121测量距离问题

1、:多应用实际测量中有许正弦定理和余弦定理在;) 1 ( 测量距离;)2(测量高度.) 3( 测量角度包含不可达到的点1为了测量 B、C 之间的距离，在河岸 A、C 处测量，如)D图 2，测得下面四组数据，较合理的是(图 2Ac 与Cb、c 与Bc 与 bDb、与测量宽度例1：如图 5 某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点 A、B，观察对岸的点 C，测得CAB75，CBA45，且 AB100 米(1)求 sin75；(2)求该河段的宽度图 5解：(1)sin75sin(3045)sin30cos45cos30sin45(2)CAB75，CBA45，ACB180CA

2、BCBA60，由正弦定理得：ABsinACBBCsinCAB.ABsin75.sin60BC=如图5，过点 B 作 BD 垂直于CD，垂足为D，则BD 的长就是该河段的宽度在RtBDC 中，求不可到达两点之间的距离问题例2：如图 7，A、B 两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点 C、D，测得 CD1 000 米，ACB30，BCD30，BDA30，ADC60，求 AB 的长图 7解：由题意知ACD 为正三角形，所以 ACCD1 000 米在BCD 中，BDC90，测量不能达到的两点间的距离，利用解斜三角形是一个重要的方法解决这类问题的关键是构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，用正

3、、余弦定理进行计算航行问题例 3：一船在 A 处向北偏西 30的方向以每小时 30 海里的速度航行，一个灯塔原来在船的北偏东 15，经过 40 分钟后，船在 B 处，灯塔 C 在船的北偏东 45，求船和灯塔之间原来的距离解：如图9.图 9由已知：AB20 海里，CAB45，ABC105.在ABC 中，根据正弦定理得：AC ABsinABC sinC解决有关航行问题的应用题，关键是对一些数学术语要理解好，把它翻译到图形中作出草图，然后运用正弦、余弦定理求解1.2.2测量高度问题1仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与目标视线的_，目标视线在水平视线上方时叫_，目标视线在水平视线下方

4、时叫_.图 1，仰角为_，俯角为_.夹角仰角俯角12图 1例 1.如图 4，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B在同一水平面内的两个测点 C 与 D.测得 BCD15，BDC30，CD30 米，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，求塔高 AB.图4解：在BCD 中，CBD1801530135，由正弦定理得BCsinBDCCDsinCBD.所以 BC30sin30sin135152.在 RtABC 中，ABBCtanACB152tan60156(m)测量高度问题山高问题例 2：如图6，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为，在塔底 C 处测得 A 的俯角为，已知铁塔 BC

5、 的高度为 h m，求山高 CD.思维突破：利用正弦定理、余弦定理解三角形ABhsin(90)sin()hcossin()，图 6解：在ABC 中，BAC，BCA90.又BCh，由正弦定理得，在RtABD 中，BAD，BDABsin.CDBDhhcossinsin()hhcossinsin().答：山高CD 为hcossinsin()m.求三角形的边或角时，尽可能考虑转化为解直角三角形，这样计算简单，在上题解法中，先由正弦定理求出AB 后最后解 RtABD 求出BD，最后求出CD.一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯

6、塔在船的南偏西60 ，另一灯塔在船的南偏西75 ，则这只船的速度是每小时()CA5 n mileC10 n mileB5D10 n mile n mile解析： A、 B 为两灯塔，船由C 向正北航行半小时后到达 D，则BDADAB15 ，BDAB10，又DBC30 ，DC10sin30 5，v50.510(n mile/h) 1.2.3测量角度问题船的航向问题例 1：如图 1，当甲船位于 A 处时获悉在其正东方向相距20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救

7、援(角度精确到 1)?图 1解：要求乙船的航向，即求ACB 的度数易知C90，AB20，AC10，CAB120.在CAB 中，故乙船应朝北偏东70方向直线前往 B 处2.如下图，已知半圆的直径如下图，已知半圆的直径AB=2，点，点C在在AB的延长线上，的延长线上，BC=1，点，点P为半圆上的动点。为半圆上的动点。以以PC为边作等边为边作等边PCD，且点，且点D与圆心与圆心O分分别在别在PC的两侧，求四边形的两侧，求四边形OPDC的面积的最的面积的最大值大值。CPDOAB解：解：。，四边形的面积为设yPOBcos2222OCOPOCOPPCPOC中，由余弦定理得则在cos45PCDOPCSSy435cos3sin)cos45(3sin21sin2121435)3sin(2435)cos23sin21(243526523maxy时，即当1 1、审题（分析题意，弄清已知和所求，、审题（分析题意，弄清已知和所求，根据提意，画出示意图；根据提意，画出示意图；2.2.建模（将实际问题