同济大学线性代数课件第一1习题课

1、把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元个元素的全排列（或排列）素的全排列（或排列）nn个不同的元素的所有排列的种数用个不同的元素的所有排列的种数用 表示，表示，且且 nnP!nPn 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列偶数的排列称为偶排列在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 ，则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序 nstiiiii21stii 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数序数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数分别计算出排列中每个元素前面

2、比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数方法方法2 2方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的前面比它大的数码之和，即分别算出数码之和，即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数n,n,121 n,n,121 nn定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，素不动，称为一次对

3、换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换叫做相邻对换定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数 npppppptnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121222211121121211 ., 2 , 1;, 2 , 12121列取和列取和的所有排的所有排表示对表示对个排列的逆序数个排列的逆序数为这为这的一个排列的一个排列为自然数为自然数其中其中ntnppppppnn .,)1(21212121

4、的逆序数的逆序数为行标排列为行标排列其中其中亦可定义为亦可定义为阶行列式阶行列式ppptaaaDDnnnpppppptnn . ,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘此行列式乘此行列式等于用数等于用数一数一数中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同列列行列式的某一行行列式的某一行等于零等于零则此行列式则此行列式完全相同完全相同列列如果行列式有两行如果行列式有两行行列式变号行列式变号列列互换行列式的两行互换行列式的两行即即式相等式相等行列式与它的转置行列行列式与它的转置行列kk ., )( , )( )8., )( )7., )( )6. )( )5行列式的值不变行列式的值不变对应的

5、元素上去对应的元素上去行行后加到另一列后加到另一列然然的各元素乘以同一数的各元素乘以同一数行行把行列式的某一列把行列式的某一列式之和式之和此行列式等于两个行列此行列式等于两个行列则则的元素都是两数之和的元素都是两数之和行行若行列式的某一列若行列式的某一列式为零式为零则此行列则此行列元素成比例元素成比例列列行列式中如果有两行行列式中如果有两行提到行列式符号的外面提到行列式符号的外面以以的所有元素的公因子可的所有元素的公因子可列列行列式中某一行行列式中某一行）余子式与代数余子式）余子式与代数余子式 1,.( 1)ijijijijijijijijnijnaaMAMaA在 阶行列式中，把元素所在的第

6、行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作；记叫做元素的代数余子式）关于代数余子式的重要性质）关于代数余子式的重要性质 ., 0;, 1., 0;,., 0;,11jijijijiDDAajijiDDAaijijjknkikijkinkki当当当当其中其中当当当当或或当当当当 ., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,122112222212111212111所得到的行列式所得到的行列式，换成常数项换成常数项列列中第中第）是把系数行列式）是把系数行列式（其中其中那么它有唯一解那么它有唯一解的系数行列式的系数行列式如果线性方程组如果线性方程组bbbjDnjDnjDDxDbxax

7、axabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnn 克拉默法则的理论价值克拉默法则的理论价值., 0., 22112222212111212111唯一唯一那么它一定有解，且解那么它一定有解，且解的系数行列式的系数行列式如果线性方程组如果线性方程组 Dbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn. 必为零必为零解，则它的系数行列式解，则它的系数行列式解或有两个不同的解或有两个不同的如果上述线性方程组无如果上述线性方程组无定理定理定理定理111122121122221122 0,0,0.0,.nnnnnnnnnDa x a xa xa x a xa xa x a xa

8、 x如果齐次线性方程组的系数行列式那么它没有非零解. 它的系数行列式必为零它的系数行列式必为零组有非零解，则组有非零解，则如果上述齐次线性方程如果上述齐次线性方程定理定理定理定理一、计算排列的逆序数一、计算排列的逆序数二、计算（证明）行列式二、计算（证明）行列式三、克拉默法则三、克拉默法则分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和，即算出排列中每个元素的逆序数和，即算出排列中每个元素的逆序数 .,并并讨讨论论奇奇偶偶性性的的逆逆序序数数求求排排列列kkkkkk 解解例例2,0;k排在首位 故逆序数为; 1),2(11故逆序数为故

9、逆序数为大的数有一个大的数有一个的前面比的前面比k (21)(21)(2 ),1;kkk的前面比大的数有一个故逆序数为; 2),12 ,2(22 数为数为故逆序故逆序大的数有两个大的数有两个的前面比的前面比 kk 2222(2 ,21),2;kkkk的前面比大的数有两个故逆序数为 111(2 ,21,2),1;kkkkkkk的前面比大的数有个故逆序数为 111(2 ,21,2),1;kkkkkkk的前面比大的数有个故逆序数为 (2 ,21,1),;kkkkkkk的前面比 大的数有 个故逆序数为 kkkt 1122110 kkk 211122k 当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排

10、列，k当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列k于是排列的逆序数为于是排列的逆序数为用定义计算（证明）用定义计算（证明）例用行列式定义计算例用行列式定义计算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD 的的非非零零元元素素分分别别得得到到行行可可能能中中第第那那么么，由由行行的的元元素素分分别别为为中中第第设设5 , 4 , 3 , 2 , 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1554321554321DaaaaaDppppp解解. 3 , 2; 3 , 2; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 5 , 4

11、, 3 , 2 , 1; 3 , 254321 ppppp. 05,554321 Dppppp故故元元排排列列也也不不能能组组成成，一一个个在在上上述述可可能能取取的的代代码码中中因因为为评注本例是从一般项入手，将行标按标准评注本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法方法2 -nnn如果一个 阶行列式中等于零的元素比还多，则此行列式必等于零.注意注意例设例设,2122221112111aaaaaaaaaDnnnnnn ,221122

12、222111112112abababaabababaaDnnnnnnnnnn .2DD 证明：证明：证明证明由行列式的定义有由行列式的定义有.,)1( 2121121的逆序数的逆序数是排列是排列其中其中ppptaaaDnpnpptn .,)1( )()()1( 21)()21(212211221212211的逆序数的逆序数是排列是排列其中其中ppptbaaabababaDnpppnpnpptpnpnpppptnnnn ,212npppn 而而.)1(121221DaaaDpppnnt 所以所以评注本题证明两个行列式相等，即证明两评注本题证明两个行列式相等，即证明两点，一是两个行列式有完全相同的

13、项，二是每一点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一项所带的符号相同这也是用定义证明两个行列项所带的符号相同这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法式相等的常用方法利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例计算例计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。.333222111222nnnDnnnn ，于是得到，于是得到增至增至幂次数便从幂次数便从则方则方若提取各行的公因子，若提取各行的公因子，递升至递升

14、至而是由而是由变到变到序排列，但不是从序排列，但不是从次数自左至右按递升次次数自左至右按递升次方幂方幂数的不同方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个中各行元素分别是一个10.1, 10, nnnDn解解.1333122211111!121212nnnnDnnnn 上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin评注本题所给行列式各行（列）都是某元评注本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或

15、其排列与范德蒙素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式列式化成范德蒙行列式用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算例计算例计算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 解解列都加到第一列，得列都加到第一列，得将第将第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin32121212111 提取第一列的公因子，得提取第一列的公

16、因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的将将第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，将将第第倍倍加加到到第第列列的的将将第第)(1,3)(12)(11aaan . )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(评注本题利用行列式的性质，采用评注本题利用行列式的性质，采用“化零化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较

17、多的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的行（列）；若没有，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为化为1 1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的化为三角形行列式之目的，得，得提取公因子提取公因子行中行中行，并从第行，并从第行都加到第行都加到第、的第的第将将dcbaD 114324用降阶法计算用降阶法计算例计算例计算.4abcdbadccdabdcbaD 解解,1111)(4abc

18、dbadccdabdcbaD 列，得列，得列都减去第列都减去第、再将第再将第1432,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD 行展开，得行展开，得按第按第1.)(4dadbdccbcacdbcbdbadcbaD ，得得中中提提取取公公因因子子行行行行，再再从从第第行行加加到到第第把把上上面面右右端端行行列列式式第第dcba 112,011)(dadbdccbcacddcbadcbaD 列，得列，得列减去第列减去第再将第再将第12行展开，得行展开，得按第按第1)()( )(22cbdadcbadcba )()(dcbadcbadcbadcba ,001)(4dacbd

19、ccbdacddcbadcbaD dacbcbdadcbadcbaD )(评注本题是利用行列式的性质将所给行列评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用方法对阶数不高的数字行列式比较适用用拆成行列式之和（积）计算用拆成行列式之和（积）计算例

20、证明例证明. 02sin)sin()sin()sin(2sin)sin()sin()sin(2sin 证证. 0000sinsinsincoscoscos0cossin0cossin0cossin 左边左边用递推法计算用递推法计算例计算例计算.21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆拆成成两两个个行行列列式式之之和和列列把把依依第第DnnaaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 .000121xaaaxaaaaxaaaaxann .1121DxaxxxDnnnn 从而从而得得列列展展开开第第右右端端的的第第二二个个行行列列式式按按列列加加到到第第倍倍分分别别列列的的将将第第右右端端

21、的的第第一一个个行行列列式式,1, 2 , 1)1(, nnn ,0000000001121DxaaxaxaxDnnnn 由此递推，得由此递推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn 于是于是如此继续下去，可得如此继续下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121 )(21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn ).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn 时，还可改写成时，还可改写成当当021 xxxn).111(12121xxxaxxxDn

22、nn 评注评注.1 1 .1,1 1的的递递推推关关系系列列式式更更低低阶阶行行列列式式之之间间阶阶行行，建建立立比比阶阶更更低低阶阶的的行行列列式式表表示示比比用用同同样样形形式式的的阶阶行行列列式式时时，还还可可以以把把给给定定的的有有之之间间的的递递推推关关系系阶阶行行列列式式与与建建立立了了阶阶行行列列式式表表示示出出来来用用同同样样形形式式的的行行列列式式阶阶质质把把所所给给的的本本题题是是利利用用行行列列式式的的性性 nnDnDnDnDnnnnn用数学归纳法用数学归纳法例证明例证明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 证证对阶数对阶

23、数n用数学归纳法用数学归纳法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221结论成立结论成立时时当当所以所以因为因为 nnDD 得得展展开开按按最最后后一一行行现现将将的的行行列列式式也也成成立立于于阶阶数数等等于于下下证证对对的的行行列列式式结结论论成成立立假假设设对对阶阶数数小小于于,.,Dnnn.cos221DDDnnn ,)2cos( ,)1cos( ,21 nDnDnn由归纳假设由归纳假设;cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .结论成立结论成立所以对一切自然数所以对一切自然数n评注评注.,)1(1,)(, 21同同

24、型型的的行行列列式式是是与与不不否否则则所所得得的的低低阶阶行行列列式式展展开开列列或或第第行行按按第第不不能能展展开开列列或或第第行行本本例例必必须须按按第第表表示示展展开开成成能能用用其其同同型型的的为为了了将将DnnDDDnnnn .,.,其其猜猜想想结结果果成成立立然然后后用用数数学学归归纳纳法法证证明明也也可可先先猜猜想想其其结结果果如如果果未未告告诉诉结结果果纳纳法法来来证证明明可可考考虑虑用用数数学学归归结结论论时时证证明明是是与与自自然然数数有有关关的的而而要要我我们们当当行行列列式式已已告告诉诉其其结结果果一一般般来来讲讲计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可计算行列式的方法

25、比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法换后，再考察它是否能用常用的几种方法小结小结当线性方程组方程个数与未知数个数相等、当线性方程组方程个数与未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把

26、原方程组变成系数及常数项都是整数当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解的线性方程组后再求解.28)3(, 3)2(, 0)1( ),( fffxf使使求一个二次多项式求一个二次多项式例10例10解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为,)(2cbxxaxf 由题意得由题意得,2839)3(, 324)2(, 0)1( cbafcbafcbaf., 的的线线性性方方程程组组数数这这是是一一个个关关于于三三个个未未知知cba.20,60,40, 020321 DDDD由克莱姆法则，得由克莱姆法则，得. 1, 3, 2321 DDcDDbDDa于是，所求的多项式为于是，所

27、求的多项式为. 132)(2 xxxf证明证明.0, 0, 01,),(0000从从而而有有系系数数行行列列式式的的非非零零解解可可视视为为齐齐次次线线性性方方程程组组则则点点设设所所给给三三条条直直线线交交于于一一必必要要性性 bzaycxazcybxczbyaxzyyxxyxM. 00, 0, 0 cbabaycxacybxcbyax条条件件是是相相交交于于一一点点的的充充分分必必要要直直线线证证明明平平面面上上三三条条不不同同的的 例例1 11 1. 0)()()( )(21(222 accbbacbabacacbcba（） baycxacybxcbyax,. 0, cbacba故故同同

28、也也不不全全相相所所以以因因为为三三条条直直线线互互不不相相同同将方程组将方程组如果如果充分性充分性, 0 cba. 00,唯唯一一解解下下证证此此方方程程组组（）有有（）到到第第三三个个方方程程，得得的的第第一一、二二两两个个方方程程加加 acybxcbyax. 00)(2)()(002222222 accaaccacacaaccabbacbaccbba，从而有，从而有，于是，于是得得。由。由，则，则如果如果.)1(.)2(. 0.00. 0, 02直直线线交交于于一一点点有有唯唯一一解解，即即三三条条不不同同方方程程组组从从而而知知有有唯唯一一解解组组由由克克莱莱姆姆法法则则知知，方方程程

29、故故，与与题题设设矛矛盾盾得得再再由由得得由由不不妨妨设设 cbbaccbabacba例例12有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千克含氮克含氮70克，磷克，磷8克，钾克，钾2克；乙种化肥每千克含克；乙种化肥每千克含氮氮64克，磷克，磷10克，钾克，钾0.6克；丙种化肥每千克含氮克；丙种化肥每千克含氮70克，磷克，磷5克，钾克，钾1.4克若把此三种化肥混合，要克若把此三种化肥混合，要求总重量求总重量23千克且含磷千克且含磷149克，钾克，钾30克，问三种化克，问三种化肥各需多少千克？肥各需多少千克？解解题题意意得得方方程程组组依依千千克克、各各需需设设甲甲、乙乙、

30、丙丙三三种种化化肥肥,1xxx .304 . 16 . 02,1495108,23321321321xxxxxxxxx,527 D此此方方程程组组的的系系数数行行列列式式8127581 321 DDD，又又.15, 5, 332 xxx组组有有唯唯一一解解由由克克莱莱姆姆法法则则，此此方方程程.15,5 ,3 千千克克千千克克千千克克各各需需即即甲甲、乙乙、丙丙三三种种化化肥肥).(40,1552.1355.1357.1360.133020100:.)(000000332210准准确确到到小小数数两两位位时时水水银银密密度度求求由由实实验验测测得得以以下下数数据据的的关关系系为为与与温温度度设

31、设水水银银密密度度 thttatataathth例例1313)1(.52.132700090030,5557 6 .13),(3210321032100 aaaaaaaaaaaaath得得方方程程组组将将测测得得的的数数据据分分别别代代入入解解)2(.008. 02700903,005. 0800402,003. 010010,60.133213213210 aaaaaaaaaa得得方方程程组组分分别别代代入入其其余余三三个个方方程程将将,12000 D此此方方程程组组的的系系数数行行列列式式.0000033. 0,00015. 0,0042. 0)2(,321 aaa的的唯唯一一解解得得方方程程组组由由克克莱莱姆姆法法则则,04. 0, 8 . 1,50321 DDD又又得得将将以以上上四四个个数数代代入入又又),(,60.130tha 由此得由此得.0000033. 000015. 00042. 060.13)(32tttth .46.13,56.13,40,15,00水银密度分别为水银密度分别为时时当当所以所以 t.46.13)40(,56.13)15( hh第一章第一章 测试题测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共4040