求数列通项公式的方法归纳与训练

1、求数列通项公式的方法类型1 an 1 an f (n)解法：把原递推公式转化为a01 af(n),利用累加法(逐差相加法)求解.例1已知数歹U an满足an i an 2n 1, ai 1 ,求数列an的通项公式。变式：1.已知数列an满足an 1 an 2 3n 1, a1 3 ,求数列a的通项公式.11,、2.已知数列an湎足a1 一，an 1 an -,求an.2 n n类型2 an 1f(n)an解法：把原递推公式转化为 亘f (n),利用累乘法(逐商相乘法)求解。a n例2:已知数列an满足a1 2 a_n_a求a3 n 1例 3:已知 a13 , an 1 -3n_1an (n 1

2、),求 an.3n 21 变式：1 已知数列an,满足a1=1, aai2a23a3(n1)an1(n>2),则an的通项 ann 1n 22.已知数列an满足an 1 2(n 1)5n烝，阚3,求数列an的通项公式.类型3 an 1 pan q (其中p, q均为常数，(pq(p 1) 0).解法(待定系数法)：把原递推公式转化为：an 1 t p(an t),其中t 一q一,再利用换元法转化为1 P2an 1 ,求 an.等比数列求解。例4:已知数列an中，a11 , an 1变式：在数列an中，若a1 1,an 1 2an 3(n 1),则该数列的通项an 类型4 an i pan

3、 qn (其中p, q均为常数，(pq(p 1)(q 1) 0)(或an 1 pan rqn,其中p, q, r均为常数)解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn 1,得：R?an-引入辅助数列bn (其中bn-an),得:qn q qnqqnbn 1.pbn 1再待定系数法 解决.q q例5:已知数列an满足an 1 2an 3 2n , & 2 ,求数列an的通项公式.变式：已知数列an中，a15,an1 1an (l)n1,求an.632类型5递推公式为an 2pan 1 qan (其中p, q均为常数)。s t pst q斛法(待止系数法)：先把原递推公式转化为an 2 s

4、an 1 t(an 1 san),其中s, t ?两足例6：已知数列an中却2 a12a00(n 0,n N),切1,a22,求数列an的通项公式.21例 7:已知数列 an 中，a11 2 ,an 2 -an 1 -an ,求 an.变式：1.已知数列an满足a1 1a 3,a3an 1 2an(nN ).(I)证明：数列aan是等比数列；(II)求数列an的通项公式;4an 2( n 1,2,L),ai 1,2.已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn 1设数列bn an 1 2an(n 1,2,)，求证：数列，是等比数列；设数列Cn 萼,(n 1,2,)，求证：数列Cn是等差数列；求数

5、列an的通项公式及前n项和. 2n类型6递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn ”小)解法：这种类型一般利用anS1(0 ”与an Sn Sn 1 fn) f(Hn1)消去SnnSn Sn1(n 2)(n 2)或与Sn f(Sn Sn1)(n 2)消去an进行求解.1例8:已知数列an刖n项和Sn 4 an nr . (1)求an 1与an的关系；(2)求通项公式an.2a 2变式：1.已知数列 an中，an 0,3厂 v'2Sn,求通项an.22 .已知数列an的刖n项和为Sn2n 3n,求通项a八3 .已知数列an的前n项和Sn满足log2(1 Sn) n 1,求通项公式an.4

6、.已知数列an的前n项和Sn=1+2a,求通项公式an.求通项an.5 .已知数列 an 中，a1 1, nan 1 2(a1 a2 . an),求通项 an.6.已知数列an的前n项和满足an2SnSni0(n 2),ai1 ,2,求通项an.7 .已知 ai2a222a3 . 2n 1ann2,求通项 an.8 .已知正项数列an,其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列求数列an的通项an类型 7 an 1 pan an b(p 1、0, a 0)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an 1 x(n 1) y p(an xn y),与已知

7、递推式比较，解出x, y,从而转化为an xn y是公比为p的等比数列。例 9:设数列 an : a1 4,an 3an 1 2n 1,(n 2),求 an.例10：已知数列an满足an 12an35n ,a1 6,求数列an的通项公式。例11：已知数列an满足an 13an52n4,a11 ,求数歹an的通项公式。例12：已知数列an满足an 1 2an 3n2 4n 5, a1 1 ,求数列an的通项公式。类型 8an 1 pan (p 0,an 0)解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an 1 pan q ,再利用待定系数法求解。2例13：已知数列 a。中，a13,an 1an (

8、a 0),求数列an的通项公式.类型9 an 1 Una解法：这种类型一般是等式 两边取倒数后换元转化为an 1 pan Q. g(n)an h(n)例14：已知数列 an满足：an an，& 1 ,求数列 an的通项公式.3 an 111变式：1.若数列的递推公式为a1 3, an 11 一、，2(n Y),则求这个数列的通项公式. an2.已知数列an满足a11,n 2时，anan 2an 1an ,求通项公式.3.若数列 an中，a二1, a, 2ann 1an 2类型10周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期例15:若数列an满足an 1c 小1、2an,(0 an 2)

9、2an11,(2an1)，若a16 ,则a20的值为7变式：已知数列an满足ai0,an 1an(nA. 0B.D.求数列通项公式的方法f(n),利用累加法(逐差相加法)求解.类型1 an 1 anf(n)解法：把原递推公式转化为am an例1已知数歹U an满足an 1 an 2n 1, a1 1 ,求数列an的通项公式。解：由 an 1 an 2n 1 得an 1an 2n 1 则ai)ian(an an 1) (an 1 an 2)L (a3 a2) (a2 a1)所以数列an的通项公式为an n2.2(n 1) 1 2(n 2) 1 L (2 2 1) (2 1 2(n 1) (n 2

10、) L 2 1 (n 1) 1 c(n 1)n2、2 (n 1) 1(n 1)(n 1) 1 2 n评注：本题解题的关键是把递推关系式an1an 2n 1转化为an1 an 2n 1 ,进而求出(an an 1) (an 1 an 2) L(a3a?) ai)ai即得数列an的通项公式。变式：1.已知数列an满足an 1an3n1, ai3,求数列an的通项公式.解：由 an 1an2 3n1 得 an 1an3nan(anan 1 ) ( an 1n 1(2 31)2(3n 1 3n 2则 23(1 3n -(2Lan 2 ) L 3n2 1) L 32 31) (n(21)a2)32(a2

11、 a1)1) (2 3ai1)所以an3nn 1.3n3n(n1) 3评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1ann2 31转化为an 1nan2 31,进而求出 an (an an 1) (an 1an 2)(a3 a2) (a2 a1)a1 ,即得数列an的通项公式.2.已知数列1an湎足a1一2an 1an-2-1，求 an n类型2an 1f (n)an 解法:把原递推公式转化为亘 a nf （n）,利用累乘法（逐商相乘法）求解.例2:已知数列an满足a1nan，本 an。n 1例3:已知a13 , an 13n3n 2an (n1),求 an。变式：（2004,全国I,理15.）1

12、.已知数列an,满足 a1=1, an a1 2a2 3a3(n 1)an 1 (n>2）,则an的通项an角单：因为ana1 2 a2 3a3L (n1)an 1(n2)所以an 1a12a2 3a3 L(n 1)an 1 nan用式一式得an 1 an nan.则 an1 (n 1)an(n2)故 a1 n 1(n 2) an所以an-an- -an L 里 a2 n(n 1) L 4 3a2 n! a2.an 1 an 2 a22由 an a1 2 a2 3a3L (n1)an 1(n 2),取 n=2,则 a2a1=1,代入得 an1n!所以，an的通项公式为n!an 2评注：本

13、题解题的关键是把递推关系式an 1 (n 1)an(n 2)转化为an iann 1(n进而求出2L 曳a2,从而可得当 an 1 an 2 a2n 2时，an的表达式，最后再求出数列 an的通项公式.2.已知数列an满足an 1 2(n1)5nan, ai 3 ,求数列an的通项公式。解:因为 an 12(n 1)5n an, a13,所以an0 ,则皿 2(n 1)5n ,故 ananan an 1 a3 a2La1an 1 an 2 a2 a1 2(n 1 1)5n 12(n 2 1)5n 2 L 2n 1n(n 1) L 3 2 5(n 1)(n 2) L n(n 1) 3 2n 1

14、5k n!2(2 1)2 1 3522(11) 51 3n(n 1)所以数列an的通项公式为an3 2n1 5kn!.评注：本题解题的关键是把递推关系 an 1 2(n 1)5n an转化为an 1n2(n 1)5，进而求出anan an 1 lan 1 an 2a3 a2a1，a2 a1即得数列an的通项公式.类型3 an1pan q(其中p, q均为常数，(pq(p 1) 0).解法(待定系数法)：把原递推公式转化为：an 1t p(ant),其中t 且，再利用换元法转化为等比数列求解。 1 p例4:已知数列an中,a11 , an 12an 1 ,求 a变式：(2006,重庆，文,14)

15、在数列an中，若a1 1,an 1 2an 3(n 1),则该数列的通项an类型4 an1pan qn (其中p,q均为常数(pq(p 1)(q 1) 0)(或2- pan rq n,其中p,q, r均为常数)解法：一般地，要先在原递推公式两边 同除以qn1,得：，1上？勺 二引入辅助数列bn (其中 q q q qbn )，得：bni -pbn 1再待定系数法解决。 qq q例5:已知数列an满足an 1 2an 3 2n , a1 2 ,求数列an的通项公式。解：an1 2an 3 2n两边除以2n 1/日 an 1 an 3 an 1 an行 2T ” 5，则 2T 了故数列是以多21为

16、首项，以3为公差的等差数列,由等差数列的通项公式，得学1 (n 1)3,所以数列an的通项公式为an (3 n 92n评注：本题解题的关键是把递推关系式na n 1anan 12an3 2 转化为 n 12n 12n是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出包 12n(n变式：已知数列an中,ai3 ， 1),进而求出数列an的通项公式.251,1、n1 , an 1 Tan (二)，求 an .632类型5递推公式为an 2pan 1 qan (其中p, q均为常数)。解法(待定系数法)：先把原递推公式转化为ansan1t(an 1san)其中s, t满足sst例6:已知数列an中3an

17、2 5an 1 2an0(n0,nN) ， a11,a22 ,求数列an的通项公式.例7:已知数列an中,a11, a22 , an 22 an31- an3变式：1.已知数列an满足a1 1包 3,an23an1 2an(n N).(I)证明：数列an 1an是等比数列；(II)求数列an的通项公式;2.已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn 1 4an 2(n 1,2,L),a1 1,设数列bnan 1 2an(n 1,2,)，求证：数列bn是等比数列；设数列Cnan,(n 1,2,2n)，求证：数列Cn是等差数列；求数列an的通项公式及前n项和.类型6递推公式为Sn与an的关系式.(

18、或Snf (小)解法：这种类型一般利用anS1(n ”与anSnSn1 f(an)f(an1)消去SnSn Sn1(n 2)(n 2)或与Snf(Sn Sn1)(n 2)消去an进行求解.1例8:已知数列an刖n项和Sn 4 an ft.(1)求an 1与an的关系；(2)求通项公式an.(2)应用类型4 (a。1 pa。qn (其中边同乘以2n 1得：2n1am 2nan 2r1由a1S14a1a11 .于是数列22nan22(n1)2n an上2n 1a 2变式：1.已知数列an中，an 0,a，2p, q均为常数，(pq( p 1)(q 1) 0)的方法，上式两2nan是以2为首项，2为

19、公差的等差数列，所以v'2Sn，求通项an.22_2 .已知数列an的前n项和为Sn 2n 3n,求通项an.3 .已知数列an的前n项和Sn满足log?。Sn) n 1,求通项公式an.4 .已知数列an的前n项和Sn=1+2a,求通项公式an.求通项an.5 .已知数列 an 中，a1 1, nan 12(a1a2 . an),求通项 an.1 ,、一 一6 .已知数列an的刖n项和潴足an2SnSn 10(n 2), a1,求通项a0.27 .已知 a 2a2 22a3 . 2n & n2,求通项 an.8 . (2006,陕西，理,20本小题满分12分)已知正项数列an

20、,其前n项和Sn满足108n=ai2+5an+6且ai,a3,ai5成等比数歹！J ,求数歹an的通项an类型7 am pan an b(p 1.0, a 0)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 an1 x(n 1) y p(an xn y),与已知递推式比较，解出x, y,从而转化为an xn y是公比为p的等比数列. 例 9 :设数列 an : a14,an3an 1 2n 1,(n 2),求 an.例10:已知数列an满足an 12%35n,a16,求数列an的通项公式。解：设 an 1 x 5n 1 2(an x 5n)将an 12an3 5n代入式，得2an3 5n

21、x 5n1 2an 2x 5n ,等式两边消去2an ,得3 5n x5n 12x 5n,两边除以5n，得35x 2x,则x 1,代入式得an 1 5n 1 2俎5n)n 1由4516 5 10及式得%5n0 ,则an15n2,则数列an5n是以a1511为首项，an 5以2为公比的等比数列，则an 5n 2n，故an 2n 1 5n。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 2an 3 5n转化为an1 5n 1 2(an 5n),从而可知数列an 5n是等比数列，进而求出数列a。 5n的通项公式，最后再求出数列an的通项公式.例11:已知数列an满足an 1 3an 5 2n 4, a1

22、 1 ,求数列J an的通项公式。解：设 an 1 x 2n 1 y 3(an x 2n y)将 am3an 5 2n4 代入式，得3an5 2n 4 x2n1 y30x2ny)5 2x 3xx 5一整理得(5 2x) 2n 4y3x2n3y。令5 2X 3X,则x 5,代入式得4 y 3yy 2an 1 5 2n 1 2 3(an52n2) 由 a1 5 212 1 12 13 0 及式，一na 5 2n 1 2得 an 5 2n 2 0 ,则 aj3 ,an 52n 2故数列an 5 2n 2是以a1 5 21 2 1 12 13为首项，以3为公比的等比数列，因此an 5 2n 2 13

23、3n 1 ,贝U an 133n 152n2 .评注：本题解题的关键是把递推关系式 an 13an52n4转化为an1 5 2n 123(an5 2n 2),从而可知数列an 5 2n 2是等比数列，进而求出数列an 5 2n 2的通项公式，最后再求数列an的通项公式.例12:已知数列an满足an 1 2an 3n2 4n 5, a1 1,求数列an的通项公式。解：设 an 1 x(n 1)2 y(n 1) z 2(an xn2 yn z) 将an1 2an 3n2 4n 5代入式，得 _22_22an3n4n5 x(n 1) y(n1) z2(an xn yn z),贝U2 22an(3x)n(2x y 4)n (xy z5) 2an 2xn 2yn 2z等式两边消去 2an ,得(3 x)n2 (2x y 4)n (x y z 5) 2xn2 2yn 2z,3 x 2xx 3解方程组2x y 4 2y ,则y 10,代入式，得x y z 5 2z z 18 22an 1 3(n 1)10