1.2.1极坐标系的概念

1、主备：冯宗明主备：冯宗明 喻浩喻浩 徐洪燕徐洪燕 审核：牟必继审核：牟必继未来是挂在天边的北极星未来是挂在天边的北极星, ,只要我们一股脑地只要我们一股脑地朝它奔跑朝它奔跑, ,就会像一场缤纷的盛宴如期而至。就会像一场缤纷的盛宴如期而至。教学目标：教学目标：1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（的结构（ 建立极坐标系的四要素）；建立极坐标系的四要素）；2、理解广义极坐标系下点的极坐标（、理解广义极坐标系下点的极坐标（，）与点之间的多对一的对应关系；）与点之间的多对一的对应关系；3、已知一点的极坐标会在极坐标系中、已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点

2、能写出它的极坐标。描点，以及已知点能写出它的极坐标。请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从 这 向 北 走从 这 向 北 走 2 0 0 0 米 ！米 ！出发点出发点方向方向距离距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用的位置。这种用方向方向和和距离距离表示平面上一点表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。的位置的思想，就是极坐标的基本思想。请问请问:去宣汉中学怎么走？去宣汉中学怎么走？答答:从这向北从这向北2000米。米。一、一、极坐标系极坐标系的概念：的概念：在平面内取一个定点在平面内取一

3、个定点O，叫做，叫做极点极点。引一条射线引一条射线OX，叫做，叫做极轴极轴。再选定一个单位再选定一个单位长度长度和和角的正方向角的正方向（通（通常取逆时针方向）。常取逆时针方向）。这样就确定了一个这样就确定了一个平面极坐标系平面极坐标系。简称。简称极坐标系极坐标系。XO二、二、极坐标系内一点的极坐标极坐标系内一点的极坐标的规定的规定XOM 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M,用用 表示线段表示线段OM的长度的长度,用用 表表示以示以OX为始边、为始边、OM 为终边为终边的角度的角度, 叫做点叫做点M的的极径极径, 叫做点叫做点M的的极角极角(通常用弧度通常用弧度制制),有序数对有序数对(

4、, )就叫做就叫做M的的极坐标极坐标,记作记作M ( , ) 。特别规定：特别规定： 当当M在极点时，它的极坐标在极点时，它的极坐标 =0， 可以取任意值。可以取任意值。 在一般情况下，极径都是取正值，但是在在一般情况下，极径都是取正值，但是在某些必要的情况下，也允许取负值。某些必要的情况下，也允许取负值。 当当 时，点时，点 的位置可以按以下的位置可以按以下规则确定：作射线规则确定：作射线OP，使，使 ，在，在OP的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点M使使 ，M就是极坐标为就是极坐标为 的点。的点。0()M xopOM)(OMPx例：在极坐标系下，写出例：在极坐标系下，写出A、B、C、D

5、、E、F、 G各点的极坐标。各点的极坐标。DEFGABCxo42653534)0 , 4(A)4, 2(B), 5 . 3(E)2, 3(C)65, 1 (D)34, 6(F)35, 5(G角角 也可以取负值，如：也可以取负值，如：)2, 4(A)47, 2(B), 5 . 3(E)23, 3(C)67, 1 (D)32, 6(F)3, 5(GDEFGABCxo42653534 当当 时，写出时，写出A、B、C、D、E、F、G各点极坐标。各点极坐标。0), 4(A)45, 2(B)0 , 5 . 3(E)23, 3(C)611, 1(D)3, 6(F)32, 5(GDEFGABCxo42653

6、534平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？想一想？想一想？三、点的极坐标的表达式的研究三、点的极坐标的表达式的研究XOM 如图：如图：OM的长度为的长度为4，4请说出点请说出点M的极坐标的其的极坐标的其他表达式。他表达式。思：这些极坐标之间有何异同？思：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说

7、它们是终边相同的角。就是说它们是终边相同的角。本题点本题点M的极坐标统一表达式：的极坐标统一表达式：4 2k+kZ4 ，（）极径相同，不同的是极角极径相同，不同的是极角四、极坐标系下点的极坐标四、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点探索点M（3， /4）的所有极坐标）的所有极坐标极径是极径是正正的时候：的时候：3 2kZ4k，（）极径是极径是负负的时候：的时候：-3 2kZ4k，（）例：在极坐标系下，作出下列各点：例：在极坐标系下，作出下列各点：D|EBCx4232)6, 2(A)120, 3(B) 1 , 0(E)32, 4(C)43, 5(D6A354534例：在极坐标系下说点例：在极坐标系

8、下说点 、 、 的位置关系。的位置关系。()P )(A)(B)(C)(D)(D)(B)(COx)(A()P ()P()P关于极轴所在直线对称的点关于极轴所在直线对称的点关于极点关于极点O对称的点对称的点()P 或()P ()P 关于过极点关于过极点O且垂直于极轴的直线对称的且垂直于极轴的直线对称的点点()P 或五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况1.给定（给定（ , ）,就可以在就可以在极坐标极坐标平面平面内确定唯一的一点内确定唯一的一点M。2.给定平面上一点给定平面上一点M，但却有无，但却有无数个极坐标与之对应。数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数

9、个。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)一般地一般地,若若(,)是一点的极坐标是一点的极坐标,则则(,+2k)或或(-,+(2k+1) 都可以作为它的极坐标都可以作为它的极坐标.如果如果限定限定0,02或或 ,那么除极点外那么除极点外,平面内的点和极坐标就平面内的点和极坐标就可以可以一一对应一一对应了了.k Z（）练练 习习 巩巩 固固例例. 在极坐标系中，已知两点在极坐标系中，已知两点32, 3B,6, 2A试求试求A、B两点间的距离。两点间的距离。xOAB解：如图所示，由已知得：解：如图所示，由已知得： OA =2， OB =3xOA=30，xOB=120 AOB=90即即AOB为直角三

10、角形为直角三角形222BOAOAB13322213 AB例例 题题 讲讲 解解例例1：如图：如图1-11，在极坐标系中，写出点，在极坐标系中，写出点A、B、C的极坐标，的极坐标，,35, 5 . 3,43, 4,6, 3FED并标出点并标出点 所在的位置。所在的位置。解：解：如图，可得点如图，可得点A、B、C的极坐标分别为：的极坐标分别为：,0 , 2A34, 5C,2, 4Bx x5 5ABCDEF练练 习习 巩巩 固固1. 写出图中写出图中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标。各点的极坐标。20 , 0 x xDEFABCG5解：点解：点A、B、C、D、E、F、G的极坐标分别为：的极坐标

11、分别为：,0 , 3A2, 3C,4, 2B,65, 1D, 5 . 2E,34, 5F,35, 4GABCDE图书馆图书馆实验楼实验楼体育馆体育馆教学楼教学楼办公楼办公楼N120m6050m4560m例例 题题 讲讲 解解例例2：如图，用点：如图，用点A、B、C、D、E分别表示教学楼，体育馆，分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置。建立适当的极坐标系，写出图书馆，实验楼，办公楼的位置。建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标。各点的极坐标。解：解：以点以点A为极点，为极点，AB所在的射线所在的射线为极轴（单位长度为为极轴（单位长度为1m），），建立极坐标系。建立极坐标系。点点A、B

12、、C、D、E的极坐的极坐标分别为：标分别为：x,0 , 0A3,120C,0 ,60B,2, 360Dm360,43,50E思思 考二考二5x x1. 在极坐标系中，标出下列各点所在的位置：在极坐标系中，标出下列各点所在的位置：24, 5,44, 5,24, 5,4, 52. 上述点的位置有什么关系？上述点的位置有什么关系？由此可得出什么结论？由此可得出什么结论？在极坐标系中，在极坐标系中，,Zkk2,表示同一个点。表示同一个点。思思 考二考二4. 你能从上述结论中体会到你能从上述结论中体会到极坐标系极坐标系与与直角坐标系直角坐标系在刻画点的位置时的区别吗？在刻画点的位置时的区别吗？3. 由上

13、述结论我们可以知道，平面内一个点的极由上述结论我们可以知道，平面内一个点的极坐标有多少种表示方法？坐标有多少种表示方法？答：无数种答：无数种结论结论：在极坐标系中，：在极坐标系中，,Zkk2,表示同一个点表示同一个点。答答：在直角坐标系中，在直角坐标系中，一个点对应一个坐标一个点对应一个坐标，为，为“一对一一对一”； 在极坐标系中，在极坐标系中，一个点对应无数个坐标一个点对应无数个坐标，为，为“一对多一对多”。练练 习习 巩巩 固固2. 中央气象台在中央气象台在2004年年7月月15日日10：30分发布的一则台分发布的一则台风消息：今年第风消息：今年第9号热带风暴号热带风暴“圆规圆规”的中心今

14、天上午的中心今天上午8点点已经移到了广东省汕尾市东南方大约已经移到了广东省汕尾市东南方大约440公里的南海东北部公里的南海东北部海面上，中心附近的最大风力有海面上，中心附近的最大风力有9级。请建立适当的坐标系，级。请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置。用坐标表示出该台风中心的位置。汕尾市汕尾市热带风暴热带风暴“圆规圆规”分析：分析：东南方东南方即即东偏南东偏南452. 中央气象台在中央气象台在2004年年7月月15日日10：30分发布的一则台分发布的一则台风消息：今年第风消息：今年第9号热带风暴号热带风暴“圆规圆规”的中心今天上午的中心今天上午8点点已经移到了广东省汕尾市已经移到了

15、广东省汕尾市东南方东南方大约大约440公里公里的南海东北部的南海东北部海面上，中心附近的最大风力有海面上，中心附近的最大风力有9级。请建立适当的坐标系，级。请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置。用坐标表示出该台风中心的位置。解：解：以汕尾市为极点，正东方以汕尾市为极点，正东方向为极轴（单位长度为向为极轴（单位长度为1km）建立极坐标系，）建立极坐标系，如图所示，则该台风所在位置如图所示，则该台风所在位置的极坐标为：的极坐标为：x440km4547,440思思 考考 提提 高高 在直角坐标系中，已知点在直角坐标系中，已知点M (2，2)，以原点，以原点O为为极点，极点，x轴正半轴为极

16、轴建立极坐标系，试求轴正半轴为极轴建立极坐标系，试求M点的点的极坐标。极坐标。xyO-2 1 2 33 1M45 OM =2245,22M解：如图所示：解：如图所示：xOM=45所以点所以点M的极坐标为：的极坐标为：思考思考：从本题可知，从本题可知，直直角坐标与极坐标可以互角坐标与极坐标可以互相转换，相转换，那么其转换有那么其转换有无无规律规律呢？若有，请课呢？若有，请课后找出来。后找出来。（a，b）小小 结结问：这节课我们学会了什么？问：这节课我们学会了什么？用用极坐标系极坐标系刻画点的位置。刻画点的位置。Ox,M注意：注意：用用极坐标系极坐标系与与直角坐标系直角坐标系在在刻画点的位置刻画点

17、的位置时的区别时的区别：在直角坐标系中，在直角坐标系中，一个点对应一个坐标一个点对应一个坐标，为，为“一对一一对一”。在极坐标系中，在极坐标系中，一个点对应无数个坐标一个点对应无数个坐标，为，为“一对多一对多”；问问题题探探索索概概念念例例题题讲讲解解练练习习小小结结建立一个极坐标系需要哪些要素？建立一个极坐标系需要哪些要素？极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。4(3,0),(6,2 ),(3,),(5,),2355(3,),(4,),(6,)63ABCDEFG 题组二：在极坐标系里描出下列各点题组二：在极坐标系里描出下列各点46535342 ABCDEFGOX2.在极坐标系中在极坐标系中,与与(,)关于极轴对称关于极轴对称的点是的点是( )A.(,) B.(, )C.(,) D.(,)AB题组三题组三 1. 在极坐标系中，与点在极坐标系中，与