第八章__槽道内层流流动与换热

1、 高等传热学内容4第一章 导热理论和导热微分方程4第二章 稳态导热 4第三章 非稳态导热 4第四章 凝固和熔化时的导热 4第五章 导热问题的数值解 4第六章 对流换热基本方程 4第七章 层流边界层的流动与换热 4第八章 槽道内层流流动与换热 4第九章 湍流流动与换热 4第十章 自然对流 4第十一章 热辐射基础 4第十二章 辐射换热计算 4第十三章 复合换热 第八章第八章 槽道内层流流动与换热槽道内层流流动与换热 4本章将讨论由壁面形成的槽道内的流动摩擦和流体与槽道壁面间的传热问题，即槽道内的流动阻力或压降如何？垂直于流动方向的传热系数或热阻的确定。4本章值得特别指出的一个重要问题是充分发展流动

2、与换热。传统的充分发展流概念，总是与自维持相关，用于处理N-S方程，然而这并不能明确地说明这一概念。本质上，充分发展流是外部流动问题的边界层理论的发展或延续。其目的是相同的，均将流动的研究限于局部区域(分为两个区域)，使问题的分析简化。 8-l 进口段和充分发展流进口段和充分发展流 48-1-1 进口段进口段4将积分方法应用于槽道内。如图8-1 所示，两个平行平板形成一个二维槽道，流体进口速度为U。讨论的重点是壁面摩擦力及槽道内的速度分布。Sparrow给出了该问题较详细的积分求解过程。4前已说明，边界层理论是讨论在有限细长区域内的粘性流动，因而可以预测，速度边界层在距离槽道入口不远处形成。在

3、入口处与外部流动完全相似，边界层厚度的增长只能达到D/2。之后，上、下边界层将相遇，这样槽道内的流动可以分为两个明显不同的区域。第一个区域称为入口段或发展段，在壁面附近存在边界层，两个边界层之间为无粘流动，与外部流动问题十分接近；边界层闭合之后的区域为第二个区域，槽道内不存在无粘区，粘性区域充满整个通道，已不再是边界层流动。由布劳修斯解可以估算入口段长度： 4 (8 -l-l) 0.01ReDx D8-l 进口段和充分发展流进口段和充分发展流 图8-1 两平行平板间层流流动边界层的形成与发展 8-l 进口段和充分发展流进口段和充分发展流 4与外掠平板不同的是，由于边界层的排挤，部分流体进入核心

4、区使之加速。这种加速使进口段边界层的增厚减缓，但每个流动断面的质量流量UD是相同的。4在入口段的核心区域，压力与速度的关系可以由伯努利方程得到，即4 (8-1-2) 4其中Uc为核心无粘区的流速。值得注意的是，UcUc (x)，与外掠平板状况有所不同。4同样，采用积分方程可以得到4 (8-l -3) 4由质量守恒得到4 (8-l-4) 10ccdUdpUdxdx200()()()cccy DdUduUu udyUu dydxdxy202DcDudyU dyU4假设边界层内充分发展流速度分布为二次方多项式4 (8-l-5)4求解式(8-1-3)和式(8-1-4) 得到4 (8-l-6) 4即 (

5、8-1-7) 8-l 进口段和充分发展流进口段和充分发展流 22( )cuyyU3(1)2cUDU( )3(1)2cxUDU4令 4得到 4 (8-l-8) 4和 4与式(8-1-1)比较不难看出，无论积分方程，还是相似解，得到的流动入口段长度属同一数量级，它与DReD之比均在10-2数量级。 8-l 进口段和充分发展流进口段和充分发展流 ( )2xD3( )2cUxU0.026ReDx D4流动入口段与充分发展段的根本区别，可以进一步用壁面摩擦切应力沿流动方向x的变化来解释。局部摩擦系数的定义为4 (8-1-9) 4其中 4代入式(8-l-6)，(8-l-8)，得到4 (8-l-10) 4在

6、入口段区域，局部摩擦系数Cf,x随x增加而减小，原因是随边界层加厚，速度分布趋缓，在壁面处的速度梯度逐步减小。但需要强调的是，核心速度Uc随x增大。对于充分发展段，由于速度分布已定型，与x无关，因而Cf,x也不随x 变化。 8-l 进口段和充分发展流进口段和充分发展流 ,2( )12wf xxCU2()wDyuy,8(1)Re3tcf xDcUUCUU48-1-2 充分发展流动4考虑图8-1所示的二维稳态流动的连续性方程与动量方程4 (8-1-11) 4 (8-l-12) 4 (8-l-13) 4假定充分发展流区域距离进口足够远，在流道截面上只有沿流动方向的速度。在断面上变化，法向速度v可以忽

7、略。由方程(8-1-11)得到4 (8-1-14) 8-l 进口段和充分发展流进口段和充分发展流 0uvxy22221()uupuuuvxyxxy 22221()vvpvvuvxyyxy 0,0uvx4通常，上式被认为是充分发展流的定义和起始点，但更主要的是式(8-l-14)的量级基础。充分发展流区域中，y方向的数量级是槽道宽度D。由连续性方程可知。vDU/L，而LD，可以忽略。而对于流动入口段，y的数量级是 (随x变化)，因而v和u/x均不能忽略。4将式(8-1-l4)代入式(8-l-13)，得到 4 (8-l-15) 4表明压力p只是流动方向x的函数，这一点与外掠平板的边界层分析是类似的，

8、即在流道断面上压力是均匀一致的。进一步，由式(8-1-14)得到4 (8-l -16) 4上式左、右侧分别是x和y的函数，因而只能等于一个常数。 8-l 进口段和充分发展流进口段和充分发展流 0py222Dydpudxy常数4考虑壁面处非滑移条件和轴对称条件：4 (8-1-17) 4求解式(8-1-16 )即得到著名的二平行平板间流动的哈根-泊肃叶速度分布4 (8-1-18) 4速度分布是抛物线型。 8-l 进口段和充分发展流进口段和充分发展流 0,02uyDyu y=0,2231 ()22()14yuUDDdpUdx4一般式(8-1-16)可以表示为4 (8-l-19) 4式中， 4对于圆管

9、内充分发展流动，壁面处速度u=0时，得到速度分布为4 (8-l-20) 8-l 进口段和充分发展流进口段和充分发展流 2dpudx 常数220ux202021 ()()8ruUrrdpUdx48-2-1 充分发展流的速度分布和摩擦系数充分发展流的速度分布和摩擦系数4当流体的物性不随温度、压力变化时，速度场与温度场是非藕合的。求解速度场时不需考虑温度分布，可以单独求解。4上一节已求出的平均速度U表示的圆管内充分发展流动的速度分布(8-1-20 )，即4进一步可以得到壁面处的摩擦应力当量4 (8-2-l) 4由壁面摩擦系数定义8-2 充分发展流的流动与换热充分发展流的流动与换热 2021 ()ru

10、Ur004wr rduUdrr 212wfCU4得到4 (8-2-2) 4通常，在讨论槽道流时经常使用阻力系数，并定义为4 (8-2-3) 4考虑平均速度定义式(8-1-20)，即4得到4 (8-2-4)4因而4 (8-2-5) 8-2 充分发展流的流动与换热充分发展流的流动与换热 02048161Re2fU rCUrU2()12dp dx DfU208rdpUdx 64Ref 4ffC 8-2 充分发展流的流动与换热充分发展流的流动与换热 48-2-2 充分发展管内层流的换热充分发展管内层流的换热41. 平均温度平均温度4管流换热的基本问题是流体与壁面间的温差和流体与壁面间的传热速率。为不失

11、一般性，考虑如图8-2所示的管内流动，其平均速度为U, 半径为r0。4根据热力学第一定律,稳态时壁面对流体的加热率等于流体焓的增加，即4 (8-2-6)4假定流体为理想气体， ，或为不可压缩流体，dh cdtm，上式转化为4 (8-2-7) 02()mx dxxqr dxqhhpmdhc dt02mpdtqdxrc U8-2 充分发展流的流动与换热充分发展流的流动与换热图8-2 管内流动换热 8-2 充分发展流的流动与换热充分发展流的流动与换热 4式中，控制体的温度tm是流体的截面平均温度，但流动断面上的流体温度并非均匀一致。某一断面上任一点的温度t(x, r)一定与截面平均温度tm(x)存在

12、一定关系，但tm不是任何其它形式的平均，而是热力学定义的主体流动的平均温度。考虑某一断面的热力学第一定律4 (8-2-8) 4将式(8-2-7)代入式(8-2-8)，得4 (8-2-9) 4常物性时4 (8-2-10) 4本节开始已述，管流的基本问题是流体与壁面间温差与传热速率的关系，牛顿冷却公式中采用ttwtm，感兴趣的是得到对流换热表面传热系数4 (8-2-11) 02pAqr dxduc tdAmppAtc UAduc tdA0220001rmtutrdrdr U 0()r rwmwmtrqhtttt 8-2 充分发展流的流动与换热充分发展流的流动与换热 42. 充分发展的温度分布充分发

13、展的温度分布4从上式可以看出，欲得到传热速率，首先要确定流体的温度场。通常的方法是求解能量方程。二维管流的能量方程为4 (8-2-12) 4由充分发展流的定义知，v0，uu(r)，则上式简化为4 (8-2-13) 4上式表明了能量的平衡，它包括轴向对流、径向导热和轴向导热，由式(8-2-7)知4 (8-2-14) 4相对应项的数量级为4对流项导热项 径向轴向4 (8-2-15) 22221()tttttuvaxrrrrx22221()ttttuaxrrrx()ptqD c Ux()pUqa D c U2tD1()pqx D c U8-2 充分发展流的流动与换热充分发展流的流动与换热 4考虑流体

14、与壁面的传热是依靠壁面处的导热，因而轴向导热 不能忽略。对流项可应用牛顿冷却公式，简化为 ，轴向导热为 。4对于 的情况，轴向导热可以忽略，得到 ，即Nu1。注意，1是指 的数量级。4不难推出， 时能量方程简化为4 (8-2-16) 2tDhD22() ()hDaUD1DUDPea?1hD2t D1DUDPea?221uttta xrrr8-2 充分发展流的流动与换热充分发展流的流动与换热 4对于充分发展流，U=U(r)与x无关。 的数量级为 ，即热扩散的影响到达中心，这一点不适用于热进口段。因为，此 时 ，而thin (hin/r0)时，tw逼近外侧流体温度t，t= tw=常数，即前面介绍的

15、常壁温情况。若h0hin，外侧热阻很大，管内流体平均温差twtm与x无关, tw和tm均随x线性变化，如图8-4所示，与前面讨论的常热流情形类似。 0()wqh tt11212010(ln)wrrr rhrh8-2 充分发展流的流动与换热充分发展流的流动与换热 图8-4 第二类边界条件下充分发展流的换热 8-2 充分发展流的流动与换热充分发展流的流动与换热 4当是有限值时，twtm和q在x方向的变化为指数形式，这属更一般的状况。为分析方便，引入整体Nu数概念：4 (8-2-42a) 4管内侧Nu数为 4 (8-2-42b) 4两者的关系是4 (8-2-43) 4其中毕握数4 (8-2-44)

16、mqDNuttwmqDNutt101212NuBiNu02h DBi8-2 充分发展流的流动与换热充分发展流的流动与换热 4由无量纲温度 ，得到4 (8-2-45) 4于是能量方程( 8-2-16 )可以写为4 (8-2-46) 4边界条件是4 (8-2-47) mtttt()mtttt22212(1)totddNurdrr dx0,01drdrdrBidr 轴对称，8-2 充分发展流的流动与换热充分发展流的流动与换热 4壁面处的能量平衡4 (8-2-48) 4考虑式(8-2-42)中Nutot的定义，有4 (8-2-49) 4图8-5给出了式(8-2- 4)的的解，当Bi由时，Nu数由4.3

17、63.66。 0()wtqh ttr12totNudrdr ，8-2 充分发展流的流动与换热充分发展流的流动与换热 图8-5 第三类边界条件下充分发展流换热的Nu数 8-3 热入口段层流换热热入口段层流换热 4上一节讨论的换热局限于速度与温度均进入充分发展的层流状况，即当用x描述距离入口的距离时4 (8-3-l) 4其中L和Lt分别为流动入口段与热入口段的长度。48-3-1 热入口段换热分析热入口段换热分析4由入口段与充分发展流分析可知， 。流动入口段长度L 与热人口段长度Lt的关系与流体的Pr数直接相关。对于外部流动 ，可以推测 一定随Pr数增大而减少。4Pr1时与外部边界层问题不同，在温度

18、边界层t内，速度分布不用简化，因而对于Pr1，仍然是4这与Pr1的情况是相同的，因此式(8-3-4)也适用于Pr1的情况。比较式(8-3-4)，(8-3-5)得到4 (8-3-6) 4因此，对于热入口段(xLt),有4 (8-3-7) 11112222RePrRePrtxxxx:PrtLL12()Re()PrhhhbtbhDDDx DqNutD8-3 热入口段层流换热热入口段层流换热 48 -3-2 热充分发展的均匀流4当Pr1时，流动入口段远大于热入口段，可以近似认为在x远大于热入口段，而又远小于流动入口段，即与Lt x1的要求不一致。但当考虑一固体在一个加热的套筒中运动时，可以出现速度均匀

19、一致的现象，将前面均匀温度流体加热圆管的速度分布调整为无量纲速度为1，可得到贝塞尔方程为4 (8-3-8) 4式中Nutot数由下式隐含给出：4 (8-3-9) 4考虑极限情况(见图8-4) 4 (8-3-10) 4可见，当温度分布充分发展以后，未充分发展的速度分布可以增大Nu数，即进口效应。 1 21 201 2()()tottottotNuJr NuLJ Nu1 21 21 210()()tottottotNuJNuBiJNulim2lim5.783totBitotBiNuBiNu8-3 热入口段层流换热热入口段层流换热 48-3-3 具有泊肃叶流动的热入口段换热具有泊肃叶流动的热入口段换

20、热4当Pr1 时，热入口段长度Lt远大于流动入口段长度L，在L x Lt范围内，流动已充分发展，而温度分布正在发展之中，忽略轴向导热(Pex 1)，考虑条件：4 常壁温 tw=常数4 中心轴对称 r=0, 4均匀入口温度 ，4引入无量纲温度 0trxLmttwmwtttt8-3 热入口段层流换热热入口段层流换热4无量纲尺寸 (8 -3-11)4代入管内流动能量方程(8-2-16 ) ，得到4 (8-3-12) 4对应的边界条件为4 (8-3-13) 0Re PrDrrrx Dx22112rrr2（1-r ）x1,00,00,1rrrx8-3 热入口段层流换热热入口段层流换热4采用分离变量方法求

21、解上面的线性齐次方程。设4 (8-3-14)4将其代入式(8-3-12)得到对应的R和E方程：4 (8-3-15) 4 (8-3-16) 4由线性叠加原理得到的最终解的形式为4 (8-3-17a) ( )R r E x（ ）221(1)0RRrRr2 20EE20exp( 2)nnnnC Rx8-3 热入口段层流换热热入口段层流换热4其中Rn为特征函数，n为特征值，Cn是常数，并可根据x*=0的条件来确定。最终换热的结果是4 (8-3-17b) 4 (8-3-18) 4 (8-3-19) 4当x0.1 时，无穷级数迅速收敛，取第一项即可，则4 (8-3-20) 2208exp()nmnnnGx20220exp( 2)2exp( 2)nnnxnnnnGxNuGx02201128exp()xnnnnNuxGx2000200exp( 2)3.662exp()2xnGxNuGx8-3 热入口段层流换热热入口段层流换热4表明x*1时的Nux数与热充分发展时的Nux数的值相等。因此认为进口段的无量纲长度，即4 (8-3-21) 4前面给出的Nu