误差理论课件(08修改稿)

1、1大学物理实验A1、B于第一周星期一（9月2日）开课，1-2周为实验理论集中授课，3-18周为实践教学环节。实验理论集中授课时间、场地及人员安排见附表，实验课表及分组安排开课前请到A馆一楼大厅查询或登陆物理实验中心主页进行查询。查询方法：http:/ （物理实验中心主页）/通知公告/ 2013秋季学期大物A1、B实验分组名单、实验课表/在线或下载查看注：因本学期教务选课系统只是将同一时段实验学生安排在一个大组（三、四百人），实验室将根据实验场地资源和本时段学生人数进行重新分组，每时段划分为每时段划分为8或或9个实验小组进行循环实验，同一时段不同小组的实验项个实验小组进行循环实验，同一时段不同小

2、组的实验项目不同目不同，具体情况登陆中心主页查询。物理实验物理实验A1、B开课通知开课通知物物理实验中心2013年8月31日注意事项：注意事项：1、所有选课学生必须参加误差理论课学习，缺勤一次，按一次实验项目无成绩对待，三次无成绩本学期总评不及格。2、实验教材使用大学物理实验（刘延君，褚润通等主编，兰州大学出版社，2007年第一版）。为了保障著作权人合法权益，严禁复印或购买（使用）个别复印店出售的教材复印本，上课期间一经发现，实验室有权收缴。本教材定价34元，对本校学生优惠价25元。3、实验报告册（A实验分上下两册共6元，B实验一册3元）及教材请于第一、二周周三中午第一、二周周三中午13：00

3、14：00、周五上、周五上午午9：0012：00以班级为单位到以班级为单位到A馆馆311室购买，过时不室购买，过时不侯侯。 实验报告要用统一的实验报告册书写，实验报告要用统一的实验报告册书写，字体要工整，文句要简明。原始数据要附在字体要工整，文句要简明。原始数据要附在报告中一并交给教师审阅，没有原始数据的报告中一并交给教师审阅，没有原始数据的实验报告是无效的。实验报告是无效的。 1.1.学生进入实验室需带上预习报告和记录实验学生进入实验室需带上预习报告和记录实验数据的表格，经教师检查同意后，方可进行实验。数据的表格，经教师检查同意后，方可进行实验。 2.2.遵守课堂纪律，保持安静的实验环境。遵

4、守课堂纪律，保持安静的实验环境。 3.3.使用电源时，务必经过教师检查线路后方能使用电源时，务必经过教师检查线路后方能接通电源。接通电源。 4.4.爱护仪器。进入实验室不能擅自搬弄仪器爱护仪器。进入实验室不能擅自搬弄仪器, ,实验中严格按教材或仪器说明书操作，如有损坏实验中严格按教材或仪器说明书操作，如有损坏照章赔偿。公用工具用完后应立即放回原处。照章赔偿。公用工具用完后应立即放回原处。 5.5.做完实验，经教师审查测量数据并签字后，做完实验，经教师审查测量数据并签字后，学生应将仪器整理还原，将桌面和凳子收拾整齐学生应将仪器整理还原，将桌面和凳子收拾整齐后离开实验室。后离开实验室。 6.6.按

5、要求及时上交实验报告。按要求及时上交实验报告。教学安排教学安排 本学期教学计划本学期教学计划2626学时，其中讲课学时，其中讲课6 6学时学时（2 2次），实验次），实验2020（8 8次）学时。次）学时。1.1.1 1.1.1 测量测量1. 1. 测量的基本概念测量的基本概念测量是利用测量是利用仪器设备仪器设备通过一定通过一定测量方法测量方法，将待测物理，将待测物理量与一个选做为量与一个选做为标准标准的同类物理量进行的同类物理量进行比较比较，确定待测物，确定待测物理量大小的理量大小的过程过程。测量三个要素测量三个要素 （1）测量方法；（）测量方法；（2）仪器设备；（）仪器设备；（3）测量结果

6、）测量结果 比较法比较法 米尺米尺 90.70cm测量的目的：获得测量值测量的目的：获得测量值(数据数据)。例如：用最小刻度为例如：用最小刻度为mm的米尺测量的米尺测量物体的长度。物体的长度。90.70cm2.测量值测量值120.50cm一个物理量的测量值必须由数值和单位组成，两者缺一个物理量的测量值必须由数值和单位组成，两者缺一不可。一不可。测量值数值测量值数值+单位单位测量数值只有赋予了单位才有具体的物理意义测量数值只有赋予了单位才有具体的物理意义例如：例如：（1）120.50，不知道表示什么物理量；，不知道表示什么物理量；（2）120.50cm，表示长度；，表示长度；（3）120.50K

7、g，表示质量。，表示质量。按测量结果获得方法按测量结果获得方法：测量可分为：测量可分为直接测量直接测量和和间接测量间接测量在物理量的测量中，绝大多数是间接测量，在物理量的测量中，绝大多数是间接测量，但是，直接测量是一切测量的基础。但是，直接测量是一切测量的基础。（1）直接测量）直接测量用标准量与待测量直接进用标准量与待测量直接进行比较。行比较。例如：用直尺测量长度；例如：用直尺测量长度；以表计时间；以表计时间；天平称质量；天平称质量；安培表测电流；等等。安培表测电流；等等。 （2）间接测量间接测量经过直接测量与待测量有经过直接测量与待测量有函数关系函数关系的物理量，再经过的物理量，再经过运算得

8、到待测物理量的测量运算得到待测物理量的测量方法。方法。例如：用钢卷尺测量桌子例如：用钢卷尺测量桌子的面积的面积S=ab=S(a,b)按测量条件按测量条件：测量可分为：测量可分为等精度测量等精度测量和和不等精度测量不等精度测量（1）等精度测量）等精度测量相同测量条件下，对同一相同测量条件下，对同一被测量进行重复性测量。被测量进行重复性测量。相同测量条件：相同测量条件：同一测量水平的观测者同一测量水平的观测者同一精度的仪器同一精度的仪器同样的实验方法同样的实验方法同样的实验环境同样的实验环境等精度测量等精度测量测量的所有数据，测量的所有数据，可信赖可信赖程度相同程度相同，数据处理过程中，数据处理过

9、程中的的地位相同地位相同，一视同仁。，一视同仁。（2）非等精度测量）非等精度测量不相同测量条件下，对同不相同测量条件下，对同一被测量进行重复性测量。一被测量进行重复性测量。非等精度测量非等精度测量测量的所有数据，测量的所有数据，可信赖可信赖程度不同程度不同，数据处理过程中，数据处理过程中的的地位不同地位不同，按测量精度的，按测量精度的高低，区别对待。高低，区别对待。1.1.真值与误差真值与误差（1 1）真值：物理量在客观上存）真值：物理量在客观上存在着的确定数值。在着的确定数值。真值是一个抽象的概念，一般真值是一个抽象的概念，一般无法得到。真值及其变化规律的未无法得到。真值及其变化规律的未知性

10、，正是科学实验的意义所在知性，正是科学实验的意义所在。实际应用中真值约定的方式：实际应用中真值约定的方式：理论真值；公认真值；计量约理论真值；公认真值；计量约定真值；标准相对真值；等等。定真值；标准相对真值；等等。（2 2）误差）误差误差测量值误差测量值- -真值真值 测量不能得到真值，测量不能得到真值，但可以减小测量误差，但可以减小测量误差，估算误差范围。估算误差范围。2. 2. 误差的基本性质误差的基本性质普遍性：普遍性： 存在一切测量之存在一切测量之中，贯穿于测量始终。中，贯穿于测量始终。不可知性：不可知性： 一般真值是未知一般真值是未知的，误差就无法知道。的，误差就无法知道。（1）（绝

11、对）误差）（绝对）误差用绝对大小给出的误差，用绝对大小给出的误差，表示为表示为xx0 相对误差反映了测量精相对误差反映了测量精度的高低，无单位，用百分度的高低，无单位，用百分数表示。数表示。绝对误差反映了测量值偏绝对误差反映了测量值偏离真值的大小和方向，可正离真值的大小和方向，可正可负，有单位。可负，有单位。（2）相对误差）相对误差绝对误差与被测量真值的绝对误差与被测量真值的比值，表示为比值，表示为E /x0100例如：例如：测量两个物体的长度分别为测量两个物体的长度分别为L1=100.0mm，L2=80.0mm；绝对误差分别为绝对误差分别为1=0.8mm，2=0.8mm。相对误差分别为：相对

12、误差分别为：E1=0.8%， E2=1.0% 。测量值测量值真真 值值粗大误差粗大误差系统误差系统误差随机误差随机误差按产生的原因和性质分类：按产生的原因和性质分类：（2）随机误差）随机误差在相同条件下，对同一测在相同条件下，对同一测量量的多次测量过程中，量量的多次测量过程中，每每次测量次测量的误差可能是的误差可能是正或负正或负，也可能是比较也可能是比较大或小大或小，这是，这是难以预测的，而且难以预测的，而且毫无规律毫无规律而言。而言。但是，如果但是，如果测量次数很多测量次数很多时，误差的出现又符合一定时，误差的出现又符合一定的统计规律。的统计规律。（1）系统误差）系统误差在相同条件下，对同一

13、测在相同条件下，对同一测量量的多次测量过程中，保量量的多次测量过程中，保持持恒定恒定（大小、正负不变）（大小、正负不变）或按或按特定规律变化特定规律变化的误差。的误差。来源来源: :1 1）仪器误差；）仪器误差；2 2）理论）理论误差；误差；3 3）观测误差；）观测误差；4 4）环）环境条件。境条件。随机误差无法从实验中完随机误差无法从实验中完全消除，但多次测量可以减全消除，但多次测量可以减小。小。随机性，补偿性随机性，补偿性按误差掌握程度：按误差掌握程度：已定系已定系统误差统误差和和未定系统误差未定系统误差。按误差变化规律：按误差变化规律：不变系不变系统误差统误差和和变化系统误差变化系统误差

14、。系统误差尽量消除或减小系统误差尽量消除或减小（3）粗大误差）粗大误差在测量中某种非正常原因在测量中某种非正常原因所引起的所引起的错误错误，也称，也称疏失误疏失误差差。如读数错误，记录错误，如读数错误，记录错误，操作错误，估算错误等等。操作错误，估算错误等等。说说 明明系统误差与随机误差关系系统误差与随机误差关系系统误差由测量过程中某系统误差由测量过程中某一突出因素变化引起。一突出因素变化引起。随机误差由测量过程中多随机误差由测量过程中多种因素微小变化综合引起。种因素微小变化综合引起。存在粗大误差时，测量值存在粗大误差时，测量值明显偏离明显偏离被测量的被测量的真值真值。数据处理时，先检验测量数

15、据处理时，先检验测量数据是否存在粗大误差，数据是否存在粗大误差，剔剔除含有粗大误差的数据。除含有粗大误差的数据。随机误差与系统误差不存随机误差与系统误差不存在绝对的界限。在绝对的界限。在一定条件下，随机误差在一定条件下，随机误差和系统误差可以和系统误差可以相互转化相互转化。1.1.4 1.1.4 测量的精密度、准确度和精确度测量的精密度、准确度和精确度（1）精密度。表示重复测量所得数据的相互接近重复测量所得数据的相互接近程度程度（离散程度）。（2）准确度。表示测量数据的平均值与真值的接测量数据的平均值与真值的接近程度近程度。（3）精确度。是对测量数据的精密度和准确度测量数据的精密度和准确度的综

16、合评定。 以打靶为例来比较说明精密度、准确度、精确度三者之间的关系。图中靶心为射击目标，相当于真值真值，每次测量测量相当于一次射击。 （a）准确度高、 （b）精密度高、 （c）精密度、准确 精密度低 准确度低 度均高 1.2.1 处理系统误差的一般知识处理系统误差的一般知识发现系统误差，尽可能消除或减小。发现系统误差，尽可能消除或减小。（参阅物理实验中心新编大学物理实验教材（参阅物理实验中心新编大学物理实验教材1.2.1) )在一定的测量条件下设某一物理量的真实值为在一定的测量条件下设某一物理量的真实值为x0，对其多次重复测量值对其多次重复测量值x1，x2，xn，则各次测量的则各次测量的随机误

17、差可表示为随机误差可表示为f()概率密度函概率密度函数数误差误差随机误差可以应用概率统计理论进行估算随机误差可以应用概率统计理论进行估算22221)(ef0(1,2, )iixxin概率密度分布函数为概率密度分布函数为式中式中为标准误差。令概率密度分布函数的为标准误差。令概率密度分布函数的二阶导数为零，便可解出标准偏差，正好是概率二阶导数为零，便可解出标准偏差，正好是概率密度分布曲线拐点的横坐标值。密度分布曲线拐点的横坐标值。 201()niixxn遵从正态分布规律的随遵从正态分布规律的随机误差特征：机误差特征：单峰性：单峰性：绝对值小绝对值小/大大的的误差可能性大误差可能性大/小小对称性：对

18、称性：大小相等的误大小相等的误差正、负机会均等差正、负机会均等有界性：有界性：绝对值非常大绝对值非常大的可能性几乎为零的可能性几乎为零抵偿性：抵偿性：正负误差相互正负误差相互抵消抵消f()概率密度函概率密度函数数误差误差随机误差可以应用概率统计理论进行估算随机误差可以应用概率统计理论进行估算 概率密度分布函数概率密度分布函数f（）的意义是：）的意义是： 在误差值在误差值附近，单位间隔内误差出附近，单位间隔内误差出现的概率，测量值的随机误差出现在区间现的概率，测量值的随机误差出现在区间（，+d）概率为）概率为f（）d，即图中阴影，即图中阴影内所包含的面积元。按照概率理论，误差内所包含的面积元。按

19、照概率理论，误差出现在区间（出现在区间（-，+）范围内是必然的，）范围内是必然的，即概率为即概率为100%。随机误差可以应用概率统计理论进行估算随机误差可以应用概率统计理论进行估算( )1Pfd曲线下的总面积表示各种可能误差值出现的总概率为曲线下的总面积表示各种可能误差值出现的总概率为22211(,)( )68.3%2Pfded 222222221( )95.4%2Pfded%7 .99)(333dfP测量值超过3范围的情况几乎不会出现，所以我们把3称为极限误差。在实际测量中置信概率有不同的取值，根据国家计量技术规范，在写出测量结果的表达式时，要注明它的置信概率。在P=0.95时，不必注明P值

20、；当P取0.68或0.99时要求注明P值。在物理实验教学中，我们约定取置信概率P=0.95。 多次测量，多次测量，x1、 x2、xn，测量列的，测量列的算术平均值为：算术平均值为：当测量次数当测量次数n 趋于无穷时，趋于无穷时，算术平均值趋于真值算术平均值趋于真值。0010110100,111xxxnxnxnxnxniiniiniinii niixnx11其中其中 xi 为第为第 i 次测得值。次测得值。误差的对称性和抵偿性误差的对称性和抵偿性当测量次数当测量次数n 为有限次时，为有限次时，测量列的算术平均值作为测量列的算术平均值作为真值的最佳估计值；其标真值的最佳估计值；其标准差常采用贝塞尔

21、法来估准差常采用贝塞尔法来估计计。多组等精度重复测量时，多组等精度重复测量时，各测量列算术平均值也具有各测量列算术平均值也具有离散性，用算术平均值的标离散性，用算术平均值的标准差来描述。准差来描述。算术平均值的标准差算术平均值的标准差一个测量列中各测量一个测量列中各测量值的标准偏差值的标准偏差 多组等精度重复测量多组等精度重复测量时，算术平均值的标时，算术平均值的标 准差准差iivxx偏差：偏差：221111nniiiixvxxSnn21()(1)nixixxxSSn nn当测量次数很少（当测量次数很少（n10n10）时，误差的分布就不服从时，误差的分布就不服从正态分布，从而过渡到正态分布，从

22、而过渡到t t分分布布（即（即学生分布学生分布）。）。 t t分布曲线与正态分布曲线类似，两者的主要区别分布曲线与正态分布曲线类似，两者的主要区别是是t分布的峰值低于正态分布，而且上部较窄、下分布的峰值低于正态分布，而且上部较窄、下部较宽，如图所示，在有限次测量的情况下，就部较宽，如图所示，在有限次测量的情况下，就要将随机误差的估算值取大一些。要将随机误差的估算值取大一些。即在贝塞尔公即在贝塞尔公式的基础上再乘以一个式的基础上再乘以一个t tp p因子，因子，t tp p与测量次数有关与测量次数有关，也与置信概率有关。，也与置信概率有关。 n2345678(P=0.68) 1.841.321.

23、91.081.00(P=0.95)12.714.303.182.782.572.452.361.96(P=0.99)65.669.925.844.604.033.713.502.58xpSt 对于服从正态分布的随机误差，出现在S区间内概率为68.3%，与此相仿，同样可以计算，在相同条件下对某一物理量进行多次测量，其任意一次测量值的误差落在-3S到+3S区域之间的可能性（概率）。其值为 3 3( 3 ,3 )()99.7 % SSPSSfx d x 1. 拉依达判据1.2.3 实验中错误数据的剔除实验中错误数据的剔除 如果用测量列的算术平均替代真值，则测量列中约有99.

24、7%的数据应落在区间内，如果有数据出现在此区间之外，则我们可以认为它是错误数据，这时我们应把它 舍去舍去，这样以标准偏差Sx的3倍为界去决定数据的取舍就成为一个剔除剔除坏数据的准则坏数据的准则，称为拉依达准则。但要注意的是数据少于数据少于1010个时此准则无效个时此准则无效。 对于服从正态分布的测量结果，其偏差出现在3S附近的概率已经很小，如果测量次数不多，偏差超过3S几乎不可能，因而，用拉依达判据剔除疏失误差时，往往有些疏失误差剔除不掉。另外，仅仅根据少量的测量值来计算S，这本身就存在不小的误差。因此当测量次数不多时，不宜用拉依达判据，但可以用肖维勒准则。按此判据给出一个数据个数n相联系的系

25、数Gn，当已知数据个数n，算术平均值和测量列标准偏差S，则可以保留的测量值xi的范围为)()(sGxxsGxnin2.肖维勒准则 Gn系数表 n Gn n Gn n Gn 5 1.65 13 2.07 25 2.33 6 1.73 14 2.10 30 2.39 7 1.80 15 2.13 40 2.49 8 1.86 16 2.15 50 2.58 9 1.92 17 2.17 100 2.80 10 1.96 18 2.20 11 2.00 19 2.22 12 2.03 20 2.24仪器的极限误差（仪器误差仪器的极限误差（仪器误差 ）：）：仪器误差属于未定系统误差，影响因素多，规律复

26、杂，一般仪器误差属于未定系统误差，影响因素多，规律复杂，一般只能给出最大允许误差的估计值。即只能给出最大允许误差的估计值。即仪器的极限误差仪器的极限误差仪仪。极限误差的获得：极限误差的获得：(1)(1)说明书、说明书、计量部门检定等；计量部门检定等；(2)(2)由仪器的准确度级别来计算；由仪器的准确度级别来计算；(3)(3)未给出仪器误差时估计未给出仪器误差时估计: : 连续可读仪器连续可读仪器: :最小分度最小分度1/21/2 非连续可读仪器非连续可读仪器: :最小分度最小分度 数字式仪表：数字式仪表：取末位取末位1 1仪器名称仪器名称量量 程程分度值分度值仪器误差仪器误差钢直尺钢直尺030

27、0mm1mm0.1mm钢卷尺钢卷尺01000mm1mm0.5mm游标卡尺游标卡尺0300mm0.02, 0.05mm分度值分度值螺旋测微计螺旋测微计0100mm0.01mm0.004mm物理天平物理天平1000g100mg50mg水银温度计水银温度计-303001 ,0.2 ,0.1分度值分度值读数显微镜读数显微镜0.01mm0.004mm数字式电表数字式电表最末一位的一个最末一位的一个单位单位指针式电表指针式电表0.1, 0.2, 0.5, 1.01.5, 2.5, 5.0量程量程a%A.A.由仪器的准确度表示由仪器的准确度表示. .仪器误差仪器误差 的确定：的确定：仪数字秒表数字秒表: :

28、最小分度最小分度=0.01s=0.01sC.C.未给出仪器误差时未给出仪器误差时非连续可读仪器非连续可读仪器 测量不确定度是测量不确定度是对测量结果对测量结果不确定不确定范围的标范围的标度度，也可以理解为，也可以理解为测量误差测量误差可能可能出现的范围出现的范围，表征测量结果的分散性、准确性和可靠程度，表征测量结果的分散性、准确性和可靠程度，也表示待测量的真值也表示待测量的真值可能可能在某个量值范围的评在某个量值范围的评定。定。 不确定度是与测量结果相联系的一种参数。不确定度是与测量结果相联系的一种参数。 基本定义：基本定义：对测量结果可信赖程度对评定。对测量结果可信赖程度对评定。 不确定度是

29、评价测量质量的一个重要的指标。不确定度是评价测量质量的一个重要的指标。不确定度大，可信赖程度低；不确定度小，可不确定度大，可信赖程度低；不确定度小，可信赖程度高。信赖程度高。不确定度的表示形式不确定度的表示形式绝对不确定度：绝对不确定度：相对不确定度：相对不确定度：E测量结果的表示形式测量结果的表示形式被测量被测量 x，最佳估计值，最佳估计值不确定度不确定度 ，完整的测量结，完整的测量结果表示为果表示为x100%xxEx（单位）不确定度的分类不确定度的分类按评定方法的不同，可分按评定方法的不同，可分成两类：成两类：A类不确定度和类不确定度和B类不确定类不确定度。度。A类不确定度：类不确定度：用

30、统计方法评定的不确定用统计方法评定的不确定度，度， AB类不确定度：类不确定度：用非统计方法评定的不确用非统计方法评定的不确定度，定度， B测量结果：测量结果：mm (P=0.683)真值以真值以68.3%68.3%的概率落在的概率落在mm520. 9mm,510. 9区间内区间内测量值测量值x和不确定度和不确定度单位单位置信度置信度x005. 0515. 9x（2）B类不确定度类不确定度只考虑仪器误差，标准不确只考虑仪器误差，标准不确定度的定度的B类分量为类分量为最佳估计值最佳估计值多次测量，多次测量，x1、 x2、xn，测量列的算术平均值可，测量列的算术平均值可表示为：表示为：1.4.1

31、不确定度的分类不确定度的分类多次测量（1）A类不确定度类不确定度直接测量的标准不确定度的A类分量用算术平均值的标准差公式估算。niixnx11用算术平均值作为直接测用算术平均值作为直接测量量的最佳估计值。量量的最佳估计值。1.4.2合成不确定度合成不确定度xpxpAniixStnSt)n(nxxS112仪B222B2At仪xpS直接测量的不确定度估计直接测量的不确定度估计1.4.2合成不确定度合成不确定度单次测量单次测量有时因条件所限不可能进有时因条件所限不可能进行多次测量行多次测量(如地震波强度、如地震波强度、雷电时电晕电流强度等雷电时电晕电流强度等)；或；或者由于仪器精度太低，多次者由于仪

32、器精度太低，多次测量读数相同，测量随机误测量读数相同，测量随机误差较小；或者对测量结果的差较小；或者对测量结果的精度要求不高等情况，往往精度要求不高等情况，往往只进行一次测量。只进行一次测量。单次测量时，单次测量时， A类不确定类不确定度，无法考虑度，无法考虑；最佳估计值最佳估计值即测量值本身即测量值本身。单次测量单次测量合成不确定度只考虑合成不确定度只考虑B类分量为类分量为测量结果的表示测量结果的表示用合成标准不确定度表示用合成标准不确定度表示测量结果。测量结果。B 仪CxxxP95.5%E100 %单位 ，直接测量的不确定度估计直接测量的不确定度估计一、间接测量的最佳一、间接测量的最佳值值

33、,.),(zyxfN 二、二、 间接测量的不确间接测量的不确定度传播公式定度传播公式间接测量量间接测量量N的不确定度的不确定度与各直接测量量的不确定度与各直接测量量的不确定度有关，它们之间的关系由有关，它们之间的关系由标标准差传播公式准差传播公式表示为表示为间接测量是利用已知函数关系间接测量是利用已知函数关系式的转换测量。式的转换测量。间接测量量：间接测量量：N直接测量量：直接测量量：x, y, z, 函数关系形式为：函数关系形式为：zyxzzyyxxzyxfN),(222222lnlnlnNxyzNNNNxyz 222222zyxNzfyfxf例如：例如：23222143xxxxy22121

34、12212322333363468x xxx xxdydxdxdxxxxd 2222212112212322333363468()()()x xxx xxyxxxxxx 间接测量量的不确定度是每一个直接测量量的合成。间接测量量的不确定度是每一个直接测量量的合成。两边求微分得两边求微分得: :1单次直接测量的数据处理 23nxxxx1， ， ， xx测仪 %100 xE仪2多次直接测量的数据处理对多次直接测量的数据， 进行处理的一般步骤是： （1）计算被测量的算术平均值（2）求出各测量值的残差11niixxniivxx221111nniiiixvxxSnn（3）用贝塞尔公式求出测量列的标准偏差。

35、 （4）审查测量数据，如发现有异常数据，应予以舍弃。舍弃异常数据后，再重复步（1）、（2）、（3）、（4），直至完全剔除异常数据。 （5）求A类不确定度ApxtSn 22AB xx%100 xE（6）求出总不确定度（7）表示出最后测量结果， 某长度测6次,分别为29.18 29.19 29.27 29.25 29.26 29.24(cm) 仪=0.05cm23.296161iixxcmcm2 2、计算、计算解：解：1 1、无可定系统误差、无可定系统误差3 3、计算、计算2()0.0371ixxxScmn挑选最大最小值比较挑选最大最小值比较(6)1.73 0.0370.064xGScmcm29.

36、2729.230.04 0.06429.1829.230.05 0.064cmcm4 4、剔除异常值、剔除异常值所以无异常值所以无异常值5 5、计算、计算12.57 0.0370.0396xApStcmn 220.063ABcm 不确定度有效数字保留不确定度有效数字保留1 1位位, ,且与且与平均值的最后一位对齐平均值的最后一位对齐. .B 仪0.05cm0.063100%100%0.22%29.23Ex8 8、最后结果：、最后结果：29.230.06()xcm0.22%E 95%P 6 6、计算：、计算：7 7、计算：、计算：直接测量问题直接测量问题用用025mm的一级千分尺测钢球的直径的一

37、级千分尺测钢球的直径D，6次数据为：次数据为：D1=3.121mm， D2=3.128mm， D3=3.125mmD4=3.123mm， D5=3.126mm， D6=3.124mm写出完整的实验结果。写出完整的实验结果。解：解： 求算术平均值求算术平均值mmDDDDDDD1245.361654321求不确定度求不确定度A类分量类分量mm0026.0157.212nnxxStniixpA求不确定度求不确定度B类分量类分量mm004.0mm004.0仪仪；B计算合成不确定度计算合成不确定度mm003. 0002. 00026. 02222BA完整的测量结果表示完整的测量结果表示%06.0%100

38、124.3003.0mm003.0124.3ED注意：注意：测量结果的有效数字，不确定度的有效数字，相测量结果的有效数字，不确定度的有效数字，相对不确定度的有效数字，单位。对不确定度的有效数字，单位。3 3、间接测量量数据处理、间接测量量数据处理,;xyz (2)(2)、计算、计算( , ,);Nf x y z(1)(1)、计算、计算,;NNE(3)(3)、计算、计算NNN100%NNEN(4)(4)、最后结果、最后结果间接测量量数据处理举例间接测量量数据处理举例)(010218)(00503452)(0020124236cmHcmDgM 测得某园柱体质量测得某园柱体质量M M，直径，直径D

39、D，高度，高度H H值如值如下，计算其密度及不确定度。下，计算其密度及不确定度。24MD H21834521416312423642)/(666218345214231236432cmg24MD H代入数据代入数据计算密度计算密度22222220 0020 0050 01()(2)()236 1242 3458 21MDHMDH5 22 22 22 22211(10 )(10 )(10 )11(10 )102.32.3相对不确定度相对不确定度100%0.450%0.5%E总不确定度总不确定度231106.660.03(/)2.3g cm 测量结果测量结果36.660.03(/

40、)g cm(95%)P 试求体积试求体积V并表示多取一位实验结果。并表示多取一位实验结果。解：解：求求V：间接测量问题间接测量问题用千分尺测量圆柱体的体积用千分尺测量圆柱体的体积V ，已求得直径为：，已求得直径为：cmhcmd001.0316.5002.0421.3；32286.484316. 5421. 31416. 34cmhdV注：常数的有效数字应比测量值的有效数字多取一位，注：常数的有效数字应比测量值的有效数字多取一位，至少位数相同，目的是让常数取值的误差忽略不计。体积的至少位数相同，目的是让常数取值的误差忽略不计。体积的有效数字应符合有效数字运算法则，或多取一位。有效数字应符合有效数

41、字运算法则，或多取一位。求求V的不确定度：的不确定度：cmcmcmhcmdhd001.0002.0001.0316.5002.0421.3；3 3、间接测量量数据处理、间接测量量数据处理,;xyz (2)(2)、计算、计算( , ,);Nf x y z(1)(1)、计算、计算,;NNE(3)(3)、计算、计算NNN100%NNEN(4)(4)、最后结果、最后结果根据不确定度传播公式：根据不确定度传播公式：32222222222222206. 0001. 0)4421. 31416. 3(002. 0)4316. 5421. 31416. 32(442cmddhhVdVhdhdV实验结果表示：实

42、验结果表示：%12.0%10086.4806.0)06.086.48(EcmV不确定度的有效数字首位是不确定度的有效数字首位是1或或2可以取二位，可以取二位，但不能超过二位。但不能超过二位。1.5 1.5.1 （2 2）在最小刻度之间）在最小刻度之间可可估计一位估计一位欠准位欠准位准确位准确位（1 1）以刻度为依据可）以刻度为依据可读到读到最小刻度最小刻度所在位。所在位。 35 36 (cm) 11 22 33 （1 1）位数与）位数与单位变换或单位变换或小数点位置无关。小数点位置无关。35.76cm = 0.3576m = 0.0003576km35.76cm = 0.3576m = 0.0

43、003576km（2 2）0 0 的地位的地位0.0003576 3.005 3.000 0.0003576 3.005 3.000 都是四位都是四位3 576103 576106 627101234. hj s（3 3）特大或特小数用科学计数法）特大或特小数用科学计数法1.5.2 1 1、一般读数应读到最小分度以下再估一、一般读数应读到最小分度以下再估一位。位。例如，例如，1/21/2，1/51/5，1/41/4，1/101/10等。等。2 2、有时读数的估计位，就取在最小分度、有时读数的估计位，就取在最小分度位。位。例如，仪器的最小分度值为例如，仪器的最小分度值为0.50.5，则，则0.1

44、-0.4,0.6-0.90.1-0.4,0.6-0.9都是估计的，不必估到都是估计的，不必估到下一位。下一位。3 3、游标类量具，读到卡尺分度值。、游标类量具，读到卡尺分度值。多不估多不估读，特殊情况估读到游标分度值的一半。读，特殊情况估读到游标分度值的一半。5 5、特殊情况，直读数据的有效数字由仪、特殊情况，直读数据的有效数字由仪器的灵敏阈决定器的灵敏阈决定。例如在。例如在“灵敏电流计研灵敏电流计研究究”中，测临界电阻时，调节电阻箱中，测临界电阻时，调节电阻箱“ ”，仪器才刚有反应，尽管最小步进为，仪器才刚有反应，尽管最小步进为0.10.1电阻值只记录到电阻值只记录到“ ”。10104 4、

45、数字式仪表及步进读数仪器不需估读。、数字式仪表及步进读数仪器不需估读。6 6、若测值恰为整数，必须补零，直补到可、若测值恰为整数，必须补零，直补到可疑位。疑位。1.5.3 加、减法加、减法21 30033272097 2 13 0 03327 2 09 6 7 3 约简约简2 13 0 0333 2 09 6 7 可见，约简不影响计算结果。在加减法可见，约简不影响计算结果。在加减法运算中，各量可约简到其中位数最高者的下运算中，各量可约简到其中位数最高者的下一位，其结果的欠准数位与参与运算各量中一位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位数最高者对齐。位数最高者对齐。乘、除法乘、除法 在乘除运算之前

46、，各量可先约简到比其中位数在乘除运算之前，各量可先约简到比其中位数最少者多一位。运算结果一般与位数最少者相同，最少者多一位。运算结果一般与位数最少者相同，特殊情况比最少者多（少）一位。特殊情况比最少者多（少）一位。5 23 2116 7 多一位的情况多一位的情况1 011 210 83 1 21 1 010 083 968 4 2 0 363 56全部欠准时，商所在位即为全部欠准时，商所在位即为为欠准数位。为欠准数位。比位数最少者比位数最少者少一位的情况。少一位的情况。 5 2 32 1 61 6 0 51 6 6 9 2 4 2有效数字位数与底数的相同有效数字位数与底数的相同27.88962

47、.24103.4510.171乘方、立方、开方乘方、立方、开方初等函数运算初等函数运算四位有效数字，经正弦运算后得几位？四位有效数字，经正弦运算后得几位？52 130 问题是在问题是在 位上有波动，比如为位上有波动，比如为 ，对正弦值影响到哪一位，哪一位就应是欠准对正弦值影响到哪一位，哪一位就应是欠准数所在位。数所在位。 根据微分在近似计算中的应用，可知：根据微分在近似计算中的应用，可知： 1 1ydydxxxx coscos52 131601800 00020知知sin52 130 79030 第四位为欠准数位。第四位为欠准数位。一般情况下一般情况下的有效数字取一位的有效数字取一位，精密测量

48、情况下，可取二位。，精密测量情况下，可取二位。测量结果最佳值的有效数字的末位与测量结果最佳值的有效数字的末位与首位取齐。首位取齐。1.6 .1、列表法、列表法 表表1. .不同温度下的金属电阻值不同温度下的金属电阻值1.6 注意注意:1:1根据数据分布范围，合理选择单根据数据分布范围，合理选择单位长度及坐标轴始末端的数值，位长度及坐标轴始末端的数值，并以有效数字的形式标出。并以有效数字的形式标出。22将实验点的位置用符号将实验点的位置用符号X X或或 等标在图上，用铅笔连成光滑等标在图上，用铅笔连成光滑曲线或一条直线，并标出曲线曲线或一条直线，并标出曲线的名称。的名称。1.6. 2 33线性关

49、系数据求直线的斜率时线性关系数据求直线的斜率时, ,应在应在直线上选相距较远的两新点直线上选相距较远的两新点A.BA.B标明标明位置及坐标位置及坐标A(XA(X1 1 Y Y1 1), B(X), B(X2 2 Y Y2 2) ) 由此由此求得斜率。求得斜率。 kyyxx 2121简单明了。简单明了。有一定任意性（人为因素），故有一定任意性（人为因素），故不能求不确定度。不能求不确定度。非线性关系数据可进行曲线改直后再处理非线性关系数据可进行曲线改直后再处理)(RC)(t0 .200 .300 .400 .500 .600 .700 .800 .90500.10700.10900.10100.

50、11300.11500.11700.11900.11100.12300.12500.12700.12)(R0 .200 .300 .400 .500 .600 .700 .800 .90500.10700.10900.10100.11300.11500.11700.11900.11100.12300.12500.12700.12C)(t(13.0,10.500)(83.5,12.600)AB)(RC)(t0 .200 .300 .400 .500 .600 .700 .800 .90500.10700.10900.10100.11300.11500.11700.11900.11100.1230

51、0.12500.12700.12/cm100. 0:C/cm0 . 5:Rt 0(1)RRt当当X X等间隔变化，且等间隔变化，且X X的误差可以不计的误差可以不计的条件下，的条件下，将其分成两组将其分成两组，进行逐差可求得：，进行逐差可求得： 对于对于 X X ：X X1 1 X Xn n X X2 2n n Y Y ：Y Y1 1 Y Yn n Y Y2 2n n YYYnnn 2YYYn111 iyny1 1.6.3 逐差法逐差法 )(71)()()(7118782312xxxxxxxxx 砝码质量(Kg) 1.0002.0003.0004.0005.0006.0007.0008.000

52、弹簧伸长位置(cm) x1x2x3x4x5x6x7x8516273841()()4 4()()xxxxxxxxx 是从统计的角度处理数据，并能得到测是从统计的角度处理数据，并能得到测量结果不确定度的一种方法。量结果不确定度的一种方法。满足线性关系满足线性关系1nyyyXXXn1 若若最简单的情况最简单的情况: :的测量误差不考虑为等精度测量iiixyx ,1.6.4 最小二乘法最小二乘法由于每次测量均有误差，使由于每次测量均有误差，使111()0()0nnnyabxvyabxv在所有误差平方和在所有误差平方和 为最小的条件下，得到的方程为最小的条件下，得到的方程 y y=a+bx=a+bx 的

53、方法叫最小二乘法。的方法叫最小二乘法。2miniv 假定最佳方程为：假定最佳方程为：y=a0+b0 x，其中其中a0和和b0是最佳系数。残差方程组为：是最佳系数。残差方程组为：0022222000000222iiiiiiiiiiiivyyyab xLnababa byyxyxx根据上式计算出最佳系数根据上式计算出最佳系数a0和和b0，得，得到最佳方程为：到最佳方程为：y=a0+b0 x00002000002200iiiiiiiiiiiiiiLLabnabxyaxbxx yyxxynx yabbnnxnx 根据最小二乘原理，；最小二乘法应用举例最小二乘法应用举例为确定电阻随温度变化的关系式，测得

54、不同温度下的电为确定电阻随温度变化的关系式，测得不同温度下的电阻如表一。试用最小二乘法确定关系式：阻如表一。试用最小二乘法确定关系式：R = a + b t。 表一表一 电阻随温度变化的关系电阻随温度变化的关系t/19.025.030.136.040.045.150.0R/76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10解：解：1. 列表算出：列表算出：iiiiitRtRt,22. 写出写出a、b的最佳值满足方程的最佳值满足方程2tRttRtababnnnnn；nt/R/t2/2R t/ 119.176.303651457225.077.806251945330.179.

55、509062400436.080.8012962909540.082.3516003294645.183.9020343784750.085.1025004255n=7 =245.3 =566.00 =9326 =20044 it iR 2it iitR245.3566.0077245.393262004477770.790.2873/abababC 列表据代入方程：解出：3. 写出待求关系式：写出待求关系式：；tRtR2873. 079.70设计性实验设计性实验基础知识基础知识 定义：给定实验目的及要求，由学生自行设定义：给定实验目的及要求，由学生自行设计实验方案并加以实施的实验。计实验方案

56、并加以实施的实验。主要设计内容包括主要设计内容包括： 建立物理模型建立物理模型 确定实验方法确定实验方法 选择仪器设备选择仪器设备 制定实验步骤制定实验步骤测量型实验：对某一物理量（如电容、折测量型实验：对某一物理量（如电容、折射率、静态磁特性的测量等）进行测定，射率、静态磁特性的测量等）进行测定，达到设计要求；达到设计要求；研究型实验：用实验确定两物理量或多物研究型实验：用实验确定两物理量或多物理量之间的关系（电源特性研究），并对理量之间的关系（电源特性研究），并对其物理原理、外界条件的影响或应用价值其物理原理、外界条件的影响或应用价值等进行研究；等进行研究；制作型实验：设计并组装装置，如万

57、用表、制作型实验：设计并组装装置，如万用表、全息光栅等全息光栅等 三种类型：三种类型：设计性实验的一般程序设计性实验的一般程序：建立建立物理物理模型模型确定确定实验实验方法方法选择选择实验实验仪器仪器选择选择实验实验参数参数实验实验操作操作处理处理数据数据撰写撰写实验实验报告报告制定制定实验实验步骤步骤 根据实验对象的物理性质，研究与实验根据实验对象的物理性质，研究与实验对象相关的物理过程原理及过程中各物理量之对象相关的物理过程原理及过程中各物理量之间的关系、推导数学公式间的关系、推导数学公式 。例：测量兰州地区的重力加速度例：测量兰州地区的重力加速度g。 测量精度要求：测量精度要求： %5

58、. 0)(ggEg什么物理现象或物理过程与g有关？ 自由落体运动自由落体运动/物体在斜面上的滑动物体在斜面上的滑动/抛体运抛体运动动/单摆单摆/ 物理模型的建立要测某一地区的重力加速度或者建立一个单摆的物理模型。可建立个自由落体运动的物理模型注意适用条件：1、只有系小球的细线的质量比小球质量小很多；2、小球的直径比细线的长度小很多；3、小球在重力作用下做小角度摆动等，周期才满足公式202ttvhggLT2测量重力加速度的物理模型自由落体模型只能测一个单程的时间与位移，当下落行程h为2m时，所需时间t只有0.6s多，这就对计时仪器的精度提出了很高的要求。单摆模型可测n个周期的累积摆动时间，对于摆

59、长L=1m的单摆，周期T约为2s，若累计测50个周期，则时间间隔达100s左右.显然采用此方案，既简单，又准确。因此，选单摆模型比自由落体要好。202ttvhggLT2比如：在测量温度时可以使用水银温度计、热电偶、热敏电阻等多种器具；测量电压可以用万用表、数字电压表、电位差计、示波器等。一个实验中可能要测量多个物理量，而每个物理量又都可能有多种测量方法。必须根据被测对象的性质和特点，罗列各种可能的实验方法，分析各种方法的适用条件，比较各种方法的局限性及可能达到的实验精度等因素，并考虑各种方法实施的可能性，优缺点，综合后做出选择。一般情况下，为减小误差应尽可能采取等精度的多次测量；对于等间隔、线性变化的实验数据的处理可采用“逐差法”、“最小二乘法”等。实验方法的选择测量仪器的选择与配套在间接测量中，每个独立测量量的不确定度都会对最终结果的不确定度有贡献。若测量结果的合成不确定度为 ，则 中的每一项 都要大致相等。选择的方法是通过待测的间接测量量与各直