第三章 离散小波变换与框架2

1、第三章 离散小波变换与框架 连续小波变换中，CWT中的参数a和b都是连续变化的值。实际应用中，信号f(t)是离散序列，a和b也须离散化，成为离散小波变换，记为DWT。离散小波变换中的重要问题是是否存在逆变换。讨论这个问题涉及框架理论。一、离散小波变换一、离散小波变换 在二进小波变换的基础上，进一步将平移参数离散化，就得到一个二维序列:)(),()2,2)(2,2,ttfkfWcjjkjjkj此序列是离散小波系数，是连续小波系数的一个离散子集。在一般情况下，尺度参数a和平移参数b的离散化可令：ZkZjakbbaajj,000其中a0、b0为常数，则分析小波变为：)()(002/0,kbtaatj

2、jkj这样，连续小波变换就变为离散小波变换：)(),(),)(,000,ttfakbafWckjjjkj(式3-1)(式3-2)(式3-3)其卷积型定义有：)()()(0000,00jajakjakbthtfakbfWcjjRjjjkjdtatakbhtfac)()(10000,(式3-4)即：对于二进小波，令a0=2，b0=1则有：)2(2)(2/,kttjjkj)(),()2,2)(,ttfkfWckjjjkj(式3-5)(式3-6)对于a0、b0的选取，依赖于小波母函数。我们最为关切的问题：1.能否由离散小波系数完全稳定地重构f(t)?2.对于任意f(t) L2(R)，是否能表示为基函数

3、j,k(t)的线性组合？ 上述两个问题实质上是一个问题的两个方面，即能否用离散小波系数将f(t)完全“特征化”。若用数学语言来描述，就是能否这样定义线性变换： 使得其正反变换连续。 首先正变换是连续的，表明线性变换有界： ,)(),()(,ZkjkjkjcttftTf22)()(tfBtTf即：2,2,)()(),(tfBttfZkjkj 其次由反变换是连续的，可得：221)(1)(tTfAtTfT即：(式3-8)(式3-7)以上两式表明， 将f(t)完全“特征化”意味着j,k(t)应满足：Zkjkjc,2,2,2)()(),()(0tfBttftfAZkjkj(式3-9)Zkjkjttftf

4、A,2,2)(),()(由此便引出了L2(R) 空间的“框架”概念。二、框架二、框架1、框架定义、框架定义 定义定义 3.1 设 ,若对于一切 ，存在常数0AB,使得：Hf HJjjJjjfBffA222,则称函数序列 为 空间的一个框架。B、A分别称为此框架的上、下界AB时称为紧框架。 JjjH(式3-10)JjjfAf22,若A=B=1, 则 为 的正交基，则有： JjjHJjjjff,(式3-10)也称为稳定性条件。例3-1：设 ，则对于H中的任意向量 ，有：) 2/ 1 , 2/ 3(3),2/ 1, 2/ 3(2),1 , 0 (1,2eeeRH),(21vvv 2321232123

5、,222122122122312vvvvvvevjj231223,vevjj即：表明 是R2空间的紧框架，但不是正交基，因为： 线性相关。,321eeee)0,0(321eee 2、框架算子、框架算子为便于讨论框架，引入框架算子。定义定义3.2：如果 为H空间的一个框架，那么框架算子F定义为H空间向 空间的映射，即：)(2Jl)(,2JlFfHffFfJjj Jjj(式3-11)因为内积运算为线性运算，所以F为线性算子。由框架定义，可知F为有界线性算子，并且有逆算子存在。 记F的伴随算子(共轭算子)为F*。则按伴随算子的定义： ， ，则有：JjjjfcFfcfcF,HJlF)(:2HflcFf

6、cfcF,2fcfcjJjjjJjj,(式3-12)JjjjccF(式3-13)由F的定义可得：JjjfFfFFfFffFf,22(式3-14)(式3-10)可写成：fBffFfFfAf,令Id为H到H的单位算子，即： Idf=f，上式可写成：ddBIFFAI(式3-15)F*F为由H到H的有界线性算子，必有逆算子存在，记逆算子为(F*F)-1它必满足：ddIAFFIB111)(式3-16)因为：ffFFFF)()(1dIFFFF)()(1按伴随算子的定义，(F*F)应为自伴随算子，由此可得其逆算子(F*F)-1也为自伴随算子.FfFgFfFgfFgF,证明：3、对偶框架、对偶框架(1)定义定

7、义.3:对于H空间中的一个框架 ，其算子为F，则定义： JjjJjjJjjFF,1,)(称 为 的对偶框架(共扼框架)。(式3-17) Jjj Jjj(2)对偶框架算子定理定理3.1 设 为H空间的一个上、下界为B和A的框架，其框架算子为F， 为其对偶框架,则 也构成H空间的一个框架，其上、下界分别为A-1和B-1，其框架算子 满足： Jjj Jjj JjjF1)(FFFF1)(FFFFdIFFFF(式3-18a)(式3-18b)(式3-18c)FFFF(式3-18d)则有：且令,)(,1*fFFqHqHf证明：jjjFFfffF1)( ,)(jjjjfFFqfFFFFq,)(,)()(11由

8、于 (F*F)-1是自伴随算子，以上两式相等，有：jjfFFFf F)()(11)(FFFF(式3-18a)得证。fFfFffFJjj,22由内积定义：fFFFfFFF11)(,)(ffFFfFFFFfFF,)()(,)(111(由伴随算子定义)ffAffFFffB,)(,111利用式3-16，有：21221,fAffBJjj将以上两式合并，有：Jjj上式表明， 是H空间的一个框架。记 的伴随算子为： ，则由：FFgFfFFgfFFFgfF,)(,)(,11gFFFf1)( ,FFFF1)(可得：则定理中 (式3-18b)、 (式3-18c)、 (式3-18d)既可得证。(式3-19)(式3-

9、20)由(式3-13)：JjjjccF则上式变为：即令：,jjfcFfcJjjjfFfF,JjjjJjjjFFffFFf11)(,)(Jjjjff,同理：Jjjjff,(式3-21)(式3-22)以上两式就是 f 的重构公式，由重构 f 需要求出框架j的对偶： JjjJjjFF,1,)( 需要说明的是：正如前面所述，框架的各元素之间可能是线性相关的。这样重构 f 的公式将不惟一。但当AB1时， ，可以证明，这时的框架就构成一组正交基。则有：jjJjjjff,(式3-23)(3)对偶框架的计算 重构 f 需要求出对偶框架，困难在于：必须计算(F*F)-1的值。在AB的紧框架条件下，容易得到：而在

10、一般情况下，却只能采用近似计算或迭代计算的方法。令：,1jjAFFBAIRd2(式3-24)jJjjfBAfFfFBAfRf,22RffBAfjJjj,2则：(式3-25)再由(式3-15)、(式3-15)可知：ddIBAABRIBAAB(式3-26)1, 12ABrrrBAABR其中(式3-27)若B充分接近A，则 r1 ，所以 |R| 充分接近于0。 (式3-25)中可忽略 Rf 项，则有近似公式：jJjjfBAf,2(式3-28) 当 r 不满足还远小于1的条件时，由于|R|0,使得对于所有 ， 构成一个框架，这时，框架界为：)0()1 ()1(s bb0)(,tkjjmZmjambmbabA0,2/ 10020|10)2()2()(inf20jmZmjambmbabB0,2/ 10020|10)2()2()(sup20(式3-34) 上述关于小波框架对母小波的约束条件，在实际计算中往往很简单。只要选择的母小波在时域和频域上都有适当的衰减，那么一定存在a0和b0的某个取值范围，使 构成小波框架。事实上，只要：)(,tkj1, 0,)1 ()(C则充分条件的要求将得到满足。(式3-35) 按框架理论，由离散小波系数重构 f(t) 必须利用小波框架的对偶框架，即:ZkjkjkjZkjkjkjtctttft