第06章_2模糊知识

1、LOGO第六章第六章 模糊知识模糊知识Company Logo目录目录u1 模糊理论模糊理论u2 模糊集与隶属函数模糊集与隶属函数u3 模糊集的表示方法模糊集的表示方法u4 模糊集的运算模糊集的运算u5 模糊集的模糊集的水平截集水平截集u6 模糊度与模糊数模糊度与模糊数u7 模糊关系及其合成模糊关系及其合成u8 建立隶属函数的方法建立隶属函数的方法Company Logo模糊理论模糊理论 模糊性模糊性n描述事物的不确定性的一种度量。描述事物的不确定性的一种度量。( (另一种度量是随机性另一种度量是随机性) )n事物的模糊性是指客观差异的中介过渡所引起的划分上的一种不确定事物的模糊性是指客观差异

2、的中介过渡所引起的划分上的一种不确定性，或概念上没有明显界线所引起的一种不确定性。例如，自然界中性，或概念上没有明显界线所引起的一种不确定性。例如，自然界中山峰的山峰的“高高”与与“矮矮”，社会生活中的，社会生活中的“好人好人”与与“坏人坏人”等等，这等等，这些概念之间没有明确的分界线。从些概念之间没有明确的分界线。从“高高”到到“矮矮”，从，从“好人好人”到到“坏人坏人”，都是从差异的一方到差异的另一方。这中间经历了一个从，都是从差异的一方到差异的另一方。这中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程。这种现象就叫作差异的中介过渡性。这量变到质变的连续过渡过程。这种现象就叫作差异的中介过渡性。这

3、种概念上的不明确性和中介过渡性造就出的划分上的不确定性，就叫种概念上的不明确性和中介过渡性造就出的划分上的不确定性，就叫做模糊性。这有别于随机不确定性。做模糊性。这有别于随机不确定性。Company Logo模糊理论模糊理论随机性也是重要的一种不确定性，但不能把不确定性只理解为随机性。随机性也是重要的一种不确定性，但不能把不确定性只理解为随机性。例如抛硬币试验。我们知道，硬币的一面是徽，另一面是字，这在定例如抛硬币试验。我们知道，硬币的一面是徽，另一面是字，这在定义上是非常明确的。并且徽和字在概念上具有明确的界线。但在抛之义上是非常明确的。并且徽和字在概念上具有明确的界线。但在抛之前，是出现徽

4、向上还是字向上是不能确定的。象这种不确定性就是随前，是出现徽向上还是字向上是不能确定的。象这种不确定性就是随机性。机性。为了区分这两种性质截然不同的不确定性，我们将由随机性所引起的为了区分这两种性质截然不同的不确定性，我们将由随机性所引起的不确定性称为随机不确定性，而将由模糊性所引起的不确定性称为模不确定性称为随机不确定性，而将由模糊性所引起的不确定性称为模糊不确定性糊不确定性。Company Logo模糊理论模糊理论n集合与特征函数n处理某一特定问题时，要把议题限定在一个特定的范围内，这个范围就是相应问题的论域。n在论域中把具有某种属性的事物的全体称为集合。集合中的元素具有相同的属性，就可用

5、集合表示这一属性，集合属性也可用一个函数来描述，这个函数就是特征函数。集合与特征函数建立了一一对应关系。n特征函数 表示论域U中的元素u是否属于U的子集A。若 ，则 ，若 ，则 。显然，特征函数是论域U到0，1的一个映射。n 这是对普通集合,我们可以用特征函数来刻画。而对于模糊集合需要用到隶属函数来描述。)(ACAuAu0)(AC1)(ACCompany Logou例如，设论域例如，设论域A A=1,2,3,4,5=1,2,3,4,5，在论域，在论域A A上的一个子集上的一个子集“奇奇数数”，是一个确定性概念，可用集合，是一个确定性概念，可用集合A A1 11,3,51,3,5表示，其表示，其

6、特征函数可以表示为：特征函数可以表示为：u但对但对A A上的另一个子集上的另一个子集“大大”或或“小小”就无法用这样的特就无法用这样的特征函数来描述，因为大或小是一个模糊的概念没有一个明征函数来描述，因为大或小是一个模糊的概念没有一个明确的界限，很难说确的界限，很难说1,2,31,2,3就是小，就是小，4,54,5就是大。就是大。u这就需要用到隶属度来表示，简单的说隶属度就是表示某这就需要用到隶属度来表示，简单的说隶属度就是表示某个元素隶属于某个集合的程度。个元素隶属于某个集合的程度。.,05 , 3 , 1, 1)(其它时当uuCA模糊理论模糊理论Company Logo目录目录u1 模糊理

7、论模糊理论u2 模糊集与隶属函数模糊集与隶属函数u3 模糊集的表示方法模糊集的表示方法u4 模糊集的运算模糊集的运算u5 模糊集的模糊集的水平截集水平截集u6 模糊度与模糊数模糊度与模糊数u7 模糊关系及其合成模糊关系及其合成u8 建立隶属函数的方法建立隶属函数的方法Company Logo模糊集与隶属函数模糊集与隶属函数n定义定义 设设U是论域，是论域， 是把任意是把任意uU映射为映射为0，1之间某个值的函数，即之间某个值的函数，即 则称则称 为定义在为定义在U上的一个隶属函数，由上的一个隶属函数，由 所确定的集合所确定的集合 称为称为U上的一上的一个模糊集，个模糊集， 称为称为u对对A的隶

8、属度。的隶属度。隶属度确定了某个元素隶属度确定了某个元素u属于属于该模糊集合该模糊集合A的程度，所有元素隶属度的全体构成隶属函的程度，所有元素隶属度的全体构成隶属函数。模糊集是用隶属函数表示。数。模糊集是用隶属函数表示。A)( 1 ,0 :uuUAAAAA)(uACompany Logo 模糊集与隶属函数模糊集与隶属函数n例如，我们就可以用隶属度和隶属函数来表示前面例子中的例如，我们就可以用隶属度和隶属函数来表示前面例子中的“大大”和和“小小”2个模糊集合。设个模糊集合。设A1表示表示“大大”，A2表示表示“小小”，则对应与，则对应与A中各元素中各元素1,2,3,4,5的隶属度：的隶属度： 对

9、应与对应与2个集合的隶属函数为：个集合的隶属函数为： A10,0,0.1,0.6,1，A21,0.5,0.1,0,0学习好的隶属度表示：学习好的隶属度表示：, 0) 1 (1A, 0)2(1A, 1 . 0) 3(1A, 6 . 0)4(1A, 1) 5(1A, 1) 1 (2A, 5 . 0)2(2A, 1 . 0) 3(2A, 0)4(2A, 0) 5(2ACompany Logo 模糊集与隶属函数模糊集与隶属函数 模糊逻辑是无限值逻辑的推广。模糊逻辑不仅将二值逻辑的真模糊逻辑是无限值逻辑的推广。模糊逻辑不仅将二值逻辑的真假值域从假值域从0，1扩充到闭区间扩充到闭区间0，1，而且还在无限值

10、逻辑中插入了，而且还在无限值逻辑中插入了模糊集和模糊关系。模糊逻辑将清晰明确的命题推广到亦此亦彼的模模糊集和模糊关系。模糊逻辑将清晰明确的命题推广到亦此亦彼的模糊命题。糊命题。 设设A为论域为论域U的模糊子集，的模糊子集，“a属于属于A”就是模糊命题。这个命题就是模糊命题。这个命题的值可定义为的值可定义为A的隶属函数在的隶属函数在a上的值。于是，模糊命题上的值。于是，模糊命题“a属于属于A”的值不再是非的值不再是非0即即1，而是闭区间，而是闭区间0，1上的任何一个值。该值也不象上的任何一个值。该值也不象无限值逻辑那样表示模糊命题无限值逻辑那样表示模糊命题“a属于属于A”是真还是假，而是表示模是

11、真还是假，而是表示模糊命题糊命题“a属于属于A”是真的程度。例如，设武汉属于大城市的隶属度是真的程度。例如，设武汉属于大城市的隶属度为为0.78，则模糊命题，则模糊命题“武汉是大城市武汉是大城市”的真假值是的真假值是0.78。 Company Logo目录目录u1 模糊理论模糊理论u2 模糊集与隶属函数模糊集与隶属函数u3 模糊集的表示方法模糊集的表示方法u4 模糊集的运算模糊集的运算u5 模糊集的模糊集的水平截集水平截集u6 模糊度与模糊数模糊度与模糊数u7 模糊关系及其合成模糊关系及其合成u8 建立隶属函数的方法建立隶属函数的方法Company Logo模糊集的表示方法模糊集的表示方法若论

12、域是离散的有限集若论域是离散的有限集 ，其模糊集，其模糊集可表示为可表示为n也可以表示为也可以表示为/ )(,/ )(,/ )(2211nnAAAuuuuuuA,21nuuuU)(,),(),(21nAAAuuuAnnAAAuuuuuuA/ )(/ )(/ )(2211niiiAuuA1/)(),( ,),),(),),(2211nnAAAuuuuuuA或或或Company Logo模糊集表示方法模糊集表示方法n若论域是连续的，则模糊集用函数表示。例如若论域是连续的，则模糊集用函数表示。例如“年老年老”与与“年轻年轻”两个模糊概念可表示为两个模糊概念可表示为 10025 ,5251250 ,

13、1)(12uuuu当当年轻10050 ,5051500 , 0)(12uuuu当当年老年轻年老)(uCompany Logou 无论是连续还是离散，有限或无限，都可以统一表示为无论是连续还是离散，有限或无限，都可以统一表示为UuAuuA/)(模糊集表示方法模糊集表示方法Company Logo目录目录u1 模糊理论模糊理论u2 模糊集与隶属函数模糊集与隶属函数u3 模糊集的表示方法模糊集的表示方法u4 模糊集的运算模糊集的运算u5 模糊集的模糊集的水平截集水平截集u6 模糊度与模糊数模糊度与模糊数u7 模糊关系及其合成模糊关系及其合成u8 建立隶属函数的方法建立隶属函数的方法Company L

14、ogo并、交、补运算并、交、补运算设设A，B为论域为论域U上的两个模糊集，它们的并、交、补也上的两个模糊集，它们的并、交、补也是模糊集，分别记为是模糊集，分别记为 ， 和和 ， 它们的隶它们的隶属函数分别为属函数分别为BABAA)()()(),(max)(uuuuuBABAUuBA)()()(),(min)(uuuuuBABAUuBA)(1)(uuAA模糊集的运算模糊集的运算包含包含：若对任意 ， 都有 ， 则称A包含B，记为Uu)()(uuABAB 与谓词逻辑中的符号不同Company Logo目录目录u1 模糊理论模糊理论u2 模糊集与隶属函数模糊集与隶属函数u3 模糊集的表示方法模糊集的

15、表示方法u4 模糊集的运算模糊集的运算u5 模糊集的模糊集的水平截集水平截集u6 模糊度与模糊数模糊度与模糊数u7 模糊关系及其合成模糊关系及其合成u8 建立隶属函数的方法建立隶属函数的方法Company Logon设设A是论域是论域U上的模糊集，上的模糊集， ，则称普通集合，则称普通集合 为为A的一个的一个 水平截集，水平截集， 称为阈值或置信水平。它是称为阈值或置信水平。它是A的一个子集，的一个子集，隶属度隶属度 的一个子集的一个子集。n 水平截集的性质：水平截集的性质：n1. ；n2. 若若 ， 则则 1 , 0)(,|uUuuAABABA)(BABA)(2121AA 模糊集的模糊集的

16、水平截集水平截集水平截集是为把模糊集转化为普通集合而引入的Company Logon设设A A是论域是论域U U上的一个模糊集，称上的一个模糊集，称分别为模糊集分别为模糊集A A的的核核及及支集支集。当。当 时，称时，称A A为正规模糊集。为正规模糊集。注意：注意： 水平截集、核、支集都是水平截集、核、支集都是集合，是集合，是A A的一个子集。的一个子集。 1)(,|KeruUuuAA0)(,|SuppuUuuAAAKer模糊集的模糊集的 水平截集水平截集Supp AKer A10AuCompany Logo目录目录u1 模糊理论模糊理论u2 模糊集与隶属函数模糊集与隶属函数u3 模糊集的表示

17、方法模糊集的表示方法u4 模糊集的运算模糊集的运算u5 模糊集的模糊集的水平截集水平截集u6 模糊度与模糊数模糊度与模糊数u7 模糊关系及其合成模糊关系及其合成u8 建立隶属函数的方法建立隶属函数的方法Company Logon定义：设定义：设AF F（U）d是定义在是定义在F F（U）上的一个实数，如）上的一个实数，如果它满足以下条件：果它满足以下条件：n(1) 对任意对任意AF F（U） ，有，有d (A) 0,1 ；n(2) 当且仅当当且仅当A是一个普通集合时，是一个普通集合时，d(A)=0; n(3) 若若A的的隶属函数隶属函数 0.5，则，则d(A)=1; ：n(4)若若A,B F

18、F（U）, ,且对任意且对任意u U满足满足n或者或者n则有：则有： d d( (B) ) d d( (A) )n(5)(5)对任意对任意AF F（U）, ,有有d d( (A)=)=d d(A) )n则称则称d为定义在为定义在F F（U）的一个模糊度）的一个模糊度d( (A) )称为称为A的模糊度的模糊度)(uA5 . 0)()(uuAB 模糊度模糊度5 . 0)()(uuABCompany Logon由模糊度的定义可以看出由模糊度的定义可以看出： (1) 任何模糊集的模糊度都是任何模糊集的模糊度都是 0,1上的一个数上的一个数 ； (2) 普通集合的模糊度为普通集合的模糊度为0，表示所刻画

19、的概念不是模糊集，表示所刻画的概念不是模糊集; (3)模糊度模糊度越靠近越靠近0.5就越模糊就越模糊,为为0.5时最模糊时最模糊 ： (4)模糊集模糊集A与其补集与其补集AA具有相同的模糊度。具有相同的模糊度。关于模糊度的计算：关于模糊度的计算：n海明模糊度；海明模糊度；n欧几里德模糊度；欧几里德模糊度；n明可夫斯基模糊度；明可夫斯基模糊度；n熵农模糊度；熵农模糊度；)(uACompany Logon如果实数域如果实数域R R上的模糊集上的模糊集A A的隶属函数的隶属函数 在在R R上连续且具有如下性上连续且具有如下性质：质：n（1 1） A A是凸模糊集，即对任意是凸模糊集，即对任意 ，A

20、A的的 水平截集水平截集 是闭区间；是闭区间；n（2 2） A A是正规模糊集，即存在是正规模糊集，即存在 ，使，使 则称则称A A为一个模糊数。为一个模糊数。n模糊数的隶属函数是单峰函数。例如模糊数模糊数的隶属函数是单峰函数。例如模糊数“6 6左右左右”可用隶属函数表示：可用隶属函数表示：)(uA 1 , 0ARu1)(uA36 , 036 ,)(2)6(106|u-|u-euu当当模糊数模糊数Company Logou 模糊数的运算模糊数的运算n设设 是实数域是实数域R上的一种二元运算，上的一种二元运算，A和和B为两个模糊数，为两个模糊数，则它们之间的运算结果也是一个模糊数，其隶属函数为则

21、它们之间的运算结果也是一个模糊数，其隶属函数为n模糊数的四则运算：，模糊数的四则运算：，)()()(yxzBAyxzBA)()()(yxzBAyxzBA)()()(yxzBAyxzBA)()()(yxzBAyxzBA)()()(yxzBAyxzBA模糊数模糊数对相应的元素做这种运算，对它们各自的隶属度取最小，再对相同元素合并，并取其最大的隶属度。看例2.13Company Logo目录目录u1 模糊理论模糊理论u2 模糊集与隶属函数模糊集与隶属函数u3 模糊集的表示方法模糊集的表示方法u4 模糊集的运算模糊集的运算u5 模糊集的模糊集的水平截集水平截集u6 模糊度与模糊数模糊度与模糊数u7 模

22、糊关系及其合成模糊关系及其合成u8 建立隶属函数的方法建立隶属函数的方法Company Logon定义定义 设设 是是 上的模糊集，则称上的模糊集，则称 为为 的笛卡尔乘积，它是的笛卡尔乘积，它是 上的一个模糊集。上的一个模糊集。n 元模糊关系元模糊关系R是指论域是指论域 上的一个模糊集，记为上的一个模糊集，记为iA), 2 , 1( niUinnUUUnnAAAnuuuuuuAAA2121),/()()()(212121nAAA,21nUUU21nUUU21nnUUUnnRuuuuuuR21),/(),(2121模糊关系及其合成模糊关系及其合成Company Logou (ui)(i=1,2

23、,n)是模糊集是模糊集Ai的隶属函数；的隶属函数； (u1, u2, ,un)是模糊是模糊关系关系R的隶属函数，它把的隶属函数，它把U1U2 Un上的每一个元素上的每一个元素(u1, u2, ,un)映射为映射为0,1上的一个实数，该实数反映出上的一个实数，该实数反映出u1, u2, ,un具有关系具有关系R的的程度。程度。u 定义比较抽象，我们用例子来说明，对于二元关系：定义比较抽象，我们用例子来说明，对于二元关系： 反映了反映了u与与v具有关系具有关系R的程度。的程度。AiR模糊关系及其合成模糊关系及其合成VURvuvuR),/(),(),(vuRCompany Logou 当当 ， 都是

24、有限论域时，其上的二元模糊关都是有限论域时，其上的二元模糊关系系R可用一个矩阵表示，称为模糊矩阵，可用一个矩阵表示，称为模糊矩阵，,21muuuU,21nvvvV),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nmRmRmRnRRRnRRRvuvuvuvuvuvuvuvuvuR模糊关系及其合成模糊关系及其合成Company Logo机械故障与征兆的关系的程度。机械故障与征兆的关系的程度。模糊关系及其合成模糊关系及其合成这这就就构构成了故障集成了故障集与与征兆集上的模糊征兆集上的模糊关关系矩系矩阵阵。反映了某。反映了某种种故障故障与与某某种种征兆的征兆的关关系程度系

25、程度Company Logo模糊关系及其合成模糊关系及其合成某人对某项运动的喜爱程度。某人对某项运动的喜爱程度。R=Company Logon定义：设定义：设 与与 分别是分别是 和和 上的两个二元模糊关上的两个二元模糊关系，则系，则 与与 的合成是指从的合成是指从U到到 W的一个模糊关系，记的一个模糊关系，记为为 ， 其隶属函数为其隶属函数为1R2RVU WV 1R2R21RR ),(),(),(2121wvvuwuRRRR 模糊关系及其合成模糊关系及其合成取 的第i 行元素分别与 的第j列元素对应相比较，两个数中取其小者，再在所得的一组最小数中取出最大的一个，就以此数作为 的第i行第j列的

26、元素。1R2R21RR 算法：Company Logou 有如下有如下2个模糊关系：个模糊关系：2 . 03 . 05 . 02 . 06 . 02 . 01 . 05 . 04 . 01R4 . 06 . 06 . 04 . 08 . 02 . 02R则则R1和和R2的合成是：的合成是：5 . 03 . 06 . 04 . 05 . 04 . 021RRR 模糊关系及其合成模糊关系及其合成Company Logo 模糊变换模糊变换u设设3 . 0 , 5 . 0 , 2 . 0A例：例：设设VU BRA),(,),(),(21nAAAuuuA是论域U上的模糊集，R是 上的模糊关系，则称为模糊

27、变换1 . 04 . 03 . 02 . 01 . 05 . 04 . 0001 . 07 . 02 . 0R则则：1 . 0 , 5 . 0 , 4 . 0 , 2 . 0RAB完成模糊完成模糊变换变换Company Logo 模糊关系及其合成模糊关系及其合成上表表示征兆上表表示征兆与与故障的模糊故障的模糊关关系矩系矩阵阵，用，用R来来表示表示对对于一于一个个征兆向量征兆向量a0.2f,0.25f,0.43f，则则模糊模糊诊断诊断的的结结果果为为：FaRT=Company Logo目录目录u1 模糊理论模糊理论u2 模糊集与隶属函数模糊集与隶属函数u3 模糊集的表示方法模糊集的表示方法u4

28、模糊集的运算模糊集的运算u5 模糊集的模糊集的水平截集水平截集u6 模糊度与模糊数模糊度与模糊数u7 模糊关系及其合成模糊关系及其合成u8 建立隶属函数的方法建立隶属函数的方法Company Logou 隶属度确定了某个元素隶属度确定了某个元素u属于某个模糊集合属于某个模糊集合A的程度，所有元素隶属的程度，所有元素隶属度的全体构成隶属函数。所以隶属函数对于表达模糊集的特性，以度的全体构成隶属函数。所以隶属函数对于表达模糊集的特性，以及表达论域上的元素与模糊集的关系都是非常重要的，对于推理的及表达论域上的元素与模糊集的关系都是非常重要的，对于推理的准确性、求解问题的质量都有至关重要的影响。隶属函

29、数的建立是准确性、求解问题的质量都有至关重要的影响。隶属函数的建立是整个问题求解过程中最基本也是最关键的工作，也是比较困难的工整个问题求解过程中最基本也是最关键的工作，也是比较困难的工作。难在没有同一的、普遍适应的模式。目前主要有以下一些经验作。难在没有同一的、普遍适应的模式。目前主要有以下一些经验方法。方法。 建立隶建立隶属属函函数数的方法的方法Company Logon模糊统计法模糊统计法n把论域把论域U划分为若干区间。划分为若干区间。n选择选择n个具有正确判断力的评判员，请他们分别给出模糊个具有正确判断力的评判员，请他们分别给出模糊概念应该属于的区段。概念应该属于的区段。n假设假设n个评判员给出的区段中覆盖某个区间的次数为个评判员给出的区段中覆盖某个区间的次数为m，则当则当n足够大时，就可把足够大时，就可把m/n作为该区间中值对作为该区间中值对 A的隶属的隶属度。度。n对每个区间的中值点求出隶属度后，就可绘制出对每个区间的中值点求出隶属度后，就可绘制出A的隶属的隶属度函数曲线。度函数曲线。 建立隶建立隶属属函函数数的方法的方法Company Logon对比排序法对比排序法