一函数极值的定义ppt课件

1、一、函数极值的定义一、函数极值的定义oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x极值是部分区域上的极值是部分区域上的最大或最小值；最大或最小值；在延续点或端点处不在延续点或端点处不思索极值。思索极值。对延续函数，对延续函数，极大、极小交替出现。极大、极小交替出现。第五节第五节 函数的极值及其求法函数的极值及其求法函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统称为极值,使函数获得使函数获得极值的点称为极值点极值的点称为极值点.).(),()()(),()()()(),(, 0,),(,),()(0000000或或极极大大点点称称为为函函数数的的极极小小点点或或极极

2、大大值值的的极极小小值值是是函函数数则则称称或或均均有有对对任任意意如如果果存存在在正正数数内内的的一一个个点点是是内内有有定定义义在在区区间间设设函函数数xxfxfxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义二、函数极值的求法二、函数极值的求法 设设)(xf在点在点0 x处具有导数处具有导数, ,且且在在0 x处取得极值处取得极值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. .定理定理1(1(必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注注:.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点

3、点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x 极值存在的必要条件极值存在的必要条件(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值. .(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值. .(3)(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, , )(xf符号相同符号相同, ,则则)(x

4、f在在0 x处无极值处无极值. .定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形) 极值存在的充分条件极值存在的充分条件xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;)(0)(:)2(不不存存在在的的点点和和使使的的根根方方程程求求驻驻点点xfxf ;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求求极极值值(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解.593)(23的的极极值值求求出出函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3,

5、121 xx得得驻驻点点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下 设设)(xf在在0 x处处具具有有二二阶阶导导数数, ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那那末末( (1 1) )当当0)(0 xf时时, , 函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值; ;( (2 2) )当当0)(0 xf时时, , 函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值. .定理定理3(3(第

6、二充分条件第二充分条件) )证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 异异号号，与与故故xxfxxf )()(00时时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 时时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值.例例2 2解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得驻驻点点)2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故极极大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故极极小小值值.4

7、8 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下Mm留意留意: :. 2,)(,0)(00仍仍用用定定理理处处不不一一定定取取极极值值在在点点时时xxfxf 例例3 3解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的的极极大大值值为为xff .)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf留意留意: :函数的不可导点函数的不可导点, ,也能够是函数的极值点也能够是函数的极值点. .M的极值。求函数例ttteytex4tttttettteeteey211 解解：不存在。不存在。ytyt , 1;