《d12数列的极限》ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二二 、收敛数列的性质、收敛数列的性质 三三 、极限存在准那么、极限存在准那么 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节数列的极限数列的极限目录 上页 下页 返回 结束 r数学言语描画:一一 、数列极限的定义、数列极限的定义引例引例. 设有半径为 r 的圆,nA逼近圆面积 S .n如下图 , 可知nAnnnrcossin2),5,4, 3(n当 n 无限增大时, nA无限逼近 S . ,0,N正整数当 n N 时, SAn用其内接正 n 边形的面积总有刘徽 .)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn播放播放数列的极限数列的极

2、限问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 能否无限接近于某一能否无限接近于某一确定的数值确定的数值?假设是假设是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题: “无限接近无限接近意味着什么意味着什么?如何用数学言语如何用数学言语刻划它刻划它. 1nxnnn11)1(1 经过上面演示实验的察看经过上面演示实验的察看:“无限接近无限接近的含义：只需的含义：只需 n 足够大，足够大， nxn11 可以小于恣意给定的小正数。可以小于恣意给定的小正数。 ,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,

3、10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx有有, 0 给定给定,)(时时只要只要 1 Nn.成立成立有有从而从而 nxn11无论它多么小，无论它多么小，, 1 n有有目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 自变量取正整数的函数称为数列,记作)(nfxn或.nxnx称为通项(普通项) .假设数列nx及常数 a 有以下关系 :,0,N正数当 n N 时, 总有记作此时也称数列收敛 , 否那么称数列发散 .几何解释 :aaa)(axan)(Nn 即),(aUxn)(Nn axnnlim或)(naxn1

4、Nx2Nxaxn那么称该数列nx的极限为 a ,目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),), 假设数列没有极限假设数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.留意：留意：;. 1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn . 3有关有关与任意给定的正数与任意给定的正数 N总存在正数

5、总存在正数N, ,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx, , 那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限, ,或者称数列或者称数列nx ,limaxnn 或或).( naxn 不等式不等式 axn都成立都成立, , 收敛于收敛于a, ,记为记为 )( NN ;. 2的过程的过程刻划了刻划了不等式不等式 nNnx1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa,),(,内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当 aaxNnn:定义定义N 其中其中;:每一个或任给的每一个或任给的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 axnnlim., 0, 0 axNnNn恒有恒有时

6、时使使.)(落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个N目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 知知,) 1(nnxnn证明数列nx的极限为1. 证证: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只需1n因此 , 取, 1N那么当Nn 时, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 知知,) 1() 1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只需,11n即n取, 11N那么当Nn 时, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnn

7、nn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 与 有关, 但不独一.不一定取最小的 N .阐明阐明: 取11N目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设设,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只需,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qNlnln1, 那么当 n N 时, 就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0 .1nq目录 上页 下页 返回 结束 例1 limsin0 . nnn证明：证证0, 1 sin0 , nn要11 sin , nnn只要1 , ,NnN 故取则当时111 sin0 s

8、in nnnnn成立. 由极限的定义可知:1limsin0 . nnn小结小结1用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时, 关键是恣关键是恣意给定意给定 0 寻觅寻觅 N, 使当使当 n N 时，时，成立成立 |axn2为了找到上述为了找到上述 N ，经常先将，经常先将|axn 适当放大为适当放大为)(|naxn 再令再令,)( n并从中能方便的解出并从中能方便的解出),( n此时取此时取,)(即可即可 N3有时为了方便，在不妨碍有时为了方便，在不妨碍 可以恣意小的前提可以恣意小的前提下，可事先设下，可事先设 小于某个正数。小于某个正数。目录 上页 下页 返回 结束 23baab22abn

9、abax二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证: 用反证法用反证法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax从而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有2banx1. 收敛数列的极限独一收敛数列的极限独一.使当 n N1 时, 2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾,因此收敛数列的极限必独一.那么当 n N 时, ,max21NNN 取故假设不真 !nx满足的不等式目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明数列证明数列),2, 1() 1

10、(1nxnn是发散的. 证证: 用反证法用反证法.假设数列收敛 , 那么有独一极限 a 存在 .取,21那么存在 N ,2121axan但因nx交替取值 1 与1 , ),(2121aa内,而此二数不能够同时落在21a21aa长度为 1 的开区间 使当 n N 时, 有因此该数列发散 .nx目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证: 设设,limaxnn取,1,N那么当Nn 时, 从而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1那么有. ),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.阐明阐明: 此性质反过来不一定成立此性质反过来不一定成立.例如,1)1(n虽

11、有界但不收敛 .aaxn)(, 1axn有数列目录 上页 下页 返回 结束 3. 收敛数列具有保号性收敛数列具有保号性.假设,limaxnn且, 0a,NN则,时当Nn 有0nx)0()0(证证: 对 a 0 , 取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论: 假设数列从某项起, 0nx,limaxnn且0a则)0(. )0(用反证法证明)O目录 上页 下页 返回 结束 00 () ( 0, ) , nnnnxyxynNNnN若或当时 lim, lim , nnnnxayb且存在 则limlim (limlim) . nnnnnnnnaxybaxyb目录 上页 下页

12、返回 结束 在数列 xn: x1 , x2 , , xn , 中, 坚持各项原来的先后次序不变, 自左往右恣意选取无穷多项所构成的新的数列, 称为原数列的一个子数列, 记为. knx目录 上页 下页 返回 结束 *,axkn4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .证证: 设数列设数列knx是数列nx的任一子数列 .假设,limaxnn那么,0,N当 Nn 时, 有axn现取正整数 K , 使,NnK于是当Kk 时, 有knKnN从而有由此证明 .limaxknk*NKnNxKnx目录 上页 下页 返回 结束 三、极限存在准那三、极限存在准那么么由此性质可知

13、 , 假设数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx发散 !夹逼准那么; 单调有界准那么; *柯西审敛准那么 .那么原数列一定发散 .阐明阐明: 目录 上页 下页 返回 结束 azynnnnlimlim)2(1. 夹逼准那么夹逼准那么 (准那么准那么1) (P50),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim证证: 由条件 (2) ,0,1N当1Nn 时,ayn当2Nn 时,azn令,max21NNN 那么当Nn 时, 有,ayan,azan由条件 (1)nnnzxya a即,axn故 .limaxnn,2N目录 上

14、页 下页 返回 结束 例例5. 证明证明11211lim222nnnnnn证证: 利用夹逼准那利用夹逼准那么么 .1211222nnnnn22nnn22nn且lim22nnnnnn11lim1lim22nnn211limnn1nnlim1211222nnnn1由目录 上页 下页 返回 结束 2. 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( 准那么准那么2 ) ( P52 ) Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 证明略 )ab目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设设, ),2, 1()1 (1nxn

15、nn证明数列nx极限存在 . (P53P54)证证: 利用二项式公式利用二项式公式 , 有有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n目录 上页 下页 返回 结束 11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!

16、21!31!1n又比较可知目录 上页 下页 返回 结束 根据准那么 2 可知数列nx记此极限为 e ,e)1 (lim1nnn e 为无理数 , 其值为590457182818284. 2e 即有极限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 *3. 柯西极限存在准那么柯西极限存在准那么(柯西审敛原理柯西审敛原理) (P55)数列nx极限存在的充要条件是:,0存在正整数 N ,使当NnNm,时,mnxx证证: “必要性必要性. 设,limaxnn那么,0NnNm,时, 有 使当,2axn2axm因此mn

17、xx)()(axaxmnaxnaxm“充分性 证明从略 .,N有柯西 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 数列极限的 “ N 定义及运用2. 收敛数列的性质:独一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限3. 极限存在准那么:夹逼准那么 ; 单调有界准那么 ; *柯西准那么目录 上页 下页 返回 结束 收敛的数列必有界. 有界的数列不一定收敛. 无界的数列必发散 . 发散的数列不一定无界. . ) 1( :nnx反例目录 上页 下页 返回 结束 思索与练习思索与练习1. 如何判别极限不存在?方法1. 找一个趋于的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.2. 知

18、),2, 1(21,111nxxxnn, 求nnxlim时, 下述作法能否正确? 阐明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对不对!此处nnxlim目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P30 1, *3 (2) , *4 P56 4 (1) , (3)4 (3) 提示:222nx12nx可用数学归纳法证 2nx第三节 目录 上页 下页 返回 结束 故极限存在，备用题备用题 1.1.设设 )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且求.limnnx解：解：设Axnnlim那么由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，,01x故