第8章_轴向拉伸与压缩

1、18.1 8.1 引言引言杆件受力或变形的一种最基本的形式杆件受力或变形的一种最基本的形式轴向拉伸（压缩）轴向拉伸（压缩）操纵杆操纵杆8.2 8.2 轴力与轴力图轴力与轴力图符号规定：拉力为正拉力为正, ,压力为负压力为负轴力定义：通过横截面形心并沿杆件轴线的内力通过横截面形心并沿杆件轴线的内力试分析杆的轴力试分析杆的轴力（F1=F，F2=2F）FFFF 12RFF N1段： ABFF N20N2 FF段： BC要点：逐段分析轴力要点：逐段分析轴力 表示轴力沿杆轴变化情况的图线（即 FN-x 图 ）, 称为轴力图以横坐标以横坐标 x 表示横截面位置，以纵坐标表示横截面位置，以纵坐标 FN 表示

2、轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。FF N1FF N2例 881 1 等直杆等直杆BC , 横截面面积为横截面面积为A , 材料密度材料密度为为r r , 画杆的轴力图画杆的轴力图，求最大轴力求最大轴力解：1. 轴力计算轴力计算 gxAxFr r N 00N F glAlFr r N2. 轴力图与最大轴力轴力图与最大轴力 gxAxFr r N轴力图为直线轴力图为直线glAFr r maxN, （A）方向相同，符号相同。（B）方向相反，符号相同。（C）方向相同，符号相反。（D）方向相反，符号相反。B轴向拉、压杆，由截面法求得同一截面的左、右两部分的轴力，则两轴力

3、大小相等，而（ ）。8.3 8.3 拉压杆的应力与圣维南原理拉压杆的应力与圣维南原理 横线仍为直线 仍垂直于杆轴 横线间距增大1.1.试验观察试验观察AFN 2. 假设假设变形后,横截面仍保持平面,仍与杆轴垂直,仅沿杆轴相对平移 拉压平面假设拉压平面假设3. .正应力公式正应力公式横截面上各点处仅存在正应力，并沿横截面均匀分布横截面上横截面上的正应力的正应力均均匀分布匀分布横截面间横截面间的纤维变的纤维变形相同形相同斜截面间斜截面间的纤维变的纤维变形相同形相同斜截面上斜截面上的应力均的应力均匀分布匀分布1. 1. 斜截面应力分布斜截面应力分布 0cos , 0FApFx 2. 斜截面斜截面应力

4、计算应力计算 coscos0AFp 20coscos p 2sin2sin0 p2045max 20cos 2sin20 00max 3. 最大应力分析最大应力分析4. 正负符号规定正负符号规定 ：以以x 轴为始边，逆时针转向轴为始边，逆时针转向者者为正为正 ：斜截面外法线斜截面外法线On沿顺时针方向旋转沿顺时针方向旋转9090 ，与，与 该方向同向之切应力为正该方向同向之切应力为正 最大正应力发生在杆件横截面上，其值为最大正应力发生在杆件横截面上，其值为 0 最大切应力发生在杆件最大切应力发生在杆件45斜截面上斜截面上, 其值为其值为 0/2杆端应力分布圣维南原理力作用于杆端的分布方式，只影

5、响力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区杆端局部范围的应力分布，影响区约距杆端约距杆端 12 倍杆的横向尺寸倍杆的横向尺寸杆端镶入底座，杆端镶入底座，横向变形受阻，横向变形受阻，应力非均匀分布应力非均匀分布应力均布区应力均布区应力非均布区应力非均布区应力非均布区应力非均布区轴向拉伸细长杆件如图所示，则正确答案是（轴向拉伸细长杆件如图所示，则正确答案是（ ）（A）1-1、2-2面上应力皆均匀分布面上应力皆均匀分布 （B） 1-1面上应力非均匀分布，面上应力非均匀分布，2-2面上应力均匀分布面上应力均匀分布（C）1-1面上应力均匀分布，面上应力均匀分布，2-2面上应力非均匀分

6、布面上应力非均匀分布 （D）1-1、2-2面上应力皆非均匀分布面上应力皆非均匀分布B例 8-2 已知：已知：F = 50 kN，A = 400 mm2 试求：试求：斜斜截面截面 m-m 上的应力上的应力 解：1 1. 轴力与横截面应力轴力与横截面应力FF N263N0m10400N1050 AFAF MPa 5 .12 2. 斜截面斜截面 m-m 上的上的应力应力50 50coscos 202050 001 sin22 sin 20050 MPa 5 .120 MPa 51.6 50 MPa 61.650 例8-3 以加速度以加速度 a 向上起吊直杆，向上起吊直杆， 分析杆的轴力，分析杆的轴力

7、，并求最大正应力。横截面面积为并求最大正应力。横截面面积为A，材料密度为材料密度为r r。解：1. 外力分析外力分析)(NagxAxqF r r2. 轴力与应力分析轴力与应力分析)(agAlFq r r重力惯性力(达郎贝尔原理)(maxNaglAF r r，)(maxagl r r aAlgAlF r rr r8.4 8.4 材料在拉伸与压缩时的力学性能材料在拉伸与压缩时的力学性能GB/T 228-2002金属材料室温拉伸试验方法金属材料室温拉伸试验方法dldl5 10 或或AlAl65. 5 3 .11 或或拉伸试验 试验装置试验装置 拉伸试验与应力应变图拉伸试验与应力应变图 AFF/ ll

8、l/应力应变图应力应变图滑移线滑移线加载过程与力学特性以低碳钢以低碳钢Q235（工程中广泛应用）（工程中广泛应用）为例，介绍应力和应变的关系为例，介绍应力和应变的关系1 1、线性阶段：、线性阶段：正应力和正应变成正比；2 2、屈服阶段：、屈服阶段：应力几乎不变，变形却急剧增长；3 3、硬化阶段：、硬化阶段：经过屈服滑移后，材料又增加了抵抗变形的能力；4 4、颈缩阶段：、颈缩阶段：颈缩出现后，使试件继续变形所需拉力减小。29滑移线滑移线缩颈与断裂缩颈与断裂30 b-强度极限强度极限 E = tan - 弹性模量弹性模量 p-比例极限比例极限 s-屈服极限屈服极限31 p塑性应变塑性应变 e弹性极

9、限弹性极限 e 弹性应变弹性应变冷作硬化：冷作硬化：由于预加塑性变形由于预加塑性变形, 使使 e 或或 p 提高的现象提高的现象1 1、OBOB段：段：卸载过程中应卸载过程中应力与应变关系与加载一致；力与应变关系与加载一致；2 2、BCBC段：段：卸载时恢复曲线卸载时恢复曲线和加载时平行，但有了塑和加载时平行，但有了塑性应变（残余应变）性应变（残余应变）OOOO1 1；3 3、卸载至、卸载至O O1 1点后立即重新点后立即重新加载，应力应变关系沿加载，应力应变关系沿O O1 1C C变化，过变化，过C C点后仍沿点后仍沿CDECDE变变化。化。32000100 ll 伸长率伸长率l试验段原长（

10、标距）试验段原长（标距） l0试验段残余变形试验段残余变形 塑性塑性 材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力33001100 AAA 断面收缩率断面收缩率塑性材料塑性材料： 5 % 5 % 例如结构钢与硬铝等例如结构钢与硬铝等脆性材料脆性材料： 5 % 5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等例如灰口铸铁与陶瓷等A 试验段横截面原面积试验段横截面原面积A1断口的横截面面积断口的横截面面积 塑性与脆性材料塑性与脆性材料低碳钢低碳钢Q235的伸长率的伸长率25% -30% ，断面收缩率，断面收缩率60 %34 /%/% / /MPa30铬锰硅钢铬锰硅钢50钢钢硬铝硬铝塑性金属

11、材料拉伸对于不存在明显屈服阶段的塑性材料，工程中通常以对于不存在明显屈服阶段的塑性材料，工程中通常以卸载后产生卸载后产生0.2%的残余应变的应力作为屈服应力，称的残余应变的应力作为屈服应力，称为屈服强度或为屈服强度或名义屈服极限用名义屈服极限用0.2表示。表示。35灰口铸铁拉伸脆性材料如灰口铸铁，从开始受力直至断裂，变形始脆性材料如灰口铸铁，从开始受力直至断裂，变形始终很小，既不存在屈服阶段，也无颈缩现象。断裂时终很小，既不存在屈服阶段，也无颈缩现象。断裂时的应变仅为的应变仅为0.40.4 % 0.5 0.5 %，断口垂直于试样轴线。，断口垂直于试样轴线。36纤维增强复合材料拉伸 各向异性（沿

12、纤维方向和各向异性（沿纤维方向和沿垂直于纤维方向性能不同）沿垂直于纤维方向性能不同） 线弹性线弹性 脆性材料（断裂时残余应脆性材料（断裂时残余应变很小）变很小）碳纤维碳纤维/环氧树脂基体环氧树脂基体37低碳钢压缩ctEE csts)()( 愈压愈扁愈压愈扁屈服前，压缩曲线与拉伸曲线基本重合，说明压缩与拉伸时的弹性模量与屈服应力大致相同。38灰口铸铁压缩 b)c= 3 4 ( b)t断口与轴线约成断口与轴线约成45o脆性材料宜用作承压构件39材料强度、弹性常数随温度变化的关系中碳钢中碳钢硬铝硬铝408.5 8.5 应力集中应力集中41由于截面急剧变化引起应力局部增大现象由于截面急剧变化引起应力局

13、部增大现象应力集中应力集中应力集中42应力集中因数nmax K max最大局部应力最大局部应力 n 名义应力名义应力（不考虑应力（不考虑应力集中条件下求得的应力）集中条件下求得的应力） )(ndbF 板厚板厚43 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件（塑性与脆性应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件（塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大材料）的疲劳强度影响极大 对于塑性材料构件，当对于塑性材料构件，当 max达到达到 s 后再增加载荷，后再增加载荷， 分布趋分布趋于均匀化，不影响构件静强度于均匀化，不影响构件静强度。用塑性材料设计构件时通常可。用塑性材料设计构件时通常可不考虑应力集中的影响

14、。不考虑应力集中的影响。 对于脆性材料构件，当对于脆性材料构件，当 max b 时，构件断裂时，构件断裂，用脆性材料，用脆性材料设计构件时需要考虑应力集中的影响。设计构件时需要考虑应力集中的影响。44随时间循环或交替变化的应力随时间循环或交替变化的应力交变或循环应力连杆连杆45N应力循环数应力循环数 / /MPa b s疲劳破坏在交变应力作用下，材料或构件产生可见裂纹或完全断裂的在交变应力作用下，材料或构件产生可见裂纹或完全断裂的现象现象，称为，称为 疲劳破坏在在循环循环应力作用下应力作用下，虽然小于强度极限，虽然小于强度极限，但经历应但经历应力的多次循环后，构件将力的多次循环后，构件将产生可

15、见裂纹或完全断裂产生可见裂纹或完全断裂。钢拉伸疲劳断裂钢拉伸疲劳断裂468.6 8.6 许用应力与强度条件许用应力与强度条件47断裂与屈服，相应极限应力断裂与屈服，相应极限应力脆性材料塑性材料-bsu 构件工作应力的最大容许值构件工作应力的最大容许值nu n 1 安全因安全因数数脆脆性性材材料料塑塑性性材材料料-bbssnn 静荷失效许用应力48保证保证拉压杆不致因强度不够而破坏的条件拉压杆不致因强度不够而破坏的条件 maxNmax AF maxN, AF校核强度校核强度 已知杆外力、已知杆外力、A与与 ，检查杆能否安全工作检查杆能否安全工作截面设计截面设计 已知杆外力与已知杆外力与 ，确定确

16、定杆所需杆所需横截面面积横截面面积maxN, FA N AF 确定承载能力确定承载能力 已知杆已知杆A与与 ，确定杆能承受的确定杆能承受的FN,max常见强度问题类型强度条件 变截面变轴力拉压杆变截面变轴力拉压杆 等截面拉压杆等截面拉压杆49例 8-4 图示吊环，最大吊重图示吊环，最大吊重 F = 500 kN，许用应力许用应力 =120MPa， 夹角夹角 = 20。试确定斜杆的直径试确定斜杆的直径 d。解：1. 问题分析问题分析轴力分析轴力分析应力分析应力分析根据强度条件确定直径根据强度条件确定直径502. 轴力分析轴力分析0cos2 , 0 FFFy cos2NFF 得得：2N4dF 3.

17、 应力计算应力计算 cos2Fd cos22 dFm1031. 52 4. 确定直径确定直径 d cos22dF 51例 8-5 已知：已知：A1=A2=100 mm2， t =200 Mpa， c =150 MPa 试求：载荷试求：载荷F的许用值的许用值许用载荷许用载荷 F解：1. 问题分析问题分析轴力分析轴力分析应力分析应力分析根据强度条件确定许用载荷根据强度条件确定许用载荷522. 轴力分析轴力分析0 , 0 yxFF由由)( 2N1拉拉伸伸FF )( N2压缩压缩FF 2t1 AFkN 14.142t1 AFkN 0 .15c2 AFc2 AFkN 14.14 F故故3. 应力分析应力

18、分析4. 确定确定F)( 211N11拉应力拉应力AFAF )( 22N22压应力压应力AFAF 53例 8-6 已知：已知： l, h, F（0 x l）, AC为刚性梁为刚性梁, 斜撑斜撑BD 的许用应力为的许用应力为 。试求：试求：为使杆为使杆 BD 重量最轻重量最轻, q q 的最佳值的最佳值斜撑杆斜撑杆解：1. 问题分析问题分析有有关关均均与与、最最小小，而而应应使使最最小小，故故欲欲使使而而 , ,q qBDBDBDBDBDBDBDBDBDBDAlAlWAlVVW 542. 斜撑杆受力分析斜撑杆受力分析q qcos , 0NhFxFMA q qcosmaxN,hFlF 3. q q

19、 最佳值的最佳值的确定确定45 opt q q结结论论：1sin2 q q应使应使最小，最小，欲使欲使BDVBDBDlAVmin q q 2sin2Fl q qq q sincoshhFl q q coshFl maxN,min FA 55例 8-7 图示立柱，承受轴向载荷图示立柱，承受轴向载荷 F。立柱的材料密度立柱的材料密度为为r r，许用应力为，许用应力为 。为使各横截面的应力均等于为使各横截面的应力均等于 , ,试确试确定横截面沿立柱轴线的变化规律。定横截面沿立柱轴线的变化规律。? )( )( xAx求求即：为使即：为使 立柱立柱560d)d( xgAAAAr r 解：取微段分析其受力

20、与平衡取微段分析其受力与平衡xgAAdd r r CxgA ln r r通解：通解： 0 FAx 时时，边边界界条条件件：e r r gxFA 得得：各横截面具有同样强度的立柱各横截面具有同样强度的立柱等强度柱8.7 8.7 胡克定律与拉压杆的变形胡克定律与拉压杆的变形实验表明：当实验表明：当 p 时，时，引入比例常数引入比例常数E E 胡克定律在比例极限内，正应力与正应变成正比在比例极限内，正应力与正应变成正比胡克定律E弹性模量弹性模量，其量纲与应力相同，常用单位为，其量纲与应力相同，常用单位为GPaMPa 10Pa 10GPa 139 GPa 220200 E钢与合金钢：钢与合金钢：GPa

21、 7270 E铝合金：铝合金：轴向变形基本公式AFN ll EAlFlN EA 杆截面的杆截面的 拉压刚度拉压刚度 l 伸长为正，缩短为负伸长为正，缩短为负 E 在比例极限内，拉压杆的轴向变形在比例极限内，拉压杆的轴向变形 l ，与轴与轴力力 FN 及杆长及杆长 l 成正比，与乘积成正比，与乘积 EA 成反比成反比胡克定律轴向变形一般公式)(d)()d(NxEAxxFl lxxEAxFld)()(N niiiiiAElFl1N n 杆杆段总数段总数FNi 杆段杆段 i 的的轴力轴力变截面变轴力杆变截面变轴力杆阶梯形杆阶梯形杆如图所示杆件中，由力的可传性原理，将力P由位置B移至C，则（ ）。（A

22、）固定端A的约束反力不变。（B）杆件的内力不变，但变形不同。（C）杆件的变形不变，但内力不同。（D）杆件AC段的内力和变形均保持不变。ABCPABCPA两拉杆的材料和所受拉力都相同，且均处在弹性范围内，若两杆截面积相同，而长度L1L2，则两杆的伸长L1（ ）L2。（A）大于（B）小于（C）等于A一等直拉杆在两端承受拉力作用，若其一段为钢，另一段为铝，则两段的（ ）（A）应力相同，变形不同（B）应力相同，变形相同（C）应力不同，变形相同（D）应力不同，变形不同A拉压杆的横向变形bbb 1bb E 泊松比试验表明试验表明 ：在比例极限内，：在比例极限内， ，并异号并异号 泊松比泊松比 0 0 0

23、0. .5 5 E 算例1.1.分段解法分段解法12N1FFF 2N2FF EAlFEAlFl2N21N1)( 分段解法EAlFEAllFl11212)()( 分段解法试分析杆试分析杆 AC 的轴向变形的轴向变形 lEAlFEAlFF22112)( EAllFlF)(2122 2. 分解载荷法分解载荷法EAlFlF111 21)(FFlll 分分解解载载荷荷3. 比较比较分分解解载载荷荷分分段段解解法法)()(ll EAlFEAllF11212)( 叠加原理当杆件内力、应力及变形，与外力成当杆件内力、应力及变形，与外力成正比关系时，通常即可应用叠加原理正比关系时，通常即可应用叠加原理 原理原理

24、 应用应用 N1F 例题例题 用叠加法分析内力用叠加法分析内力21N1,N1,FFFF 1F 2F 几个载荷同时作用所产生的总效果，等几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和于各载荷单独作用产生的效果的总和例 8-8 已知已知 l = 54 mm, di = 15.3 mm, E200 GPa, 0.3, 拧紧拧紧后后, AB 段的轴向变形为段的轴向变形为 l 0.04 mm。试试求求螺栓横截面上的正应力螺栓横截面上的正应力 , , 与与螺栓的横向变形螺栓的横向变形 d 解：1. 螺栓螺栓横截面正应力横截面正应力4-10.417 ll MPa 2 .148 E E 2

25、. 螺栓横向变形螺栓横向变形 mm 0034. 0i dd 螺栓直径缩小螺栓直径缩小 0.0034 mm441022. 21041. 73 . 0 例 8-9 F1 = F2 / 2 = F，求截面求截面 A 的位移的位移 Ay解：1. 计算计算 FNFFFF830sin221N 030sin2 , 0N21 lFlFlFMB刚体刚体EA2. 计算计算 lEAlFlCDN 4. 位移计算位移计算 2CCAAAy 60cos 2l 364EAFl3. 画变形图画变形图EAFl361 刚体刚体EAFF8N EAlF60sin 8 8.8 8.8 简单拉压静不定问题简单拉压静不定问题 静不定问题静不

26、定问题 仅由平衡方程不仅由平衡方程不能确定全部未知力的问题能确定全部未知力的问题 静不定度静不定度 未知力数与有效未知力数与有效平衡方程平衡方程数之差数之差 静定问题静定问题 仅由平衡方程即可仅由平衡方程即可确定全部未知力（确定全部未知力（约束反约束反力与内力力与内力）的问题）的问题一度静不定一度静不定静定问题静定问题分析方法求解思路求解思路 建立平衡方程建立平衡方程 建立补充方程建立补充方程各杆的变形间各杆的变形间满足一定关系满足一定关系0),(321 lllf0),(N3N2N1 FFFF)3 , 2 , 1( N iFlii补充方程补充方程变形协调方程变形协调方程 联立求解联立求解利用利

27、用变形协调方程与物理方程，变形协调方程与物理方程，建立建立补充方程补充方程 平衡方程平衡方程0sinsinN1N2 FF0coscosN3N2N1 FFFF 变形几何关系变形几何关系 cos31ll 胡克定律胡克定律111N11AElFl 331N33cosAElFl 补充方程补充方程N323311N1cosFAEAEF 变形协调方程变形协调方程E1A1= E2A2求解算例 联立求解平衡与补充方程联立求解平衡与补充方程 311332N2N1cos2cos AEAEFFF 33311N3cos21AEAEFF 综合考虑三方面综合考虑三方面 外力与外力与 FNi 满足静力平衡方程满足静力平衡方程

28、各各 li 之间满足变形协调方程之间满足变形协调方程 li 与与FNi 间满足给定物理关系（例如间满足给定物理关系（例如胡克定律胡克定律）（静力、几何与物理）（静力、几何与物理）静不定问题求解与内力的特点 内力分配与杆件刚度有关内力分配与杆件刚度有关 一般讲，一般讲，EiAi ，FNi 内力特点：内力特点：例 8-10 求两端固定杆的支反力求两端固定杆的支反力解：(a) 0 , 0 BxAxxFFFF2. 几何方面几何方面0 CBACll4. 建立补充方程建立补充方程(b) 021 lFlFBxAx5. 支反力计算支反力计算联立求解平衡方程联立求解平衡方程(a)与补充方程与补充方程(b)212

29、llFlFAx 211llFlFBx 3. 物理方面物理方面EAlFEAlFlAxAC11N1 EAlFEAlFlBxCB22N2)( 一度静不定一度静不定1. 静力学方面静力学方面解：1. 画变形与受力图画变形与受力图注意受力图与变形图协调：注意受力图与变形图协调： 伸长拉力；缩短压力伸长拉力；缩短压力例 8-11 已知：已知：F = 50 kN， t = 160 MPa， c = 120 Mpa，A1= A2。试问：试问：A1=? A2=?02)(2 , 0N2N1 lFFlFMB2. .建立平衡方程建立平衡方程3. .建立补充方程建立补充方程CCl22 1222ll 1N112EAlFl

30、 2N22EAlFl N1N24FF 5. 截面设计截面设计N 1059. 41282844N1N2 FFFtN11 FA cN22 FA 221mm 383 AA结论：4. 内力计算内力计算 N1N2N2N14 02)(2FFlFFlF联立求解平衡方程与补充方程联立求解平衡方程与补充方程拉拉力力 N1 F压力压力 N2 F2mm 7 .71 2mm 383 例 8-12 试画图示静不定桁架的变形图与受力图，建试画图示静不定桁架的变形图与受力图，建立变形协调方程立变形协调方程。解：1. 画变形图，建立变形协调方程画变形图，建立变形协调方程设节点设节点C位移至位移至 ，过，过 点向三杆作垂线。点

31、向三杆作垂线。CC2. 根据变形图画受力图根据变形图画受力图45cos45cos213lll Tll T 解：EAlFTlllR TEAFl RT 例 8-13 图示两端固定杆，试分析当温度升高图示两端固定杆，试分析当温度升高 T 时，时，横截面上的应力横截面上的应力 T。已知材料的线膨胀系数为已知材料的线膨胀系数为 l。TEAFl R在静不定杆系结构中在静不定杆系结构中, 各杆段或各杆的轴向变形必须服各杆段或各杆的轴向变形必须服从变形协调条件从变形协调条件, 温度变化一般将引起应力温度变化一般将引起应力, 称为称为热应力热应力0R EAlFTll 变形协调条件变形协调条件温度变形温度变形例 8-14 图示桁架图示桁架, ,结构左右对称结构左右对称, ,杆杆3比设计尺寸短比设计尺寸短 , , 装配后将引起应力。装配后将引起应力。试建立应力分析的平衡与补充方程。试建立应力分析的平衡与补充方程。解： 画变形图画变形图 q q cos13ll q qq q cos1cos11N1333AElFAElF0cos2N1N3 q qFF画受力图画受力图建立平衡与补充方程建立平衡与补充方程在静不定杆系结构中在静不定杆系结构中, 各杆或各杆段的轴向变形必须服