第2章点、直线及平面的投影

1、第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.1 2.1 点的投影点的投影2.2 2.2 直线的投影直线的投影 2.3 2.3 平面的投影平面的投影 2.5 2.5 换面法及其应用换面法及其应用 “十二五”规划教材2.4 2.4 直线与平面及两平面之间的相对位置直线与平面及两平面之间的相对位置第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.1 2.1 点的投影点的投影“十二五”规划教材2.1.1 2.1.1 点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影 2.1.2 2.1.2 点在三面投影体系中的投影点在三面投影体系中的投影 2.1.3 2.1.3 特殊位置点

2、的投影特殊位置点的投影 第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材 1 1、两投影面体系的组成、两投影面体系的组成H HV V(1) (1) 两个互相垂直的投影面两个互相垂直的投影面正立投影面（正投影面）正立投影面（正投影面） V V： 处于正面直立的投影面。处于正面直立的投影面。水平投影面（水平面）水平投影面（水平面）HH： 处于水平位置的投影面。处于水平位置的投影面。 (2) (2) 投影轴投影轴O OX XOXOX轴轴: V: V面与面与H H面的交线面的交线两个投影面互两个投影面互相垂直相垂直(3) (3) 分角分角 V V面和面和H H面把空间分成四个

3、部分，依次用面把空间分成四个部分，依次用I I、II II、IIIIII、IVIV表示，分别称它们为第一、二、三、四分角。表示，分别称它们为第一、二、三、四分角。 第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材 2 2、点的两面投影图、点的两面投影图H HV VO OX X注意：注意： 空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。aa A A图图2-1a2-1a立体图立体图axa 点点A A的正面投影的正面投影a 点点A A的水平投影的水平投影第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材

4、2 2、点的两面投影图、点的两面投影图投影面展开投影面展开X XO OV VH HA Aaa xa向向下下翻翻不不动动H HaV Va xaX XO OaX XO Oa 两面投影图两面投影图3 3、点的两面投影特性、点的两面投影特性 （1 1）点的投影连线垂直于投影轴）点的投影连线垂直于投影轴。即即a a aOX.aOX. （2 2）点的投影与投影轴的距离）点的投影与投影轴的距离, , 等于该点与相邻投影面的距等于该点与相邻投影面的距离。即离。即a ax xa=aA=Aa=aA=A点到点到HH面的距离面的距离 a ax xa=aA=Aa=aA=A点到点到V V面的距离面的距离第第2 2章章 点

5、、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材1 1、三面投影体系的组成、三面投影体系的组成W W（1 1）三个相互垂直的投影面）三个相互垂直的投影面 正立投影面（简称正投影面或正立投影面（简称正投影面或V V面）面） 水平投影面（简称水平面或水平投影面（简称水平面或HH面）面） 侧立投影面（简称侧面或侧立投影面（简称侧面或WW面）面）（2 2）三个相互垂直，且交于一点的投影轴）三个相互垂直，且交于一点的投影轴H HV VO OX XZ ZOXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线OZOZ轴轴 V V面与面与WW面的交线面的交线OYOY轴轴 HH面与面与WW面的交线面的交线三

6、个投三个投影面互影面互相垂直相垂直Y Y（3 3）分角）分角HH、V V、WW面把空间分为面把空间分为I I、II II、个区域，分别称为八分角个区域，分别称为八分角 第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.2.点的三面投影及其特性点的三面投影及其特性W WH HV VO OX XZ ZY Ya 点点A A的正面投影的正面投影a 点点A A的水平投影的水平投影a 点点A A的侧面投影的侧面投影注意：注意： 空间点用大写字母空间点用大写字母表示，点的投影用表示，点的投影用小写字母表示。小写字母表示。a aa A A2-5a2-5a立体图立体图axazaY第第

7、2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.2.点的三面投影及其特性点的三面投影及其特性X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开图投影面展开图V VW WH H aYHaxazZ Zaa a YWaX XY YH H Y YW WO O 第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.2.点的三面投影及其特性点的三面投影及其特性X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayaZ Zaa X XY YH H Y YW WO O 点的三面投影图

8、点的三面投影图第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.2.点的三面投影及其特性点的三面投影及其特性Z ZX XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay(xA,yA,zA)aaxazZ Zaa YHa YWaX XY YH H Y YW WO O xAyAzAyA(1) (1) a a a aOXOX轴轴yA(oayH= oayw)=aax= z A (oaz)= a ax= (2) xA(oa x) =aayH=a a OZOZ轴轴a az=A=Aa a （A A到到WW面的距离）面的距离）a ayw=A Aa（A A到到H H面的

9、距离面的距离）a azaaxazZ Zaa YHa YWaX XY YH H Y YW WO O =A=Aa a（A A到到V V面的距离）面的距离）第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.2.点的三面投影及其特性点的三面投影及其特性Z ZX XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay(xA,yA,zA)aaxazZ Zaa YHa YWaX XY YH H Y YW WO O xAyAzAyA点的三面投影特性：点的三面投影特性：（1 1）点的投影连线垂直于投影轴。）点的投影连线垂直于投影轴。（2）点的投影到投影轴的距离，等于点的坐

10、标，也就是该）点的投影到投影轴的距离，等于点的坐标，也就是该点与对应的相邻投影面的距离。点与对应的相邻投影面的距离。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.2.点的三面投影及其特性点的三面投影及其特性Z ZX XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay(xA,yA,zA)aaxazZ Zaa YHa YWaX XY YH H Y YW WO O xAyAzAyA需要注意的是：需要注意的是：1 1）点的投影连线垂直于投影轴是否包括）点的投影连线垂直于投影轴是否包括 aa aa 。2 2）借助于）借助于4545辅助线，在三面投影图中，只

11、要已知一点的辅助线，在三面投影图中，只要已知一点的两面投影，就可确定它的坐标及第三个投影。两面投影，就可确定它的坐标及第三个投影。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.2.点的三面投影及其特性点的三面投影及其特性 例例2-1 2-1 已知点已知点B B的正面投影和水平投影，见图的正面投影和水平投影，见图2-6a2-6a，试，试求其侧面投影。求其侧面投影。作图：作图：1 1）由）由bb作作Z Z轴的垂线，并延长轴的垂线，并延长之，如图之，如图2-6b2-6b；bbbXZYWYHO2 2）由）由b b作作Y YHH轴的垂线，得轴的垂线，得bybyH H, ,

12、 用用4545辅助线或圆弧将辅助线或圆弧将bybyH H移至移至bybyWW（使（使ObYObYHH= ObY= ObYWW）, ,然后从然后从bybyWW作作Y YWW轴的垂线，同过轴的垂线，同过bb作与作与Z Z轴的垂线相交，得到交点即为轴的垂线相交，得到交点即为bb, ,如图如图2-6c2-6c所示。所示。bybyH HbybyWW14/96 由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面点在该投影面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。的两根投影轴上。X XV VY

13、YO OW WZ ZH H 在在V V面上面上（X X，0 0，Z Z） 在在W W面上面上（0 0，Y Y，Z Z）b bB Bbbbbd dddD DddC CCCCCC CbXbHYbOWYZdXdHYdOWYZYWOcYHcXc 在在H H面上（面上（X X，Y Y，0 0） 1.1.投影面上的点的投影投影面上的点的投影第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.2.投影轴上的点的投影投影轴上的点的投影 由于点在投影轴上，所以点有两个坐标为零，在包含这由于点在投影轴上，所以点有两个坐标为零，在包含这条轴的两投影面上的投影都与该点重合，在另一投影面上的条

14、轴的两投影面上的投影都与该点重合，在另一投影面上的投影则与点投影则与点O O重合。重合。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材1.1.两点的相对位置两点的相对位置 （1 1）绝对座标法）绝对座标法 ： 空间点对原点的坐标。空间点对原点的坐标。 （2 2）相对座标法：）相对座标法： 两点的相对坐标，即两点坐标差。两点的相对坐标，即两点坐标差。 XOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zBXZYWYHOaa axAyAzA第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材1.1.两点的相对位置两点的相对位置（

15、1）绝对座标法）绝对座标法 ： 空间点对原点的坐标。空间点对原点的坐标。 （2）相对座标法：）相对座标法： 两点的相对坐标，即两点坐标差。两点的相对坐标，即两点坐标差。 XZYWYHOaa ab bb xA-xByA-yBzA-zBXOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zB第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材1.1.两点的相对位置两点的相对位置XZYWYHOaa ab bb xA-xByA-yBzA-zB两点中两点中X X 值大值大的点的点 在左在左两点中两点中Y Y 值大值大的点的点 在前在前 两点中两点中Z Z 值大值大

16、的点的点 在上在上XOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zB第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材1.1.两点的相对位置两点的相对位置XZYWYHOaa ab bb xA-xByA-yBzA-zB如图所示两点如图所示两点A A、B B，由于点，由于点B B的的x x坐标大于点坐标大于点A A的的x x坐标，故坐标，故点点B B在点在点A A的左方；点的左方；点A A的的y y坐标大于点坐标大于点B B的的y y坐标，故点坐标，故点A A在点在点B B的前方；点的前方；点A A的的z z坐标大于点坐标大于点B B的的z z坐标，

17、故点坐标，故点A A在点在点B B的上方。的上方。XOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zB第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材1.1.两点的相对位置两点的相对位置XZYWYHOaa ab bb xA-xByA-yBzA-zB所以可以判断点所以可以判断点B B在点在点A A的左、后、下方。的左、后、下方。XOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zB第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材1.1.两点的相对位置两点的相对位置XZYWYHOaa ab bb xA-x

18、ByA-yBzA-zB需要注意的是：需要注意的是：1 1）对水平投影而言，由）对水平投影而言，由OYOYHH轴向下就代表向前；对侧面投影轴向下就代表向前；对侧面投影而言，由而言，由OYwOYw轴向右也代表向前。轴向右也代表向前。XOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zB第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材1.1.两点的相对位置两点的相对位置XZYWYHOaa ab bb xA-xByA-yBzA-zB需要注意的是：需要注意的是：2 2）已知两点的相对位置，只要知道其中一点的位置，另一点）已知两点的相对位置，只要知道其中一点的

19、位置，另一点的位置随之就能确定。的位置随之就能确定。XOZYa a ab b bBAyA-yBxAyAzAxA-xBzA-zB第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.2.重影点及其可见性重影点及其可见性 当两点的某两个坐标相同时，该两点将处于同一投影线当两点的某两个坐标相同时，该两点将处于同一投影线上，因而对某一投影面具有重合的投影，则这两点称为对该上，因而对某一投影面具有重合的投影，则这两点称为对该投影面的重影点。投影面的重影点。重影点的可见性判别方法：重影点的可见性判别方法： 对于对于V V前遮后；对于前遮后；对于HH上遮下上遮下, ,对于对于WW左遮

20、右。左遮右。 第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.2.重影点及其可见性重影点及其可见性 例例2-2 2-2 如图如图2.10a2.10a，点，点B B在点在点A A之左之左10mm10mm、之上、之上5mm5mm、之后之后7mm7mm，点，点C C在点在点A A的正后方且距点的正后方且距点A A 7mm 7mm，求作点，求作点B B、C C的三面投影，并判别可见性。的三面投影，并判别可见性。aaaXZYWYHO分析：分析： 水平投影距水平投影距OXOX轴越近表明点越靠轴越近表明点越靠后，其后，其y y坐标值越坐标值越小。据题意可知两小。据题意可知两点点

21、B B、C C的的y y坐标值坐标值都比点都比点A A小小7mm7mm，点点B B在点在点A A的左边。的左边。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.2.重影点及其可见性重影点及其可见性 例例2-2 2-2 如图如图2.10a2.10a，点，点B B在点在点A A之左之左10mm10mm、之上、之上5mm5mm、之后之后7mm7mm，点，点C C在点在点A A的正后方且距点的正后方且距点A A 7mm 7mm，求作点，求作点B B、C C的三面投影，并判别可见性。的三面投影，并判别可见性。aaaXZYWYHO分析：分析：由于，点由于，点C C在点在点A

22、A的正后方，两点的正后方，两点A A、C C为为V V面的重影点，面的重影点，故故aa可见，可见，cc不不可见。可见。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.2.重影点及其可见性重影点及其可见性 例例2-2 2-2 如图如图2.10a2.10a，点，点B B在点在点A A之左之左10mm10mm、之上、之上5mm5mm、之后之后7mm7mm，点，点C C在点在点A A的正后方且距点的正后方且距点A A 7mm 7mm，求作点，求作点B B、C C的三面投影，并判别可见性。的三面投影，并判别可见性。aaa1057XZYWYHObbbc（C）C 第第2 2章章

23、 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 2.2 2.2 直线的投影直线的投影“十二五”规划教材2.2.1 2.2.1 直线及直线上点的投影特性直线及直线上点的投影特性 2.2.2 2.2.2 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性2.2.3 2.2.3 两直线的相对位置两直线的相对位置第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材 1. 1.直线的投影直线的投影可以看做是直线上所有点的投影集合。可以看做是直线上所有点的投影集合。 aa a b b b 直线的三面投影直线的三面投影: : 将直线上两点的将直线上两点的同名投影同名投影用直线连接用直线连接就得到

24、直线的同名投影。就得到直线的同名投影。 从几何角度看，直线的投影：从几何角度看，直线的投影： 是过直线上各点向投影面作投射线，是过直线上各点向投影面作投射线，其诸投射线所形成的平面与投影面的交线。其诸投射线所形成的平面与投影面的交线。 图图2-11 2-11 直线投影直线投影 图图2-12 2-12 直线的三面投影图直线的三面投影图 第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材 2 2、直线的投影特性、直线的投影特性 B BA Aab直线垂直于投影面直线垂直于投影面 投影重合为一点投影重合为一点 积积 聚聚 性性直线平行于投影面直线平行于投影面 投影反映线段实长投

25、影反映线段实长 abab=AB=AB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面 投影比空间线段短投影比空间线段短 abab=AB.cos=AB.cos A AB Bab A AM MB Babm第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材 3.3.直线上点的投影特性直线上点的投影特性cacX XabcY YY YbO OaZ ZbcAH HacaV VbBabcCbW W （1 1）若点在直线上）若点在直线上, , 则点的投影必在直线的则点的投影必在直线的同名投影同名投影上。上。 （2 2）直线上的点分割直线段之比，等于投影后分割直线段）直线上的点分割直线段之比，等于投影后

26、分割直线段之比。即：之比。即：AC:CB=AC:CB=acac: :cbcb= =a c c : :c c b b = =a a c c : :c c b b 定比定理定比定理第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材 3.3.直线上点的投影特性直线上点的投影特性【例例2-32-3】 已知线段已知线段ABAB的投影图，作出分线的投影图，作出分线段段ABAB为为AC:CB=1 : 4AC:CB=1 : 4的点的两面投的点的两面投影。影。ccx xo oa ab ba ab bb b。c c。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材

27、直线按与投影面相对位置分为三类：直线按与投影面相对位置分为三类： 投影面平行线投影面平行线 只平行于一个投影面只平行于一个投影面投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊统称特殊位置位置直线直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材1 1、投影面的平行线

28、投影特性：、投影面的平行线投影特性： X XZ ZbaaabbO OY YH HY YW W水平线水平线实长实长（1 1）在它所平行投影面上的投影反）在它所平行投影面上的投影反映实长，它与相应投影轴的夹角，分映实长，它与相应投影轴的夹角，分别反映与相应的投影面的夹角。别反映与相应的投影面的夹角。 （2 2）另两个投影面上的投影）另两个投影面上的投影 平行于平行于相应相应的投影轴，且小于实长。的投影轴，且小于实长。V VH HabAaaBbbW W直线与投影面夹角的表示法：直线与投影面夹角的表示法：与与HH面的夹角面的夹角: : 与与V V面的夹角面的夹角: : 与与WW面的夹角面的夹角: :

29、注：注：“相应相应”可理解为：是指与该可理解为：是指与该直线平行的投影面的两个投影轴直线平行的投影面的两个投影轴第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材1 1、投影面的平行线投影特性：、投影面的平行线投影特性： W WH HV VO OX XZ ZY Y正平线正平线Xabab baOZYHYW 投影特性：投影特性：1 1a a b b = =ABAB。反映反映 、 角的真实大小角的真实大小 2 2ab ab 平行于平行于 OX OX ; ; a a b b 平行于平行于 OZOZ。 aababbAB第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二

30、五”规划教材1 1、投影面的平行线投影特性：、投影面的平行线投影特性： 侧平线侧平线aa b a bbABW WH HV VO OX XZ ZY Y投影特性：投影特性：1 1 a a b b = =AB;AB;反映反映 、 角的真实大小角的真实大小 2 2a a b b 平行于平行于 OZOZ ; ; abab平行于平行于 OYOYH H 。aa b a bbABXZa b bbaOYHYWa第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材1 1、投影面的平行线投影特性：、投影面的平行线投影特性： 练习练习 判断下列直线是什么位置的直线？判断下列直线是什么位置的直线？

31、侧平线侧平线正平线正平线实长实长 实长实长 b a aba b b aa b ba 第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2 2、投影面垂直线、投影面垂直线 铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线（2 2）另外两个投影，垂直于相应投影轴）另外两个投影，垂直于相应投影轴, ,且反映真长。且反映真长。 （1 1）在其垂直的投影面）在其垂直的投影面 上积聚成一点上积聚成一点 。投影特性投影特性: :a b a(b)a b c (d )cdd c e f efe (f )注：注：“相应相应”可理解为：是指与该直线垂直的投影面的两个投影轴可理解为：是指与该直线垂直的投影

32、面的两个投影轴第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材3 3、一般位置直线（投影面倾斜线）、一般位置直线（投影面倾斜线） Z Z Y YaO OX XabbaY Yb 1 1、三个投影都倾斜于投影轴；、三个投影都倾斜于投影轴；投影特性投影特性H HaaAb V VBbW Wa b 2 2、三个投影的长度都小于真长；、三个投影的长度都小于真长；3 3、三个投影与投影轴的夹角都不反映直线与投影面倾角。、三个投影与投影轴的夹角都不反映直线与投影面倾角。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材例例2-4 2-4 如图如图2-17a2-

33、17a，已知点，已知点A A的水平投影的水平投影a a，ABAB为铅垂线，为铅垂线，AB=BCAB=BC=25mm=25mm，BCBC为水平线，点为水平线，点C C 距距V V 面为面为15mm15mm，距距H H 面为面为5mm5mm，试完成，试完成ABAB、BCBC、ACAC的两面投影。的两面投影。分析：分析： 因为因为BCBC为水平线，为水平线， 所以其水平投影所以其水平投影bcbc=25mm=25mm，正面投影正面投影bcbc平行于平行于OXOX轴，轴，又 知又 知c c 、 c c 距距O XO X轴 分 别 为轴 分 别 为15mm15mm、5mm5mm，这样可先求出，这样可先求出

34、点点C C的两面投影，再求出的两面投影，再求出bb。 因为因为ABAB是铅垂线，是铅垂线， 所以所以abab= 25mm= 25mm，由此求出，由此求出aa，如图，如图2-172-17所示。所示。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材例例2-4 2-4 如图如图2-17a2-17a，已知点，已知点A A的水平投影的水平投影a a，ABAB为铅垂线，为铅垂线，AB=BCAB=BC=25mm=25mm，BCBC为水平线，点为水平线，点C C 距距V V 面为面为15mm15mm，距距H H 面为面为5mm5mm，试完成，试完成ABAB、BCBC、ACAC的两面投

35、影。的两面投影。作图作图: :1 1）如图）如图2-17b2-17b以以a a为圆心为圆心25 mm25 mm为半径画弧，由为半径画弧，由OXOX轴向下轴向下量取量取15mm15mm，作，作OXOX轴平行线，交所画弧线于轴平行线，交所画弧线于c c点，得点点，得点水水平投影。平投影。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材例例2-4 2-4 如图如图2-17a2-17a，已知点，已知点A A的水平投影的水平投影a a，ABAB为铅垂线，为铅垂线，AB=BCAB=BC=25mm=25mm，BCBC为水平线，点为水平线，点C C 距距V V 面为面为15mm15m

36、m，距距H H 面为面为5mm5mm，试完成，试完成ABAB、BCBC、ACAC的两面投影。的两面投影。作图作图: :2 2）由）由c c作投影连线，并在该线上从作投影连线，并在该线上从OXOX轴向上量取轴向上量取5mm5mm，得，得cc。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材例例2-4 2-4 如图如图2-17a2-17a，已知点，已知点A A的水平投影的水平投影a a，ABAB为铅垂线，为铅垂线，AB=BCAB=BC=25mm=25mm，BCBC为水平线，点为水平线，点C C 距距V V 面为面为15mm15mm，距距H H 面为面为5mm5mm，试完成

37、，试完成ABAB、BCBC、ACAC的两面投影。的两面投影。作图作图: : 3 3）过）过 cc作作cbcb平行于平行于OXOX轴，与过轴，与过向向OXOX轴作投影线相交轴作投影线相交 得得bb。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材例例2-4 2-4 如图如图2-17a2-17a，已知点，已知点A A的水平投影的水平投影a a，ABAB为铅垂线，为铅垂线，AB=BCAB=BC=25mm=25mm，BCBC为水平线，点为水平线，点C C 距距V V 面为面为15mm15mm，距距H H 面为面为5mm5mm，试完成，试完成ABAB、BCBC、ACAC的两面投

38、影。的两面投影。作图作图: :4 4）由）由bb竖直向上量取竖直向上量取25mm25mm，得点，得点投影投影aa；连接；连接acac。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材 1 1、平行两直线投影特性、平行两直线投影特性 空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉（异面）。平行、相交、交叉（异面）。 空间两直线平行，则其各三对空间两直线平行，则其各三对同面投影同面投影必相必相互平行，反之亦然。互平行，反之亦然。bcdH HAd aCcV VaDbBacdbcdabO OX X45/96 判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是

39、否平行。 对于一般位置直线，只要有两组同对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。名投影互相平行，空间两直线就平行。AB与与CD平行。平行。a b c d abcdc a b d 46/96AB与与CD不平行。不平行。 对于特殊位置直线，只有两组同名投影对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。互相平行，空间直线不一定平行。cbadd b a c b d c a 第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材 2 2、相交两直线投影特性、相交两直线投影特性 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其三对同名投影必相则其三对同

40、名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点ac V VX Xb H HDacdkCAkKd bO OBcabd b a c d kk 48/96cd k kd例：过例：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影abb a c 49/96例：判断直线例：判断直线AB、CD的相对位置。的相对位置。cabdabcd相交吗？相交吗？不相交！不相交！为什么？为什么？ 交点不符交点不符合空间一个点合空间一个点的投影特性。的投影特性。判断方法？判断方法？ 应用定比定理应用定比定理 利用侧面

41、投影利用侧面投影第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材 3 3、交叉两直线投影特性、交叉两直线投影特性accAaCV VbH HddDBbcacabddbO OX X1(2)21 交叉直线既不符合平行两直线投影特性，又交叉直线既不符合平行两直线投影特性，又不符合相交两直线投影特性。不符合相交两直线投影特性。 “交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对对重影点的投影重影点的投影。211(2)43(4 )33(4 )34 51/96O结论：结论： 两直线交叉两直线交叉判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投

42、影 2.3 2.3 平面的投影平面的投影 “十二五”规划教材2.3.1 2.3.1 平面的投影表示法平面的投影表示法 2.3.2 2.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性2.3.3 2.3.3 平面上的点和直线平面上的点和直线第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.1 2.3.1 平面的投影表示法平面的投影表示法1 1、用几何元素表示、用几何元素表示不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点 直线及直线及线外一线外一点点abca b c dd 两平行两平行直线直线abca b c 两相交两相交直线直线平面平面图形图形c abca b

43、caba b c baca b c 第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.1 2.3.1 平面的投影表示法平面的投影表示法2 2、用迹线表示、用迹线表示W WH HV VO OX XZ ZY Y P （1 1）迹线）迹线： 平面与投影面的交线。平面与投影面的交线。 （2 2）迹线分为：）迹线分为： 正面迹线正面迹线P PV V与与V V面交线面交线水平迹线水平迹线P PHH与与HH面交线面交线 侧面迹线侧面迹线P PWW与与WW面交线面交线OXZYWYHPVPWPHPVPWPH第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材

44、2.3.1 2.3.1 平面的投影表示法平面的投影表示法2 2、用迹线表示、用迹线表示W WH HV VO OX XZ ZY Y P （3 3）迹线平面：）迹线平面：OXZYWYHPVPWPHPVPWPH 1 1）在三个投影面上都有迹线，每条迹线都没有积聚性，都）在三个投影面上都有迹线，每条迹线都没有积聚性，都与投影轴倾斜。与投影轴倾斜。 （4 4）一般位置的平面迹线的投影特性）一般位置的平面迹线的投影特性： 用迹线表示的平面称为迹线平面。用迹线表示的平面称为迹线平面。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.1 2.3.1 平面的投影表示法平面的投影表

45、示法2 2、用迹线表示、用迹线表示W WH HV VO OX XZ ZY Y P （3 3）迹线平面：）迹线平面：OXZYWYHPVPWPHPVPWPH 2 2）每两条迹线分别相交于相应的投影轴上的同一点，由其）每两条迹线分别相交于相应的投影轴上的同一点，由其中的任意两条迹线即可表示这个平面。中的任意两条迹线即可表示这个平面。 （4 4）一般位置的平面迹线的投影特性）一般位置的平面迹线的投影特性： 用迹线表示的平面称为迹线平面。用迹线表示的平面称为迹线平面。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.1 2.3.1 平面的投影表示法平面的投影表示法2 2、

46、用迹线表示、用迹线表示W WH HV VO OX XZ ZY Y P （5 5）迹线表示平面的优缺点：）迹线表示平面的优缺点：OXZYWYHPVPWPHPVPWPH2 2）缺点）缺点: :组成物体的表面通常是封闭的几何形体，投影图常是无组成物体的表面通常是封闭的几何形体，投影图常是无轴的，因此采用迹线表示平面有时也不方便。轴的，因此采用迹线表示平面有时也不方便。 在工程中不常用在工程中不常用1 1）优点：用迹线表示平面容易想象空间位置。有利于研究问题。）优点：用迹线表示平面容易想象空间位置。有利于研究问题。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.2 2

47、.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性平面对于投影面的位置可分为三类平面对于投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般一般位置位置平面平面特殊特殊位置位置平面平面只垂直于一个投影面只垂直于一个投影面平行于一个投影面的平面平行于一个投影面的平面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.2 2.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性1.1.投影面垂直面投影面垂直面（1 1）铅

48、垂面）铅垂面垂直面的投影特性是：垂直面的投影特性是： （1 1）在所垂直的投影面上的投影，积聚成直线；该投影与）在所垂直的投影面上的投影，积聚成直线；该投影与投影轴的夹角，分别反映平面与相应投影面的夹角。投影轴的夹角，分别反映平面与相应投影面的夹角。 （2 2）在另两投影面上的投影具有类似性且面积缩小）在另两投影面上的投影具有类似性且面积缩小 。 pppW WH HV VO OX XZ ZY Y第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.2 2.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性1 1、投影面垂直面、投影面垂直面（2 2）正垂面的投影）正

49、垂面的投影qqqW WH HV VO OX XZ ZY Yqqq第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.2 2.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性1 1、投影面垂直面、投影面垂直面（3 3）侧垂面）侧垂面R R的投影的投影rrrW WH HV VO OX XZ ZY Yrrr第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.2 2.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性2.2.投影面平行面投影面平行面（1 1）水平面）水平面qqqqq qqq平行面投影特性平行面投影特性 （1 1）在它所平

50、行的投影面上投影反映实形。）在它所平行的投影面上投影反映实形。 （2 2）其另外两个投影积聚成直线，且平行于相应的投影轴。）其另外两个投影积聚成直线，且平行于相应的投影轴。 第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.2 2.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性2.2.投影面平行面投影面平行面（2 2）正平面）正平面第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.2 2.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性2.2.投影面平行面投影面平行面W WH HV VO O X XZ ZY Y（3 3）

51、侧平面的投影）侧平面的投影rrrrrr第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.2 2.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性3.3.一般位置平面一般位置平面 投影特性：投影特性： 1 1）三个投影都具有类似性，面积缩小。）三个投影都具有类似性，面积缩小。2 2）三个投影都不反映该面与投影面的倾角。）三个投影都不反映该面与投影面的倾角。 YW c c OaYH b ab a b cW WH HV VO OX XZ ZY Y a cba c b b a cABC第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.

52、2 2.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性 例例2-62-6如图如图2-25a2-25a正方形正方形ABCDABCD是正垂面，已知其左下边是正垂面，已知其左下边ABAB的两面投影，的两面投影，=30=30，补全其两面投影。，补全其两面投影。 a)a)图图2-25 2-25 补全正方形补全正方形ABCDABCD的两面投影的两面投影分析：分析： 如图如图2-25a2-25a，由于正方形，由于正方形ABCDABCD是正垂面，是正垂面，=30=30，所以，其正面投影积，所以，其正面投影积聚成一条与聚成一条与OXOX轴成轴成3030角的直线，且角的直线，且ABAB、CDCD为正垂线，水

53、平投影为正垂线，水平投影abab、cdcd反映实长；反映实长；ADAD、BCBC为正平线，其正面投影为正平线，其正面投影adad、bcbc反映实长。反映实长。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.2 2.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性 例例2-62-6如图如图2-25a2-25a正方形正方形ABCDABCD是正垂面，已知其左下边是正垂面，已知其左下边ABAB的两面投影，的两面投影，=30=30，补全其两面投影。，补全其两面投影。 a) b) a) b)图图2-25 2-25 补全正方形补全正方形ABCDABCD的两面投影的两面投

54、影作图：作图：1) 1) 作正方形作正方形ABCDABCD的正面投影：如图的正面投影：如图2-25b2-25b，过，过ABAB边的正面投影边的正面投影a(b)a(b)作与作与OXOX轴成轴成3030角的射线，与以角的射线，与以a(b)a(b)为圆心以为圆心以a ab b长为半径的圆长为半径的圆弧相交于一点，（正方形弧相交于一点，（正方形ABCDABCD处于正垂面位置，且处于正垂面位置，且=3030这样的正垂面有这样的正垂面有两个）此点即是两个）此点即是CDCD边的正面投影边的正面投影c(d)c(d)。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.2 2.3.

55、2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性 例例2-62-6如图如图2-25a2-25a正方形正方形ABCDABCD是正垂面，已知其左下边是正垂面，已知其左下边ABAB的两面投影，的两面投影，=30=30，补全其两面投影。，补全其两面投影。 a) b) a) b)图图2-25 2-25 补全正方形补全正方形ABCDABCD的两面投影的两面投影作图：作图：2 2）作正方形）作正方形ABCDABCD的水平投影：分别过的水平投影：分别过a a、b b作作OXOX轴的轴的平行线，与过点平行线，与过点c c、dd作作OXOX轴的垂直线分别交于轴的垂直线分别交于c c、d d。连接。连接acac、c

56、dcd、dbdb得正方形得正方形ABCDABCD水平投影。水平投影。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.2 2.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性 例例2-62-6如图如图2-25a2-25a正方形正方形ABCDABCD是正垂面，已知其左下边是正垂面，已知其左下边ABAB的两面投影，的两面投影，=30=30，补全其两面投影。，补全其两面投影。 a) b) a) b) ) ) 图图2-25 2-25 补全正方形补全正方形ABCDABCD的两面投影的两面投影作图：作图：3 3）最后，整理作图线，得正方形）最后，整理作图线，得正方形AB

57、CDABCD的两面投影如图的两面投影如图2-2-25c25c）。）。 第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.2 2.3.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性 例例2-62-6如图如图2-25a2-25a正方形正方形ABCDABCD是正垂面，已知其左下边是正垂面，已知其左下边ABAB的两面投影，的两面投影，=30=30，补全其两面投影。，补全其两面投影。 a) b) a) b) ) ) 图图2-25 2-25 补全正方形补全正方形ABCDABCD的两面投影的两面投影分析：分析：如图如图2-25a2-25a，由于正方形，由于正方形ABCDAB

58、CD是正垂面，是正垂面，=30=30，所以，其正，所以，其正面投影积聚成一条与面投影积聚成一条与OXOX轴成轴成3030角的直线，且角的直线，且ABAB、CDCD为正垂为正垂线，水平投影线，水平投影abab、cdcd反映实长；反映实长；ADAD、BCBC为正平线，其正面投为正平线，其正面投影影adad、bcbc反映实长。反映实长。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.3 2.3.3 平面上的点和直线平面上的点和直线1.1.点在平面上的几何条件点在平面上的几何条件ABCDEabcabcddee几何条件是：该点在这个平面内的某一条直线上几何条件是：该点在

59、这个平面内的某一条直线上 。 第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.3 2.3.3 平面上的点和直线平面上的点和直线2.2.直线在平面上的几何条件直线在平面上的几何条件M MN NA AB Bn nbbacacmmnn（1 1）直线通过这个平面上的两个点；）直线通过这个平面上的两个点；（2 2）或者直线通过这个平面上的一个点，且平行）或者直线通过这个平面上的一个点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。 ad cnnbdacb第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材

60、2.3.3 2.3.3 平面上的点和直线平面上的点和直线例例2-7 2-7 如图如图2-29a2-29a，判断点，判断点K K、直线、直线AMAM是否在是否在ABCABC上。上。（1 1）判断点）判断点K K是否在是否在ABCABC上上。 分析：分析： 根据点在平面上的几何条件，根据点在平面上的几何条件， 若点位于若点位于ABCABC平面的一条直线平面的一条直线上，则点在上，则点在ABCABC面上，否则就面上，否则就不在不在ABCABC面上。面上。第第2 2章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影“十二五”规划教材2.3.3 2.3.3 平面上的点和直线平面上的点和直线例例2-7 2-7