(完整word版)导数的概念、导数公式与应用

1、导数的概念及运算知识点一：函数的平均变化率 (1)概念：函数方中，如果自变量X在町处有增量A工,那么函数值y也相应的有增量4Axy=f(x o+Ax)-f(x 0),其比值上叫做函数尸二外外从飞到飞十x的平均变化率，即生=fg 飞)Ax o勺二)一，(/)若=/，/=/ ,加，则平均变化率可表示为3 马f ,称为函数/从可到三的平均变化率。一、/汪忠：事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量 与体积增量的比值；函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当 支取值越小，越能准确体现函数的变化情况。A五是自变量x在k处的改变量，合工芒0 ;而矽 是函数值的改变量，可以是

2、 0。函数的平均变化率是0,并不一定说明函数没有变化，应取&c更小考虑。(2)平均变化率的几何意义1 二孔/)-/(汇1)函数) 的平均变化率折修一/的几何意义是表示连接函数，=/W图像上两点割线的斜率。如图所示，函数 八工)的平均变化率 与一瓦的几何意义是：直线 AB的斜率。以-以小的)-八西)Av事实上，一瓦O作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。知识点二：导数的概念:2 .导数的定义：对函数，=/口），在点工二飞处给自变量x以增量工，函数y相应有增量lim Ar = lini,每+5-/5）小=（马+及）-/（/）。若极限皿。Ar x 加存在，则此极限称为/（

3、工）在点而处的导数，记作/"。）或,此时也称丁（界）在点飞处可导。户,、7 r /（而+6力-/）- -/-（%）f（Xn）二熠白烟 J 裁切即：皿口人*口 Ax （或 i x-瓦 ）一、/汪忠：增量A元可以是正数，也可以是负数；导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。3 .导函数：如果函数v=/（工）在开区间s向内的每点处都有导数，此时对于每一个x e（口力），都对 应着一个确定的导数 "4,从而构成了一个新的函数,5 ,称这个函数/'（X）为函数 二"功在开区间内的导函数，简称导数。注意：函数的导数与在点 飞处的导数不是同一概念，（

4、）是常数，是函数，|（x）在1=/ 处的函数值，反映函数,5）在工"七附近的变化情况。4 .导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点P（x。，yo）及其附近一点Q（xo+Ax,y o+Ay）,经过点P、Q作曲线的割线PQ目.则有史加=3户=生一其倾斜角为内工当点Q（xo+4x,y o+y）沿曲线无限接近于点P（x。，yo）,即Ax-O时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。若切线的倾斜角为0,则当x-O时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。（2）导数的几何意义:函数y在点xo的导数,'（而）是曲线？ =，（#）上点（/，,（/）处的切线的斜率。一、/汪忠：若曲

5、线V= /（X）在点S）处的导数不存在，但有切线，则切线与式轴垂直。1n/）°,切线与工轴正向夹角为锐角；,切线与X轴正向夹角为钝角;/= 0,切线与X轴平行。（3）曲线的切线方程如果丁 =，（方在点可导，则曲线尸二/（的在点（礴JH）处的切线方程为:=/0口)0一%)5 .瞬时速度:物体运动的速度等于位移与时间的比， 而非匀速直线运动中这个比值是变化的，如何了解非匀速直线运动中每一时刻的运动快慢程度，我们采用瞬时速度这一概念。如果物体的运动规律满足s=s（t）（位移公式），那么物体在时刻t的瞬时速度v,就是物 体t到t+ t这段时间内，当 t 0时平均速度的极限，即v=rF(r)

6、=.+孙-4 工 h如果把函数了二W看作是物体的位移公式），导数s'体）表示运动物体在时刻坛的瞬时速 度。规律方法指导1 .如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：作差：求出3和卜 _汽电）一1）作商：对所求得的差作商，即 网 电-瓦 。一、/汪忠：0 _/（覆）-/（/）/（为+3一/（再）（1）取勺一看除 ,式子中A五、&V的值可正、可负，但A汇的值不能为零，H的值可以为零。若函数, 为常数函数时，&。（2）在式子及修一近中，小与丛是相对应的“增量”，即在及二看时，3 =/（吗）-/（/）a _ 4Ax）n）（3）在式子A工Ah 中，当/取定值，汇

7、取不同的数值时，函数的平均 变化率不同；当8左取定值，为取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样。2 .如何求函数在一点处的导数（1）利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法”。计算函数的增量：咐；求平均变化率：AxA工；尸（%） = Hm 生= 11 m取极限得导数：'口及 IA工。（2）利用基本初等函数的导数公式求初等函数的导数。3 .导数的几何意义设函数= /（工）在点飞的导数是尸国），则,优）表示曲线，=/（力在点（频JM） 处的切线的斜率。设M二式。是位移关于时间的函数，则 式G表示物体在时刻的瞬时速度；设廿二 v（f）是速度关于时间的函数，则3（幻表示物体在

8、3;二。时刻的加速度；4 .利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤求出V二八功在而处的导数/'（电；利用直线方程的点斜式得切线方程为 k =/5好-%） 0类型一：求函数的平均变化率C 求产二2八1在吃到七+及之间的平均变化率，并求=1产-2时平均变化率的值.Ay _ f（x0 +Ax）-/faj思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式 柢 Ah进行操作.【变式1】求函数y=5x2+6在区间2 , 2心荒内的平均变化率。【变式2】已知函数八分别计算 以口在下列区间上的平均变化率:(1) 1,3;(2) 1,2;(3) 1 ,1.1;(4) 1 , 1.001.1 :【变式3】自由落

9、体运动的运动方程为2 ，计算t从3s到3.1s , 3.01s , 3.001s各段内的平均速度(位移s的单位为m> 。【变式4】过曲线冲八工)三/上两点尸0)和Q0+加+3)作曲线的割线，求出当& 时割线的斜率.类型二：利用定义求导数2、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。举一反三:【变式1已知函数 工(1)求函数在x=4处的导数.产一« P(4r-)(2)求曲线 x 上一点 4处的切线方程。【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数:(1),您)=，/二工,力工)(4)工Q3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数 y

10、=x3+2x在x=1处的导数值，再由导 数的几何意义，得所求切线的斜率，将 x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.举一反三：【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线:(1)平行于直线y=4x5;(2)垂直于直线2x6y+5=0;(3)与x轴成135°的倾斜角。知识点三：常见基本函数的导数公式(1)，=C (C为常数),/=°(2)八疗二1(n为有理数)，/口)三外(3) /二叫/二侬工(4) /(工)=8门，义工)二一纪门(5)八，“船靖/必二尸二屋出口/W = lnx工（8）-gd 尸 4"知识点四：函数四则运算求导法则设丁,自（幻均可导（1）和差的导数：

11、m幻土以切.尸士改）积的导数：次力以力丁=尸团宫+力日）啊,=虱工）7才（3）商的导数：式琦一 慧?（虱°）知识点五：复合函数的求导法则即复合函数沙=双由对自变量工的导数等于已知函数尸对中间变量"=就制的导数力3乘以中间变量期对自变量X的导数注意：选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不 遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。规律方法指导1 .求复合函数的导数的一般步骤适当选定中间变量，正确分解复合关系；分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；把中间变量代回原自变量（一般是 x）的函数。整个过程可简记为分解一一求导一一回代，

12、熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复 合，可以相应地多次用中间变量。类型一：利用公式及运算法则求导数1、求下列函数的导数：(2)1(1)(3) ”1空/-1第”；(4) y=2x33x2+5x+4举一反三：【变式】求下列函数的导数:(3) y=6x34x2+9x 62、求下列各函数的导函数(1)八乃(3) y=(2) y=x2sinx;犬十C0SX(4) y=H + W举一反三：【变式U函数歹=（工+15- 1）在人二1处的导数等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【变式2】下列函数的导数21'- 3篡+6-1（1） ¥=（工 + 1）（2/ +弘-1）；'式必【

13、变式3】求下列函数的导数.y =+ - +(1) 工(2) ;(3)工类型四：复合函数的求导3、求下列函数导数.严1G + 2)；(4)y = cos(2 + l)举一反三：【变式11求下列函数的导数:（1）+寸;(3) y=ln (x+ J1+,)；(4)j (x) = e-r(cos x + sin x)类型五：求曲线的切线方程4、求曲线y=x=2x在x=1处的切线方程.【变式U求曲线"一嚏在点9')处的切线的斜率，并写出切线方程【变式2】已知尸C1D, 0(2,%是曲线,二上的两点，则与直线尸0平行的曲线 =/的 切线方程是.【变式3】已知曲线 ".(1)求曲线口上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线口是否还有