理论力学 十一 动量矩定理

1、12345vrvMmmO)( MO(mv) =2OAQ MO(mv)定位矢量定位矢量)()(vvMmMmzzO ()OMm vvv q O x y z A A ()zMm vv rv Q Q j m vv ()xym vv6Oriviyxzm1mim2ii)(vrvMLmmiiOO)(iizzmMLvzzOLL7rimi22)(iiiiiiiiizzrmrmrvmmMLv令：令：z2iiJrmzzJL 8)()()()(FMFrvvvrvrvrvMOOmmdtdmdtdmdtdmdtd)()(FMvMOOmdtd ()OMm vvv O x y z A rv Q m vv Fv ( )OMFv

2、v9)()(FMvMOOmdtd)()()()()()(FvFvFvzzyyxxMmMdtdMmMdtdMmMdtd0)(.FzM若若2 2恒恒矢矢量量)(vMmO量量 恒恒)(vmMz0)(.FMO若若1 110rmvFMOh0)(OFM恒恒矢矢量量vrvMmmO)(constmvhmO)( vM11)()()()()(iiOeiOiiOmdtdFMFMvM)(eiOdtdFMLO0)()(iiOFM其中：其中：)()()()()(iiOeiOiiOmdtdFMFMvM)()()(e)izz(e)iyy(e)ixxMLdtdMLdtdMLdtdFFF12eeeddddddOzOzOyOyOx

3、OxMtLMtLMtL000eeeOzOyOxMMM321CLCLCLOzOyOxeddOOtMLCLO，0eOM13PvRgWJLOOWRMe)(RvvRgWRJLOO)()(eOMtdLdWRdtdvRgWRJO)()(22RgWJWRaO14abcd15abcdABabCDcdABCDabcdzLLLLdL111222coscosrvdtqLrvdtqLVABabVCDcd)(ddezzMtL)coscos(111222rvrvqMVz)coscos(111222rvrvqMnMVzzVqn16zaallABCDzABCD 0)(ezM恒恒量量zL020122maamaLz22)sin(

4、2lamLz022)sin(laa12zzLL=170)(e)izM F: :解解0 0量量 恒恒zL0rvmrvmBaBAaAuvvuvvBrBaArAaBaAavv2BrArvvu2BrArBaAavvvv18ziiiiiiiiOzJr )rm(r )m(LviiizrmJ2rimi)()(izzMJdtdF)(22FzzzzMdtdJdtdJJ19)(FzzMJFa mconstM(e)iz0)(.F若若1 1constconstM(e)iz)(.F若若2 220aCOsin22mgadtdJOsin022OJmgadtd)sin(0tJmgaOmgaJTO221OFNFRfFFRdtd

5、JNOdtRfFdJtNO000RFfJtNO022 M1M2M2M1FFnFFn11112222JMF RJF RMaa=-=-1111122222211RRRRRRawaawa=)()(2122112211iJJiMMFF=232iizrmJ)(FzzMJ24ROz222201212C zi ilJm rmdxxm ll=231mlJAz22mRrmJiiCz x dx l z A B C25RO22022212mRdRmrmJRiiCz2zzmJ惯惯性性半半径径( (回回转转半半径径) )mJzz26)(212121yxmrmJiizCiiiiiizmdymdyxmdyxmyxmrmJ2

6、1212121212222)()()(01iiCmymy2mdJJzCz27CBAzCzlOCdm1m2)83(3122221ldldmlmJO2231)2(mllmJJCzz盘杆OOOJJJ2131lmJO杆)83()2(22222ldldmdlmJJCO盘28OCmgFOyFOxmgRJO2222321mRmRmRJORg32CyOyeyCxOxexmaFmgFmaFF)()(gRaaCyCx23,0mgFFOyOx21029解：解：研究对象为轮、物体A和B。分析受力，运动分析 已知：半径为r，滑轮重为G，将其视为圆环。A物重为P，B物重为Q，且PQ。 求：两重物的加速度及轮的角加速度。A

7、BOQPxFyFGABi对O点应用质点系的动量矩定理)(tdd)(eiOOFML30)(GQPgrLz则有)(tdd)(eizzFML由QrPrtGQPgrdd)(得rGQPgQPraGQPgQPdtda)()(,)(OBAzJrgQrgPLABOQPxFyFGABirrgGmrJO2231解解： 受力分析受力分析运动分析：绕质心转动，质心不动。运动分析：绕质心转动，质心不动。均质圆柱半径为r，质量为m，置该圆柱于墙角，初时角速度0，由于摩擦阻力，使转动减速，摩擦因数 f求：使圆柱停止所需的时间。BFNBFAFNAF应用刚体定轴转动的微分方程应用刚体定轴转动的微分方程)()(eizzFMJ32

8、补充方程，应用质心运动定理补充方程，应用质心运动定理 )3(0)2(0mgFFFFFymFxmFmaANBBNAycxcc BFNBFAFNAF)5()4(fFFfFFNBBNAA) 1 (dd212rFrFtmrBA未知量NBNABAFFFF,33)1 (2)1 (d)1 ()1 (2d020200fgfrfttfrffgt积分未知量NBNABAFFFF,解得2221,1ffmgFfmgfFBA)1 ()1 (2dd2frfgft代入（1）式，得BFNBFAFNAF34解：受力分析xFyFQ 已知杆OA长为l，重为P。可绕过O点的水平轴在铅直面内转动，杆的A端用铰链铰接一半径为R、重为Q的均

9、质圆盘，若初瞬时OA杆处于水平位置，系统静止。略去各处摩擦，求OA杆转到任意位置（用角表示）时的角速度及角加速度。QP35取圆轮为研究对象，受力如图，JA0因此，00，在杆下摆过程中，圆盘作平移运动分析QPxFyFQ求OA杆的角加速度研究整体,对O点应用动量矩定理)(tdd)(eizzFML36cos2332lgQPQP由上式解出cos2332ddlgQPQPt求OA杆的角速度2220333lgQPlgQlgPLcos22coscos2332lQPQllPlgQP应用动量矩定理QP写出系统对O点的动量矩37cos2332ddddddcos2332ddlgQPQPtlgQPQPt分离变量 dco

10、s2332dlgQPQPdcos2332d00lgQPQP积分sin332lgQPQP得 38CmiCririrCCCOLrL m对任一点O的动量矩与对 质心的动量矩之间的关系。由动量矩定理iiCiiCCCOFrrFrLrL)()(dddd mttiiiCCCCCCFrFrLrrtmtmtdddddd 39这表明，以质点的相对速度或以绝对速度计算质这表明，以质点的相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩，其结果是相等的。点系对于质心的动量矩，其结果是相等的。质点系相对于质心的动量 ，有两种定义式()CCi iii iLMm vrm v=邋vvvvv0 (0)i ii CCm rm rr

11、=邋vvvQCLv和()CCi irii irLMm vrm v=邋vvvvv()CCi iii ii iCi iirLMm vrm vm rvm rv=+邋邋vvvvvvvvv其中得Cii iii irLrm vrm v=邋vvvvvCmiCririrO40CmiCririrO这表明，质点系对任一点O的动量矩，等于质点系随质心平移时对点O的动量矩加上质点系相对于质心的动量矩。OCCCLrm vL=+vvvv()()OOi iii iCii iCi iii iLMm vrm vrrm vrm vrm v=+=+邋邋vvvvvvvvvvvvi iCm vm v=vv质点系对任一点的动量矩其中得4

12、1其中有得质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理Cii iii iCi iLrm vrm vrm v=-邋vvvvvvvddddddCiiii iiiCi iCiLvvvm vrmvm vrmttt=+-邋邋vvvvvvvvv(i )0iirF =vvdd,ddiiiiiiCiCivvrmrFrmrFtt创=邋邋vvvvvvvv0,0ii iCi ivm vvm v=邋vvvv(i )(e)ddCiiCiiiiiiiLrFrFrFtrFrF=-=+邋邋vvvvvvvvvvv由于最后得(e)(e)d()dCiiCiLrFMFt=邋vvvvv42 对于作平面运动的刚体，应用质心运

13、动定理和相对质心的动量矩定理，得)()(dd)(CCC)(CeieiFJJtFmaM或)(dddd)(C22C)(2C2eieiMtJtmFFr刚体平面运动微分方程434kg的均质板静止悬挂。求：B点的绳或弹簧被剪断的瞬时，质心加速度各为多少。1.考虑第一种情况，作受力分析和运动分析，如图所示。AaCAanCAaAamgTC)3(25. 0)2() 1 (0TJTmgmamaccycx应用刚体平面运动微分方程44)3(25. 0)2() 1 (0TJTmgmamaccycxAaCAanCAaAamgTC初瞬时00ncAa又由(1)知acx0 则有25. 0coscosACaaacAcyc所以(4)联立解(2)(3)(4)式 2m/s92. 61712,25. 01712gagc45初瞬时弹簧还未变形，弹簧力为mgT21mgT2.考虑第二种情况，受力分析如下，由(2)式得 9 . 42gaacycm/s2 )3(25. 0)2() 1 (0TJTmgmamaccycx根据平面运动微分方程46CFNmgaC00cossin)()()(eCCCyNeyCCxexMJmaFmgFmamamgFcos0sinmgFgaNC47RaFRJFmgFmaFmgFCCNeyCex0cossin)()(cossin31sin32sin32mgFmgF