全国版高考数学必刷题：第十单元数列

1、第十单元数列考点一等差数列1. （2017 年全国I卷）记S为等差数列an的前n项和.若a4+&=24,s=48，则an的公差为（）.A.1B.2C.4D.86X5论、2? + 7d = 24,【解析】a4+a5=a+3d+a+4d=24,S6=6ai+_yXd=48,联立6? + 15d = 48,由X3-，得(21-15)Xd=24,即 6d=24，所以d=4.【答案】C2.（2016 年全国I卷）已知等差数列an前 9 项的和为 27,a10=8,则 ag（）.A 100 B 99 C.98 D 97【解析】（法一）/an是等差数列，设其公差为d,.ai00=ai+99d=-1+

2、99X1=98.故选 C.(法二)an是等差数列，在等差数列a中,a5，a10，a15,a100成等差数列，且公差d=a10-a5=8-3=5.又a10=8,.? + 4d = 3,? + 9d = 8,咚匚1,2?+1故a100=a5+(20-1)X5=98.故选 C【答案】C2?+13.（2016 年浙江卷）如图，点列A,B分别在某锐角的两边上，且|AA+i|=|An+A+2| AzA+2,n N*,|BnB+i|=|B+弘|工B+2,n N（P工Q表示点P与Q不重合）.若dn=|AB| ,S为ABnB+i的面积，则（）.A. S是等差数列B. ?是等差数列C. d是等差数列D ?是等差数

3、列【解析】作AGAG,AG,AG垂直于直线B1B,垂足分别为C,C2,G,G，则ACAG/AG.-|AnAn+1| = |An+lAn+21 , |CnG+l| = |Cn+lCn+2|.设|AiG|=a,|A2G|=b,|BiB|=c,则|A3G|=2b-a,|AnG|=(n -i)b-(n -2)a(n 3),S n=2c (n-1 )b-(n-2)a=2c(b-a)n+(2a-b), Sn+i-Sn=Ic(b-a)(n+1)+(2a-b)-(b-a)n-(2a-b)=1c(b-a),A数列S是等差数列【答案】A4.（2017 年全国n卷）等差数列an的前n项和为S,a3=3,s=10,则

4、【解析】设数列a的首项为a,公差为d.由a3=a+2d=3,S=4ai+6d=i,得ai=i ,d=i，所以an= nSnJB：1）,n1 2 2 2 2所以k=P ?i2：莎:?(?i):?(?+i)=2 1-1+1-1+丄-1+1-丄2 2 3?1 ? ? ?+1?1亡S=?=1Sk -=2(11 2?茹茹) )希希JBIBJ.*歇.2?+1【答案】5.（2016 年全国n卷）Sn为等差数列an的前n项和，且 a=i,S=28.记bn=ig ad,其中x表示不超过x的最大整 数，如 0.9=0,lg 99 =1.（1）求bi,b1,b101;（2）求数列bn的前 1000 项和.【解析】（

5、1）设数列an的公差为d,据已知有 7+2ld=28,解得d=l.所以数列an的通项公式为an=n.所以b1=lg 1 =0,l=lg 11 =1b01=lg 101 =2.0,1 ? 10,1,10 ? 100,2,100 ?0,q0)的两个不同的零点，且a,b,-2 这三个数可适当排序后 成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于().A. 6B 7 C.8 D)9?+ ?= ? 0【解析】不妨设ab,由题意得?=?0，二 a0,b0,则a,-2,b成等比数列,a,b,-2 成等差数列【答案】D13. (2017 年北京卷)若等差数列an和等比数列bn满足a1=b=-1,a4=

6、b=8,则务?-【解析】由ai=-1，a4=8,得d=3,则a2=a+d=-1+3=2;由=-14=8,得q=-2，则b=bq=2.故?=2=1.【答案】114.(2015 年全国I卷)S 为数列an的前n项和.已知an0,?+2an=4Sn+3.(1)求 an的通项公式.? (-2)?2=2?,2,?= 4?= 1, p=5，q=4，p+q=9._321设bn=?,求数列bn的前n项和.【解析】(1)由 ?+2an=4S+3,可知?+1+2an+i=4Sn+i+3.-，得?2?+i-?0,得an+i-an=2.又?+2ai=4ai+3,解得ai=-i(舍去)或ai=3.所以an是首项为 3,

7、公差为 2 的等差数列，通项公式为an=2n+i.(2) 由an=2n+i 可知，设数列bn的前n项和为Tn则Ti=b+b+tni i ii ii i=2(3-5) +(5-7)+?+ (2?+i-2?+3)?3(2?+3).i5.(20i5 年天津卷)已知数列an满足an+2=qa/q为实数，且q工 i),n N,ai=i,a2=2,且a2+a,a3+a4,a4+a5成等差数 列.(i)求q的值和an的通项公式；log*设bn=-?石n N,求数列bn的前n项和.【解析】(1)由已知，得(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+ct)-(a3+a0,即a4-a2=a5-a3, 所以 az(q-

8、1)=a3(q-1).又因为qz1,所以a3=a2=2.由a3=aiq,得q=2.*?i当n =2k-i(k N)时,an=a2k-i=2k-1=2 ；?k_当n =2k(k N)时,a=&k=2=22.bn=?+=(2?+i)：2?+3)=2(爲12_,n 为奇数，所以数列an的通项公式为an=?22,n 为偶数.(2)由(1)得bn=?2?=2?,n N.设数列4的前n项和为S,则111 11S=lx20+2X刁+3x2+(n-1)2T?2+nxm，111111尹=1x尹+2X尹+3X尹+(n -1)x尹+ nx?上述两式相减，得1S=1+1+1+1?=2?=22 ?22尹2?12

9、112-2 2?|2- ?+2*整理得Sn=4-2?1,n N.?+2*所以数列bn的前n项和为 4-TTT,n N.高频考点：数列的通项，等差数列与等比数列的判断或证明，等差数列与等比数列的基本量、通项及求和数列的综合应用.命题特点:1.等差数列、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以选择题或填空题形式岀现.2.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式岀现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般 数列的和，体现转化与化归的思想.3.数列求和及数列与函数、 不等式的综合问题也是高考考查的重点，考查考生分析问题、解决问题的综 合能力. 10.1 数列的概念去訂 X 硬 I2?A.(-1

10、)+1数列的定义按照_排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫作这个数列的 _，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常也叫作首项）数列的通项公式如果数列an的第n项与_ 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式三数列的递推公式如果已知数列an的第一项（或前几项），且任意一项an与它的前一项an-i（或前几项）间的关 系可以用一个式子来表示，即an=f（an-1）（或an=f（an-1,an-2）等）,那么这个式子叫作数列an的递推 公式?左学右考1下列说法正确的是（）A. 数列 1,-2,3,-4,是一个摆动数列B. 数列-2,3,6,

11、8 可以表示为-2,3,6,8c.a和an是相同的概念D.每一个数列的通项公式都是唯一确定的2数列 o,i,o,-i,o,i,o,-i,的一个通项公式是an等于（）I鞘下页左栏1.单调性递增数列：？n N*,_;递减数列:?n N*,_;常数列:?n N ,an+i=a；摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列2.周期性B.cos?n2C.cos?+1n2D.cos?+2四 S 与 an的关系已知数列an的前n项和为 S,则an=?-?=i2这个关系式对任意数列均成立五数列的分类周期数列：？n N，存在正整数k,an+k=am3 已知数列an的前n项和为S=n

12、2-2n+2,求数列 0的通项公式7知识清单一、 一定顺序 项二、序号n卄.、1.an+iana“+ 2 时,畀躺黛，希,(2)由题意有a2-ai=2,a4-a2=3,an-an-1=n(n2).，得g=2+3+n=?1)(2+?)-?+n-2.?+n又/a1=1,-an=(n2).4 ?= 1 【答案】(1)2?,?2以上各式相加.当n=1时也满足此式,a_?+nn=1 1 1(3)由已知得a2-a1=2i，a3-a2計,a-an-1=?(?.1 1 1将上式两边分别相加，得an-a1=p+尹+?(?!).1 1 1又,/a1=1,an=1+1-+? +n2?1【答案】(1)D丁刁?题型三

13、由S和an的关系求通项【例 3】(1)(2017 银川模拟)已知数列an的前n项和S=n2+n+1,则数列an的通项公式an=_(2)已知数列an的前n项和 s=3n+b,求数列an的通项公式.【解析】(1)当n=1 时,ai=S5=3;当n2 时,a=S-Sn-1=(f+n+1)-(n-1+(in-1)+1=2n.又a1=3 工 2x1 所以an=2?=12当 n=1 时,sr=3+b;当n2 时,a=S-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+t)=2x3n-1.当b=-1 时,a1满足此等式当b-1 时,a1不满足此等式.所以当b=-1 时,a=2x3n-1；当b-1 时,an=3?2 x

14、3 ,n2.?-11=21=2?1 ?.数列的通项an与前n项和S的关系是an=?；=5n2当n=1 时若a适合S-Sn-i,则n=1的情况可并入n 2 时的通项an；当n=1 时若ai不适合S-Sn-i,则要用分段函数的形式表示.【变式训练 3】(1)已知数列an的前n项和S=2n-3,则数列an的通项公式为 _21(2017 福州质检)若数列an的前n项和San+9 则数列an的通项公式是an=_.【解析】(1)当n=1 时,a=S=-1;当n2 时,a=S-Sn-1=2n1, /-an=21 2 1由S=3an+3得当n 2 时,Si-1=3an-1+3,两式相减整理，得当n 2 时,a

15、n=-2an-1.2 1又当n=1 时,S1=a1=3a1+3,a1=1,a是首项为 1,公比为-2 的等比数列an=(-2)n-1.-1,?= 1,n-1【答案】(1)an=2?1,n2(2)(-2)方法函数思想在数列中的应用数列是定义域为正整数集的特殊函数，具有函数的某些性质，如单调性、周期性等.故可从函数的角度去 认识数列，利用函数的思想或方法去研究数列可以带来意想不到的收获5*【突破训练】已知在数列an中,an=1+?+2(?1)(neN,a R,且a0).(1) 若a=-7,求数列an中的最大项和最小项的值；(2) 若对任意的neN*,都有an 2.1*结合函数f(x)=1+-的单调

16、性，可知 1aaaa4,a5aaa1(n N).2?9数列a中的最大项为 铁三,最小项为a4=0.112(2)an=1+?+2(?1)=1?2孚.-10vav-8,故a的取值范围为（-10,-8）.1 1 1 _C.- 1,-2,-4,-8,-D.1 ,v2,v3,V?【解析】根据定义，属于无穷数列的是选项 A、B C,属于递增数列的是选项 C、D 故同时满足要求的是 选项C.【答案】C2.（2016 杭州质评）在数列 1,2,E,E,中,2“9 是这个数列的第（）项.A.16B.24C.26D.28【解析】设题中数列为an,则a1=1=“1,a2=2=v4,a3=v7,a4=v10 ,a5=

17、v13,，所以an=v3?2.令V3?2=2V9=V6,解得n =26.【答案】C3.（2017 广州联考）数列 1,-5,右,-炸，的一个通项公式是（）.【解析】 （1） 由题意知an=1+2?9.对任意的nN,都有anas成立，结合函数12-?f(x)=1+277的单调性，知 51,n N.当n=1 时，于=7,.a1=14.C.an=2综上可知，数列an的通项公式为14(?= 1),an=2?+1(n 2).【答案】B13.(2017 安徽六安月考)设S是数列an的前n项和，且au-1 ,an+1=SSn+,则S=【解析】 因为a1=-1 a+1=SSn+1所以S1=-1,S1+1-Sn

18、=SS1.因为 S# 0,所以穿-召=-1,所以数列是首项为-1,公差为-1的等差数列，所以加-n,所以S=-1?1【答案】-?14.(2017 东北三校联考)已知在数列an中,a1=1，前n项和S二?-an.3(1)求a2,a求an的通项公式.4【解析】(1)由S=3a2,得 3(a1+a0=4a2,解得a2=3a1=3.5由6=3*3，得 3(a1+&+a0=5a3,解得a3=|(a1+a2)=6.(2)由题意知ai=1.r亠?+2 .n2 时，有an= S-Sn-1=3an- an-133显然，当n=1 时也满足上式.?(?+i)*综上可知,an的通项公式为an=?)(nEN).

19、15.(2017 河南信阳高中模考)数列a的前n项和为S,ai=1a+i=2S+1,等差数列bn满足&=3,&=9.(1) 分别求数列an,bn的通项公式；*1(2) 若对任意的n N ,(?+2) kbn恒成立，求实数k的取值范围.【解析】（1）由an+i=2S+1,得an=2S-i+1（n2）,-得an+an=2（S-Sn）, .an+i=3an,an=3n .b5-b3=2d=6,. d=3,/.bn=3+（n-3）x3=3n-6.?（1 -?1-3?3?1S=1-3,3?31* 一(-2+2沐3n-6 对任意的n N 恒成立，竺笄对任意的3n N*恒成立.人3?63?6

20、 3?9 -2?+7,小、令Cn=訐,Cn-Cn-1=p?-p?1=（n2）,当nw3 时 Qo-i;当n4 时,cn0,d0,则S存在最_ 值;若ai0 则 S 存在最值1在等差数列ad 中,a+a5=io,a4=7,则数列aJ 的公差为（）.A.1B.2 C.3D.42（2017 胶州模考）在等差数列an中,a=0,公差 0,若am=a+a2+a?,则m的值为（）.A.37 B.36 C.20D.193（2017 太原一模）等差数列an的前n项和为S,若a1=2,S3=12,则等于（）.A.8B.10 C.12 D.144（2017 陕西八校联考）设等差数列an的前n项和为S,若a=-11

21、,a3+a7=-6,则当S取最小值时，求n的值.知识清单一、1.第 2 项 差an+1-an=d2.等差中项二、1a+（n-Dd三、1.（n-n）d 2ak+a=am+an3.2d5.md6.大 小基础训练1.【解析】（法一）设等差数列an的公差为d,由题意得?+34d=710,解得?=21 d=2.（法二）在等差数列an中,a|+35=2a3=10,a3=5.又a4=7,公差d=7-5=2.【答案】B2.【解析】.am=ai+a2+as=9a1+9|8d=36d=a37,.m=37.【答案】A?左学右考3.【解析】设等差数列an的公差为d,则S3=3ai+3d所以 12=3X2+3d,解得d

22、=2,所以a6=a+5d=2+5X2=12.【答案】C4.【解析】 设等差数列 an 的公差为d.因为a3+a7=-6,所以a5=-3,所以d=2,则S=n2-12n,故当n等于 6 时,S取 得最小值.注细津叱m占卫庭亘心器竺叱曲鉴题型一等差数列基本量的计算【例 1】(1)设S为等差数列an的前n项和，若ai=1，公差d=2,S+2-Sn=36,则n=( ).A.5B.6C.7D.8(2)已知等差数列an的前n项和为S,满足a3=S3=13，则ai=().A.-14 B.-13 C.-12 D.-11【解析】(1)Sn+2-Sn=an+a+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36

23、,解得n=8.(2)在等差数列an中,3=13(?1+?13)=13,所以a1+a3=2，则 &=2-a13=2-13=-11.【答案】(1)D (2)D等差数列基本运算的解题策略:(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a,an,d,n,S,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想；(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法【变式训练 11(1)(2017 沈阳质检)已知数列an是等差数列，a1+a7=-8,a2=2,则数列an的公差d等于().A._1 B.-2 C.-3

24、 D.-4(2)(2017 年武汉调研)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1=2,a5=3a3,则S=().A.-72 B.-54C.54 D.90【解析1(1)Ta1+a7=2a4=-8,.a4=-4,a4-a9=-4-2=2d,.d二 3.(2)设等差数列an的公差为d, vai=2,a5=3a3,2+4d=3(2+2d),解得d=-2,9 用定义法证明等差数列时，常采用的两个式子a+1-an=d和an-an-1=d意义不同，后者必须加上n2,否则 当n=1 时,a。无定义.【答案】(1)C (2)B1【例 2】已知数列an的前n项和为S且满足an+2SS=0(n2),ai=2.1(1)

25、求证: :对对是等差数列(2)求an的表达式.【解析】(1)van=s-Sn-1(n2),又an=-2SS-1,Sn-1-Sn=2SSn-1.=2(n2),故由等差数列的定义知?是以?=?=2 为首项,2 为公差的等差数列(2)由(1)知?=?+(n-1)d=2+(n-10 11x2=2n,即 S=?” 1 1.当n2时，有an=-2SSn-1=-2?(?_?|)，又ap,不适合上式(1) 等差数列的判定方法有定义法:对于n2 的任意自然数，验证an-an-1为同一常数；等差中项法：验证*22an-1=an+an-2(n3,n N)成立;通项公式法：验证a“=pn+q前n项和公式法：验证S=A

26、n+Bn.1011,n = 1,- an=1n22?(?) 题型二等差数列的判定与证明【变式训练 2】试说明例 2 中的数列an是否为等差数列(2)若将例 2 中的条件改为“沪 2,$=扁訂(n2)”，求an的表达式.当n2 时,an+1-an的值不是一个与n无关的常数 数列a不是等差数列.(2). Sn_ 空.丄2?1+1_丄+2,.丄厶 2.2?1+V ?1?加?加?是以为首项,2 为公差的等差数列1131故茄2+(n-1)_叫，即s_2.1 12当n2时科S-Sn-1_2-2?f(2?2)(2?2)当n_1 时,a1_2 不适合上式2(?_ 1),an_-237(2?3)(2?2)等差数

27、列的性质及应用【例 3】(1)设S是等差数列刘的前n项和，若a1+a3+a5_3,则$_().A.5B.7 C.9D.11(2) 已知数列an是等差数列，a1+a3+a5_105,a2+a4+a6_99,an的前n项和为S,则使得S达到最大的n是( ).A.18 B.19 C.20 D.21(3) 等差数列an的通项公式为an_2n-8,下列四个命题：数列a是递增数列；数列nan是递增数列；数列?是递增数列；数列?是递增数列.其中真命题是_.【解析】-1(1)不是.当n2 时,an+i=2?(?+1)而_ -1 -1 _ 1 1 1an+1-an=2?(?+1-2?(?)_-2?(?+1-?1

28、)(n2).题型三222【解析】（1）由ai+a3+a5=3a3=3,得a3=1,S5=5（?2?5）=5a3=5.由a+a3+a5=l05,得a3=35，由a2+a4+&=99,得a4=33,则&的公差d=33-35=-2,a=a3-2d=39,s=-n?+40n,因此 当S取得最大值时,n =20.(3)由an=2n-8 可知等差数列 an 的公差d为 2,二数列 an 是递增数列，命题正确由nan=2n12 13 14-8n=2(n-2)2-8, 知数列na不是递增数列，命题错误由薯？8?知数列?是递增数列命题正确；由?券 4(n-4)15，知?,又?o,S7=17（?1

29、；?17）=i7a9v0, .80,$0,且d0.当n=8 时,Sn取得最大值【答案】(1)D (2)A (3)B方法等差数列的前n项和S的最值问题在研究等差数列时，求等差数列的前n项和Sn的最大(小)值问题是其中的一个热点，也是一个重点问题.数列是一类特殊的函数，故可以用函数的知识或方法来解决此问题.【突破训练】(1)(2017 长春一模)在等差数列an中，若a10,S 为其前n项之和，且Sz=S7,则S为最小时n的值为_.(2) 在等差数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为S,当且仅当n=8 时,S取得最大值 则d的取值范围为_.(3) (2017 年承德模拟)在数列an中,a+1+a

30、=2n-44(n N)a=-23.1求an；2设Sn为数列an的前n项和，求Sn的最小值.【解析】(1)由S=S?知,a8+a9+a=0，根据等差数列的性质宀+少二+外二=&2+办,因此a12+a=0.又a10,.a120,故当S为最小时n为 12.由题意知 g 且? 0,解得-1d0B.a2+a100!9=0.【答案】C2. （2017 西安模考）已知在等差数列an中,a50,a4+a7?=?+?0,.a6?1（n N 且n2）,则a31=（）.A.638B.639C.640D.641【解析】由SnV?-1-Si-1V?=2V?-?-1,可得/?V?-1=2,.V?是以 1 为首项,

31、2 为公差的等差数列2 2 2故V?n-1 ,S=（2n-1） ,.a81=S1-S80=161-159=640.【答案】C4.（2017湖北七校 2月联考）在单调递增的等差数列an中若a3=1,a2a4=3,aK）.1 1A.-1 B.0 C.-1D.l42【解析】由题意知,a2+a4=2a3=2,313又/a2a4=3，数列an单调递增,.a2=2，a4=2.公差d=2, .a1=a2-d=2-2=0.【答案】B5. (2017浙江名校联考)已知函数f(x)=cosx,x(0,2n)有两个不同的零点XM,且方程f(x)=mW两个不同的 实根X3,x4,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列

32、，则实数m=).6【解【解析】若 m：0,则公差d=-n.n=n,显然不成立所以mg则公差d三$弓所以 m：cos（n+n=-莓【答案】D6.(2017海南质评)在等差数列 an 中,a0,ai。an0,a10an0,得d0,anaa00a11a2” 办办 ，所以*8=|a1|+|a2|+|a10|+|a n|+|a讨讨+ + +|a18|=a1+a2+a0-(an+a2+a18)=2So-S18=2x36-12=60.【答案】C7. (2016 湖南联考)设Sn为等差数列an的前n项和，S=S,a4=1，则&=_.6X5【解析】由题意知2? d 6?2d，解得_?=Aa5=a4+d=

33、1+(-2)=-1.? + 3d = 1,?=-2,【答案】-18.(2017 黄冈一模)已知一个等差数列的前四项之和为21,末四项之和为 67,前n项和为 286,则项数n=_ .【解析】a1+a2+a3+a4=21,an+ai-1+an-2+a,-3=67, (a +a)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+ +恥恥)=88,.a1+an=22.又s=?書? J n=286,.n =26.【答案】269.（2017 海南模拟）6一个等差数列的前 12 项的和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为32:27,则该数列的公差d=_.【解【解析】设等差数列的前 12 项中奇数

34、项的和为S奇,偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件又S偶-S奇=6d=30,所以d=192-162=5.? + ? =.奇 偶? :?=偶奇354,32：27,解得?偶?奇192,162.【答案】510.(2017 苏州评测)在等差数列an中,ai=l,a3=-3.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若数列an的前k项和S=-35,求k的值.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,则an=ai+(n-Jd.由a1=1 ,a3=-3,可得 1+2d=-3,解得d=-2.从而an=1+(n-1)x(-2)=3-2n.由(1)可知an=3-2n,所以s=?1+J?)=2n-n2._ 2

35、由Sk=-35,可得 2k-k =-35.由k?-2k-35=0,解得k=7 或k=-5.又k N,故k=7.X_JF11.(2017 南昌模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,且a1O,a3+aoO,a70 的最大自然数n的值 为().A.6B.7 C.12 D.13【解析】.a10,a6a7v0,.a60,a0,a1+a13=2a70,S0 的最大自然数n的值为 12.【答案】C12.(2016 浙江名校联考)莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把 1001个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的7是最小的两份之和，则最小的一份为( ).

36、A.5B.12c.5D.113366【解析】依题意，设这 100 个面包所分成的五份由小到大依次为a-2ma-m,a,a+ma+2m则有5?= 100,?+ (?+ ?)+(?+ 2?)=7(?-2?+ ?),11? 55解得a=20,m=24,a-2m=2=3,即其中最小的一份为亍.【答案】A13._(2017 东北三省四市联考)设等差数列an的前n项和为S,Smi=-2,Sm=0,Sn+i=3,则正整数m的值 为.【解析】因为等差数列an的前n项和为Sn,Sm-=-2,S=0,Sm+=3 所以am=S-Sm-=2,a+1=Sn+1-Sn=3,数列0的公 差d=1,am+am+=S+-Sm-

37、1=5,即 2a1+2m-1=5 所以a=3-m.由Sn=(3-m)m-?(?-1)x1=0，解得正整数m的值为 5.【答案】514. (2017 郑州二模)已知在数列an中,a3=2,a5=1 若詁？詁？是等差数列，则 an 等于_1 1 1 1 111 1 ?+1【解【解析】记6=為则bp=3, ,b5=1, ,数列bn的公差为2x( (?- -詁詁,.,.説电二加二説电二加二?/，即【答案】015. (2017 石家庄模拟)已知an是一个公差大于 0 的等差数列，且满足a3a6=55,a2+a=16.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若数列6满足:b1=a1且bn=an+b-1(n2

38、,n N),求数列bn的通项公式.? = 55,?+?= ?+ ? = 16,公差d0,.?=51,?=21,.an=2n-1EN).(2)：bn=an+b-1(n2,n N),-bn-bn-1=2n-1 (n2,n N).bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(七1)+4(n2,N),且 小=&=1,2*.bn=2n-1+2n-3+3+1=n(n2,n N).当n=1 时,b1=1 满足上式.2*-bn= n(n N).16.(2017 山西忻州四校联考)数列a满足a1=；,a+1= (n N*).22-?1(1)求证：丽为等差数列，并求出an的通项公式设bn=?1,数列

39、bn的前n项和为 b,对任意n2 都有n N*)成立，求正整数m的最大值.1 _?+11+?=72-an=11-?+1.an=0.【解析】(1)由题意得1112-?鼻11【解析】（1）因为希?所以FF?希=-1+隔，即丹2-?1所以_?L是首项为-2,公差为-1 的等差数列，所以？?1=- 2+(n- 1 )X(- 1)=-(n+1),所以an=”+?.?+1, 1(2)bn=w-仁?1 1 1令G = Bn-Bn=?+f+?+!+ 気爲=-1,1 1所以69祐 h 菇+ +3(?+1)?+11二丄+丄+丄+3? ?+1 3?+1 3?+2 3?+3 3?+1 3?+2有碌=0,所以 G+1-

40、Cn0,所以G为单调递增数列,11 1 1 19所以（由七口总二七:二+才+号? 19所以亦29,所以m 2),得 4S+2- 4S+1+S-Sn-1=4Sn+16-4S(n2),即 4an+2+an=4an+1(n2).5*/4a3+a1=4X-+1=6=4a2,.4an+ai=4an+1,16.?+2?+4?+2-2?+4?+1-?/?2?+2?Q?+1-? _11?+-_?4?+1-2?4?+牛2?2(2?Q?+1-?2111数列?+1-2?関是以a?-尹=1 为首项,2为公比的等比数列等比数列的常用判定方法有（1）定义法若-?+1=C|（q为非零常数，nN）或?|?=q（q为非零常数且

41、n2,nN），则an是等比数列.（2）中项公式法 若在数列 佝中，&工 0 且-?+1=ana“+2（n N）,则数列a“是等比n-1*数列.（3）通项公式法 若数列an的通项公式可写成an=cq（c,q均是不为 0 的常数,n匕 N）,则an是等比数 列.前n项和公式法 若数列an的前n项和S=kqn-k（k为常数且k工 0,q 0,1）,则an是等比数列.若要判断一个数列不是等比数列，只需举岀反例即可.【变式训练 2】已知数列an的前n项和为S,在数列b中,b1=a1,bn=*an-1（n2）,且an+S= n.（1）设Cn=an-1 ,求证:Cn是等比数列求数列6的通项公式.【解

42、析】(1)Tan+S=n,.an+i+S+i=n+1,-彳得an+1-an+3n+1=1 ,2an+i=a+1，2 (an+i-1)=an-1,首项ci=a-1,又ai+ai=l.iii *a1=2,c1,公比q=2*iiCn是以-2为首项迈为公比的等比数列1 1?-11?由(1)可知Cn=(-2)(-)=-(-),? ?1 ?1 ? ?当n-时,bn=an-an-i=i-(2)-1 -(-)=(-厂-(莎毛厂.1 1又b=a=-代入上式也符合，=(-)题型三等比数列的性质【例 3】(1)已知在数列an中，对任意nGN,ai+a-+a3+an=3-1,则？+?+?+?等于().21A.(3n-

43、1)B.2(9n-1)C.9n-1D(3n-1)4、(2)若等比数列an的各项均为正数，且ai0aii+aai2=2e5(e 为自然对数的底数)，则 lnai+ln &+ln【解析】(1)：ai+a2+an=3n-1,nGN,当n2 时,a+a2+a-i=3n-1-1,?3?+丁1=1?1牙an=Cn+1=1-.当n2 时,an=3n-3n-1=2 3n-1,又当n=1 时,ai=2 满足上式，an=2 3n-1,.数列?是首项为 4,公比为 9 的等比数列?.?+?+. +?=4XI(-17 1899 )=2(9n-1).(2)由等比数列的性质可知，aoaii+a2=2e,所以an=

44、e5汙是 ina+lna?+lna2o=10ln (a。aii)=10lne5=50.【答案】(1)B(2)5017【答案】(1)C (2)-2(1)等比数列的性质可以分为三类：通项公式的变形等比中项的变形；前n项和公式的变形.(2)在 解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，灵活利用等比性质，如性质“若m+n=p+,qU am an=apaq” “等比数列中SSk-SkS-Szk,成等比数列，公比为qk(q工-1)”等，可以减少运算量，提高解题 速度.【变式训练 3】(1)(2016 山西四校联考)已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2?,a2=2,则 aH).A.lB.空 C.

45、 D.222(2)已知等比数列an的首项a1=-1,前n项和为S若罟誥则公比q=_【解【解析】(1)由已知及等比数列的性质得a3a9=?=2?,由等比数列前n项和的性质知，S,SgS5,S5-S10成等比数列，且公比为q5,511故q =-尹-2由由?-0=31, ,a1=-1知，公比qz-1,?o-?=_1?5=-32因为q0,所以a6=Va5,方法 方程思想在等比数列中的应用等比数列中有五个量ai,n,qa,S,般可以知三求二”，通过列方程(组)求关键量a和q,问题可迎刃而 解.这也体现了方程思想在解答等比数列中的应用.【突破训练】(2017 杭州质检)在等比数列an中 a=4，公比为q,

46、前n项和为 S,若数列S+2也是等比数列则q等于().A.2 B.-2 C.3D.-3(2)设等比数列an的公比为q,前n项和S(n =1,2,3,),则q的取值范围是 _.【解析】(1)由题意可得q工 1,由数列S+2是等比数列，可得Si+2S+2,S+2 成等比数列，二(S+2)19 20=(S+2)($+2), (6+4q)2=24(1+q+6)+12,. q=3(q=0 舍去).(2)van是等比数列,S0,可得a1=S,qz0当q=1 时,S=na；当q工 1 时, ,S=4?y0, ,即话吨乩话吨乩2, ,3, ,),),则有？? ? 或？? ? . .解得-1q1.故q的取值范围

47、是(-1,)U(,+*).【答案】(1)C (2)(-1,)U(,+19 (217 湖北华师一附中月考)在等比数列an中,a2a3Q=8,a=8,则a=().A.1B.1C.2D.2【解析】因为数列an是等比数列，所以a2a3a4=?=8 所以a3=2 所以a7=aq=2q=8 所以q=2,则a1=?|=1.【答案】A20 (217 安徽皖江名校联考)已知S是各项均为正数的等比数列an的前n项和若a2a4=16,$=7 则a8=().A.32 B.64 C.128D.256【解析】Ta?a4=?=16,.a3=4（负值舍去）.又s=ai+a2+as=?|+?+a3=7,得 3ql4q-4=0,

48、解得q=-3或q=2.van0,.q=2,.ai=?2=1,a8=27=128.【答案】C3.（2017 杭州质检）已知各项不为 0 的等差数列an满足 2a?-?+2ai2=0,数列bn是等比数列，且b7=a?,则 bi 等 于（）.A.16 B.8 C.4D.2【解析】.刘是等差数列，.az+azTa7,2a2-/y+ZaMa7-?=0.又a7工 0,.a7=4.又bn是等比数列,.小3卜1=?=?=16.【答案】A4.（2017 沈阳模拟）在等比数列an中,a5a11=3,a3+a13=4,则箸=（）.111A.3B.-3C.3 或3D.-3 或-3333【解析】由等比数列的性质得 ?+

49、?10：）=4化简得 3q20-10q10+3=0,解得q10=3 或q10g所以?5?1017T-?T=q=3或 丁【答案】C5.（2017 济南一检）已知各项均为实数的等比数列an的前n项和为S若$0=10,$0=70,则&=（）.A.150 B.140C.130D.120【解析】在等比数列an中，由$0=10,$。=70 可知 qz-1,所以S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30构成公比为q的等比数列.所以（S20-S10）2=S。 （S30-S20）,即（S-10）2=10 （70-S20）,解得S0=30（负值舍去）.A.512 B.256C.81 D.16所

50、以?o=3O-=2=q所以&-S30=2（S3gS20）=80,S0=S0+80=150.?o10 X【答案】A6.（2017 福州质检）已知等比数列an的前n项积记为nn,若a3a4a8=8,则n9=（）.【解析】由题意知，a3a4a7q=a3a7(a4q)=&a7a5=?=8,H9=aa2a3a9=(ai)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5=?,所以n9=83=512.【答案】A7.(2017 衡阳三模)在等比数列an中,ai=2，前n项和为 S,若数列an+1也是等比数列，则 S=().A.2n+1-2 B.3nC.2nD.3n_1【解析】因为数列an为等比数列，a

51、1=2，设其公比为q所以an=2qn-1.因为数列an+1也是等比数列，所以(an+1+1f=(an+1 )(an+2+1)，即 ?+1+2&“+=&+2+30+30+2,贝Uan+an+2=2an+1,即an(1+q-2q)=0,所以q=1,即an=2，所以S=2n.【答案】C8._ (2016 郑州质检)设S为等比数列an的前n项和.若a1=1，且 3S,2$,S成等差数列，则a=_.【解析】因为 3S，2Sz,S3成等差数列，所以 4Sz=3s+S,即 4(a1+a2)=3a1+a1+92+a3.化简得空=3,即等比数列an 的公比q=3,故an=1X3n-1=3n-1.

52、【答案】3n-19._ (2017 漯河模拟)在等比数列?扌中，公比q=2,前 99 项的和$9=30，则a3+a$+a9+a?9=_.【解析】S99=30,.a1(299-1)=30.又.数列asQQ,g 也成等比数列且公比为c4?(1-833) 4?(299-1) 41208,.a3+a6+a9+a?9=-=-=x30=1-8 / / /10.(2017 武汉三模)已知数列an满足a1=5,a2=5,a+1=a+6an-1(n2).(1) 求证:/+1+2 刘是等比数列.(2) 求数列an的通项公式.【解析】(1)：an+1=a+6an-1(n2),.an+1+2an=3an+6an-1=

53、3(an+2an-1)(n2).a1=5,a2=5,.a2+2a1=15,.an+2an-1工 0(n2),?+什2?=3(n2), 数列如+2/是以 15 为首项,3 为公比的等比数列【答案】120由(1)得an+1+2an=15X3n-1=5x3n,则an+1=-2an+5X3n,又a1-3=2, an-3工 0,an-3是以 2 为首项，-2 为公比的等比数列 .an+1-n+1n3=-2(an-3 ).an-3n=2X(-2)n-1,即an=2X(-2)n-1+3n(n N*).11.(2017 长沙模拟)已知&为等比数列，a4+a7=2,a5a6=-8,则a+a=().A.7

54、B.5 C.-5 D._7【解析】设等比数列an的公比为 q,由；?=?=-8,解得?=42,或? =42.所以?=-2,或? = -192所以a1+a=a（1+q）=-7.? = -8,【答案】D12. （2017 丽水五校联考）已知 s 是等比数列an的前n项和若存在mN,满足篇田等5?；1,则数列刘的公比为（）.A.-2 B.2 C.-3 D.3【解析】设公比为q若q=1,则鲁=2与题中条件矛盾，故qz1.?(1 -?)?2?_-TT? =qm+1=Q”m=8丽_?(1-?_q +1_9,-q.1?.?如?_?-1=8_5?+1.?q_ _?-13m=3,.q_8,. q_2.【答案】B

55、13. （2017 南昌模拟）若等比数列的各项均为正数，前 4 项的和为 9,积为81,则前 4 项倒数的和为（）.39A.3B.9C.1D.224【解析】由题意得S?；：；?）,所以由a1a1qa1q2a1q3_（?q3）2_841，得?q3_9.由等比数列的【答案】D性质知，该数列前 4 项倒数的和为1-1?(q-1) ? ? ? J14. (2016 常州一检)设S是等比数列an的前n项和若 27a3-ae=0,则【解析】由题意可知，公比q3=?=27，-?=1-?3=1+q3=1+27=28.【答案】2815. (2017 普宁质检)设f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数，且对任意的

56、实数x,y R 都有f(x) f(y)=f(x+y)，若1*a=2，an=f(n)(n Nl),则数列an的前n项和S的取值范围是 _.【解析】由已知可得a1=f(1)W，a2=f(2)=【f(1)2=(1)a3=f(3)=f(2) f(1)=f(1)3=($3，an=f(n)=f(1)n=Q1【答案】2,1)3*16. (2017 浦东一模)已知首项为 尹勺等比数列an不是递减数列，其前n项和为 s(n Nl),且 S+Q,S+a5,S+a4成等差数列.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设Tn=S-?n N),求数列Tn的最大项的值与最小项的值.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,因

57、为S+a,S+a5,S+a成等差数列所以S+a5-S3-a3=S+a*-S5-a5,即 4a5=a3,于是q2=?=1.31又31不是递减数列且a1=2,所以q=-2.?1 12131/S1=2+(2) +(2)i+(2)1 1? ?抽-G)1?=1-(2).2*1n N，.管S1.故等比数列a3/ 1ai=2x(-2)?1n-13*=(-1)x-?n N).1(2)由(1)得 S=1-(-2)=为奇数,为偶数.odd 39 S当n为奇数时,Sn随n的增大而减小，所以 1SwS3,故 OvS-厉孑弘石岂匚主.3当n为偶数时，S随n的增大而增大 所以4=SSS-丄S-=3-=-.? 4 312*

58、715综上，对于n N，总有-12S1-?c6,57所以数列Tn的最大项的值为5,最小项的值为-冷. 10.4 数列求和、数列的综合应用直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式:S =?：?=na+?笋d.几种数列求和的常用方法1.分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的 求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减.公式法(2)等比数列的前n项和公式? = 1,:S=?-?_?(1-?1? 11-?,q 工 1.，因| 下W左栏_?左学右考1数列1+2n-1的前n项和为().A. 1+2nB. 2+2nC.n+2n-1D.n+2+2n2(2017 阳泉质检)已知数列an的前n项和为S,并满足：an+