第二节 洛必塔法则

1、第二节第二节 洛必达法则洛必达法则型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 定义定义时，时，或或如果当如果当)( xax,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( ,sinlimsin0 xxeexxx )00(. 0, 0,lim nxenxx )( 大，大，都趋于零或都趋于无穷都趋于零或都趋于无穷与与)()(xFxf,)()(lim)(在在可可能能存存在在、也也可可能能不不存存那那末末极极限限xFx

2、fxax .00型未定式型未定式或或通常把这种极限称为通常把这种极限称为 ;)()(,)1(都趋于零都趋于零及及函数函数时时当当xFxfax 定理定理1：设：设定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .及及内内点的某去心邻域点的某去心邻域在在)(,),()2(0 xfaUa );()()(lim)3(或为无穷大或为无穷大存在存在xFxfax .)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax 那末那末;0)(,)( xFxF且且都存在都存在, 0),()(1

3、 axaxxfxf令令, 0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU内任取一点内任取一点在在 ,上上或或在在axxa,)(),(11件件满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条xFxf则有则有)()()()(11xFxfxFxf )()( Ff )(之间之间与与在在ax 证明：注意，证明：注意，x = a 有可能是有可能是 f (x) 和和 F(x) 的间断点的间断点 , 0)(lim)(lim xFxfaxax但但故故 x = a 只可能是可去间断点只可能是可去间断点,)()(,11均连续均连续和和处处在在则则xFxfax )()()()(1111aFxFafxf )()(11 Ff

4、 ,aax 时时当当,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax )()()()(11xFxfxFxf )()( Ff )(之间之间与与在在ax )()()()(1111aFxFafxf )()(11 Ff ,aax 时时当当,)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa 满足满足型，且型，且仍属仍属如果如果)(),(00)()()1(xFxfxFxf .)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxax（2）使用法则时一定要注意验证法则的条件。）使用法则时一定要注意验证法则的条件。使使用用

5、洛洛必必达达法法则则，即即定定理理的的条条件件，可可以以继继续续例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx . 1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx. 166lim1 x)00()00(12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23266 二、其它形式未定式的洛必达法则二、其它形式未定式的洛必达法则（1）x 时，时，f (x) 0 , F(x) 0. )00(（2）x a 时，时，f (x) , F(x) . )( （3）x 时

6、，时，f (x) , F(x) . )( )(lim,)(lim)1(xFxfxx定理定理2：设：设)()(,|, 0)2(xFxfNxN 及及时时当当);()()(lim)3(或为无穷大或为无穷大存在存在xFxfx .)()(lim)()(limxFxfxFxfxx 那末那末;0)(, xF且且都存在都存在例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0axbxx求求axaxabxbxbxsincossincoslim0 原式原式. 1 )00()( axbxabxaxbxcossinc

7、ossinlim0 axbxxcoscoslim0 例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例6 6解解:分母求导比较麻烦。分母求导比较麻烦。.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxx

8、x 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 .tan,0 xxx时时当当先用等价无穷小替换，再用法则。先用等价无穷小替换，再用法则。例例7 7解解:.)cos1(cos1lim0 xxxx 求求2cos1lim0 xxxx 原式原式2202limxxx .21 ,2cos1,02xxx 时时当当,2cos1xx )cos1(cos1lim220 xxxx 202cos1lim2xxx 有些未定式也可用其它一些方法来求有些未定式也可用其它一些方法来求型未定式解法型未定式解法二、二、00,1 ,0 ,0 例例7 7解解)0, 0(

9、),(lim11 babaxxxx求求)0( xbaxxx1lim11 原式原式关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()( 型型 0. 1步骤步骤:,10 .0100 或或tbattt 0lim1lnlnlim0bbaattt balnln 例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式2sinlim0 xx . 0 型型 . 2步骤步骤:20sinlimxxxx 步骤步骤:型型00,1 ,0. 3 取对数取对数0010.0 ln01ln0ln0化

10、为指数函数化为指数函数或或 0010 ln01ln0ln0eee例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 0 )(lim0 xxe 例例1010解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex xxxln)ln(cotlim0 xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim

11、0 , 1 .1 e原式原式 例例1212解解.sin2cos2limxxxxx 求求xxxcos2sin2lim 原式原式极限不存在极限不存在洛必达法则失效，不能说明原极限不存在洛必达法则失效，不能说明原极限不存在xxxxxsin2cos2lim 原式原式. 10202 注意：当注意：当)()(limxFxf 不存在或不能确定时，不存在或不能确定时，不能说明原极限不存在，需改用其它方法求。不能说明原极限不存在，需改用其它方法求。例例1 13 3解：这是数列极限，不能直接用洛必达法则解：这是数列极限，不能直接用洛必达法则.limnnn 求求nnn1lim 原式原式注意：数列没有导数的概念，故对

12、数列未定式的注意：数列没有导数的概念，故对数列未定式的极限，不能直接用洛必达法则，必须先转化为函极限，不能直接用洛必达法则，必须先转化为函数的极限，再用法则。数的极限，再用法则。)(0 xxx1lim 数列极限转化为函数极限数列极限转化为函数极限xxxeln1lim xxxelnlim 11limxxe xxe1lim 10 e三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 使用洛必达法则时的注意事项使用洛必达法则时的注意事项（1）所求极限一定要是）所求极限一定要是.00的未定式的未定式或或 （2）可连续使用法则，但每次使用前必须验）可连续使用法则，但每次使用前必须验 证法则的条件。证法则的条件。（3）其它形式的未定式必须先转化为）其它形式的未定式必须先转化为型