同济大学高等数学第七版上册定积分

1、第三节第三节 定积分的换元法定积分的换元法和分部积分法和分部积分法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 根据根据微积分基本公式微积分基本公式定积分法，定积分法，不定积分法不定积分法且使用方法与相应的不定积分法类似。且使用方法与相应的不定积分法类似。设设)(xf在在,ba上上连连续续；函函数数)(tx 满满足足条条件件 定理（2 2）)(t 在在, 或或, 上上单单调调，且且有有连连续续导导数数， 则有 （1 1）a )( 、b )( ； 一、定积分的换元法证因为因为)(xf在在 ,ba上连续，故原函数存在，设上连续，故原函数存在，设)(xF是是)(

2、xf的一个原函数，则有的一个原函数，则有 注意:(1)应用定积分的换元法时,与不定积分比较，多一事：换上下限；少一事：不必回代； )(tx 应应单单调调, ,当当t从从 变变到到 时时, , x从从a变变到到b, ,不不重重复复, ,不不遗遗漏漏； (2)(3)逆用上述公式,即为“凑微分法”,不必换限. 换元必换限换元必换限上限对上限上限对上限、下限对下限下限对下限例例1.1. 计算解解: 令则 原式 =且 例例2 2 205sincos xdxxxu cos 1066u .61 015duu 205sincos xdxx或或为为积积分分变变量量以以xcos 205coscos xxd206|

3、cos61 x .61 例3 30)1(dxxx 301d2xx302arctant .32 例4 202d1xxx401t.15 2022d1121xx320dt21txt 42011dt21txt 例5 计算解令.1d8 0 3 xx，tx 3，ttxd3d2 , 80:x，20: t原式 202d13ttt 202d1113ttt 20d)111(3ttt202) |1|ln21(3ttt .3ln3 ，3tx 例6 计算解令原式.d1e2ln0 xx，tx 1e，21etx ，)1ln(2tx ，tttxd12d2 ，2ln0:x，10:t 102d12tttt 102d)111(2t

4、t10arctan22t .22 例7解设设,0 ,110 ,2 )( xxxxxxf 求求 20)d1(xxf. . 令，tx 1原式 11d)(ttf 11d)(xxf 0110d11d2xxxxx.2ln2 01102d)121(xxx01)1ln(211 x证设设)(xf在在,aa 上上连连续续, ,那那么么 ( (1 1) ) 若若)(xf为为偶偶函函数数, ,则则 aaaxxfxxf0d)(2d)(； ( (2 2) ) 若若)(xf为为奇奇函函数数, ,则则 0d)( aaxxf. . ， 00d)(d)(d)(aaaaxxfxxfxxf 0d)(axxf， axxf0d)(，

5、aaaxxfxfxxf0d)()(d)( 利用函数的对称性简化计算利用函数的对称性简化计算. .tx attf0d)( 偶倍奇零偶倍奇零(1) (1) )(xf为偶函数为偶函数, 则则 ),()(xfxf ( (2 2) ) )(xf为为奇奇函函数数, 则则 ),()(xfxf aaaxxfxfxxf0d)()(d)( aaaxxfxxf0d)(2d)( .0d)( aaxxfyxo)(xfy yx)(xfy o奇函数奇函数例例8 8 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1

6、(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积 1122d)1(xxx 11222d)112(xxxxx 11211d12d1xxxx.2 例9 xxbxaxxdcossin1cossin2222.0 奇函数 112d)1ee (xxxx 102d2xx.32 设设)(xf是是以以T为为周周期期的的连连续续函函数数，证证明明： 证 Taaxxfd)(,d)(d)(d)(00 TaTTaxxfxxfxxf TaTxxfd)( tTx atTtf0d)( attf0d)(,d)(0 axxf.d)(d)( 0 TTaaxxfxxf例10 TTaa

7、xxfxxf0d)(d)(. . .d)(cosd)(sin2/02/0 xxfxxf证令，xt 2 2/0d)(sin xxf 02/d)2sin( ttf.d)(cos2/0 xxf例11设设)(xf在在10 ，上上连连续续, ,证证明明： 201010dcossin1cossin xxxxx0 二、定积分的分部积分法定理 设设函函数数)(),(xvxu在在,ba上上连连续续可可导导, ,则则 例1例2 e1dlnxx e1e1lndlnxxxx.1)1e (e e1d1exxx 10dexxx 10dexx1010deexxxx101 -e-ex.e21 定积分的分部积分公式的用法与不定

8、积分的分部定积分的分部积分公式的用法与不定积分的分部积分公式的用法类似。积分公式的用法类似。 e13dlnxxx e121dln21xx e12e12lnd121ln21xxxx e132d121e21xxe12241e21x .e43412 例3例4 02dsinxxx 02cosdxx 002dcos2cosxxxxx 02sind2xx 002dsin2sin2xxxx.42 例例5 5 计算计算.arcsin210 xdx解解 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 12 为积分变量为积分变量换元：以换元：以x)1(112120221xdx 12

9、 21021x . 12312 另解另解 210arcsinxdx 60sin tt分分部部积积分分 60sin tdt216 60cos t . 12312 60sinarcsinsin tdttxxt则则换换元元：例例5 5 计算计算.arcsin210 xdx例例6 6 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 例7 计算分部积分法与换元法结合.de10 xx解令,tx ,2tx ,d2dttx ,10:t原式 10de2ttt 10

10、de2tt 1010de2e2tttt.2e2e210 t* *例例8 8 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因为因为ttsin没有初等形式的原函数（没有初等形式的原函数（积分正弦积分正弦)， 无法直接求出无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法，所以采用分部积分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 1 0 2)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 1 0 222 2sin 21dxxxxx 1022)(sin21xdx 102cos21x ).11(cos21 102sin221dxxx三、小结三、小结1、使用定积分的换元法时要注意、使用定积分的换元法时要注意积分限的对积分限的