双曲线的几何性质

1、高二学年高二学年 王凤彦王凤彦 (1) B2B1yxA2A1 0F1F2|x |a 、|y | b x2/ a2 1 、y 2/ b2 1关于x轴、y轴、原点对称 -x代x、-y代yA1(-a,0 ) , A2(a,0)B1(0-b ) , B2(0,b)分别令x=0，y=0a (长半轴长) c（半焦距长）b（短半轴长) a2=b2+c2焦距与长轴长的比 e=c/a 0e0,bo)的几何性质的几何性质12222byax即22ax 22221byax2、对称性：、对称性： 1）几何法观察双曲线的形状，可以发现双曲线既是轴对称图形轴对称图形 又是中心对称图形中心对称图形 2、对称性：、对称性： 2

2、）代数法代数法1）将方程的x用一x代替，方程不变，双曲线关于 对称2）将方程的y用一y代替，方程不变，双曲线关于 对称 3）将方程的x和y分别用一x和一y代替，方程不变，双曲线关于 对称y轴轴 x轴轴 原点原点 是双曲线的对称轴， 是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。坐称轴坐称轴原点原点双曲线和它的对称轴有两个交点双曲线和它的对称轴有两个交点, 它们叫做双曲它们叫做双曲线的线的顶点顶点. 顶点坐标顶点坐标线段线段A1A2叫做双曲线的叫做双曲线的实轴实轴 B1(0,b)、 B2(0, b) 双曲线双曲线 (a0,bo)的几何性质的几何性质12222byax3.顶顶 点点A1A2

3、B1B2线段线段B1B2叫做双曲线的叫做双曲线的虚轴虚轴A1 (a, 0), A2 (a,0) 双曲线双曲线 x2/a2-y2/b2=1(a0、b0)的各支向外延伸的各支向外延伸时，与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近时，与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近.F2 yB1A2A1B2 0 xF1两条直线两条直线 y= x叫做双曲线叫做双曲线 的渐近线的渐近线. .ab12222byaxA1A2 B1 B2双曲线双曲线 (a0,bo)的几何性质的几何性质12222byax4.渐近线渐近线XyO注注:实轴和虚轴等长的双曲线叫做实轴和虚轴等长的双曲线叫做 等轴双曲线等轴双曲线.0yxM- 3 3 4

4、 - 4画出下列双曲线的图形画出下列双曲线的图形 （1） （2） x2 -y2= 4 .116922yx双曲线双曲线 (a0,bo)的几何性质的几何性质12222byax5.离心率离心率双曲线的离心率的取值范围是双曲线的离心率的取值范围是 (1, +). 考察双曲线形状与考察双曲线形状与e的关系的关系：因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。 双曲线的焦距与实轴长的比双曲线的焦距与实轴长的比 e = , 叫做双曲线的离心率叫做双曲线的离心率.ac三、请思考？三、请思考？ 我们已经研究了焦点在我们已经研究了焦点在

5、x轴上的双曲轴上的双曲线的几何性质，那么当焦点在线的几何性质，那么当焦点在y轴上的双轴上的双曲线的几何性质又如何呢？曲线的几何性质又如何呢？ y a 或 y -aA1(0,-a ) , A2(0,a)A1(- a, 0) , A2(a, 0)a（实半轴长） c（半焦距长） b（虚半轴长） a2=c2-b2a （实半轴长） c（半焦距长）b （虚半轴长） a2=c2-b2焦距与实轴长的比 e=c/a e1 yx oA2A1 B1B2F1 F2yF2A2A1B2 0 xF1x=ax=-ay=ay=-a B1关于x轴、y轴、原点对称关于x轴、y轴、原点对称abyF2 yx oA2A1 B1B2F1

6、F2 当焦点在当焦点在x轴上时，方程为轴上时，方程为 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，渐渐 近线方程为近线方程为y= x 当焦点在当焦点在y轴上时，方程为轴上时，方程为 y2/a2-x2/b2=1(a0,b0)，渐近渐近 线方程为线方程为y= xB1A2A1B2 0 xF1X=aX=-aba例例1:1:双曲线双曲线 9y216x2 = 144 的半实轴长是的半实轴长是 , , 半虚轴长半虚轴长 , , 焦点坐标焦点坐标是是 , , 离心率为离心率为 , , 43(0, , 5) 、(0, , 5)45191622xy例例2 2：求下列双曲线求下列双曲线 的渐近线的渐近线 （1 1）

7、9y2-16x2=144； （2 2） 9y2-16x2= -144 . 总结总结:（1）求矩形对角线所在的直线方程；）求矩形对角线所在的直线方程；解答：解答：（1）y=4x/3 ，0yb ba a （2）化成标准式后再将）化成标准式后再将1换成换成0或直接将常数项换为或直接将常数项换为0.xy=bx/ay=-bx/a（2）y=4x/3221492454xye例 求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。. 191622yx可得, 91625, 42ba求得455a由05），焦点为（5c得2524492c解：由1342222xy2、16x29y2 =144xy3452y82x3445若双曲线的渐近线方程是若双曲线的渐近线方程是 ，求离心率。，求离心率。xy43让我们来共同回顾让我们来共同回顾 本节课我们共同学习了哪些内容：本节课我们共同学习了哪些内容：1.用类比的方法探究了双曲线的几何性质用类比的方法探究了双曲线的几何性质关于x轴、y轴、原点对称关于x轴、y轴、原点对称yF2B1A2A1B2 0 xF1X=aX=-a yx oA2A1 B1B2F1 F2yF2 yx oA2A1 B1B2F1 F2 当焦点在当焦点在x轴上时，方程为轴上时，方程为 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，渐，渐 近线方程为近线方程为y =bx /a