第4章 费率厘定

1、4.1 基本术语危险（风险）单位危险（风险）单位危险（风险）单位危险（风险）单位(exposure unit)：风险进行度量的基本单位，不同的险种有不同的风险单位；承保（到期）危险承保（到期）危险(written exposures)：指一定时期内保险人已经签订了保险合同的风险单位数；承担危险承担危险(earned exposures)：指各个相应时间内已经承担责任的危险单位数量；有效危险有效危险(in-force exposures)：指在一个给定的时刻危险单位数量。索赔索赔索赔索赔(Claim)：是指保险事故发生后，索赔人索赔人(claimant)根据保险合同的条款提出的赔付要求。事故日期

2、事故日期(Accident date)：引起索赔的事故发生日期。报告日期报告日期(report date)：保险人收到索赔通知的日期。报告延迟报告延迟(reporting lag)：从发生到发现并报告所需要的时间导致的延迟。理算延迟理算延迟(settlement lag)：在非寿险事故报告后，往往不能立即认定责任达成赔付协议，期间所需要的时间导致的延迟。结案延迟：结案延迟：对一次性赔付的案件来说，理算完毕即可结案。对多次定期赔付的案件来说，理算完毕和结案之间的延迟会很长。索赔频率索赔频率索赔频率索赔频率(frequency)：F为索赔频率；C为索赔总次数；E为危险单位总数2001年有5,750

3、个车年的承担危险，并且有287个事故日期在2001年的索赔，那么索赔频率为多少？ECF l损失和损失调整费用损失和损失调整费用损失损失(losses)：已付和应付给索赔人的数额。已付损失已付损失(paid losses)：在一个特定时期实际已经支付给索赔人的损失。个案准备金个案准备金(case reserve)：对每一个在预期的未来将有支付发生情形的索赔，未来支付数额的估计。已发生损失已发生损失(case-incurred losses)：某个事故年(accident year)所有已付损失和个案准备金的总和。最终损失最终损失(ultimate incurred losses)：包括在计算已发

4、生损失时还没有报告到保险公司的损失。事故年年龄事故年年龄(accident year age)：事故年年龄一般以月为单位。按惯例，到某事故年的最后一天, 该事故年具有12个月的年龄。如在6/1/2001对事故年2000年已发生损失的评估被称为事故年2000年已发生损失在年龄18个月时的评估。损失调整费用损失调整费用(loss adjustment expense)u分摊损失调整费用分摊损失调整费用(allocated loss adjustment expense)：与索赔直接相联系的损失调整费用。u非分摊损失调整费用非分摊损失调整费用(unallocated loss adjustment

5、expense)：与索赔不直接相联系的损失调整费用。索赔强度：索赔强度：每个索赔的平均损失S为索赔强度；L为损失；C为索赔总次数。纯保费纯保费(pure premium)：每危险单位的平均损失P为纯保费；L为损失；E为危险单位总数。纯保费也可以表示为每危险单位的索赔频率与索赔强度的每危险单位的索赔频率与索赔强度的乘积乘积：CLSELP SFCLECP费率厘定的数据发生年度数据在一个日历年度内所有发生的损失事件的保单数据称为发生年度数据。报告由已付赔款和未付赔款准备金组成 。例：发生年度数据发生发生年年进展进展12243648607219942,116,135$3,128,695$3,543,4

6、45$3,707,375$3,854,220$3,928,80519952,315,9203,527,1973,992,8054,182,1334,338,76519962,743,6574,051,9504,593,4724,797,19419973,130,2624,589,4305,230,43719983,625,4185,380,61719993,919,522保单年度数据保单年度数据在一个日历年度内所有签发的保单数据称为保单年度数据。 例：1999年的保单年度数据是指1999年签发的所有保单数据。平均事故日期若假设所有的签单日期和事故发生日期均匀分布，则1999年内签发保单的事故发

7、生日期中点是12/31/1999子夜（或1/1/2000零点） 保单年度的数据由已付赔款和未付赔款准备金组成。 费用、利润与安全负荷费用、利润与安全负荷厘定费率需要考虑的因素：厘定费率需要考虑的因素：u纯保费纯保费(pure premium)u可变费用可变费用(variable expenses)：随保单价格的变化而变化的费用。u固定费用固定费用(fixed expenses)：和保单的价格无关的费用。u利润利润为什么保费大于纯保费对于保险人从风险理论中可以知道, 保费大于纯保费使保险人不至于破产。在实践中，保险公式的营业费用和合理的利润都要在收取的保费中加以考虑。对于投保人效用角度假定某投保

8、人拥有价值为100单位的财产，但这笔财产将面临某种损失，这一风险被表示为随机变量Y，Y是服从0到36之间均匀分布的随机变量。假设此人的效用函数为其中X是他的财富。问他应付出多大一笔保费G去全额投保这笔财产？( )u xx解答：由随机损失的概率密度函数 得到 。保险人将收取大于18的保费如果投保人购买了保险，则他的财富是确定的，即100G，效用为 。如果他不购买保险，则他的财富是随机变量100Y，那么他剩余财富的期望效用可以计算如下1( )36f y 36/218E Y 100G363/20 (100)( )1 1003612244 (100)36327 E Uuyf y dyydyy解答（续）

9、投保人愿意支付的保费G应该使得不管他购买保险与否其剩余财富的期望效用值相等。因此，我们通过解得到G18.33。投保人购买保险最高愿意支付18.33，这超过了他的期望损失18。如果保险人收取的保费小于18.33。这个投保人就会购买该保险。24410027G费率厘定每个危险单位的费率每个危险单位的费率:uR为每危险单位的费率；uP为纯保费；uF为每个危险单位的固定费用；uV为可变费用因子；uQ为利润因子。l因此有：lRV为可变费用；RQ为利润。QV1FPRQRVRFPR假设：纯保费为75.00，每个危险单位的固定费用为12.50，可变费用因子为17.5%，利润因子为5.00%，则费率为该费率的各個

10、组成部分如下：纯保费为75.00，固定费用为12.50，可变费用为19.76，利润为5.64，总计为112.9075.00 12.50112.901 0.1750.050R保费保费(premium)上面的例子中，假设危险单位是一辆保险期为1年的商用汽车。如果某份保单有15辆商用汽车，则其保费为：112.90 15 = 1693.50承保保费承保保费(writtenpremium)、承担保费承担保费(earnedpremium)和有效有效保费保费(in-forcepremium)。如果上面所讨论的保单是从7/1/2000开始，承保时间为12个月，那么到12/31/2000为止，这份保单的上述几种

11、保费如下所示： 2000日历年承保保费 1693.502000日历年承担保费 846.7512/31/2000有效保费 1693.50损失率（赔付率）损失率（赔付率）损失率损失率(loss ratio)是在保险损失分析中最广泛使用统计量中的一个。它等于损失除以保费。损失率可以基于纯损失而不包括各种损失调整费用，也可包括分摊的或总的损失调整费用。损失可以是已付的，已发生的，或者预测的最终损失。保费可以是承保或承担保费。费率厘定的目标费率厘定的目标供足够的资金去支付预期的损失和费用，并且能给投资者产生一个合理的回报提供足够的准备金，以应付突发事件和不利的偏差。费率一般要经过监管机构的审核。审核通常

12、是基于这样一个监管标准，即类型和特性相似的风险，他们之间的费率不应该有不适当，过分，或不公平的差别。费率厘定系统费率厘定系统费率厘定系统费率厘定系统(rating plan)：在为某个危险单位厘定费率时，综合所考虑的各种因素而形成的结构。其中的各个因素通常称为费率因子费率因子(rating factor)。没有被考虑对损失有影响的费率因子将导致的两种不同情况：当费率厘定系统没有考虑某个含有倾向于减少损失趋势有利特征的费率因子，厘定的费率太高了。如果没有考虑某个含有不利特征的费率因子，将导致使用过低的费率。费率因子的风险特征：费率因子的风险特征：主要影响索赔频率的特征和主要影响索赔强度的特征。4

13、.2 费率厘定过程费率厘定所根据的保费计算原理有许多。这里的方法是基于期望值原理的费率厘定的两个基本的方法：（1）纯保费法）纯保费法（2）损失率法）损失率法（1）纯保费法纯保费法确定的费率预期能够满足期望损失与费用的需要，并提供预期的利润水平。 ，这里的损失L除了保险公司已付和应付给索赔人的损失外，还要加上损失调整费用。QV1FPRELP (2)损失率法损失率法来源于纯保费法,纯保费法厘定费率为EF刚好是在经验期的总的固定费用,记G=EF/L,它表示经验期的总的固定费用与损失之比。令R0为当前费率，则ER0是经验期里总的承担保费,则令 ：经验损失率。目标损失率：QV1LEF1ELQV1FELQ

14、V1FPR00RQV1G1ERLR0ERLW ERLG1QV1T公司希望得到的目标保费损失损失率法由下面的公式厘定费率： ：调整因子，经验损失率/目标损失率损失率法直接来源于纯保费法，它们只是表现的形式不同。损失率方法得到的公式 实际上给出了一个逐步改进的费率估计公式。0ARR TWA （3）如何选择合适的方法纯保费法是建立在每个危险单位的损失基础上的，它需要严格定义的危险单位。若危险单位不知道或各危险单位间有差异，比如在火灾险的情形，则纯保费法不适用。因为损失率法得到的是当前费率的变化，所以它需要当前的费率和保费的历史记录。而新业务的费率厘定，我们只能利用相关公司或相关险种的损失数据，没有历

15、史记录，那么只能使用纯保费法。损失率法不适用于新业务的费率厘定。当然，如果没有任何的统计数据可用，则这两种方法都不适用。损失率法需要的是当前水平承担保费，所以在当前水平承担保费难以计算时，纯保费法更为适用。在某些险种中，对保单需要进行个体风险的费率调整，此时就很难确定损失率法中需要的当前水平承担保费，在这种情况下若采用纯保费法更为合适。关于历史数据中的不同费率调整到一个统一费率的问题，下面会专门论述。注意事项（1）经验期的选择）经验期的选择使用可以获得的最近期的损失经验数据，而同时这样的损失经验数据很可能比成熟期（指具有较多的已经结案的保单的经验期）包含了更高比例的未付损失，因此更有可能会在对

16、损失进行预测时带来误差。当所涉及的业务会有灾害性的损失时，比如在易出现龙卷风地区的风暴险项目，经验期必须足够长，以致于能代表灾害的平均发生率。经验期必须包含足够的损失经验数据以使最后的结果具有统计的可信性。（2）再保险的影响）再保险的影响费率的分析要基于再保险之前的保费和损失数据。当再保险的成本很大时，再保险费经常作为费用准备的一个独立的部分。（3）保险项目的差异）保险项目的差异一个保险业务中各个主要的保险项目应该分别处理。不仅各项目的经验损失数据要分开考察，而且保费和危险单位数据也要分离。（4）提高限额时的处理方法）提高限额时的处理方法限额限额(Limit)：当索赔发生时，保险公司的赔付不超

17、过限额。保险公司的赔付为Min(X, u)，费率为 EMin(X, u) 。在实践中，保险公司通常会对同样的标的提供不同的限额，供投保人选择。最低的限额叫基本限额基本限额(Basic Limit)，其他限额叫提高限额提高限额(Increased Limit)。责任险费率的厘定首先确定基本责任限额的费率，然后厘定出提高限额因子。更高的限额的费率等于基本限额费率乘以提高限额因子高限额因子(Increased Limit Factor)。例如，某保险公司提供两种限额，u1和u2，u1 均值：过离散（over-dispersion）大量保单没有索赔发生：零膨胀（zero-inflation）分层（组内

18、相关）索赔频率数据的特点索赔频率预测模型传统的线性回归模型最小偏差模型（minimum bias procedure)广义线性模型及其推广泊松回归模型过离散回归模型零膨胀回归模型分层（多层）回归模型传统线性回归模型的问题传统线性回归模型的问题：正态，同方差。索赔频率：非负，离散， 均值越大，方差越大。最小偏差模型的问题最小偏差模型的问题：统计检验广义线性模型广义线性模型：解决上述问题泊松分布：方差等于均值实际索赔次数：方差大于均值（过离散）风险防范意识增强，大多数保单不会发生事故；应用了免赔额或无赔款折扣等条款，许多被保险人在发生轻微事故时不会提出索赔；个别被保险人的风险太大，远远高于总体平均

19、水平。问题：低估标准误，高估显著性水平，保留多余的解释变量，最终导致不合理的费率厘定结果 泊松回归模型假设泊松分布的概率函数为 结构函数为 混合泊松分布的概率函数可以表示为混合泊松回归: 假设 Yi 服从混合泊松分布( )kp( )u0( ) ( )dkkppu过离散：混合泊松回归模型结构函数与混合泊松分布结构函数与混合泊松分布：伽玛结构负二项分布逆高斯结构泊松-逆高斯分布对数正态结构泊松-对数正态分布。广义泊松分布：结构函数没有显式表达（Joe and Zhu, 2005）。结构函数的尾部越厚，混合泊松分布的尾部将会越长：泊松-对数正态 泊松-逆高斯 负二项双泊松分布：方差可以大于均值。负二

20、项回归模型负二项回归模型:()Pr() () , 0,1,( ) (1)iyaiiiiiiiiayaYyyayaa 2 , / iiiiiE YVar Ya exp Pr !iyiiiiiiiiYyE YVar Yy 泊松：，索赔频率预测模型的比较索赔频率预测模型的比较 泊松泊松-逆高斯回归模型：逆高斯回归模型：230exp(1) /(2)exp()Prd!2iyiiiiiYyy 2 , iiiiiE YVar Y exp Pr !iyiiiiiiiiYyE YVar Yy 泊松：，泊松泊松-对数正态回归模型对数正态回归模型：2220exp(ln/2) /(2)exp()Prd!2iyiiiiiYyy 22 , exp() 1 iiiiiE YVar Y exp Pr !iyiiiiiiii