北师大版长春高中数学选修1空间向量与立体几何检测卷有答案解析

1、一、选择题1 1. .如图，四边形ABCD和 ABEFABEF 都是正方形，G为CD的中点，DAF60、则直线BG与平面AGE所成角的余弦值是（）AB1AC与BD1方向相反；ABACBCAB；61BCAC；与正方体表面积的数值相等；藕ABCB与正方体体积的数值相等.这四个结论中，正确的结论有（）个A.4B,3C.2D,13.如图，在长方形ABCD中，ABJ3,BC1,点E为线段DC上一动点，现将，行C.5v21D5(1)aa与b的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：b和ab构成右手系（即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致）；(2)ab的模abiiaibisin

2、a,b（a,b表示向量a、b的夹角）；如图，在正方体ABCDABICIDI,有以下四个结论:b叫做向量2.定义向量的外积：aADE沿 AEAE 折起，使点 D D 在面ABC内的射影K在直线 AEAE 上，当点E从 D D 运动到BC,则点K所形成轨迹的长度为（）4.在四面体O-ABC中,Gi是4ABC的重心，G是OGi上的一点，且OG=3GG,若OG=xOA+yOB+zOC，则仅/尾）为（）A,同22.33C.-3D.一25.如图，在空间四边形OABC中，点E为BC中点,占八、 、F F 在OA上，且OF2FA,则EF等于（）15,则这个棱柱的侧面积是（）.222,3331AOA221-OB

3、+-OC321-COA21一1一-OB-OC226.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和C.150D.160111A,-444B.333,444111nC,333D.2B.OA31一1-OB+-OC222-D.一OA31OC2A.130B.1407.已知正方体ABCDABC1D1的棱长为1,E为BB的中点，则点C到平面AdE的距离为A.叵B,逆C.立D.史52358.如图所示，五面体ABCDE中，正ABC的边长为 1,1,AEAE，平面ABC,CD/AE,且1_4兀兀CDAE.设CE与平面 ABEABE 所成的角为，AEk（k。），若_,_则当k取最大26

4、4A.4B.1C.72D.V39.圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面的中心，M为SO的中点，动点 P P 在圆锥底面内（包括圆周）若AMMP,则点 p p 形成的轨迹的长度为（A6B7B.5C.2D410.如图，直三棱柱ABCABG中,ACBC,ACBCAAACBCAA12,点Q为AB的中点，若动点P在直线BICI上运动时，异面直线AB与PQ所成角的最小值为（B.45C.60D.无法确定11.在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）ABCA4G中，AB2,E,F分别为AC1和AB的中点，当 AEAE 和 BFBF 所成角的余弦值为工时，AEAE 与平面BCGB所1014.如图，在

5、三棱锥PABC,ABC为等边三角形，PAC为等腰直角三角形，PAPCPAPC4,4,平面PAC平面ABC,D D 为AB的中点，则异面直线AC与 PDPD 所成角的余弦值为.成角的正弦值为（）A.巫B.叵51012.在平面直角坐标系中，A2,3角，则AB的长为（）A2B2不二、填空题C.51D.5B3,2,沿x轴将坐标平面折成60的二面C32D-4213.在三麴tSABC中，ABC是边长为6的正三角形，SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于点D,E,F,H.且D,E分别是AB,BC的中点，如果直线SB/15.在直三棱柱ABCABG中，ACB90,AA2,ACBC1

6、,则异面直线AB与AC1所成角的余弦值是16.如图，已知正方体ABCDABC1D1中，M为棱D1G的中点，则直线BM和平面AC1B所成角的正弦为17 .如图，空间四边形OABC中，M,N分别是对边OA,BC的中点，点G在线段MN上，分MN所成的定比为2,OGxOAyOBzOC,则x,y,z的值分别为.18 .已知棱长为1的正方体ABCDABCiDi中，E,F分别是B&和CR的中点，点A到平面DBEF的距离为.19 .三棱锥V-ABC的底面ABC与侧面VAB都是边长为a的正三角形，则棱VC的长度的取值范围是.20 .已知60的二面角的棱上有A,B B 两点，直线AC,BD分别在这个二面角

7、的两个半平面内，且都垂直于AB,已知ABAB1,1,AC2,2,BD3,3,则线段CD的长为三、解答题21.如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD,底面四边形ABCD是一个菱形,ABC3,AB2,PA273./J/J(1)若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面PAC平面QBD；(2)(2)求直线 DBDB 与平面PBC所成角的正弦值.22 .如图，在三棱锥ABCD中，O、E、F F 分别为AB、AC、ADAD 的中点,平面ABC,DO1,ACBC,ACBC行.(1)求证：平面OEF平面BCD;(2)求平面OEF与平面OCD所成锐二面角的余弦值.23 .如图，平面 ABCDEABCDE 平面

8、CEFG,四边形CEFG为正方形，点B在正方形ACDE的外部，且ABBC石,AC4DO(2)求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值.24 .在几何体ABCAB1C1中，点A、B1、G在平面ABC内的正投影分别为A、B、C,且ABBC,AAB44,ABBCCC12,E 为AB,的中点.(1)求证：CE平面ABG；(2)求二面角BiACiC的大小.25.如图，在四棱锥PABCD中，PDPD 平面ABCD,PD4,底面ABCD是边长为2的正方形，E,F分另为 PB,PB,PC的中点.(1)(1)求证：平面 ADEADE 平面PCD;(2)(2)求直线 BFBF 与平面 ADEADE 所成角

9、的正弦值.26 .在直三棱柱ABCABG中，ACBCCCi2,ACB90，点D在AC上(不同于点A,C),点E为棱CCi的中点.(1)求直线BG与平面ABE所成角的正弦值；(2)若二面角ABED的余弦值为旦,求线段CD的长.6【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1.C解析：C【分析】以 A A 为原点，以AD、AB的方向分别为X、y轴的正方向，过 A A 作垂直平面ABCD的直线作z轴建立空间直角坐标系，设AB2,利用空间向量法可求得直线BG与平面AGE所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果【详解】以 A A 为原点，以AD、AB的方向分别为x、y轴的正方向，过 A

10、 A 作垂直平面ABCD的故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：(1)利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；(2)在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h线面角，则线面角满足sin-(l为斜线段长)，进而可求得线面角;(3)建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l的方向向量，n为平面的法向2. D解析：D【分析】0,2,0、E1,2,73,则AG2,1,0,AE12m,BG2,1,0,设平面AGE的法向量为x,y,z,nAG则nAE2xy0 x2y3z2,z.3,所以，平面AGE的一

11、个法向量为n1,从而cosn,BGnBG,10nBG故直线BG与平面AGE所成角的余弦值是.155h,从而不必作出量，则线面角的正弦值为sincosa,n直线作z轴，建立如图所示的空间直角坐标系根据外积的定义逐项判断即可得到结果故选：D.【点睛】本题考查正方体的性质和信息迁移，解题的关键在于依据新概念的性质进行推理论证，属难题.3. C解析：C【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接DK,则DKA=90。，得到K点的轨迹是以AD为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度.【详解】由题意，将AAED沿AE折起，使平面

12、AED1平面ABC,在平面AED内过点D作DK，AE,K为垂足，由翻折的特征知，连接DK,.一1则DKA=90,故K点的轨迹是以AD为直径的圆上一弧，根据长万形知圆半径是一，2如图当E与C重合时,111AK=T=，.42【详解】对于，根据向量外积的第一个性质可知对于，根据向量外积的第一个性质可知错误；对于，根据向量外积的第二个性质可知6|BCAqAq 与正方体表面积的数值相等，故对于，ABiAB与cB的方向相反，则ABiAC与BDi方向相同，故错误；ABAC与BCAB方向相反，不会相等，故BCAC.BC.ACsin-4S“BCD,则正确；丽 ABCBABCB0,0,故错误.取O为AD的中点，得

13、到4OAK是正三角形.一_2故/K0A=,/K0D=,，12其所对的弧长为-=-,233故选：C【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题目，解题的关键是由题意得出点K的轨迹是圆上的一段弧，翻折问题中要注意位置关系与长度等数量的变与不变，属于中档题目.4. A解析：A【分析】如图所示，连接AG1交BC于点E,则E为BC中点，利用空间向量的运算法则求得-3-1-1-1-OG0GlOAOBOC，即得(x,y,z),4444【详解】如图所示，连接AG1交BC于点E,则E为BC中点，AE2(ABAC)=2(OB-20AOC)，一2一1“AG1qAEO(OB-2OAOC).33因为0G=3GG1=3(

14、0GlOG),一3所以OG=OGI.4则一33一3一1一2一1一1一1一1一OG-OG1-(OAAG1)=-OA，OB-OA-OC-OAOBOC444333444-故答案为A【点睛】(1)本题主要考查空间向量的运算法则和基底法， 意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.化)如果三个向量a,b,c不共面，那么对于空间任意一个向量辛，存在一个唯一的有序实数组 x,y,zx,y,z 使pxaybzc.我们把x,y,z叫做空间的一个基底，其中a,b,c叫基向量.5. D解析：D【解析】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从个向量表示的，所以将待求向量用从征以及中线

15、向量的特征，求得结果7. A解析：AO出发的三O出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特详解：由题意可得EFOFOE-OA-(OBOC)21-OA-OB1”,OC故选D.2点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题6.D解析：D【解析】设直四棱柱ABCDABC1D1中，对角线AC9,BD115,因为AA平面ABCD,ACU,平面ABCD，所以AAAC,在RtAAC中，AA5,可得ACJAC2AA2J56,同理可得BDJDB2D1D2720010J2,因为四边形ABCD为菱形，可

16、得AC,BD互相垂直平分，121-2所以ABJ(-AC)2(-BD)234508,即菱形ABCD的边长为8,因此，这个棱柱的侧面积为S(ABBCCDDA)AA485160,故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.【解析】分析：建立空间直角坐标系，结合题意得到点的坐标，然后利用空间向量求解点面距离即可.1详解：如图所不，建立空间直角坐标系，则A0,0,1D1

17、0,1,1,E1,0-,2，一，一,r 一”1据此可得：A1D10,1,0,A1E1,0,2y10设平面ADE的法向量为m%,丫1,乙，则：1X1一402据此可得平面入口1的一个法向量为m1,0,2,而C1,1,0,据此有：AC1,1,1,则点C到平面 AdEAdE 的距离为国1mm本题选择A选项.Br/G点睛：本题主要考查空间向量的应用，点面距离的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. C解析：C【详解】分析：建立空间直角坐标系，利用直线CE与平面 ABEABE 所成的角，求解k的最大值，进而求解平面BDE和平面ABC的一个法向量，利用向量所成的角，求解二面角的余弦值，进而求

18、得正切值，得到结果.详解：如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则如0),D(0,0,%E(01k),B(30)亚1,防，由平面ABC的法向量为m(0,0,1),设平面BDE和平面ABC所成的角为-,所以sin,所以tan2,故选C.点睛：本题考查了空间向量在立体几何中的应用，解答的关键在于建立适当的空间直角坐标系，求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生的推理与运算能力，以及转化的思想方法的应用9. C解析：C【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条

19、件列出方程求出动点P的轨迹方程，得到P的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长.由题意sinCECMCE|CM-0),则平面4,J3ABEABE 的一个法向量为CM1,0)，4TTTT1一又由一,一,所以一sin6422dk2,解得-1所以 k k 的最大值为 J2,J2,BDE的法向量为n(x,y,z),则nDEnBE2yTz3x1y22z02则cos【详解】建立空间直角坐标系.设A（0,-1,0）,B（0,1,0）,S（0,0,J3），M（，）,P（x,y,0）.2于是有AM（。，1,弓），MP（x,V,专）.由于AMIMP,所以（0,1,争?争=。,即y3,此为P点形成的轨迹方程，其在底

20、面圆盘内的长度为21（3）247.442故选C.【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法.属中档题10. A解析：A【分析】分别以CA,CB,CC1为 x,y,zx,y,z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可得到所求角的余弦值的最大值，再根据余弦函数的单调性即可得到结果【详解】因为在直三棱柱ABCABG中，ACBC,所以CA,CB,CC1两两互相垂直，所以分别以CA,CB,CG为x，y y，z轴建立空间直角坐标系，如图：设P(0,y,2),则AB(2,2,0)，PQ(1,1y,1),设异面直线AB与PQ所成角为（

21、当且仅当y3时等号成立）2（0,.，且ycos在（012）内递减,所以所以异面直线AB与PQ所成角的最小值为30.故选：A【点睛】本题考查了利用空间向量解决夹角，考查了异面直线所成角的范围以及余弦函数的单调性，属于中档题.11. B解析：B*zy因为 ACBCACBCAA2,2,所以A(2,0,0),B(0,2,0),A(2,0,2),所以Q(1,1,1),一.ABPQ.则cos|cosAB,PQ|=|y|2.y22y3|AB|PQ|12y22y32y212(1y)012I(1y)21440、2.3(11)22vy33VAEVAE 和 BFBF 所成角的余弦值为10解得t2.AE(*,1,2)

22、,22平面BCGB的法向量n(1,0,0),故选：B.【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.【分析】设AAt,以 B B 为原点，过 B B 作BC的垂线为X轴，BC为y轴，BBi为z轴,建立空间直角坐标系，由 AEAE 和 BFBF 所成角的余弦值为二，求出tAA2,由此能求出10AEAE 与平面BCGB所成角的正弦值.设AAt,以 B B 为原点，过 B B 作BC的垂线为X轴，BC为y轴，BBi为z轴,直角坐标系，建立空间则A(3,1,0)35tB0,0,C、L310),F，一，t,22AE(-32t)，BF|

23、AE*BF|cosAE,BF|IAE卜|BF|t21，1t2*1t21，10AEAE 与平面BCC1B1所成角的正弦值为：.sinAE n|AEnn|,3三运,51012. D解析：D【分析】作ACx轴于C,BDx轴于D,则ABACCDDB，两边平方后代入数量积即可求得|AB|2,则AB的长可求.【详解】如图，A2,3,B3,2,II.1DC1F5作ACx轴于C,BDx轴于D,则C2,0,D3,0,AC3,CDI5,DB.2,沿x轴把坐标平面折成60的二面角，CA，DB60，且ACCDCDDB0，r22二一P2|AB|2AB(ACCDDB)2222 ACCDDB2ACCD2CDDB2ACDB1

24、925423232.2AB.4金.即AB的长为4拒.故选：D.【点睛】本题主要考查了空间角，向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.二、填空题13.【解析】【分析】利用平面可以得到从而为中点同理可得为中点再根据三棱锥为正三棱锥得到故四边形为矩形从而可计算其面积【详解】因为故在底面上的射影为底面三角形的外心又为等边三角形故在底面上的射影为底面三角45【解析】解析:【分析】利用SB|平面DEFH可以得到DH|SB,从而 H H 为SA中点，同理可得 F F 为SC中点，再根据三棱锥SABC为正三棱锥得到ACSB,故四边形 HDEFHDEF 为矩形，从而可计算其面积.【详解】因为SASBSC

25、,故S在底面上的射影为底面三角形的外心，又ABC为等边三角形，故S在底面上的射影为底面三角形的中心，所以三棱锥SABC为正三棱锥，所以SBAC.因SB|平面DEFH,SB平面 ABSABS, ,平面ABSp平面 DEFHDHDEFHDH,故SB|DH,一一_1_1一因 ADDBADDB, ,故AHHS,DH|BS,DH-BS同理EF|BS,EF-BS22，故DH|EF,DHEF,所以四边形DEFH为平行四边形，又由D,E为中点可得DE-AC,故DHDE,故四边形DEFH为矩形.1545又DE3,DH1，故矩形DEFH的面积为万【点睛】(1)正三棱锥中，对棱是相互垂直的，且顶点在底面的投影是底面

26、正三角形的中心.(2)通过线面平行可以得到线线平行，注意利用线面平行这个条件时，要合理构建过已知直线的平面(该平面与已知平面有交线).14 .【分析】 建立如图所示的空间直角坐标系结合为等腰直角三角形求得向量的坐标利用向量的夹角公式即可求解【详解】取得中点连接因为所以因为平面平面平面平面所以平面又因为所以于是以为坐标原点建立如图所示的空间直解析：4【分析】建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,结合PAC为等腰直角三角形，求得向量AC,PD的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】取AC得中点O,连接OP,OB,因为PAPC,所以ACOP.因为平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABCAC.

27、所以OP平面ABC,又因为ABBC,所以ACOB,于是以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,结合PAC为等腰直角三角形，PAPC4,ABC为等边三角形，则A22,0,0,C272,0,0,P0,0,2.2,D,2,.6,0,所以AC4x2,0,0,PD、2,、6,2.2,故异面直线AC与 PDPD 所成角的余弦值为它.【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力.15 .【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连

28、接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象能力运算10先找出线面角，运用余弦定理进行求解【详解】连接ABi交AB于点D,取BG中点E,连接DE,则DEllAG,连接AEADE为异面直线AB与AG所成角11在R9AC1B1中，AC11,C1E-C1B122,5A1E,2同理可得AD-,DE-122所以cosAC,PDACPD8ACPD|424解析:G GE岛_2_2_2巨巨巨TTT302_6”.而22故答案为史010【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题.16 .【

29、分析】以为原点建立空间直角坐标系写出相应点的坐标从而表示出和平面的法向量根据向量的夹角公式得到答案【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系如图所示设正方体棱长为则所以设面的法向量为所以取得设解析：整9【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，从而表示出BM和平面AC法向量，根据向量的夹角公式，得到答案.【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，由为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体棱长为2,则Ai2,0,2,Ci0,2,2,B2,2,0,M0,1,2所以BA0,2,2,BC12,0,2,BM2,1,2,设面BAg的法向量为mx,y,z,BAm02y2z0所以_

30、,BC1m02x2z0设直线BM和平面ACB所成的角为211121C2/22222212111cosADE异面直线AB与AG所成角的余弦值是30101B的所以sincosm,BMmBM.39所以直线BM和平面ACiB所成角的正弦值为故答案为：_2.9本题考查利用空间向量的方法求线面角，属于中档题17 .【解析】故答案为111,63312.OGOMMG，OMOA,MG-MN,MNONOM,23111111一，一，ON(OBOC)OGOAOBOCx_,yz,故答案为263363111,63318 .1【分析】以D点为原点的方向分别为轴建立空间直角坐标系求出各顶点的坐标进而求出平面的法向量代入向量点

31、到平面的距离公式即可求解【详解】以为坐标原点的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系则所以设是平解析：1【分析】以D点为原点，DA,DC,DD1的方向分别为 x,y,zx,y,z 轴建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出平面BDEF的法向量，代入向量点到平面的距离公式，即可求解.【详解】以 D D 为坐标原点，DA,DC,DD1的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立空间直角1坐标系Dxyz,则A(1,0,1),B(1,1,0),F(0,-,1),解析:【点睛】1所以DB(1,1,0),DF=(0,-,1),AD(1,0,1),(1,0,1),2mDBxy0mDB1.1.,即1mDFmD

32、Fyz021一11,故m(1,1,-),-2-22ADm所以点 A A 到平面 BEFEBEFE 的距离 d d| |m m本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用， 对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：求平面的法向量；求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离.空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解.着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19 .【解析】分析：设的中点为连接由余弦定理可得利用三角函数的有界性可得结果详解：设的中点为连接则是二面角的平面角可得在三角形中由余弦定理可得即的取值范围是为故答案为点睛： 本题主要考查空间两点的距离余弦定解析：

33、(0,3a)【解析】分析：设AB的中点为D,连接VD,CD,VC,由余弦定理可得.一3232VC-a-acosVDC,利用三角函数的有界性可得结果22详解：设AB的中点为D,连接VD,CD,VC,则VDVCa2VDC是二面角VABC的平面角，可得0VDC,1cosVDC1,在三角形VDC中由余弦定理可得，3232.33cVCaa2aacosVDC22223232-a-acosVDC220VC23a20VC3a，设m(x,y,z)是平面BDFE的法向量，则设点A在平面BDFE上的射影为H,连接AD,则AD是平面BDFE的斜线段,112%12(1)2即VC的取值范围是0,73a,为故答案为0,.3

34、a.点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题.20.【解析】根据题意画图由空间向量法得到故答案为：故答案为：22.三、解答题21.(1)证明见解析；(2)立.5【分析】(1)通过证明PABD,ACBD证彳#BD平面PAC,由此证得平面PAC平面QBD.(2)(2)建立空间直角坐标系，利用直线 DBDB 的方向向量和平面PBC的法向量，计算出直线DBDB 与平面PBC所成角的正弦值.【详解】(1)证明：丫PA平面ABCD,BD面ABCD,PABDPABD, ,丫底面ABCD是一个菱形，ACBD,又ACPAA,BD平面PAC,VBD平面

35、QBD,平面PAC平面QBD.(2)设ACP1BDO,取PC中点E,连结OE,则OEPA,故OEAC,如图，建立空间直角坐标系,则B(,3,0,0),C(0,1,0),D(3,0,0),P(0,1,2,3),CB(J3,1,0),CP(0,2,2.3),DB(23,0,0),取y73,则m(1,百,1),设m(x,y,z)为平面PBC的一个法向量，则mCB*3xy0mCP2y2nz0解析：22【解析】根据题意画图，由空间向量法得到mn55cosm,DBj 口,【点睛】在利用向量法计算线面角时，要注意利用公式计算所得为线面角的正弦值，而不是余弦值22.(1)证明见解析；(2)Y3.3【分析】(1

36、)先证明线面平行，再利用面面平行的判定定理证明即可；(2)根据题意建立如图空间直角坐标系，利用坐标求平面OEF与平面OCD的法向量,再利用数量积求其夹角的余弦值，即得结果.【详解】(1)(1)证明：依题意O、E、F F 分别为AB、AC、ADAD 的中点，则OE/BC,EF/CD,.OE平面BCD,BC平面BCD,EF平面BCD,CD平面BCD,OE/平面BCD,EF/平面BCD又EFOEE,且在平面OEF内，平面OEF平面BCD；(2)依题意：ACBC无，则COAB,AB2,CO1,又DO平面ABC,故建立如图空间直角坐标系，则O(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),1111D

37、(0,0,1),E-,-,0,F2,0,12222-11OE-,-,0,OF22OE设n(x,y,z)为平面OCD的一个法向量，则OF1-x21-x-y021z02取x1,则n(1,1,1),又易见m(1,0,0)为平面OEF的一个法向量,cosm,n平面OEF与平面OCD所成锐二面角的余弦值为叵3【点睛】方法点睛：求二面角的方法通常有两个方法：一是利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向重之间夹角的余弦值，再判断锐二面角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法,面角对应的平面角，再求出二面角平面角的大小,37323.(1)详见解析；(2)-73

38、利用垂直关系和二面角的定义，找到二这种解法的关键是找到平面角【分析】(1)(1)易知GCCE,再根据平面 ABCDEABCDE平面CEFG,得到GC平面ABCDE,进而有GCAD,再由CE(2)以C为原点，以CD,AD，利用线面垂直的判定定理证明即可.CA,CG,分另1J为x,v,z轴建立空间直角坐标系，求得平面BFG的一个法向量nx,y,z，再由平面ABCDE的一个法向量m0,0,1,设平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角为，由cos而求解.【详解】(1)因为四边形CEFG为正方形,所以GCCE,又因为平面ABCDE平面CEFG,且平面ABCDE平面CEFGCE,所以GC平面ABCDE,又

39、AD平面ABCDE,所以GCAD,又因为四边形ACDE是正方形，所以CEAD,又CECGC,所以AD平面CEFG,又CF平面CEFG,所以ADCF.(2)以C为原点，以CD,CA,CG,分另为x,v,z轴建立空间直角坐标系：则G0,0,42,F4,4,42,B1,2,0,所以GF4,4,0,BG1,2,42,设平面BFG的一个法向量为：nx,y,z,又平面ABCDE的一个法向量为：m0,0,1,nGFnGF4x4y0 x2y4.2z1,z1,1,328，设平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角为（2）求二面角两个半平面的法向量所成角即可【详解】（1）因为点B1在平面ABC内的正投影为ABBC,

40、如图建立空间直角坐标系B|B0,0,0,A2,0,0,C0,2,0,AE1,0,2,设平面 ABAB1C1的法向量 n n1x,y,z,ABx,y,z,AB.B,所以BBBA,B1B-LBC,又xyz,2,0,4,B0,0,4,G0,2,2,；2,0,0,B；0,2,2,【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC,BD的夹角为&则cos2ACBD|2、利用向量求线面角的方法：（1）分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求