第2章离散时间信号与系统的Z域分析.ppt课件

1、第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析1/186第第2 2章章 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析2.1 Z2.1 Z变换的定义及收敛域变换的定义及收敛域2.2 Z2.2 Z反变换反变换2.3 Z2.3 Z变换的性质与定理变换的性质与定理2.4 Z2.4 Z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系的关系2.52.5傅里叶变换的定义及性质傅里叶变换的定义及性质2.62.6利用利用Z Z变换求解差分方程变换求解差分方程2.72.7离散时间系统的系统函数和频率呼应离散时间系统的系统函数和频率呼应第第2 2章离散时间信

2、号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析2/186 在离散时间信号与系统中， 变换法是变换域分析法中最重要的一种。 变换在离散时间信号与系统中的作用就好像拉普拉斯变换在延续时间信号与系统中的作用。它把描画离散时间系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。 变换的概念可以从理想抽样信号的拉普拉斯变换引出，也可以在离散域直接给出。zzz第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析3/1862.1变换的定义及收敛域2.1.1 z变换的定义 一个序列 的 变换定义为 其中， 是一个延续复变量，也就是说， 变换是在复频域内对离散时间信号与系统进展分析。由

3、定义可见， 是一个复变量 的幂级数。亦可将 变换表示成算子的方式： nxz xnznxzXzzzz nxZzX第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析4/186基于此， 变换算子可以看作是将序列 变换为函数 ，二者之间的相应关系可记为由式2.1.1所定义的z变换称为双边z变换，与此相对应的单边z变换那么定义为 2.1.2显然，只需 为因果序列即 时，其单边z变换与双边z变换才是相等的。z nx zX zXnxz nnznxzX nx 0, 0nnx第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析5/1862.1.2 z变换的收敛域1 1、

4、收敛域的定义、收敛域的定义 由定义式，只需幂级数收敛时，由定义式，只需幂级数收敛时，z z变换变换才有意义。对于恣意给定的序列才有意义。对于恣意给定的序列 ，使，使其其z z变换所定义的幂级数变换所定义的幂级数 收敛收敛的一切的一切z z值的集合称为值的集合称为 的收敛域。的收敛域。 收敛的充分且必要条件是绝对可和，收敛的充分且必要条件是绝对可和，即即 nx nnznx zX nnnnznxznx第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析6/186 为使上式成立，就须确定 取值的范围，即收敛域。由于 为复数的模，那么可以想象出收敛域为一圆环状区域，即 zzRzR其

5、中， 、 称为收敛半径，可以小到0，而 可以大到 。式2.1.4的 平面表示如图2.1.1所示。RRRR图2.1.1 环状收敛域jImzRezRR0第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析7/186 常见的一类z变换是有理函数，即使 的那些z值称为 的零点，而使 的那些z值称为 的极点。零点、极点也能够包含 处的点。由于 在收敛域内是解析函数，所以，收敛域内不包含极点。 zQzPzX 0zX zX zX zXz zX第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析8/1862、序列方式与其、序列方式与其z变换收敛域的关系变换收敛域的关系

6、每一项都有界那么必有1 为有限长序列为有限长序列 其它, 0,21nnnnxnx 21nnnnnnznxznxzX 21,nnnznxn若21,nnnzn nx第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析9/186第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析10/186 当 、 时，显然在 内的z值都满足该条件，收敛域为除去原点和无穷远点的z平面，如图2.1.1(b)阴影区域所示。 当 、 时，除去原点外的z值都满足条件，收敛域为除去原点的 z平面，即 ； 当 、 时，除去无穷远点的z值都满足条件，收敛域为除去无穷点的z平面， ； 特殊的

7、，当 、 时，收敛域为整个z平面，即 。01n02n z001n02n z002n01n z001n02n z0第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析11/186)(2nx 11, 0,nnnnnxnx 1nnnznxzX2 为右边序列为右边序列 nx 当 时， 为z的负幂级数，根据级数实际，存在一个收敛半径 ， 在以原点为中心、 为半径的圆外处处收敛，即收敛域为 。此时的 为因果序列，因此， 在无穷远处收敛是因果序列的特征；01n zXR zXRzR nx zX第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析12/186 当 时， 可

8、写为 上式右端第一项为哪一项1中讨论过的有限长序列的z变换，其收敛域为 ；第二项为 的负幂级数，同样其收敛域为 。因此， 的收敛域为二者的重叠区域，即 ，如图2.1.3(b)阴影区域所示。01n zX 0111nnnnnnnnznxznxznxzX z0 zXzR zXzR第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析13/186第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析14/1863 3 为左边序列为左边序列 nx 22, 0,nnnnnxnx 2nnnznxzX 当 时， 为z的正幂级数，根据级数实际，必存在一个最大收敛半径 ， 在以

9、原点为中心、 为半径的圆内处收敛，即收敛为 ； 02n zXR zXRRz0第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析15/186 当 时， 可写为上式右端第一项为z的正幂级数，同样其收敛域为 ；第二项为1中讨论过的有限长序列的z变换，其收敛域为 。因此， 的收敛域为二者的重叠区域 。02n zXRz0 2210nnnnnnnnznxznxznxzX0zR z0 zX第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析16/186第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析17/1864 4 为双边序列为双边序列 n

10、x 10nnnnnnznxznxznxzX经过2、3中的讨论可知，上式第一项为右边序列(因果序列)，其收敛域为 ；第二项为左边序列，其收敛域为 ；假设 ，那么取交集得到双边序列的收敛域为 ，这是一个环形的收敛域。如图2.1.5(b)阴影区域所示。 Rz Rz RRRzR第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析18/186第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析19/186)(nx1n2n01n02n z001n02n z001n02n z001n2nzR01n2nzR1n02nRz01n02nRz01n2nRzR)(nx1n2n0

11、1n02n z001n02n z001n02n z001n2nzR01n2nzR1n02nRz01n02nRz01n2nRzR表2.1.1 序列的方式与z变换收敛域的关系第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析20/1862.1.3 常用序列的z变换1单位抽样序列( )( )x nn z 变换1)()()(0zznnZzXnn收敛域为整个z平面第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析21/1861z2单位阶跃序列)()(nunxz 变换11 210( )( )1()()nnnnnX zu n zzzzz 当 ，即 有11z1z11

12、1)(1zzzzX 的零点为 ，极点为 。( )X z0z1z第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析22/1863单位斜变序列)()(nnunx1011zznn1z2120)1()1 ()(zznznn1z22110) 1()1 ()(zzzznzzXnn1z由2)中讨论可知 将上式两边对z求导得两边同乘以-z得 的z变换)(nx第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析23/186当，即4右边指数序列)()(nuanxn这是一个右边序列，其z变换为111 2100( )( )()1()()nnnnnnnnnX za u n za

13、 zazazazaz 当 ，即 时，有 11azaz azzazzX111)(az 零点为 ，极点为( )X z0zaz 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析24/1865左边指数序列) 1()(nuanxn这是一个左边序列，其z变换为111121( )(1)()()nnnnnnnnnnX za unza zaza za za z 当 ，即 时，有 11a zaz azzzazazX111)( 零点为 ，极点为( )X z0zaz 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析25/186z6双边指数序列) 1()()(nubnua

14、nxnn(0)ba该序列的z变换00101) 1()()()(nnnnnnnnnnnnnnnnnnzbzazbzaznubnuaznxzXbzaz ,假设 ，那么上面的级数收敛，得到bzzazzbzbazzzX1)(bza第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析26/186)(zX)(zXz 该序列的双边z变换的零点位于 及 ，极点位于 与 处。前已提及,z变换的收敛域内不应该包含任何极点。由上述分析进一步看出， 的收敛域内确实不包含任何极点。通常收敛域以极点为边境，对于多个极点的情况：1右边序列z变换的收敛域一定在模值最大极点所在的圆外，能够包含 ；2左边序列

15、z变换的收敛域一定在模最小的极点所在的圆内，能够包含 。0z2bazaz bz zXz0z第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析27/1862.2 z2.2 z反变换反变换 与延续时间系统中的拉普拉斯变换类似，在离散时间系统中，运用z变换的目的是为了把描画系统的差分方程转换为复变量z的代数方程，然后写出离散系统的传送函数z域传送函数、做某种运算处置，再用z反变换求出离散时间系统的时间呼应。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析28/1862.2.1部分分式展开法 在延续时间信号与系统中，曾用部分分式展开法求解拉普拉斯逆变换，同

16、样在离散时间信号与系统中，当 的表达式为有理分式时，z反变换也可以用部分分式展开法求取。首先将 分解成多个部分分式之和，然后对各部分分式求z反变换，那么所求序列 就是各部分分式的z反变换之和。在求各部分分式z反变换时，可利用表2.1.2中的根本z变换对。)(zX)(zX)(nx第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析29/186表示成有理分式方式 展成以下部分分式方式 式中，假设 时，才存在整式部分系数 即上式右边第一项，可用长除法得到，而当 时， ； 为 的各一阶极点； 为 的一个 k阶极点。根据留数定理，可求得系数 , 分别为iNiiMiiizazbzQzP

17、zX101)()()(skkiksNkkkNMnnnzzCzzAzBzX11110)1 (1)(NM nBNM 0nBkz)(zXiz)(zXkAkC第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析30/186skzzXzzdzdksCsNkzzXzzzzXsAikkzzsikskskzzkzzk, 2 , 1,)()()!(1, 2 , 1,)()()(Re第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析31/186例例 2.2.1 2.2.1 知知 利用部分分式展开法求利用部分分式展开法求z z反变换反变换 。22)2)(1(2)(zzzzX

18、2z)(nx2)() 1(1zzzXzA2212)2(21)2)(1(2)(zCzCzAzzzzzX 解：解：第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析32/1862)()2(221zzzXzdzdC4)()2(222zzzXzC所以2)2(42212)(zzzzzzzX思索 收敛域知 应为右边序列。查表2.1.2中的z变换对，得所求序列为)(zX)(nx)()2()2(2) 1(2)(1nunnxnnn第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析33/186例例 2.2.2 知知 ， 利用部分分式展开法求利用部分分式展开法求z反变换反

19、变换 。 )6(5)(2zzzzX32 z)(nx32)3)(2(5)(21zAzAzzzzX解1)()2(21zzzXzA1)()2(21zzzXzA第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析34/186那么32)(zzzzzX上式第一项只需极点 ，由收敛域中 可知，该项的反变换应为右边因果序列，那么2z3znzzZ)3(310n，第二项只需极点 ，同样由收敛域中 可知，该项的反变换应为左边序列，那么 ， 3z3znzzZ)3(311n第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析35/186所以，所求序列为1,)3(0,2)(nnnx

20、nn或写成) 1() 3()(2)(nununxnn 由以上分析可见，在求z反变换时，一定要思索收敛域，留意区别哪些极点对应右边序列，哪些极点对应左边序列。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析36/1862.2.2 幂级数展开法 前面曾经提到， 为 的幂级数，即 由此可见，在给定的收敛域内，假设将 展开为幂级数，那么 项的系数就是序列 。将 展开为幂级数常用的方法有两种。)(zX1z2102)2() 1 ()0() 1()2()()(zxzxzxzxzxznxzXnn)(zXnz)(nx)(zX)(nx第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z

21、 Z域分析域分析37/186 1按幂级数公式展开按幂级数公式展开 这种方法是运用曾经熟知的幂级数展开公式完成对 的展开，往往多用于 是超越函数的情况，如 是对数、双曲正弦等，这些函数的幂级数展开公式大多已有表格可查。下面经过例子对其进展阐明。)(zX)(zX)(zX第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析38/186例例 2.2.3 2.2.3 求求 ， 的反变换的反变换 。 解解: : 根据幂级数展开公式根据幂级数展开公式 ， 以及以及 中的中的 由收敛域得到，可得由收敛域得到，可得由上式看到，由上式看到， 项的系数是项的系数是 ，又由收敛域的，又由收敛域的方

22、式得知，方式得知， 是一个右边序列，那么所求是一个右边序列，那么所求 为为)1ln()(1azzXaz )(nx11) 1()1ln(nnnnxx11x)(zX11az111) 1()1ln()(nnnnnzaazzXnznann 1) 1()(nx)(nx0, 01,) 1()(1nnnanxnn第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析39/1862长除法长除法 普通为有理分式，用 的分母多项式去除分子多项式就可得到其幂级数方式。在做长除之前，首先应该根据 的ROC判别 是右边序列，还是左边序列，然后决议将 展开z的降幂级数或升幂级数。察看z变换的定义式 ，假

23、设 是右边序列，当 时,z的幂逐渐减小，那么此时，应该将 展开z的降幂级数；假设 是左边序列，当 时，z的幂逐渐添加，那么应该将 展开z的升幂级数。)(zX)(zX)(zX)(nx)(zXnnznxzX)()(n)(zX)(nxn)(zX)(nx第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析40/186例例2.2.2 2.2.2 试用长除法求试用长除法求 ， 的的z z 反变换反变换 。 解解 由表达式知，由表达式知， 只需一个极点只需一个极点 ，且，且收敛域收敛域 在极点所在圆的外部，所以在极点所在圆的外部，所以 应为应为右边序列，那么应将右边序列，那么应将 展开成

24、展开成z z的降幂级数。运的降幂级数。运用长除法得用长除法得111)(azzXaz )(nx)(zXaz az )(nx)(zX第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析41/186即所以 。2211111)(zaazazzX)()(nuanxn第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析42/186例例2.2.3 2.2.3 试用长除法求试用长除法求 ， 的的z z反变换反变换 。 解解 由于收敛域为环状，所以所求序列为双边序列。由于收敛域为环状，所以所求序列为双边序列。对于双边序列可先将其分解为右边序列和左边序列，对于双边序列可先将

25、其分解为右边序列和左边序列，所以先将所以先将 展开成部分分式再长除。展开成部分分式再长除。)41)(4()(2zzzzX441 z)(nx)(zX414)41)(4()(21zAzAzzzzzX第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析43/186根据式2.2.3求系数 、 那么1A2A15141441)()41(15164144)()4(41241zzzzXzAzzXzA( )16/151/15144X zzzz第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析44/186所以 为)(zX121611161( )()( )( )1115 4

26、1515 41544zzzzX zXzXzzzzz)(zX 察看 的收敛域可知，上式的第一项对应左边序列，第二项对应右边序列。分别运用长除法如下：第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析45/186即zzzzzzX441664)(23451第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析46/186641641)(3212zzzzX 的幂级数方式为所以z反变换 为)(zX54312321( )(41)156416441664zzzzzzX zzz )(nx21(4),115( )11( ),015 4nnnx nn 第第2 2章离散时间信

27、号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析47/1862.2.3. 围线积分法(留数法) 除了以上讨论的求解z反变换的两种方法外，z反变换也可以用反演积分来计算。如今用复变函数实际来研讨 的反变换。 对z变换定义式两端同乘以 ，得对上式两端进展围线积分，可得)(zX1kz11)()(knnkznxzzX cknnckdzznxjdzzzXj11)(21)(21第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析48/186其中c是一条位于 收敛域内环绕原点的逆时针围线。假设级数收敛，交换上式右端的积分与求和次序，得 根据柯西积分定理 那么综合得)(zXcknnckd

28、zzjnxdzzzXj1121)()(21knkndzzjckn,0, 1211第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析49/186)()(211kxdzzzXjck将上式的变量k用n代换，得 2.2.7这就是围线积分的z反变换公式。cndzzzXjnx1)(21)(第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析50/186 直接计算式2.2.7的围线积分比较复杂，当 是有理分式时，通常都采用留数定理来求解。假设 是被积函数 位于c内的一切极点，那么按照留数定理，有1)(nzzXkz1)(nzzX111( )( )Re ( )2knnz

29、zckx nXz zdzs Xz zj 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析51/186假设 是被积函数 位于c外的一切极点，且 分母多项式z的阶次比分子多项式z的阶次高两阶或两阶以上，那么按照留数辅助定理，有 实践运用中，详细选用哪一个，取决于计算的简便性，普通选用计算一阶极点留数的那一个。mz1)(nzzX1)(nzzX111( )( )Re ( )2mnnzzcmx nXz zdzs Xz zj 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析52/186 假设 是 的一阶极点，那么有 假设 是 的多重s阶极点，那么有kz1)(

30、nzzX11Re( )()( )kknnkz zz zs X z zzzX z zkz1)(nzzX11111Re( )()( )(1)!kksnsnksz zz zds X z zzzX z zsdz需求留意的是，在运用上述两式时，一定要计算 出 位于c内或c外的一切能够的极点处的留数，而且，当n取值不同时， 处极点的阶次能够会发生变化。1)(nzzX0z第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析53/186例例2.2.4 求求 ， 的反变换。的反变换。解解 的反变换为的反变换为由于收敛域为由于收敛域为 ，所以，所以 应为因果序列，当应为因果序列，当 时，时，

31、不是不是 的极点。所以，在收敛域的极点。所以，在收敛域内环绕原点的围线内环绕原点的围线c内只需一阶极点内只需一阶极点 、 ，那么那么)5 . 0)(1()(2zzzzX)(nx1z( )X z1( )Re(1)(0.5)knkz zzx nszz1z0n0z1(1)(0.5)nzzz1z5 . 0z第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析54/186110.50.5Re(0.5)0.5(1)(0.5)(1)(0.5)nnnzzzzszzzzz 由此得所求序列为( )2(0.5)( )nx nu n1111Re(1)2(1)(0.5)(1)(0.5)nnzzzzs

32、zzzzz第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析55/186例2.2.5 试用留数法求 ， 的z反变换 。解 c为 收敛域内的围线，如图2.2.1所示。)41)(4()(2zzzzX441 z)(nxkzzncnkzzzsdzzzzjnx)41)(4(Re)41)(4(21)(11( )X z第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析56/186 当 时，围线c内只需一个一阶极点 ，那么 当 时，围线c外只需一个一阶极点 ，而c内有一个一阶极点 以及 阶极点 ，而且1n41z1,)41(151)41)(4()41(Re)(411n

33、zzzzsnxnzn2n4z41z) 1( n0z)41)(4(1zzzn第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析57/1862,)4(151)41)(4()4(Re)(241nzzzzsnxnzn综合上述分析，得可见，与例2.2.3结果一样。2,)4(1511,)41(151)(2nnnxnn第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析58/1862.3 2.3 变换的性质与定理变换的性质与定理 在研讨离散时间信号与系统过程中，了解并掌握z变换的一些常用性质与定理是特别重要的。这些性质往往与z变换对结合起来用，使z变换与z反变换的求

34、解过程得到简化。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析59/1861.线性性质线性性质 z变换是一种线性变换，满足均匀性与叠加性，即假设 那么对于恣意常数a、b下式成立： 收敛域普通是 和 收敛域的重叠部分。假设在这些组合过程中，某些零点与极点相抵消，那么收敛域有能够扩展。Z ( )( ),xxx nX zRzRZ ( )( ),yyy nY zRzR),min(),max(),()()()(yxyxRRzRRzbYzaXnbynaxZ)()(zbYzaX)(zX)(zY第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析60/186例例2

35、.3.1 知知 ，求其，求其z变换。变换。解解 根据欧拉公式，得根据欧拉公式，得由题知，由题知， 是一个右边因果序列。查表是一个右边因果序列。查表2.1.2可知可知 )()cos()(0nunnx0001cos() ( ) ( )2jnjnn u neeu n)(nx11( ),1nZ a u nzaaz第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析61/186由此得 综合上述分析，得所求z变换为 00011(),11jnjjZ eu nzeez00011( ),11jnjjZ eu nzeez00011111cos() ( ),12 11jjZn u nzezez第

36、第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析62/1862移位性质移位性质1双边双边z变换变换 假设序列假设序列 的双边的双边z变换为变换为 ， 那么移位那么移位m后的序列后的序列 的双边的双边z变换为变换为 ， 其中其中m为恣意整数，假设为恣意整数，假设m为正，那么为右移延为正，那么为右移延迟；假设迟；假设m为负，那么为左移超前。为负，那么为左移超前。)(nxZ ( )( )x nX zxxRzR)(mnxZ ()( )mx nmzX zxxRzR第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析63/186证明 根据双边z变换的定义，可得 可

37、以看出，序列位移只会使新序列的z变换在 或 处的零极点情况发生变化：当 m为正时，在 处引入极点，在 处引入零点；当m为负时，在 处引入极点，在 处引入零点。也就是说， 的收敛域与 的收敛域一样， 或 能够除外。)()()()(zXzzkxzzmnxmnxZmkkmnn0zz0zzz0zZ ()x nm( )X z0zz第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析64/186 例如， 的收敛域为整个z平面，而 在 处不收敛， 在 处不收敛。但假设 是双边序列， 收敛域为环形区域，那么序列位移并不会使z变换收敛域发生变化。Z ( ) 1nZ (1)nzz1Z (1)n

38、z0z)(zX第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析65/1862) 单边单边z变换变换 设序列 的单边z变换为 ，那么 右移k与左移kk为正整数后新序列的单边 变换分别为 )(nx)(zX)(nx()01 ()()( )( )( )nk mnmkknnkZ x nkx nk zx m zzX zx n z010 ()()( )( )( )nk mnm kkknnZ x nkx nk zx m zzX zx n z第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析66/186 2.3.7 假设 是因果序列，那么 项都等于零，而且由于因果序

39、列的单边z变换与双边z变换是一样的，于是因果序列右移后的单边z变换为 而因果序列左移后的单边z变换为)(nx1( )nnkx n z)()()(zXzzXzknxZkk10 ()( )( )kknnZ x nkzXzx n z第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析67/186)(nx由于在实践中，需处置的信号大多是因果序列，除了移位性质以外，双边z变换的性质大多都适用于单边z变换。 另外，从以上分析可知，假设序列 延迟一个单位，即 ，新序列的z变换多乘一个 ，所以，在后续内容中，绘制信号流图时常用 表示单位延迟。)(nx) 1( nx1z1z第第2 2章离散时

40、间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析68/186例例2.3.2 求序列求序列 的的z变换。变换。 解解 查表查表2.1.2可知可知根据移位性质得根据移位性质得因此，根据线性性质得所求为因此，根据线性性质得所求为( )( )(3)x nu nu n ( ),11zZ u nzz23 (3) ( ),11zZ u nz Z u nzz2221 ( ),111zzzzZ x nzzzz第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析69/1863.序列指数加权性质序列指数加权性质z域尺度变换域尺度变换 此性质描画了序列 乘以指数 后，其z变换如何变化。假设

41、， 那么有 其中a为常数，可以为复数。可见序列x(n)乘以实指数序列等效于z平面尺度展缩。 证明 根据 定义得 ， 即收敛域为 。)(nxna)()(zXnxZxxRzRxxnRazRaazXnxaZ),()( )( )( )( )( )nnnnnnzzZ a x na x n zx nXaaxxzRRaxxa Rza R第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析70/1860jnae 根据这一性质可见，新序列z变换的零极点的位置均改动了。这是由于假设 有一个零点或极点 处，那么 一定有一个零点或极点在 ，即 处。也就是说在z域发生了尺度变换。假设a为正实数，那么

42、表示零极点位置在z平面内沿径向收缩或扩展；假设 ，那么表示零极点在z平面内围绕原点旋转一个角度 。( )X zkzz( )zXakzzakzaz0jnae第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析71/1864.序列的线性加权序列的线性加权(z域微分域微分) 假设 那么有证明 将z定义式 两端对z求导得即xxRzRzXnxZ, )()(xxRzRzXdzdznnxZ, )()( )( )nnX zx n z11( )( )( )()( )( )nnnnnnnndX zddx n zx nzdzdzdznx n zznx n z ( )( )dX zZ nx nzd

43、z 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析72/186例例2.3.3 求求 ， 的的z反变换。反变换。 解解 将将 两端对两端对z求导得求导得那么查表那么查表2.1.2知知 ， 根据移位性质得根据移位性质得 再根据再根据z域微分性质知域微分性质知 综合上述两式，得综合上述两式，得 即所求序列为即所求序列为 1( )ln(1)X zazza1( )ln(1)X zaz21( )1dX zazdzaz21( )()( )1zndX zaaau nzdzaz za11( )()(1)1zndX zazaau nzdzaz 1( )( )1zdX zaznx nzdz

44、az 1( )()(1)nnx naau n1()(1)( )naau nx nn第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析73/1865.共轭序列共轭序列 假设 ，那么有 其中， 为 的共轭序列。 证明 xxRzRzXnxZ, )()(xxRzRzXnxZ，)()(*)(*nx)(nxxxnnnnnnRzRzXznxznxznxnxZ，)()()()()(*第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析74/1866.反褶序列反褶序列 假设 ，那么有 从上式可见， 的收敛域是 收敛域的倒置。证明即收敛域为 。xxRzRzXnxZ, )(

45、)(xxRzRzXnxZ11, )1()()( nx )(nxxxnnnnnnRzRzXznxznxznxnxZ11)1()()()()(，xxRzR11第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析75/186例例2.3.4 求求 的的z变换。变换。 解解 由题可见，由题可见， 是序列是序列 的反褶序的反褶序列，查表列，查表2.1.2知知 ， 那么根据反褶性质得所求那么根据反褶性质得所求z变换为变换为 ， ( )()nx na un( )()nx na un( )na u n11( )1nZ a u nazza1( )(1)1nX zZ a u naz1za第第2

46、2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析76/1867.初值定理初值定理 假设 是因果序列，那么其初值为 证明 根据z变换定义显然 由初值定理可以看出，假设 是因果序列，那么根据 就可求得 ；反过来，假设因果序列 的初值为一个有限值，那么其z变换 分子多项式z的阶次一定小于等于分母多项式z的阶次。( )x n)(lim)0(zXxz120( )( ) ( )( )(0)(1)(2)nnnnX zx n u n zx n zxxzxzlim( )(0)zX zx( )x n)(zX)0(x( )x n)(zX第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分

47、析域分析77/1868. 终值定理终值定理 对于因果序列 ，假设 的极点在单位圆内，且只允许单位圆上最多在 处有一阶极点，那么有 证明 根据序列移位性质得由于 是因果序列，所以 ( )x n( ) ( )X zZ x n1z 11)(Re)() 1(lim)(limzznzXszXznx (1)( )(1)( ) (1)( )nnZ x nx nzX zx nx n z( )x n11(1)( ) (1)( )lim (1)( )nnmnnmzX zx nx n zx mx m z第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析78/186) 1( z又由于只允许 在z

48、=1处能够有一阶极点，故因子 将抵消这一极点，因此 在 上收敛，所以可取z1的极限。所以 ( )X z) 1( z)() 1(zXz z111lim(1)( )lim (1)( )lim (0)0 (1)(0) (1)( )lim (1)lim ( )nmznmnnnzX zx mx mxxxx nx nx nx n1lim(1)( )lim ( )znzX zx n第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析79/186 显然，只需极点在单位圆内，当 时 才收敛，才可运用终值定理。该定理又可写为即经过 可求得 的终值。n( )x n1( )Re ( )zxs X

49、z )(zX( )x n第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析80/1869.有限项累加特性有限项累加特性 对于因果序列 ，假设 ， ，那么有 证明 令 ，显然 也为因果序列，那么根据定义得( )x n( ) ( )X zZ x nxzR0( )( ),max,11nxmzZx mX zzRz0( )( )nmy nx m( )y n000 ( )( )( )nnnmnmZ y nZx mx m z 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析81/186由此可知n、m的取值范围分别为 ，如图2.3.1所示，交换求和次序，得收敛域为

50、第一次求和结果 的收敛域 及 收敛域 的重叠部分。0,),0, nmn 1max),(1)(1111)()1 ()()()()(00110210000， xmmmmmmmmnnnnnmnmRzzXzzzmxzzzmxzzzmxzmxzmxmxZ111 z1z( )X zxzR第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析82/18610.序列的卷积和序列的卷积和(时域卷积定理时域卷积定理) 假设 ； ，那么 的z变换为 ( ) ( ),xxX zZ x nRzR( ) ( ),hhH zZ h nRzR( )( )( )y nx nh n( ) ( ) ( )( )(

51、 )( ),max,min,xhxhY zZ y nZ x nh nX z H zRRzRR Y(z)的收敛域是X(z)和H(z)收敛域的重叠部分。但假设位于某一z变换收敛域边缘上的极点被另一z变换的零点抵消，那么收敛域将会扩展。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析83/186证明证明 ( )( ) ( )( )nnZ x nh nx nh n z( ) ()( )()( )( )( )( )( )( ),max,min,nnmnmnkmmkmmxhxhx m h nm zx mh nm zx mh k zzx m zH zX z H zRRzRR 第第2

52、2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析84/186 可见两序列在时域中的卷积对应于在z域中两序列z变换的乘积。在分析离散线性移不变系统中，时域卷积定理特别重要。假设x(n)与h(n)分别为线性移不变离散系统的鼓励和单位抽样呼应，那么在求系统的呼应时y(n)时，可以防止卷积运算，经过X(z)H(z)的逆变换求出y(n)，在很多情况下，这样会更方便些。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析85/186例例2.3.3 知知 ， 求求 。 解解 、 的的z变换分别为变换分别为那么根据时域卷积定理，得那么根据时域卷积定理，得 ， 1( )( )

53、, ( )( )(1),nnnx na u n h nb u nabu nba( )( )( )y nx nh n( )x n( )h n( ) ( ),zX zZ x nzaza1( ) ( ),zzzazaH zZ h nazzbzbzbzbzbzb( )( )( )zzazY zX z H zza zbzbzb第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析86/186( )Y z上式中 的极点与 的零点相消， 的收敛域扩展为 ，所以( )X z( )H z( )Y z1( )( )( ) ( )( )ny nx nh nZY zb u n第第2 2章离散时间信号

54、与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析87/18611.序列相乘序列相乘(z域卷积定理域卷积定理) 假设 ； ， ， 那么 的z变换为 , (2.3.16) 其中, c是在哑元变量v平面上， 、 公共收敛域内环绕原点的一条逆时针封锁围线。( ) ( ),xxX zZ x nRzR( ) ( )H zZ h nnnRzR( )( ) ( )y nx n h ndvvvzHvXjdvvvHvzXjnyZzYcc11)()(21)()(21)()(nxnxRRzRR( / )X z v( )H v第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析88/186例例2.3

55、.4 知知 ， 求求 。 解：解： 1( )( ), ( )(1)nnx na u n h nbu n( ) ( ) ( )Y zZ x n h ndvbvzavvjdvbvzavvjnhnxZzYcc)(21121)()()(abz 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析89/186 的收敛域为 ，而 的收敛域为 ，即 ，那么重叠部分为 ；因此围线c内只需一个极点 ，用留数计算可得 ( )X vva( )zHvzbvzvbzavb.,)(Re)(21)(abzabzabvzvbvzavvsdvbvzavvjzYavavc第第2 2章离散时间信号与系统的章离散

56、时间信号与系统的Z Z域分析域分析90/18612.帕塞瓦尔帕塞瓦尔(parseval)定理定理 假设 且 ，那么 (2.3.17)其中“*表示复共轭，闭合积分围线c位于 与 收敛域的重叠部分内证明从略。( ) ( ),( ) ( ),xxhhX zZ x nRzRH zZ h nRzR；，1xnxnR RR R dvvvHvXjnhnxcn1*)1()(21)()()(vX)1(*vH第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析91/186阐明阐明 ：这阐明序列的能量可用频谱求得。这就是帕塞瓦尔这阐明序列的能量可用频谱求得。这就是帕塞瓦尔公式定理。公式定理。为实序

57、列时，则）当（dvvvHvxjnhnxnhcn1)1()(21)()()(111/,1( )( )()()2jjjnvvvex n hnX eHed（2）当围线取单位圆时，因为则。22( )( )1( )()2jnh nx nx nX ed（3）当时，则第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析92/1862.4 z2.4 z变换与拉普拉斯变换、傅里变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系叶变换的关系 z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换之间有着亲密的联络，在一定条件下可以相互转换。本节详细分析三者之间的关系。第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域

58、分析域分析93/1862.4.1 z变换与拉普拉斯变换的关系1.序列序列z变换与理想抽样信号的拉普拉斯变换的关系变换与理想抽样信号的拉普拉斯变换的关系 设设 为延续时间信号，为延续时间信号， 为其理想抽样信号，为其理想抽样信号，那么那么 的拉普拉斯变换为的拉普拉斯变换为 (2.4.1)(tx)( tx)( tx nnnsTnTsnststnstenTxenTxdtnTtenTxdtenTtnTxdtetxtxLsX)()()()()()()( )( )(第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析94/186而序列 的z变换为 思索 ，那么 时，序列 的z变换就等于

59、理想抽样信号的拉普拉斯变换。即 )(nxnnznxzX)()()()(nTxnxsTez )(nx( )()( )sTsTz eX zX eX s第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析95/186二者的关系，实践上就是由复变量s平面到复变量z平面的映射，其映射关系为 ， 如今进一步讨论这一映射关系。将s用直角坐标方式表示为而z用极坐标方式表示为综合思索以上三式，得即 sTez zTsln1sj jrez TjTjeere.,TreT 第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析96/186由此可见，z的模 仅对应于s的实部 ，而z的

60、相角 仅对应于s虚部的 。下面详细分析s平面与z平面的映射关系。 1 与 的映射关系其映射关系如图2.4.1所示。rrTer)(10)(10)(10平面单位圆外平面单位圆内平面上的单位圆zrzrzr第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析97/186图2.4.1 与 的映射关系r第第2 2章离散时间信号与系统的章离散时间信号与系统的Z Z域分析域分析98/1862) 2) 与与 的映射关系的映射关系根据 知：T 由 添加到 ，对应于 由 添加到 ，即s平面为 的一个程度条带对应于z平面辐角由 到 转了一周，也就是覆盖了整个z平面。 TT2T0000,2/TT 第