圆锥曲线必掌握的题型和方法

1、圆锥曲线必掌握的题型和方法一、定义1 .椭圆：2 .双曲线：3 .抛物线：4 .圆锥曲线统一定义：题型一：轨迹问题1 .一动圆与两圆：x2 y2 1和x2 y2 8x 12 0都外切，则动圆的圆心 的轨迹方程是什么？ ( 2000全国高考试题)2 . 一动圆与圆x2 y2 6x 5 0外切，同时与圆x2 y2 6x 91 0内切，求动 圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。23 .双曲线土 y2 1有动点P,巳下2是曲线的两个焦点，求 PF1F2的重心M的 9轨迹方程。4 .已知动点P(x,y )满足条件5d x 1 2 (y 2)2 |3x 4y 12 ,求点P的轨迹。5 .已知在三角

2、形 ABC, A (3, 0) , B ( 3, 0)且三边AC, AB, BC的长成 等差数列，求顶点C的轨迹。题型二：焦点三角形问题221、已知椭圆 幺1的左右焦点为F1、F2, P为椭圆上一点，94(1)若/ F1PF2=90O,求25F£ 的面积(2)若/ F1PF2=60°,求RPE 的面积222、已知双曲线匕 1的左右焦点为F1、F2, P为双曲线上一点，54(1)若/ F1PF2=900,求25F£ 的面积(2)若/ F1PF2=600,求RPE 的面积223、巳下2是椭圆。-yy 1(a b 0)的两个焦点，以F1为圆心且过椭圆中心的 a b圆与椭

3、圆的一个交点为M。若直线F2 M与圆巳相切，求该椭圆的离心率。224、椭圆 1的焦点为FF2。点P为其上的动点，当 F1PF2为钝角时。94点P横坐标的取值范围为多少？ ( 2000年全国高考试题)22225、椭圆x2 yF(a b 0)和双曲线2y 4(m,n 0)有公共的焦点'(c,0)、 a bm nF2(c,0), P为这两曲线的交点,求|PF1| |PF2|的化题型三：两线段和(差)的最值问题21 .已知点A(3, 2), F (2,0),试在双曲线x222(3)与双曲线、4 1共焦点的双曲线系方程：-J = 1(0(入c2)a bc41上求一点P,使|PA |PF最小，并求

4、最小值。2 22.已知点A (2, 1)在椭圆上 工 1内，焦点F的坐标为(2, 0),在椭圆上1612求一点P,使|PA 2 PF最小.3 .已知P为抛物线上y2 4x的一点，记点P到Y轴的距离为d,对于定点A (4,5),求PA d的最小值。4 .已知抛物线y2 x上一点P到直线x y 2 0的距离为d1 ,到Y轴的距离为d2 ,求d1 2的最小值二.标准方程1 .椭圆：焦点在X轴上焦点在Y轴上2 .双曲线：焦点在X轴上焦点在Y轴上3 .抛物线：焦点在X轴正半轴上焦点在X轴负半轴上焦点在Y轴正半轴上焦点在Y轴负半轴上 题型一：标准方程求解问题2222(1)与椭圆,%1共焦点的椭圆系方程：人

5、1(人，)22222(4)与双曲线xy ay2b21共渐近线的双曲线系方程为(入 手0)与椭圆y b1具有相同离心率的椭圆系方程为%*(人0)(5)等轴双曲线系方程为：x2 y2=入(入* 0)22(6)过任意两点的椭圆或双曲线的标准方程的一般形式- y- 1m n1.求经过点(2, -3),且与椭圆9x2+ 4y2= 36有共同焦点的椭圆方程。222.求与椭圆 上1有相同离心率且经过点(2, V3)的椭圆的标准方程。43223 .求与双曲线 匕1共渐近线且过点A (2套，3)的双曲线方程。1694 .求适合条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点2, 6 ；(2)在X轴上的一

6、个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.5. 根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)过点P 3, , Q ,5且焦点在坐标轴上. 43(2) c <6 ,经过点(一5, 2),焦点在x轴上.22(3)与双曲线 工 1有相同焦点，且经过点3J221646 .求与双曲线X2亡1共渐近线且过A2V3, 3点的双曲线方程及离心率.1697 .求以曲线2x2 y2 4x 10 0和y2 2x 2的交点与原点的连线为渐近线， 且实轴长为12的双曲线的标准方程.8 .求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点 P 1, 3且离心率为V2的双曲线标准方程.9 .椭圆的一个顶点为A 2,0 ，其长轴长是短

7、轴长的2倍，求椭圆的标准方程.10 .已知中心在原点，焦点在 x轴上的椭圆与直线x y 10交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.22211 .已知 ABC的三个顶点是圆x y 9x 0与抛物线y 2 Pxp 0的交点，且 ABC的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程.12 .已知抛物线y2 2px p 0与直线y x 1相交于 A、B两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程.13 .已知直线y x b与抛物线yx7、已知F1, F2是椭圆2 a(1) /F1PE=60°,求椭圆离心率的范围。(2) /F1PF=90&#

8、176;,求椭圆离心率的范 I(3) /FPE为锐角，求椭圆离心率的范围。228、椭圆二 yy 1 与圆 x2 y2 c2 , (a2 b2 c2)a b 2Pxp 0相交于a、b两点，若OA OB, (o为坐标原点)且Saob 25,求抛物线的方程.题型二：标准方程判断问题2 21 .若方程匚 1表示椭圆，则K的范围是3 k 2 k2若方程y 1表示双曲线，则K的范围是2 k2.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为三.离心率1.已知a=2b,求e；已知b=2c,求e；已知椭圆的短轴是长轴和焦距的等差中项，求e2、已知a<2b,求离心率的范围223、(200

9、9江西)过椭圆 三 / 1的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P, F2 a2 b2为右焦点，若/24、过椭圆勺 aF1PE=60°,求离心率 2 1的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P, Q, F2为右焦点, b2(1)若/ F1F2P=48 求离心率(2)若/ RF2P<45°,求离心率的范围(3) /PFQv9°,求离心率的范围 225、过双曲线与-yy 1的左焦点F1作x轴的垂线交双曲线于点P, Q F2为右焦 a b点，(1)若/ F1F2P=45°,求离心率(2)若/ F1F2PV4E,求离心率的范围(4) /PFQv9°,求离

10、心率的范围(4)若PEQ为等边三角形，求离心率的值(5)若PEQ为锐角三角形，求离心率的范围6、已知双曲线的渐近线为3-x ,则双曲线的离心率e42 y b21的左右焦点，p是椭圆上的一点,2）两个交点求椭圆离心率的值（1）没有交点求椭圆离心率的范围（3）四个交点求椭圆离心率的范围9、椭圆2 x-2 a2 y_ b21的右焦点F2直线x2,若过F2且垂直于x轴的弦长等于点 cF2到li的距离，求椭圆的离心率。 2210、（2009浙江文）已知椭圆与与i（a b 0）的左焦点为F,右顶点为A , a buur uuu点B在椭圆上，且BF x轴，直线AB交y轴于点P .若AP 2PB ,则椭圆的离

11、心率是11、（2008全国）设 ABC是等腰三角形，/ ABC=120则以A B为焦点且过点C的双曲线的离心率为12、已知双曲线的两条渐近线的夹角为 602,则离心率为13、（2007福建）已知正方形 ABCD则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆 的离心率为214、（2007湖南）已知F1, F2是椭圆Ta2。1的左右焦点，P是右准线上纵坐 b2标为总c （c为半焦距）的点，且|FiF2|=|F 2P|,则离心率为2215、 （2007北京）已知F1, F2是椭圆三 y- 1的左右焦点，两准线与x轴的 a2b2交点分别为M N,若MN 2F1F2 ,则离心率为2216、（2007湖南理）（较

12、难）已知Fi, F2是椭圆将 y- 1的左右焦点，若右 a2 b2准线存在点P,使线段PFi的中出现中垂线过点F2,则离心率的取值范围2217、（2007全国理）已知Fi, F2双曲线与 4 1的左右焦点，若双曲线上存 a b在点A,使/ FiAF=90°,且|AFi|二3|AF2| ,则双曲线离心率为 2218、. Fi、F2为椭圆* 31的两焦点，若椭圆上存在一点 P,使/ FiPE=90 , 则椭圆的离心率的取值范围2219、双曲线 冬"之1 （a>0,b>0）的两个焦点为Fi、F2,若P为其上一点，且a b| PF|=2| PE|,则双曲线离心率的取值范

13、围为 四.直线与曲线的位置关系题型一：位置关系的判定问题判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l代入曲线C的方程，消去一 个字母(如y)得到一个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,则(1)当aw 0时, 则有A >0, l与C相交；A =0, l与C相切；A <0, l与C相离.(2)当a=0时，得到一个一元一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此 时，若C为双曲线，则l平行于双曲线的渐近线；若 C为抛物线，则l平行于抛物线的对称轴.需要注意的是,当直线与双曲线或抛物线只有一个交点时，直| AB=2近,直线OC的斜率为线与双曲线或抛物线可能相切也可能相交 .23.已知

14、椭圆： y2 1 ,过左焦点F作倾斜角为一的直线交椭圆于A B两点, 96求弦AB的长一22 y4.求直线y x 1被双曲线x 1截得的弦长；4题型三：中点弦问题、设直线方程为y=kx+m ,代入到圆锥曲线方程之中，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系去处理(由于直线方程与圆锥曲线方程均未定，因 而通常计算量较大)；x、利用点差法：例如在椭圆 a弦的直线方程时，可设弦的两端点为2I 1内有一定点P (x0,y0),求以P为中点的 bA (xi,yi)、B(X2,y2),则 A、B 满足椭圆方22. y11-2-1程，即有a2 b2两式相减再整理可得：=-;从而可化出k= = ;x2 y

15、21221a b对于双曲线也可求得：k=-;抛物线也可用此法去求解，值得注意的是，求 出直线方程之后，要根据图形加以检验。221、过椭圆二 1内一点M (2, 1)引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦164所在的直线方程。22、过椭圆642匕1上一点P (-8, 0)作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨 36迹方程。3、求直线y x1被抛物线y2 4x截得线段的中点坐标。五.综合应用题型一：定点、定值问题:这类问题通常有两种处理方法：、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）0【例题

16、11 （2007年高考湖南文科19题13分）已知双曲线x2 y2 2的右焦点为F ,过点F的动直线与双曲线相交于 A、B两点，又已知点C的坐标是A6B9C12D16（1,0） . （I）证明Ca CB1为常数；（II）若动点M满足第uuuCAuuuCBuuurCO (其中。为坐标原点），求点M的轨迹方程.222【例题2】已知A,B为椭圆、与1 （a>b>0）和双曲线弓 a ba2 y b2公共顶点，P,Q分别为双曲线和椭圆上不同于 A,B的动点，且有+= (+)( C R,| |>1),设 AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为 k1,k2,k3,k4,求证:ki+k 2+k 3

17、+k 4为一个定值题型二：最值问题:常见解法有两种：几何法与代数法。若题目中的条件或结论能明显体现某种几何特征及意义，或反映出了某种圆锥曲线的定义，则直接利用图形的性质或圆锥曲线的定义来求解，这就是几何法；将圆锥曲线中的最值问题通过建立目标函数，转化为二次函数或三角函数的最值问题,再充分利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去求解。【例题3】、抛物线x2=4y的焦点F和点A（-1,8）,P物线上一点，则|PA|+|PF|最小值是（）Mq 2)p）为抛若将上题中点A的条件改为A(3,1),其它不变，则应为【例题4】(2007年安徽高考题)设F是抛物线G:x2 4y的焦点.设A、

18、B uuu uuu为抛物线G上异于原点的两点，且满足FAgFB 0 ,延长AF , BF分别交抛物线G于点C、D,求四边形ABCD面积的最小值.【例题5】、(2007年全国高考题 12分)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x 6y 4相切.(1)求圆。的方程；(2)圆。与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使uuu uuuPA , PO , PB成等比数列，求PAgPB的取值范围.题型三：求参数的取值范围问题：求参数的取值范围问题，常用的解决方法有两种：、第一种是不等式(组)求解法 根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)再得出参数的变化范围；、第二种是函数

19、的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。【伤J题6、若圆x2+(y-1) 2=1上的任一点P(x,y),有不等式x+y+c >0包成立，则c的取值范围是【例题7】(2007年福建高考题14分)如图，已知F(1,0),直线yl :x 1, P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q,且unn uuuruuu uuurFQPgQFFPgFQ. 1O1x(I )求动点P的轨迹C的方程；(n)过点F的直线交轨迹C于A, B两点，交直线l于点M .uuruuur uur uurn(1)已知 MA AF , MB 2BF ,求 1 2 的值；uuu

20、r uuir(2)求MAgMB的最小值.题型四：对称问题:包括两种情形：、中心对称问题：常利用中点坐标公式求解；、轴对称问题：主要抓住以下两个条件去处理-?垂直，即已知点与对称点的连线与对称轴垂直；？中点，即连结已知点和对称点的线段的中点在对称轴上。【例题7】、（2004年上海高考文科20题14分）如图，直线y= x与抛物线y= -x2 -4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y= 5交于Q点.8求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段 AB下方（含点A、B）的动点时,求8PQ面积的最大值.【例题8】、（2007年湖北高考题14分）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0, p）作直线与

21、抛物线x2 2py （ p 0）相交于A, B两点.（I）若点N是点C关于坐标原点。的对称点，求4ANB面积的最小值；（II）是否存在垂直于y轴的直线l ,使得l被以AC为直径的圆截得的弦长包为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.题型五：实际应用问题：此类问题要建立好平面直角坐标系，建立好数学模型,实现应用问题向数学一YC地在B地的问题的转化。【例题9】如图，B地在A地的正东方向4 km处,北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km 。现要在曲线PQ上选一处M建一.座 码头，向B、C两地转运货物。经测算，从 M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km ,那么修建这两条公路的总费用最低是（）