结构力学第3章-静定结构的内力计算

1、第三章 静定结构的内力计算主要内容3-1 概述3-2 静定梁3-3 静定平面刚架3-4 静定拱3-5 静定桁架3-6 静定组合结构3-7 静定结构的一般性质3-1 概述 静定结构包括静定梁、刚架、拱、桁架、组合结构和悬索等类型。 在任意荷载作用下，如果结构的未知力（支座反力和截面内力）仅用静力平衡条件即能完全确定，则该结构就是一个静定结构静定结构。静定结构是无多余约束的几何不变体系，未知力的个数恰好等于独立的静力平衡方程的个数，计算未知力时，不需要考虑位移方面的条件。 一、截面上内力、符号的规定：一、截面上内力、符号的规定： 轴力轴力截面上应力沿杆轴切线方向的截面上应力沿杆轴切线方向的合力，使

2、杆产生伸长变形为正，画轴力图合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图要注明正负号；要注明正负号； 剪力剪力截面上应力沿杆轴法线方向的截面上应力沿杆轴法线方向的合力合力, 使杆微段有顺时针方向转动趋势的使杆微段有顺时针方向转动趋势的为正，画剪力图要注明正负号；为正，画剪力图要注明正负号； 弯矩弯矩截面上应力对截面形心的力矩截面上应力对截面形心的力矩, , 通常不规定正负号。在水平杆件中，当弯通常不规定正负号。在水平杆件中，当弯矩使杆件下部受拉时，弯矩为正。弯矩图矩使杆件下部受拉时，弯矩为正。弯矩图画在杆件受拉一侧，不注符号。画在杆件受拉一侧，不注符号。FNFNFQFQMM二、用截面法求指定截面内力（

3、2）截面内力 x=0： NC60=0 得NC=60 kN y=0： QC60+101.5 =0 得QC=45kNC=0： C601.5101.5(1.5/2)=0得C101.25 kNm（下侧受拉）解：(1)支座反力 A=0 得FBy=60kN () B=0 得FAy=60kN () Fx= 0 得FAx=60kN ( )内力计算要点： （）隔离体与其周围的约束必须全部截断并代以相（）隔离体与其周围的约束必须全部截断并代以相应的约束力。应的约束力。（）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向，（）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向，由计算后所得结果的正负判断所求力的实际方向。由计算后所得

4、结果的正负判断所求力的实际方向。（）计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取（）计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取其一，一般按其上外力最简原则选择。未知截面内力其一，一般按其上外力最简原则选择。未知截面内力一般假设为正号方向。一般假设为正号方向。三、荷载、内力之间的关系三、荷载、内力之间的关系（平衡条件的几种表达方式）（平衡条件的几种表达方式）q(x)d xFQ FQ+d FQ MM+d Mq d xFQ FQ+F Q MM+ M d xFym0qyFQA FQB MAMB（1）微分关系）微分关系QFdxdMqdxdFQqdxMd22（2）增量关系）增量关系yQFF0mM （3）积分关系

5、）积分关系由dFQ = qd x由d M = FQd xBAxxyQAQBdxqFFBAxxQABdxFMM几种典型的弯矩图和剪力图几种典型的弯矩图和剪力图l /2l /2ml /2l /2Pl q2P2Plm2ql2ql4Pl2m2m82ql 1、集中荷载作用点、集中荷载作用点M图有一夹角，荷载向图有一夹角，荷载向下夹角亦向下；下夹角亦向下；FQ 图有一突变，荷载图有一突变，荷载向下突变亦向下。向下突变亦向下。 2、集中力偶作用点、集中力偶作用点M图有一突变，力矩图有一突变，力矩为顺时针向下突变；为顺时针向下突变；FQ 图没有变化。图没有变化。 3、均布荷载作用段、均布荷载作用段M图为抛物线

6、，荷载向图为抛物线，荷载向下曲线亦向下凸；下曲线亦向下凸；FQ 图为斜直线，荷载向图为斜直线，荷载向下直线由左向右下斜下直线由左向右下斜1.无荷载区段 2.均布荷载区段3.集中力作用处平行轴线斜直线 FQ=0区段M图 平行于轴线FQ图 M图备注二次抛物线凸向即q指向FQ=0处，M达到极值发生突变P出现尖点尖点指向即P的指向集中力作用截面剪力无定义4.集中力偶作用处无变化 发生突变两直线平行m集中力偶作用点弯矩无定义5、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。6、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚结点无集中力

7、偶作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。内力图形状特征四、四、 分段叠加法作弯矩图分段叠加法作弯矩图MAMBqM+qPABqMBFNAFyAFyBFNBMAMAMBqMBMAMMMMMMBMAMAMBMMM0yAF0yBF3m3m4kN4kNm4kNm4kNm2kNm4kNm6kNm3m3m8kNm2kN/m4kNm2kNm4kNm4kNm6kNm4kNm2kNm（1）集中荷载作用下）集中荷载作用下（2）集中力偶作用下）集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图（1）悬臂段分布荷载作用下）悬臂段分布荷载作用下（2）跨中集中力偶作用下）跨中集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图例：分段叠

8、加法作弯矩图的方法分段叠加法作弯矩图的方法 根据上述分析，作弯矩图的大致步骤归纳为：根据上述分析，作弯矩图的大致步骤归纳为：（1）通常先求出支座反力。（2）分段。将外力的不连续点作为分段点（集中力和集中力偶作用点、分布荷载的起点和终点等），用截面法求出分段点处（控制截面）的弯矩值。（3）叠加法作图。将每两个相邻控制截面的弯矩值连直线，当控制截面间有荷载时，还应叠加这一段按简支梁求得的弯矩图；当相邻控制截面间没有荷载时，弯矩图为直线。 静定结构内力计算过程中需注意的几点问题：静定结构内力计算过程中需注意的几点问题：（1）弯矩图习惯画在杆件受拉边、不用标注正负号，轴力图和剪力图可画在杆件任一边，需

9、要标注正负号。（2）内力图要写清名称、单位、控制截面处纵坐标的大小，各纵坐标的长度应成比例。（3）截面法求内力所列平衡方程正负与内力正负是完全不同的两套符号系统，不可混淆。例3-1 试作图示简支梁的内力图。解：（1）计算支座反力。根据平衡方程可得到FyA=13kN，FyF=5kN。（2）取A、B、C、D、EL、ER、F为控制截面，求出各截面弯矩值为 MA=0，MB=26，MC=32，MD=28，MEL=18，MER=10，MF=0 根据这些弯矩值，可利用分段叠加法作弯矩图。 （3）作剪力图。AB、BC、DE、EF段上无荷载作用，则剪力值应为常数，FQ图为水平线；CD段上有均布荷载作用，FQ图应

10、为斜直线；E处的集中力偶对剪力没有影响。根据剪力图的规律，从A端开始，自左至右可作出整个结构的FQ图。3-2 静定梁v静定梁分为静定单跨梁和静定多跨梁。单跨梁的结构形式有水平梁、斜梁和曲梁。简支梁、悬臂梁和伸臂梁是组成各种结构的基本单元。由若干根单跨梁作为基本构造单元，按照静定结构的组成规律得到的各杆轴共线的受弯结构，称为静定多跨梁。多跨梁一、静定多跨梁的几何组成特性一、静定多跨梁的几何组成特性 静定多跨梁常用于桥梁结构。从几何组成特点看，它的组成可以分为基静定多跨梁常用于桥梁结构。从几何组成特点看，它的组成可以分为基本部分和附属部分。本部分和附属部分。二、分析静定多跨梁的一般步骤二、分析静定

11、多跨梁的一般步骤 对如图所示的静定多跨梁，应先从附属部分对如图所示的静定多跨梁，应先从附属部分CE开始分析开始分析：将支座：将支座C 的支反的支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图，然后将支座力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图，然后将支座 C 的反力反向的反力反向加在基本部分加在基本部分AC 的的C 端作为荷载端作为荷载，再进行基本部分的内力分析和画内力图，再进行基本部分的内力分析和画内力图，将两部分的弯矩图和剪力图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图将两部分的弯矩图和剪力图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图 。CA E（a）（b）EACACE（c） 如图所示梁，其中如图所示梁，

12、其中 AC 部分不依赖于其它部分，独立地与基础组成一个部分不依赖于其它部分，独立地与基础组成一个几何不变部分，称它为几何不变部分，称它为基本部分基本部分；而；而CE部分就需要依靠基本部分部分就需要依靠基本部分AC才能保才能保证它的几何不变性，相对于证它的几何不变性，相对于AC 部分来说就称它为部分来说就称它为附属部分附属部分。例3-2 如图3-10（a）、（b）所示一简支斜梁（可看做楼梯的简图），该斜梁的水平投影长度为l，斜梁与水平向的夹角为。斜梁自重荷载为q1，其上的人群荷载为q2，试作该梁在上述荷载作用下的内力图。解:(1)将沿杆长方向的自重荷载q1换算成沿水平方向的荷载 ,1q则斜梁上沿

13、水平方向的总荷载为 12q= qq（2）计算支座反力，得 。,AxAyByqlqlF=0,F=F =22（3）用截面法计算任一截面C的内力。220220 xqxxqlMxqlxqxMMCCC，得，由sin2sin0sin2sin0qlqxFqlqxFFNCNCx，得，由coscos20cos2cos0qxqlFqlqxFFQCQCy，得，由（4）根据上面的内力方程，可作出相应的内力图。 该斜梁的弯矩图是一条二次抛物线，剪力图和轴力图是斜直线。 将斜梁的内力图和同跨度同荷载的水平梁相比较（为加以区分，水平梁的内力数据加上标），在相同的截面上，有以下关系成立：，)()(0 xMxM，cos)()(

14、0 xFxFQQsin)()(0 xFxFQN例3-3 试作图（a）所示静定多跨梁的内力图。解：（1）根据几何组成分析，知AB杆和CF杆为基本部分，BC杆为附属部分。 先算附属部分，后算基本部分。（2）根据各杆的受力图，可作出该多跨梁的内力图。例3-4 快速作出图3-12（a）所示静定多跨梁的弯矩图。解：根据几何组成的特点和内力图的规律，利用分段的方法， 可作出图（b）所示的弯矩图。例3-5 图3-13（a）所示为一静定多跨梁的弯矩图，其中BC段为二次抛物线且C点M图斜率无突变，试确定梁上所受荷载。解：利用内力与荷载的关系以及弯矩图的规律进行分析。需要注意，仅由M图还无法确定作用在支座处的集中

15、力，只能确定它们与支座反力的合力，这里确定的是与M图相应的一组荷载而不是唯一的荷载。如果再给定剪力图和轴力图，才可唯一确定相应荷载。3-3 静定平面刚架 刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性整体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。整体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。(a)(b)(c)(d)(e) 下图是常见的几种刚架：图（下图是常见的几种刚架：图（a）是车站雨蓬，图（）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋，）是多层多跨房屋，图（图（c）是具有部分铰结

16、点的刚架。）是具有部分铰结点的刚架。刚架结构优点：刚架结构优点：（1）内部有效使用空间大；）内部有效使用空间大；（2）结构整体性好、刚度大；）结构整体性好、刚度大；（3）内力分布均匀，受力合理。）内力分布均匀，受力合理。一、平面刚架结构特点：一、平面刚架结构特点：1 1、悬臂刚架、悬臂刚架2、简支刚架、简支刚架3、三铰刚架、三铰刚架4、主从刚架、主从刚架常见的静定刚架类型常见的静定刚架类型 刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制截面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。截面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。二、刚

17、架支座反力的计算二、刚架支座反力的计算 在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程，避免在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程，避免解联立方程组。解联立方程组。由于刚架是梁和柱的组合，因此画内力图和梁是一致的。由于刚架是梁和柱的组合，因此画内力图和梁是一致的。 刚架内力图的符号规定与梁相同，弯矩图画在杆件的受拉刚架内力图的符号规定与梁相同，弯矩图画在杆件的受拉边，不需要标注正负号，剪力图和轴力图可画在杆件的任一侧，边，不需要标注正负号，剪力图和轴力图可画在杆件的任一侧，但需要标注正负号。为了保证结果的准确性，可对内力图进行但需要标注正负号。为了保证结果的准确性，可对内力图进行校核，通常

18、可取结点或某一部分杆件，验算其是否满足平衡条校核，通常可取结点或某一部分杆件，验算其是否满足平衡条件。件。如如图（图（a a）三铰刚架，具有四个支座反力，可以利用三个整）三铰刚架，具有四个支座反力，可以利用三个整体平衡条件和中间铰结点体平衡条件和中间铰结点C C 处弯矩等于零的局部平衡条件，一共处弯矩等于零的局部平衡条件，一共四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。FXAMB00AMl /2l /2qABCf(a)qfl /2l /2ABC(b)FYAFYBFXBlqfFffqlFyAyA2022lqfFffqlFyByB20220 xFqfFFFqfFxB

19、xAxBxA0FXAqfl /2l /2ABC(b)FYAFYBFXBfl /2C(c)FYBFXBBFXCFYC0CM于是O对对O点取矩即得：点取矩即得： 0OMqfFFxBxA02lFfFyBxB4qfFxB43qfFxA0232fqffFxA43qfFxAl /2l /2qABCfOABDCqOO注意：注意： 三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键。三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键。通常情况下，支座反力是两两耦联的，需要通过解联通常情况下，支座反力是两两耦联的，需要通过解联立方程组来计算支座反力，因此寻找建立相互独立的立方程组来计算支座反力，因此寻找建立相互独立的支

20、座反力的静力平衡方程，可以大大降低计算反力的支座反力的静力平衡方程，可以大大降低计算反力的复杂程度和难度。复杂程度和难度。FXCFXCFYCFXDFYBFYAFXAQCABqFYCqPDC(b)PQqABDC(a)(c) 如右图如右图(a)是一个多是一个多跨刚架，具有四个支座跨刚架，具有四个支座反力，根据几何组成分反力，根据几何组成分析：以右是基本部分、析：以右是基本部分、以左是附属部分，分析以左是附属部分，分析顺序应从附属部分到基顺序应从附属部分到基本部分。本部分。 刚架内力图基本作法是把刚架拆成杆件，先求各杆的杆端刚架内力图基本作法是把刚架拆成杆件，先求各杆的杆端内力内力(求杆端内力的基本

21、方法是截面法求杆端内力的基本方法是截面法)，然后利用杆端内力分，然后利用杆端内力分别作各杆的内力图，各杆内力图合在一起就是刚架的内力图。别作各杆的内力图，各杆内力图合在一起就是刚架的内力图。画画M M图时，将弯矩图形画在杆件受拉边，连以直线，再叠加杆图时，将弯矩图形画在杆件受拉边，连以直线，再叠加杆上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。FQ，FN 图要标明，号；各竖标大致成比例。图要标明，号；各竖标大致成比例。求杆端内力时应注意在同一结点处有不同的杆端截面，同时求杆端内力时应注意在同一结点处有不同的杆端截面，同时要注意结点的平衡条件。要注意结点的平衡条件。三、三、刚架

22、的内力分析及内力图的绘制刚架的内力分析及内力图的绘制 例例1. 试计算图试计算图(a)所示简支刚架的支座反力，并绘制所示简支刚架的支座反力，并绘制、FQ和和FN图。图。(1)支座反力支座反力20 kN/mAB4m160 kNm(c)解解。(2)求杆端力并画杆单元弯矩图。求杆端力并画杆单元弯矩图。40160AB(d)M图图00804200QBAQBAxFFFkNFFFNBANBAy200200mkNMMMBABAB160048024200kNFkNFkNFyByAxA602080(a)2m2m4mABCD40 kN20 kN/m80 xAF20yAF60yBF20 kN/mAB4m2080BAM

23、(b)NBAFQBAF2m2mBD40kN160kNm16040BD40160AB160D40M图图 (kNm）M图图2m2m4mABCD40kN20kN/m6020802m2m40kNBD60BDMNBDFQBDF00NBDxFFkNFFQBDy200mkNMMBDD160020 kN/mAB4m2080BAMNBAFQBAF802060FQ图（图（kN)200B40160AB160D40M 图图 (kNm）NBAFNBDF20FN图（图（kN)802060FQ图（图（kN)例2 试绘制下图所示刚架的弯矩图。30kN20kNm2m2m4m10kN20kN10kN10kNABCDE10kN10

24、kN40kNmADBE10kN20kN40kNmD204020DCME4040ECMDCE20kNm40kNm402040M图（kNm）例例3: 作图示三铰刚架内力图。作图示三铰刚架内力图。1.385kN4.5kN1.5kN1.385kN解：解： (1) 求支座反力求支座反力考虑整体平衡考虑整体平衡:由由BEC部分平衡：部分平衡：0BM12(1 6) 90yAF064.51.5( )yyBFFkN0CM6.51.5 60 xBF1.5kN1.385kNBFyCFxC4.5mFyBECFxB6m2m01.385()xxAFFkN考虑整体平衡考虑整体平衡:4.5m6m6mABDEC2m1kN/mF

25、yAFxAFyBFxB4.5( )yAFkN1.385()xBFkN(2) 作作M 图图斜杆斜杆DC中点弯矩为：中点弯矩为：21 66.23821.385. ()MkN m中下拉1kN/m1.3856.23M 图图(kN.m)6m6mABDEC4.5m2m(3) 作作F Q 图图 斜杆可用力矩方程求剪力，竖斜杆可用力矩方程求剪力，竖杆、水平杆用投影方程求剪力。杆、水平杆用投影方程求剪力。对于对于DC杆：杆：0CM 0DM 1(1 6 36.23)4024.233.8340QDCFkN 1( 1 6 36.23)4011.771.8640QCDFkN FQDC6.23FQCD40D6mC1 kN

26、/m1.385kN1.5kN4.5kN1.385kN1.385 4.56.23MkN mDA6.231.385kN1.5kN4.5kN1.385kN3.83QDCFkN1.86QCDFkN FQCE6.23FQEC40E6mC对于对于EC杆：杆：竖杆竖杆AD、BE的剪力用投影方程很容易求得。的剪力用投影方程很容易求得。0EM 6.230.985400.985QCEQECFkNFkN 剪力图见右下图：剪力图见右下图：0.991.391.393.831.86FQ 图图 (kN)ABDEC(4) 作作FN 图图各杆均用投影方程求轴力。各杆均用投影方程求轴力。结点结点D：1310FNDCsD1.385

27、4.513(4.5sin1.385cos )(4.51.385)10108.655102.737(NDCFkN 压)0SF 1.791.5结点结点E：(1.5sin1.385cos)13(1.51.385)10105.655101.788(NECFkN 压)0SF 1.788(NCEFkN 压)FNEC1.3851.5sE13101.5kN1.385kN4.5FN 图图 (kN)ABDEC4.5kN1.385kN杆杆DC：(1.5sin1.385cos )13(1.51.385)10102.655100.839()NCDFkN 压轴力图见下图：轴力图见下图：1.385FNCD4.5sDC1 k

28、N/mFQCD2.737(NDCFkN 压)2.740.84例例4 试作图示两层刚架的试作图示两层刚架的M图。图。解：组成次序解：组成次序-先固定下部，再固定上部先固定下部，再固定上部（1）先求约束力和支反力，如图）先求约束力和支反力，如图(a)。（2）作作M图图例例5: 作图示主从刚架的内力图。作图示主从刚架的内力图。2kN2kNAC2m4m4 kN/mKBDEHG2m2mF2mFxAFyGFyKFxKFyDFxDAC2m4 kN/mBD2m2m2kN解：解： ACD为附属部分，为附属部分，其余为基本部分。其余为基本部分。 支座反力支座反力考虑刚架整体平衡：考虑刚架整体平衡：0DM42 2(

29、4 2) 10 xAF 01()xxKFFkN0KM032302( )yyKFFkN44 2(4 8) 40yGF 30( )yGFkN3()xAFkN考虑附属部分考虑附属部分ACD：FxA= 8kN= 1kN2kN2kNAC2m4m4 kN/mKBDEHG2m2mF2mFyG = 30kNFyK = 2kN 作作M 图图M 图图（kN m）88848FxA= 3kNFxK = 1kNDACKBEHGF624284取取DE为隔离体为隔离体：D2m4 kN/mE1kNFQEDFNED= 12kN= 1kN8kNMED= 24kNmFQ图图（kN）11302FN 图图（kN） 作作FQ 图图 杆端

30、剪力可以用投影杆端剪力可以用投影方程或力矩方程求解，本方程或力矩方程求解，本题剪力很容易用投影方程题剪力很容易用投影方程求得。求得。 作作FN 图图 各杆轴力可以用投影各杆轴力可以用投影方程求解。方程求解。 也可以根据剪也可以根据剪力图，力图， 选取各结点为隔离选取各结点为隔离体，用投影方程求轴力。体，用投影方程求轴力。E14161-1-3020011C311614221FACKBDEHGACKDEHG静定刚架的静定刚架的 M 图正误判别图正误判别利用上述内力图与荷载、支承和联结之间的对应关系，可在绘制内力图时减 少错误，提高效率。另外，根据这些关系，常可不经计算直观检查M图的轮廓是否正确。M

31、图与荷载情况不符图与荷载情况不符。M图与结点性质图与结点性质、约束情况不符约束情况不符。作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件。作用在结点上的各杆端弯矩及结点集中力偶不满足平衡条件。内力图形状特征1.无荷载区段 2.均布荷载区段3.集中力作用处平行轴线斜直线 FQ=0区段M图 平行于轴线FQ图 M图备注二次抛物线凸向即q指向FQ=0处，M达到极值发生突变P出现尖点尖点指向即P的指向集中力作用截面剪力无定义4.集中力偶作用处无变化 发生突变两直线平行m集中力偶作用点弯矩无定义5、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。6

32、、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平衡。两杆相交刚结点无集中力偶作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。q P ABCDE（a）q P ABCDE（b）ABC（e）ABC（f）ABCDABCDmm（h）mBAC（g）mm（3）（ ）（5）（ ）（2）（ ）（4）（ ）（1）（ ）（6）（ ）（9）（ ）题2-1图（10）（ ）（11）（ ）（12）（ ）（7）（ ）（8）（ ） m m速绘弯矩图PaPaaalPaP P PPaPa2m/3m/3m/32m/3aaammqa2/2mPaaaaaaaamaaaamP2PaaammPa/2Pa/20 0 0m/2am/2am/2am/2am/2

33、am/2am/2m/2m/2mOm/2am/2am/2am/2am/2am/2mm/20 0 02P2P2PP P PPa2PaPaPaaaa aaPPmaaaaPPPh0 0 0 0P P P PPaPa2PaPaPaPhPhPhPhPh拱的实例拱的实例三铰拱的特点三铰拱的特点P2FHAFV AFVBP1FHB三铰拱的类型、基本参数三铰拱的类型、基本参数lf101lf曲线形状：抛物线、圆弧、悬链线.3-4 静定拱静定拱拱是轴线为曲线，且在竖向荷载作用下会产生水平支座反力（推力）的结构。 拱身各横截面形心的连线称为拱轴线，拱两端与支座联结处称为拱趾，通常两拱趾处于同一高度上，这样的拱称为平拱。

34、两拱趾处于不同高度上的拱称为斜拱。拱轴线上的最高点称为拱顶，三铰拱的中间铰通常布置在拱顶处。两拱趾间的水平距离称为拱的跨度。拱顶到两拱趾连线的竖向距离称为拱高。拱高与跨度的比值称为高跨比。拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。 拱结构的优缺点： a、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯 矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面就 可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨度b、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用抗拉 性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。c、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力，因 此它需要更坚固的基础或下部结构。同时它的外形 比较复杂，导致施工比较困难

35、，模板费用也比较大 1.1.三铰拱的支座反力和内力三铰拱的支座反力和内力一、支座反力支座反力 与同跨度同荷载的简支梁比较FP2FHAFV AFVBFP1FHBAVFBVFFP1FP2a1a2b1b2xxd1DFV AFHFP1d1cl1ffyAVAVPPAVBFFbFbFlFM221110BVBVPPBVAFFaFaFlFM221110HBHAHxFFFF0MC00111fFdFlFHPAVfMFfFMCHHC0ll1l2cc 由前面计算可见：由前面计算可见： 三铰拱的竖向支座反力与相应简支梁的相同，三铰拱的竖向支座反力与相应简支梁的相同，水平反力等于相应简支梁水平反力等于相应简支梁C C点的

36、弯矩除以拱高点的弯矩除以拱高f。FH与与f成反比，成反比，f越小越小, ,FH越大，越大，f越大，越大， FH越小。越小。也就是说：也就是说：f越小，拱的特性就越突出。越小，拱的特性就越突出。 AVFFQoMoFP1FV AFHFP1FQoFHMDxy二、内力计算二、内力计算 以截面D为例截面内弯矩要和竖向力及水平力对截面内弯矩要和竖向力及水平力对D D点构成点构成的力矩相平衡，借用简支梁的数据。的力矩相平衡，借用简支梁的数据。yFaxFxFMHPAV11)93( yFMMHFFosincosHQQFFFcossinHQNFFF三、受力特点三、受力特点（1）在竖向荷载作用下有水平推力FH;（2

37、）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多;（3）拱内有较大的轴向压力FN.x-a10DMxq=2kN .mP=8kN3mx2=3m7.5kNFVAFHFVB2y2y012345678AB例 1、三铰拱及其所受荷载如图所示,拱的轴线为抛物线方程yflx lx42计算反力并绘制内力图。（1）计算支座反力kNFFAVAV111238962kNFFBVBV91298362kNfMFCH5 . 74362611（2）内力计算yflx lxm222444123 1233tgdydxflxlxx2334124412123120667.22233 4105550832,sin.,cos.mkNyFMMH5

38、 . 135 . 75 . 132311222kNkNFFFHQQ003. 00025. 0555. 05 . 7832. 03211sincos2222kNFFFHQN015. 9832. 05 . 7555. 03211cossin22226m6mf=4mkN11kN9kN5 . 7以截面2为例xq=2kN .mP=8kN2y2y012345678AB6m6m0.0001.1251.5001.1250.0000.3750.3754.5000.0000.6000.3540.0030.4721.0001.4213.3250.6001.0603.331M 图kN.mFQ 图 kNFN 图 kN1

39、3.30010.9589.0157.7497.43311.6656.79611.23511.7007.500绘制内力图绘制内力图一般来说，一根杆件的任意截面上都有三个内一般来说，一根杆件的任意截面上都有三个内 力，它们可以用一个合力来表示。力，它们可以用一个合力来表示。一个结构在一组力的作用下，如果保持平衡，一个结构在一组力的作用下，如果保持平衡，那么这组力必然组成一个封闭的力多边形。那么这组力必然组成一个封闭的力多边形。2.2.三铰拱的压力线及合理拱轴线三铰拱的压力线及合理拱轴线 先复习几个概念：先复习几个概念：=R=MFNFQRM 若用合力若用合力FR代替截面所有内力，则其偏心距为代替截面

40、所有内力，则其偏心距为e = M/FN，显然我们可显然我们可以求出各个截面的合力大小、方向和作用点。以求出各个截面的合力大小、方向和作用点。2.2.三铰拱的三铰拱的压力线压力线 拱与梁结构不同，在竖向荷载作用下，它不仅产生弯矩和剪力，还产生轴力。拱与梁结构不同，在竖向荷载作用下，它不仅产生弯矩和剪力，还产生轴力。经过合理设计可使其成为以受压为主的结构体系。因此拱结构可采用受压性能良好经过合理设计可使其成为以受压为主的结构体系。因此拱结构可采用受压性能良好而受拉性能较差的脆性材料（如砖石、素混凝土）建造，以保证其良好的经济性。而受拉性能较差的脆性材料（如砖石、素混凝土）建造，以保证其良好的经济性

41、。 拱截面一般承受三种内力拱截面一般承受三种内力：M、FQ、FN。MFQFNeFR 在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有弯矩剪力轴力三个内力分量。这三个在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有弯矩剪力轴力三个内力分量。这三个内力分量可用它的合力代替。将三铰拱每一截面上合力作用点用折线或曲线连接起内力分量可用它的合力代替。将三铰拱每一截面上合力作用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线。来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线。下面我们研究拱截面的受力情况。下面我们研究拱截面的受力情况。1PF2PF3PF1PF2PF3PFARFBRF1223ABC1k2k3k1223FGH（1）确定各

42、截面合力的大小和方向：数解ARFBRF绘力多边形O为极点，射线12、23 D（2）确定各截面合力的作用线 (利用索线)索多边形AFGHB,合力多边形压力多边形,压力线压力线大小和方向作用线ARFBRFoDr 如果是分布荷载，压力线呈曲线，称为压力曲线；如果是集中荷载，压力线呈多边形，称压力多边形。 压力线可以描述拱的工作状况。各截面合力FR若都沿拱轴切线方向作用是最理想的情况，此时各截面内只有均匀分布的正应力，拱处于轴心受压状态，如果在拱的设计中能获得上述结果，拱的经济效果将最好。DRDDrFMDRDDQFFsinDRDDNFFcosD3.3.三铰拱的合理轴线三铰拱的合理轴线 在固定荷载作用下

43、，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理拱轴线。由上述可知，按照压力线设计的拱轴线就是合理轴线。yFMMH 它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状有关。令0yFMMH 可见，在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵坐标值与简支梁弯可见，在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵坐标值与简支梁弯矩图的纵坐标值成正比。矩图的纵坐标值成正比。 )123( HFxMxy从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。对拱结构而言，任一截面上的弯矩计算式为：例3-10 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。yxxqA

44、Bqfl/2l/2ABCql2ql2解解 由式 HFxMxy先写出简支梁的弯矩方程： Mxqx lx2拱的推力为：fqlfMFCH82所以拱的合理轴线方程为： y xqx lxfqlflx lx28422 注注 意意*合理轴线对应的是合理轴线对应的是 一一组固定荷载；组固定荷载；实际设计实际设计中，合理拱轴线是针对中，合理拱轴线是针对主要荷载，并使在各类主要荷载，并使在各类荷载的不利组合下拱的荷载的不利组合下拱的弯矩最小。弯矩最小。 *合理轴线是一组。合理轴线是一组。例例3-11 3-11 求在图示荷载作用下该三铰拱的合理轴线。求在图示荷载作用下该三铰拱的合理轴线。BCAyx2a4a2a2aq

45、解：分析整体平衡和AC部分的平衡，可得到，FHA=1.5qa,FVA=3.5qaMDFVAFHAFNDDAFQD取任一部分AD为隔离体，列力矩平衡方程，得,MD=FVAx-FHAy-qx2/2 =3.5qax-1.5qay-qx2/2q令MD=0，3.5qax-1.5qay-qx2/2=0，可得合理轴线方程为：y=(7ax-x2)/3a例3-12 设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是圆弧曲线。证明证明 设拱在静水压力作用下处于无弯矩状态，然后由平衡条件推导轴线方程。qdsRR+dRdoyNDNEd/2d/2qdSR dMNRNRdRNNNDEDE000这表明拱在法向均布荷载作用下处

46、于无弯矩状态时，截面的轴力为一常数。002sin20dNRdqdNdSqy因N为一常数，q也为一常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为圆弧。qNRqRNDE例3-13 设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线，设填土的容重为，拱所受的分布荷载为 。yqqCqcyqqcqc+.ffxyyy*0yfFMyFMMHH解解由拱截面弯矩计算式yFMMH在本例的坐标系中可表达为：fFMyH因事先 得不到，故改用q(x)和y(x)表示：M22221dxMdFdxydH对简支梁来说， d Mdxq x22 而 q xqyc,yqFdxydcH122即,HcHFqyFy 特征方程为：

47、HHFF02xHFxHFeCeCy21eshxchxechxshxxx xFshBxFchAxyHH设其特解 yaaqc ,代入原方程， cHHqxFshBxFchAxy设xyAqxyBc 00000,1xFchqyHc悬链线3-4 3-4 静定平面桁架静定平面桁架 桁架是由链杆组成的格构体系，当荷载仅作用在结点上时，杆件仅承桁架是由链杆组成的格构体系，当荷载仅作用在结点上时，杆件仅承受轴向力，截面上只有均匀分布的正应力，是最理想的一种结构形式。受轴向力，截面上只有均匀分布的正应力，是最理想的一种结构形式。理想桁架：理想桁架：（1 1）桁架的结点都是光滑无摩擦的铰结点；）桁架的结点都是光滑无摩

48、擦的铰结点；（2 2）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心；）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心；（3 3）荷载和支座反力都作用在结点上）荷载和支座反力都作用在结点上上弦杆腹杆下弦杆实际桁架：主内力、次内力实际桁架：主内力、次内力一、一、 桁架的概念和组成分类桁架的概念和组成分类 桁架中的杆件，依其所在位置的不同，分为弦杆和腹杆两大类，见下图。弦杆又分为上弦杆和下弦杆，腹杆又分为斜杆和竖杆。弦杆上两个相邻结点间的区段称为结间，其上的水平距离称为结间长度。两支座间的水平距离称为跨度。桁架最高点到支座连线的距离称为桁高。1、结点法、结点法结点上各力组成平面汇交力系，其平衡条件为：结点上各力组成平面汇

49、交力系，其平衡条件为： 尽量建立独立方程（一个方程只含一个未知量）；尽量建立独立方程（一个方程只含一个未知量）； 避免使用三角函数：避免使用三角函数：llxly 在结点受力图上，已知力按实际方在结点受力图上，已知力按实际方向画，未知轴力先假设为拉力向画，未知轴力先假设为拉力 （箭头背离（箭头背离结点）画出。结点）画出。二、计算桁架内力的方法二、计算桁架内力的方法分析时的注意事项：分析时的注意事项：0 xF 0yF NFNF1NFNFyFxFyNxyxFFFlllNyNxyxllFFFFllFP2NF3NF例例3-13 图示一施工托架的计算简图，图示一施工托架的计算简图， 在在所示荷载作用下，试

50、求各杆的轴力。所示荷载作用下，试求各杆的轴力。解：解： （1）计算支座反力）计算支座反力（2）作结点）作结点A的隔离体图的隔离体图）（）（压力拉力kN33kN8 .34NNACADFF（4）作结点）作结点D的隔离体图的隔离体图）（）（压力压力kN8kN33NNCDCEFF）（）（拉力压力kN5 .37kN4 . 5NNDFDEFF（3）作结点）作结点C的隔离体图的隔离体图（5）利用对称性）利用对称性 桁架和荷载都是对称的，桁架中的内桁架和荷载都是对称的，桁架中的内 力也是对称的。各杆的轴力如图力也是对称的。各杆的轴力如图（6）校核：取结点）校核：取结点E 为了避免解联立方程，应从未知力不超过两

51、个的结点开始计算。总之，结点法最适用于计算简单桁架，如果截取结点的次序与桁架组成时添加结点的次序相反，就可以顺利地求出全部轴力。结点单杆概念结点单杆概念1N2N1N2N01N02NPN 102N1N2N3N21NN 03N1N12NN2N 结点平面汇交力系中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均共结点平面汇交力系中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均共线时，则此杆件称为该结点的结点单杆。线时，则此杆件称为该结点的结点单杆。 性质：性质：结点单杆的内力可直接根据静力平衡条件求出。结点单杆的内力可直接根据静力平衡条件求出。零杆零杆1234567891011ABCDABC例：例：试指出图示静定

52、桁架中轴力为零的杆件（零杆）。试指出图示静定桁架中轴力为零的杆件（零杆）。 截面法是用截面切断拟求内力的杆件，从桁架中截出截面法是用截面切断拟求内力的杆件，从桁架中截出一部分为隔离体，利用平面任意（一般）力系的三个一部分为隔离体，利用平面任意（一般）力系的三个平衡方程，计算所切各杆中的未知轴力。如果所切各平衡方程，计算所切各杆中的未知轴力。如果所切各杆中的未知轴力只有三个，它们既不相交于同一点，杆中的未知轴力只有三个，它们既不相交于同一点，也不彼此平行，则用截面法即可直接求出这三个未知也不彼此平行，则用截面法即可直接求出这三个未知轴力。因此，截面法最适用于下列情况：联合桁架的轴力。因此，截面法

53、最适用于下列情况：联合桁架的计算，简单桁架中少数杆件的计算。计算，简单桁架中少数杆件的计算。注意：注意：计算时，假设未知轴力为拉力。计算时，假设未知轴力为拉力。为了避免解联立方程，应注意对平衡方程加以选择。为了避免解联立方程，应注意对平衡方程加以选择。3. 3. 截面法截面法例3-14 计算图3-30(a)所示桁架中DE、BF两杆的轴力。解：(1)计算支座反力 0,80,8kNxAxAxFFF由得，0, 1028 370,6.29kNAByByMFF 由得，0100,3.71kNyAyByAyFFFF由，得，FAx(2)作图示截面，将桁架切开，取图（b）进行分析。 FAx0 80,0kNxND

54、ENDEFFF由，得，0 8 3703.43kNANBFNBFMFF 由，得，AB1234512346ddd34PPPPFA5 . 1PFB5 . 1abcde(1)aNFbNF2d34112PP5 . 1aNFbNFPFPFFAaNY5 . 00025 . 13402dPdFMbNPFbN25. 2例例1 1、求图示平面桁架结构中指定杆件的内力。、求图示平面桁架结构中指定杆件的内力。AB1234512346ddd34PPPPFA5 . 1PFB5 . 1abcde(2)cNFcNFB454PP5 . 1dePPPFcY5 . 05 . 1PFFcYcN625. 045AB1234512346

55、ddd34PPPPFA5 . 1PFB5 . 1abcdedNF4B45PP5 . 1eXFeYFk2d2d025 . 122dPddPFdNPFdN25. 0 04M0kMPFeX25. 2PFFeXeN1043310(3)eNdNFF 0XF 0YF 0MOy截面单杆截面单杆：任意隔离体中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均相：任意隔离体中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均相交于一点（或彼此平行）时，则此杆件称为该截面的截面单杆。交于一点（或彼此平行）时，则此杆件称为该截面的截面单杆。 性质：截面单杆的内力可直接根据隔离体的平衡条件求出。性质：截面单杆的内力可直接根据隔离体的平衡

56、条件求出。截面单杆的概念截面单杆的概念ABCDP1P212N1DABCDP1P2210NMDN220NMCPABFAFBFB。kPP。kP在计算联合桁架和某些复杂桁架时，可应用截面单杆的性质。在计算联合桁架和某些复杂桁架时，可应用截面单杆的性质。简单桁架简单桁架一般采用结点法计算；一般采用结点法计算；联合桁架联合桁架一般采用截面法计算。一般采用截面法计算。4.4.结点法与截面法的联合应用结点法与截面法的联合应用为了使计算简捷应注意：为了使计算简捷应注意：（1 1）选择一个合适的出发点；）选择一个合适的出发点；（2 2）选择合适的隔离体；）选择合适的隔离体；（3 3）选择合适的平衡方程）选择合适

57、的平衡方程CDT1.3P0.5PPT0.5P例：例： 计算桁架中计算桁架中a杆的内力。杆的内力。TDN由结点T PNTD42P42DP由截面- 右DGN0YFPNDG25. 11.25PaNF由截面 - 上0FMPNa205. 0ABCDEFGHKT2d2d2d2ddd1.3P0.5PPa练习：求图示桁架指定杆件内力练习：求图示桁架指定杆件内力( (不需计算，只说明方法即可不需计算，只说明方法即可) )PaPbPcPbPbPb5、对称性的利用、对称性的利用 对称结构对称结构:几何形状和支座对某轴对称的结构几何形状和支座对某轴对称的结构. .对称荷载：对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧作用在对称

58、结构对称轴两侧, ,大小相等大小相等, ,方向和作方向和作 用点对称的荷载。用点对称的荷载。反对称荷载：反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧作用在对称结构对称轴两侧, ,大小相等大小相等, ,作用点作用点 对称对称, ,方向反对称的荷载。方向反对称的荷载。PP对称荷载对称荷载PP反对称荷载反对称荷载对称结构的受力特点：对称结构的受力特点：在对称荷载作用下轴力是对称的在对称荷载作用下轴力是对称的, , 在反对称荷载作用下轴力是反对称的在反对称荷载作用下轴力是反对称的.PP0PPEACDB对称对称平衡平衡0CDCENNPPEACDB反对称反对称ED平衡平衡ED0EDN例：试求图示桁架例：试求图示桁架A支座反力。支座反力。0对称荷载对称荷载P/2P/2反对称荷反对称荷载载P/2P/2a10PAa20)(10/30325, 0 PYaPaYMAAC反反对AY反AY)(6/023, 0 PYaPaYMAAB对对00