中山大学-线性代数-可逆矩阵

1、1.5 1.5 可逆矩阵可逆矩阵一、可逆矩阵的一、可逆矩阵的定义定义二、矩阵二、矩阵求逆求逆的方法的方法三、矩阵三、矩阵可逆性的判别可逆性的判别与与 逆矩阵的逆矩阵的计算计算 ( (总结）总结）四、四、矩阵方程矩阵方程主要内容主要内容一、可逆矩阵的定义一、可逆矩阵的定义一、定义一、定义 设设A A是是n n 阶方阵。若存在阶方阵。若存在n n 阶方阵阶方阵B B，使使AB AB = = BA BA = = I I，则称则称A A是可逆矩阵是可逆矩阵，称，称B B是是A A的逆的逆矩阵矩阵。 例例 讨论讨论n n 阶零方阵阶零方阵0 0与与n n 阶单位矩阵阶单位矩阵I I 的可逆性。的可逆性。

2、 一个矩阵若存在可逆矩阵，则有一个矩阵若存在可逆矩阵，则有且仅有一个逆矩阵。且仅有一个逆矩阵。为什么？为什么？例例 初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵也是初等矩阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵也是初等矩阵。初等矩阵。 例例 设方阵设方阵 满足满足 ，证明，证明 都可逆。都可逆。A01032 IAAIAA3, 证明证明 由已知得由已知得 IIAA10)3( 且且 IAIA10)3( 于是有于是有 )2( )3(101 )3(101) 1 ( )101)(3( )3)(101(IAIAIIAAIAIAIIAA 且且由由 得得 可逆，且可逆，且 ； )1 (IA3 AIA101)3(1 由由 得得

3、可逆，且可逆，且 。 )2(A)3(1011IAA 举例举例定理定理定理定理 设设A A是方阵，则是方阵，则A A是可逆矩阵的充分必要是可逆矩阵的充分必要条件是条件是A A满秩。满秩。 例例 设设 abAcd则当则当 时，时，A A 可逆，并且可逆，并且 bcad acbdbcadA11二、矩阵求逆的方法二、矩阵求逆的方法设矩阵设矩阵 可逆，则存在若干个初等矩阵可逆，则存在若干个初等矩阵 使使 AsPPP,21IAPPPs 12 式两边同时右乘式两边同时右乘 ，又得，又得 1 A112 AIPPPs 、式表明：把式表明：把 化为单位矩阵的初等行变换化为单位矩阵的初等行变换同时把同时把I I化为

4、化为 。由此得矩阵求逆的方法：由此得矩阵求逆的方法： A1 A 1 AIIA初等行变换举例举例例例 求矩阵求矩阵 的逆矩阵的逆矩阵 A 1087654321A解解 1001087010654001321IA312132(7)(4)(2)1231000364100611701123100036410001121RRRRRR 1211006112030362021323163)(RRRR1211006112030134320012132RR121100231132010134320012)31(R12413321 1233121A故：故： 课堂作业课堂作业求矩阵求矩阵A的逆矩阵，其中的逆矩阵，其中

5、 2213A acbdbcadA11abAcd提示：提示：推论、性质推论、性质推论推论 设设A是是n 阶方阵，若存在阶方阵，若存在n 阶方阵阶方阵B 使使AB=I或或BA=I，则，则A可逆且可逆且 。 BA1性质性质 （1 1）若若A A可逆，则可逆，则 也可逆，并且也可逆，并且 1AAA11)(（2 2）若若A A可逆，则可逆，则 也可逆，且也可逆，且 TATTAA)()(11（3 3）若若A A与与B B是同阶可逆矩阵，则是同阶可逆矩阵，则ABAB也可逆，且也可逆，且 111()ABB A三、矩阵可逆性的判别与逆矩阵计算三、矩阵可逆性的判别与逆矩阵计算 ( (总结）总结）（1 1）根据可逆

6、矩阵的定义；根据可逆矩阵的定义；（2 2）利用初等行变换；利用初等行变换；（3 3）利用可逆的性质。利用可逆的性质。举例举例例例 设设B B是是n n 阶可逆矩阵，阶可逆矩阵， TnTnbbbAaaaA212211,令令TAABA21证明：证明：当当 时，时，A A可逆，且可逆，且01112ABAcT)(1121111BAABcBAT证明证明 因因 111121 ()()TA BBAA Bc11112121()()()TTBA ABB AA Bc111112121112121 ()()1 ()()TTTTBBBB AA BAA ABBcAcAABIBAAccBAAccIBAABAAcBAABA

7、AcITTTTTT12112112112112112111)(11故故 A可逆，且可逆，且 1111121()()TABBAA Bc举例举例例例 设设A与与B 是同阶方阵，且是同阶方阵，且A、B、A+B 都可逆，证明：都可逆，证明： 也可逆。也可逆。 11 BA证明证明 因为因为A与与B 都可逆，都可逆，故存在故存在 与与 ，使，使 ，1 A1 BIAA 1IBB 1于是，于是， )( 111111111 ABIAABAAIBABA,)()(11111 BABAABBBA又又 均可逆，故均可逆，故可逆，且可逆，且11 BABA、1111 BABABA）（11111111111 ABABABBB

8、AA（）（）（） （） （）1B A B A（）定理定理定理定理 设设A是是n 阶方阵，则齐次线性方程组阶方阵，则齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是有非零解的充分必要条件是A不可逆。不可逆。 如何证明？提示：如何证明？提示：利用利用“反证法反证法”课后作业：课后作业：（要交）（要交） 求矩阵求矩阵A A的逆矩阵：的逆矩阵： 3456637412432332A四、矩阵方程四、矩阵方程 AX = C， XB = D， AXB = F。其中。其中A、B、C、D、F 均为已知矩阵，而均为已知矩阵，而X 为未知矩阵。为未知矩阵。 AX = C CAX1 XB = D 1 CBX AXB = F 11 FBAX课堂作业：课堂作业：解矩阵方程解矩阵方程12613152X举例举例例例 已知矩阵已知矩阵A、B、X 满足关系式满足关系式 求求X。其中。其中11)()( TTBXABI 5000140001300012 ,1000110001100011BA解解 由由 可得可得 11)()( TTBXABI1111() () TTTBIABIABB111)()(TTBABIX1 () TBA11000110000002020010