第七章梁的应力

1、17- -1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念7- -2 梁的内力梁的内力 内力图内力图7- -3 梁横截面上的应力及强度条件梁横截面上的应力及强度条件7- -4 梁的弯曲变形及刚度条件梁的弯曲变形及刚度条件7- -5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例7- -6 简单超静定梁的解法简单超静定梁的解法 工工 程程 力力 学学 C 第七章第七章 弯弯 曲曲第七章 弯 曲 本章主要学习等直梁平面弯曲时的内力本章主要学习等直梁平面弯曲时的内力(剪力和弯矩剪力和弯矩)、应力、应力(以正应以正应力为主力为主)和变形和变形(挠度和转角挠度和转角)计算；解决梁的强度、刚度计算问题；分析

2、计算；解决梁的强度、刚度计算问题；分析梁的合理界面；介绍简单超静定梁的解法。梁的合理界面；介绍简单超静定梁的解法。2 工工 程程 力力 学学 C 第七章第七章 弯弯 曲曲教学内容教学内容： 弯曲的概念，梁的内力弯曲的概念，梁的内力 内力图，横截面上的应力和变内力图，横截面上的应力和变形的计算，强度和刚度条件，提高抗弯能力的措施。形的计算，强度和刚度条件，提高抗弯能力的措施。教学要求教学要求： 1. 了解弯曲的概念；了解弯曲的概念； 2. 理解和掌握横截面上应力和变形的计算；理解和掌握横截面上应力和变形的计算； 3. 能够灵活的应力和变形的计算公式解题，掌握强度能够灵活的应力和变形的计算公式解题

3、，掌握强度和刚度条件。和刚度条件。重点重点：应力和变形公式。：应力和变形公式。难点难点：强度和刚度条件的应用。：强度和刚度条件的应用。学时安排学时安排：4个学时。个学时。3 工程力学工程力学 C 7.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念7- -1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念1. 弯曲变形与平面弯曲火车轮轴火车轮轴FFFF轧辊轴轧辊轴高大的塔器高大的塔器 梁： 以弯曲变形为主的杆件。作用在通过杆件轴线的纵向平面内的一对等值、反向的力偶。受力特征：变形特征：杆件轴线由直线变形后成为曲线。弯曲变形4梁的横截面通常采用对称形状,如矩形、工字形、T 字形、圆形等。纵向对称面：包含梁横截面的一个对称轴及其梁

4、轴线的平面称为纵向对称面。对称弯曲：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内， 弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线， 这种弯曲称为对称弯曲。 工工 程程 力力 学学 C 7.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念平面弯曲 受弯杆件的轴线为平面曲线时的弯曲称为平面弯曲。52. 平面弯曲 横截面的对称轴横截面的对称轴梁的轴线梁的轴线纵向对称面纵向对称面变形后的轴线与外力变形后的轴线与外力在同一平面内在同一平面内 工工 程程 力力 学学 C 7.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念6弯曲的实例l 伽利略（Galileo）历史回顾 2hbhFl )2(2bhM 工工 程程 力力 学学 C 7.1 平面

5、弯曲的概念平面弯曲的概念7弯曲的实例楼板梁 纵梁A 工工 程程 力力 学学 C 7.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念8弯曲的实例火车轮轴 工工 程程 力力 学学 C 7.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念9桥式吊车梁弯曲的实例 工工 程程 力力 学学 C 7.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念10 工工 程程 力力 学学 C 7.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念2. . 梁的计算简图梁的计算简图 对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。简化原则： (1) 尽可能地反映结构的真实受力情况； (2) 尽可能使计算简化。以上两条原则是互相制约的，

6、必须妥善考虑，所取计算简图的正确与否要看计算结果是否符合实际。11(1) 支座的基本形式支座的基本形式1. 固定端固定端实例如图实例如图a，计算简图如图，计算简图如图b, c。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力(b)(c)MRFRxFRy(a) 工工 程程 力力 学学 C 7.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念12 2. 固定铰支座固定铰支座实例实例如图中左边的支座，计算简如图中左边的支座，计算简图如图图如图b，e。 3. 可动铰支座可动铰支座实例如图实例如图a中右边的支座，计算简图中右边的支座，计算简图如图如图c，f。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 工工 程程 力力 学学 C 7.1 平面弯曲的概

7、念平面弯曲的概念13悬臂梁悬臂梁(2) 梁的基本形式梁的基本形式简支梁简支梁外伸梁外伸梁第四章第四章 弯曲应力弯曲应力 工工 程程 力力 学学 C 7.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念14 工工 程程 力力 学学 C 7.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念荷载分类荷载分类均匀荷载均匀荷载(均布荷载均布荷载)F BA集中荷载集中荷载 BA集中力偶集中力偶载荷集中：载荷集中：分布于梁单位长度上的载荷量分布于梁单位长度上的载荷量q；单位（；单位（N/m或或kN/m）静定梁静定梁或或超静定梁：超静定梁：对于支座反力能用静静力平衡方程式求出的梁为对于支座反力能用静静力平衡方程式求出的梁为静定梁静定梁，否则

8、为，否则为超静定梁超静定梁。15mmFS一般情况下，梁的横截面上既又弯矩 M ， 又有剪力 FS 。mmFSM mmM 只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 才能合成弯矩才能合成弯矩只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 才能合成才能合成剪力剪力所以，在梁的横截面上一般既有所以，在梁的横截面上一般既有 正应力正应力，又有又有 切应力切应力。 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件7- -3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件16纯弯曲若梁在某段内各横截面上的 ，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲。

9、非纯弯曲各截面不仅有弯矩,还有剪力的作用,产生弯曲变形的同时, 伴随有剪切变形。这种变形形式称为非纯弯曲。FFaaCDABMeMeCD梁的CD 段纯弯曲。梁的AC、DB 段非纯弯曲。 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件17梁的CD 段纯弯曲。 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件181、研究内容1 1、正应力的分布情况、正应力的分布情况2 2、正应力计算公式、正应力计算公式2、分析思路：（变形固体的力学分析方法）1 1、变形的几何关系、变形的几何关系2 2、力与变形的物理关系、力与变形的物理关系3

10、 3、静力平衡条件、静力平衡条件 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件19一、 实验现象的观察与分析梁由直变弯, 以某层（中性层）为界,一侧伸长, 一侧缩短;横截面仍为平面，只是相对旋转了一个角度;在弯曲过程中梁的横截面始终与梁的轴线保持正交。 若假设各纵向纤维间无相互挤压,则各纵向纤维只产生单向拉伸或压缩。 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁横截面上的应力及强度条件梁横截面上的应力及强度条件20 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短， 因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。中性层中性轴两个概念 工工

11、程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件21二、 正应力公式推导推导公式时，要综合考虑 几何 ，物理 和 静力学 三方面 。取 一 纯弯曲 梁段来研究 。 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件22O1O2二、 正应力公式推导变形后：12dK Ky d变形前：12dK Kx()dddyy 1. 几何方面K1K2y1K2KOd1O2O上式表达了梁横截面上任一点处的纵向线应变 随该点的位置而变化的规律。 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件23二、 正应力公式推导2.

12、 物理方面式中：y 几何方程由假设的纵向纤维受单向拉伸或压缩,所以,当正应力不超过材料的比例极限时,由胡克定律可得：EyEE= 常量结论：（1）正应力 与距离y 成正比,即正应力 沿截面高度按直线规律变化；（2）中性轴上各点处的正应力等于零, 距中性轴最远的上、下边缘处的 正应力最大。 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件24二、 正应力公式推导2. 物理方面式中：yEE是未知的常量M需要解决的问题：需要解决的问题：如何确定中性轴的位置 ？如何计算 1/ ?中性轴 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条

13、件253. 静力学方面 物理方程yENdAAF0 dd0AAEEyAy Ad0Ay A形心坐标0Cy说明中性轴必通过截面的形心。（1 1）如何确定中性轴的位置 ？ 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件d0CAy AyAQ因为因为263. 静力学方面yEdAyAM2ddAAEyEyAyA2zdAyAI（2 2）如何计算1/ ？M弯曲刚度梁横截面上正应力计算公式截面对z轴的惯性矩 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件27zMyI梁横截面上正应力计算公式截面对z轴的惯性矩为所求应力点到中性轴的距离为横截面

14、上的弯矩 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件28zMyI梁横截面上正应力计算公式说明:(1) 式中M 和 y 均以绝对值代入;(2)正应力是拉应力还是压应力可由观察梁的变形来判断;符号规定：以中性轴为界:靠凸边一侧受拉，靠凹边一侧受压。正应力拉为正；压应力为负。(3) 公式适用于所有横截面形状对称于y 轴的梁,如工字形、T 字形、 圆形截面梁等;(4) 公式适用于非纯弯曲的情况。 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件29zMyIMMyyCZCZ中性轴中性轴中性轴中性轴思考:截面上拉应力与压应力发生

15、在何处？拉应力区压应力区拉应力区压应力区 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件30zMyI思考:（1） 中性轴为截面对称轴时最大最小正应力的关系？ 梁横截面上最大、最小正应力绝对值相等！梁横截面上最大、最小正应力绝对值相等！maxmaxmaxctMyCZ中性轴中性轴拉应力区压应力区 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件31 在横向力的作用下,梁的横截面一般同时存在弯曲正应力和弯曲切应力。为了保证梁能安全地工作,必须使梁内的最大应力不超过材料的许用应力,因此,对上述两种应力应分别建立相应的强度条件。正

16、应力强度条件maxmmaxmaaxmaxxmax| |zzzMMIIWyMy 利用强度条件，可解决三种不同类型的工程问题。（1 1）强度校核；（）强度校核；（2 2）截面尺寸设计；（）截面尺寸设计；（3 3）确定许用载荷。）确定许用载荷。 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件对于跨度与横截面高度之比l/h大于5的梁,弯曲切应力可以忽略。抗弯截面系数，衡量截面抗弯强度的一个几何量321. 中性轴为截面对称轴时 maxmaxmaxzMyIWz 称为弯曲截面系数梁的正应力强度条件为maxmaxzMIymaxzMWmaxzzIWy（1）强度校核（2）截面

17、尺寸设计（3）确定许用载荷maxmax zMWmax zMWmax zMW等截面梁内的最大正应力发生在弯矩最大的横截面且距中性轴最远的位置。 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件危险面：最大正应力所在的截面。危险点：危险截面上的最大正应力。33Wz 称为弯曲截面系数maxzzIWy对矩形截面： 321262zbhbhWh对圆形截面： 4364322zddWd 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件34注意：(1)在进行梁的强度计算时,必须同时满足梁的正应力强度条件和切应力强度条件。但在一般情况下,正应

18、力强度条件往往是起主导作用的。(2) 在选择梁的截面时,通常是先按正应力强度条件选择截面尺寸, 然后再进行切应力强度校核。(3)对于某些特殊情况,梁的切应力强度条件也可能起控制作用。例如,梁的跨度很小,或在支座附近有较大的集中力作用,这时梁可能出现弯矩较小,而剪力却很大的情况,这就必须注意切应力强度条件是否满足。又如,对木梁,在木材顺纹方向的抗剪能力很差,也应注意在进行正应力强度较核的同时,进行切应力的强度校核。 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件35等直梁的弯曲强度计算步骤 根据梁的约束性质，分析梁的受力，确定约束力。根据梁的约束性质，分析梁

19、的受力，确定约束力。 画出梁的内力图；由此确定可能的危险截面画出梁的内力图；由此确定可能的危险截面( (最大内力处最大内力处) )。 根据应力分布，确定危险点根据应力分布，确定危险点( (最大应力处最大应力处) )。 应用强度条件进行强度计算。应用强度条件进行强度计算。 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件36 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件例 7-7 如图所示，下轧辊(图a)简化的简支梁(图b)，在中部所受轧制压力可看作集度为q=12.25103kN/m，的均布载荷。辊身直径D=760mm，

20、辊颈直径d=570mm，其他尺寸如图示。材料的许用弯曲正应力=80MPa。试校核轧辊的强度。解：（1）求支座反力由静力平衡条件3312.25 100.8 =4.9 10 kN22CDABqlFF37 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件（2）做弯矩图如图，知梁横截面的最大弯矩为：Mmax=3.09103 kNmMD=2.1103 kNm该截面可能是危险截面最大应力为：36maxmax33.09 101071.54MPa 760 /32zMW 在辊颈截面F上：MF = 1.127 103 kNm，虽然MFMmax，但因截面尺寸较小，也应进行强度校核

21、。该截面上的最大弯曲正应力为36maxmax31.127 101061.7MPa 570 /32zMW轧辊的强度满足要求。38 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件例 7-8 如图a所示，一T形截面铸铁梁。铸铁的许用拉应力为t=30MPa，许用压应力为c=60MPa。T截面尺寸如图b所示。已知截面对形心轴z的惯性矩Iz=763cm4，且y1=52mm。试校核梁的强度。解：求支座反力，有静力学平衡条件可知FA=2.5 kN， FB=10.5 kN最大正弯矩在截面C上，MC=2.5kNm，最大负弯矩在截面B上， MB=-4kNm。39 工工 程程 力

22、力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件由弯矩图看出，B截面处梁段的变形为上凸，因此，最大拉应力力发生于截面的上边边缘各点处，最大压应力发生于截面下边缘的各点处。由于截面对中性轴不对称，故应分别计算，有6144 105227.2 MPa763 10BtzM yI624|4 10(1202052)46.2 MPa763 10BtzMyI 在截面C上虽然弯矩MC小于MB的绝对值，但是正弯矩，此段梁的变形为下凹，因此最大拉应力发生于截面的下边边缘各点，而这些点到中性轴的距离又比较远，因而就有可能发生比截面B还要大的拉应力，有6242.5 10(1202052)28.8

23、MPa763 10CtzM yI40 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件例 7-9 如图所示，悬臂梁是工字形截面，已知F=40kN，l=6m，=150MPa，试利用附录C中型钢规格表选择型号。 解：由弯矩图可见，最大弯矩发生在固定端处，最大弯矩为：max|40 6240 kN mMFl抗弯截面系数：63max|240 101600 cm 150zMW6maxmax6|240 10152.87 MPa 1.57 10Mmax 152.87 1502%5% 150 故可选用45c号工字钢，既安全也经济 查表(P295)得到45c的Wz=1570cm

24、3，与梁所必需的1600cm3相差不到5%，因此采用工字钢，最大正应力为41 补例 一矩形截面简支木梁,梁上作用均布荷载。已知 l =4 m, b = 140 mm, h = 210 mm, q = 2 kN/m;弯曲时木材的许用拉应力=6.4 MPa。试校核梁的强度并求梁能承受的最大荷载。解：（1）校核强度最大弯矩发生在跨中截面上,其值为kN.m442818122maxqlM弯曲截面系数为22230.14 0.210.103 10 m66zbhW最大正应力为3maxmax2max4 103.89MPa 0.103 10MW 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上

25、的应力及强度条件42（2）求最大荷载根据强度条件max zMW而所以得326228 8 0.10106.4 103.29 kN/m4zWql2max18Mql即梁能承受的最大荷载为3.29kN/mq 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件43 补例 试为图示枕木选择矩形截面尺寸。已知截面尺寸的比例为 b h = 3 4,许用拉应力= 6 .4 MPa,许用切应力 = 2.5 MPa。解：（1）作剪力图和弯矩图（2）按正应力强度条件设计截面max98 0.219.6kN.mMFa333max619.6 103.06 10 m 6.4 10zMW2,3

26、/ 46zbhbWh3213648zhWh h333388 3.06 1024.48 10 mzhW 0.29mh 得: 33=0.29=0.22m44bh 工工 程程 力力 学学 C 7.3 梁截面上的应力及强度条件梁截面上的应力及强度条件44解： （2）切应力强度校核S,max98kNFF3Smax33 98 102.31MPab时有 6maxlEIalFabB71 工工 程程 力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件323221baablx显然，由于现在ab，故上式表明x1b。解： 由梁整体平衡得： 列弯矩方程AC 段：CB 段：abACBF,AyByFbFa

27、FFll 1111,0AyFbM xF xxxal222222()(),AyFbM xF xF xaxF xaaxllxwAyFByF1x2x78 工工 程程 力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件 列挠曲线近似微分方程并积分AC 段：10 xa111( )FbEIwM xxl121112FbEIwEIxCl 1311 116FbEIwxC xDl2222()()FbEIwM xxF xal 2222222()22FbFEIwEIxxaCl 23322222()66FbFEIwxxaC xDlCB 段：2axlabACBFxwAyFByF1x2x79 工工 程程

28、力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件 确定积分常数代入求解，得支座约束条件光滑连续条件11220,(0)0,( )0 xwxlw l12121212,( )( ),( )( )xxaaaxxaw aw a312121660FbCCFbllDD abACBFxwAyFByF1x2x80 工工 程程 力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件 确定转角方程和挠曲线方程AC 段：10 xaCB 段：2axl12221()26FbFbEIxlbll132211()66FbFbEIwxlbxll2222222()()226FbFFbEIxxalb

29、ll33222222()()666FbFFbEIwxxalbxllabACBFxwAyFByF1x2x81 工工 程程 力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件 确定最大转角和最大挠度令 得，11d0dx令 得，22d0dxmax=Bab Q 根据图示挠曲线的大致形状可知，最大挠度wmax在左段梁内。令 得，11d0dwx223221max(),( )39 3FblblbxwEIl 在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可用跨中挠度代替最大挠度。()6AFablblEI ()6BFablaEIl（） maxwDACxwBFab82 工工 程程 力力 学学 C

30、7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？83 工工 程程 力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件4. 叠加法求梁的变形 在线弹性和小变形范围内，梁的挠度和转角均与载荷成线性关系。当梁上有若干载荷作用时，梁某个截面处的挠度和转角就等于每个载荷单独作用下该截面挠度和转角的代数和。这就是计算梁位移的叠加原理。 在简单载荷作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在附录中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计算复杂载荷情况下梁指定截面的挠度和转角。

31、84 工工 程程 力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件图示简支梁，q、l、EI均已知。求wC 、B。 将梁上的载荷分解 查表：解：415384CqlwEI 3124BqlEI4248CqlwEI 3216BqlEI4316CqlwEI333BqlEI 85 工工 程程 力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和 4443145384481611( )384CCiiqlqlqlwwEIEIEIqlEI 3333132416311()48BBiiqlqlqlEIEIEIqlEI 86 工工 程程 力力

32、 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件 补例 试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度 wC 和支座截面的转角A 及 B。(a) 解：此梁 wC 及A，B 实际上可不按叠加原理而直接利用本教材附录表中序号13情况下的公式得出。这里是作为灵活运用叠加原理的例子，假设没有可直接利用的现成公式来讲述的。87 工工 程程 力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件 作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。(b)(a)88 工工 程程 力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件 在

33、集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用本教材附录表中序号8的公式有 EIqlEIlqwC76853842/5441 48242/331EIqlEIlqB 48242/331EIqlEIlqAC89 工工 程程 力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录表中序号8情况下的公式有 384242/2/3322EIqlEIlqBA 在集度为q/2的反对称均布荷载作用下，由

34、于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有02CwC90 工工 程程 力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件按叠加原理得 EIqlEIqlwwwCCC7685076854421 38473844833321EIqlEIqlEIqlBBB 12833844833321EIqlEIqlEIqlAAA91 工工 程程 力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件 补例 试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其截面B的转角B，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。92 工工 程程 力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件 解：为利

35、用本教材附录中简支梁和悬臂梁的挠度和转角资料，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁(图b)和简支梁(图c)连接而成。原来的外伸梁在支座B左侧截面上的剪力 和弯矩 应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁上，它们的指向和转向也应与 的正负相对应，如图b及图c中所示。22221qaaqMBBBMF和SqaFB2S93 工工 程程 力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件 图c中所示简支梁BC的受力情况以及支座约束情况与原外伸梁BC段完全相同，因此再注意到简支梁B支座左侧的外力2qa将直接传递给支座B而不会引起弯曲后，便可知道按图d和图e所示情况由本教材附录中的资料求Bq， B

36、M 和 wDq，wDM 并叠加后得到的就是原外伸梁的 B和wD。94 工工 程程 力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件)(241162238454224EIqaEIaqaEIaqwwwDMDqD 3132242323EIqaEIaqaEIaqBMBqB95 工工 程程 力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件 图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的B支座截面是可以转动的，其转角就是上面求得的B，由此引起的A端挠度w1=|B|a应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA： EIqaE

37、IaqaEIqawwwA44321127 823196 工工 程程 力力 学学 C 7.4 梁的弯曲条件及刚度条件梁的弯曲条件及刚度条件5. 5. 梁的刚度条件梁的刚度条件刚度校核：限制梁的变形不超过某一规定的允许值。 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满足刚度条件(stiffness condition)：式中，l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨比)， 为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度条件。lwlwlwmaxmax 土建工程中通常只限制梁的挠跨比， 。在机械工程中，对于主要的轴， ；对于传动轴还要求限制在安装齿

38、轮处和轴承处的转角， 。100012501lw10000150001lw rad001. 0005. 097梁的弯曲强度主要是由正应力强度条件控制的,所以,要提高梁的弯曲强度主要就是要提高梁的弯曲正应力强度。梁的弯曲正应力强度条件：目的：降低梁的最大正应力！ 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例7- -5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例98梁的弯曲正应力强度条件：一、 选择合理的截面形状对于同种材料，若Wz 则可承受的 M梁的承载能力提高。提高用最少的材料获得最大弯曲截面系数。选择较大的截面AWz截面的合

39、理形状,就是在截面面积相同的条件下。比较不同形状截面的Wz 值。 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例99WzA=1.14cmWzA=0.84cmWzA=6.68cmzyb hh=2bzydNo20azyA=35.5cm2 A=35.5cm2 A=35.5cm2 工字形截面比矩形截面合理；矩形比圆形截面合理。 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例100zyb h矩形比正方形截面合理!矩形与正方形截面比较：zya221aAbhA2312,66zzbhaWW21321zzWbhh

40、Waazyd正方形截面与圆形截面比较：323361.19132zzaWdW22234dAaA2ad正方形截面比圆形截面合理！ 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例101zyb h矩形竖放与平放比较：2212,66bhhbWW121WhWbzy h b矩形竖放合理！ 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例102从应力角度分析：Mzxy所以，在用料一定前提下，尽量减小中性轴附近的面积,而使更多的面积分布在离中性轴较远的位置。 薄腹梁 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能

41、力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例103 maxmax()(）+ 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例104思考:(2)脆性材料的梁合理截面形状?y y1 1y y2 2y y1 1y y2 2max()max()maxmax()()+21yymax)(max() 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例105（a）（b）（c）（d）（b）（d）FlxMFl 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例106二、变

42、截面梁Fxlzyb h(x)()(maxxWxMz( )( ) zM xW x 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例107(1) 若b不变，则按剪切强度要求进行修改设计：maxhFh1Fxl6( ) Fxh xb( )( ) zM xW xx 截面处：FxxM)(2( )( )6zbhxW x Fmaxh6 Flb231bFh 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例108阳台或雨篷等的悬臂梁 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施

43、及工程实例109(x)xbxFl/2l/2zyb h(x)M 图Fl/4(2) 若 h 不变 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例110横截面沿梁轴变化的梁变截面梁 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例111横截面沿梁轴变化的梁变截面梁 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例112横截面沿梁轴变化的梁变截面梁 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例113横截面沿梁轴变化的梁变截面梁 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例114横截面沿梁轴变化的梁变截面梁FF 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工程实例115横截面沿梁轴变化的梁变截面梁 工工 程程 力力 学学 C 7.5 提高梁抗弯能力的措施及工程实例提高梁抗弯能力的措施及工