssssrsssrrrrrrb bb b bb a aa a aab bb c c c b b b c c c a aa a aa21112112111211212111211112112111211 0 0 0 0 0 0复习复习:拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)定理定理一、分块矩阵的概念一、分块矩阵的概念 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA 222

48、11211AAAA343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA 232221131211AAAAAA定义定义 将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块称为矩阵的子块(或子阵或子阵), 以子块为元素形成的矩阵称为以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。分块矩阵。1. 1. 线性运算线性运算 （加法与数乘）（加法与数乘） srssrrmnBBBBBBBBBB212222111211二. 分块矩阵的运算111212122212rrn msrssAAAAAAAAAA 111212122212111212122212

49、rrn msssrrrn msrssBBABBBBBBBAAAAAAAAAA 111212122212rrn msrsskAkAkAkAkAkAk AkAkAkA 2. 2. 乘法运算乘法运算 srrrssmnAAAAAAAAAA212221212111r rtrrttpmBBBBBBBBBB212222111211符合乘法的要求符合乘法的要求rkkjikijijBACCAB1, )(例例1 设设10000100,12101101A 10321201,10411120B 为了求乘积为了求乘积AB，我们可以对，我们可以对A，B如下地分块如下地分块1000010012101101A 1IOAI 这

50、里这里I 是二阶单位矩阵，是二阶单位矩阵，O 是二阶零矩阵是二阶零矩阵.1032120110411120B 1234BBBB 按照分块矩阵的乘法，我们有按照分块矩阵的乘法，我们有12113124BBABA BBA BB 这里这里11312101024,11121111A BB12412324111.11012053A BB 1032120124111153AB TTAAAAAAA 232221131211 TTTTTTAAAAAA2313221221111. 1. 准对角阵准对角阵 sAAAA21), 2 , 1(siAi 为为方方阵阵， sBBBB21), 2 , 1,(siBAii 为为同

51、同阶阶方方阵阵，则则;21sAAAA ;11 ssBABABA;1 skAkAkA;11 ssBABABA;1 TsTTAAA;1 msmmAAA,可可逆逆可可逆逆iAA.1111 sAAA且且, 3100320000100021A求求A的行列式及逆。的行列式及逆。解解 将矩阵分块将矩阵分块 21AAA21AAA 3 12111AAA 323100110000100021例2OXA 2122 221211AOAAA.)2, 1( iAii为为方方阵阵，2211AAA .)2,1( iAAii可可逆逆可可逆逆 122122121111111AOAAAAA 2. 分块三角阵 222112111XX

52、XXA设设证明证明: 2212111AOAAAA 22211211XXXX 222221222212121121121111XAXAXAXAXAXAIOOIIXA222212222 AX122122 AAOX 21IXAXA2112111111111 AXOXAXA 221212111221211112 AAAX的的逆逆阵阵求求 2000120031204312A解：解：将矩阵分块将矩阵分块,221211AOAAA1221112104121 AA 122122121111111AOAAAAA 2/10004/12/1008/54/12/1016/58/54/12/1例3 222111AAOAA

53、 122111211221111AAAAOAA OBAOM可可逆逆可可逆逆BAM, OABOM111 0030002121005300M求求矩矩阵阵的的逆逆解：解：将矩阵分块将矩阵分块 OBAOM OABOM111 003100523/10003/2100例例33. 3. 分块次对角阵分块次对角阵小结小结: :一一. .分块矩阵的概念分块矩阵的概念 将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块一小块称为矩阵的子块( (或子阵或子阵), ), 以子块为元以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。素形成的矩阵称为分块矩阵。注意：注意：分块矩阵是以子块为

54、元素形成的矩阵，且分块矩阵是以子块为元素形成的矩阵，且子块也是矩阵。子块也是矩阵。作用：作用：简化高阶矩阵运算简化高阶矩阵运算 简化运算的表达形式简化运算的表达形式二二. .分块矩阵的运算分块矩阵的运算: :1. 1. 线性运算线性运算2. 2. 乘法运算乘法运算将矩阵的子块视为元素时，矩阵应符合运算将矩阵的子块视为元素时，矩阵应符合运算的要求的要求 相应的子块间也应符合运算的要求相应的子块间也应符合运算的要求 3. 3. 转置运算转置运算. .注意：注意：大块小块一起转大块小块一起转三三. . 特殊的分块矩阵特殊的分块矩阵1.1.准对角准对角, ,2.2.分块三角阵分块三角阵3.3.分块次对

55、角分块次对角4.4.一些重要公式一些重要公式课外作业课外作业: P215. : P215. 习题习题1, 1, 习题习题2,2,习题习题4.4.第6章 向量空间6.1 6.1 向量空间的定义和例子向量空间的定义和例子6.2 6.2 子空间子空间6.3 6.3 向量的线性相关向量的线性相关6.4 6.4 基和维数基和维数6.5 6.5 坐坐 标标6.6 6.6 向量空间的同构向量空间的同构6.7 6.7 矩阵的秩矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间 向量空间（向量空间（Vector Spaces）又称线性空间（）又称线性空间（Linear Spaces）.本章的特点及要求：本章

56、的特点及要求： 向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一，向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一，是进一步学习数学必备的内容是进一步学习数学必备的内容. 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解的结构的结构. 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统.所谓代数所谓代数系统，就是带有运算的集合系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉通过本章的学习，初步熟悉用公理系统处理代数问题的思维方法

57、、逻辑推理的方法用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法.6.1向量空间的定义和例子 1.引例引例定义产生的背景定义产生的背景.2.向量空间的定义向量空间的定义抽象出的数学本质抽象出的数学本质.3.进一步的例子进一步的例子加深对定义的理解加深对定义的理解.4.一些简单性质一些简单性质.1. 引例定义产生的背景 设设 F 是一个数域，是一个数域， m nF表示上表示上mn矩阵的集合，矩阵的集合，回忆一下回忆一下 m nF上所能够施行的运算（教材上所能够施行的运算（教材P182）：只有）：只有加法和数乘两种，并且满足加法和数乘两种，并且满足(教材教材P183)： 1.A+B=B+A2.(A

58、+B)+C= A+( B+C) 3.OA=A4.A+(-A)=O5.a(A+B)= aA+Ab6.(a+b)B=a B +Bb7.(ab)A=a(b)A还有一个显而易见的：还有一个显而易见的：8. 1AA 设设R是实数域，是实数域，V3表示空间向量的集合表示空间向量的集合.两个向量可两个向量可以作加法（平行四边形法则），可以用以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个中的一个数乘一个向量，加法和数乘满足同样的向量，加法和数乘满足同样的8条性质条性质.按照解析几何的按照解析几何的方法，向量可以用的坐标（方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都）来表达，加法和数乘都有表达

59、式，有表达式，类似的问题许多，类似的问题许多，有必要总结它们的共性：，有必要总结它们的共性：I. 涉及两个集合（其中一个集合涉及两个集合（其中一个集合）.II. 涉及两种运算（什么样的运算？）涉及两种运算（什么样的运算？）.III. 满足满足8条运算性质条运算性质.2. 向量空间的定义抽象出的数学本质设设F是一个数域，是一个数域，V是一个非空集合是一个非空集合.我们把我们把V中的中的元素称为向量，元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：称为向量空间，如果下列条件成立：(c1) V上有上有(闭合的闭合的)加法运算，即：对任意加法运算，即：对任意u,v属于属于V, 一定有一定有u+v属于属

60、于V.(c2) F上的数对上的数对V上的向量有上的向量有 (闭合的闭合的)数乘运算，即：对任意数乘运算，即：对任意F中数中数 和和V中元素中元素v, 一定有：一定有： v属于属于V.(a1) u+v= v +u，对所有，对所有u和和v属于属于V.(a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有对所有u、v和和w属于属于V.(a3) V中存在一个向量，记作中存在一个向量，记作o, 它满足：它满足：v+o= v 对所有对所有V中的中的v.(a4) 给定给定V中每一个向量中每一个向量v, V中存在一个向量中存在一个向量u满足：满足： u+v= 0. 这样的这样的u称为称为v的负向量的负向量.(m