北京海淀区2015届高三下学期期末练习数学理试题版含答案

1、海淀区高三年级第二学期期末练习学(理)、选择题共8小题，每小题5分，共40分。(1)已知全集U=Z，集合A=1,2,AUB=1,2,3,4,那么(CuA)IB=(A)0(B)xwZx之3(C)3,4(D)(2)设a=0.23,b=log20.3,c=2°则()(A)b<c<a(B)c<b<a(C)a<b<c(D)(3)在极坐标系中，过点(2,-)且平行于极轴的直线的方程是()6(A)Pcos日=73(B)Pcose=-V3(C)PsinH=1(D)Psin-12015.5)1,2b:二a:二c(4)已知命题p,q,那么“pAq为真命题”是"

2、;px/q为真命题”的()(A)充分不必要条件(C)充要条件(B)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知函数f(x)=cos(2x+平)(中为常数)为奇函数，那么cos=()(A)(B)0(D)1记下落入33,由(6)已知函数f(x)的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子,阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为1此可估计(f(x)dx的值约为()(D)101199(A)在100(7)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当xE0时,f(x)=(x+1)3ex*.那么函数f(x)的极值点的个数是()(A) 5(B) 4(C) 3(D)

3、 2(8)若空间中有n(n岂5)个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的n值()(A)不存在(B)有无数个(D)最大值为8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)若等比数列an满足a2a6=64,a3a4=32,则公比q=a2a2|卜a；则.EDB=BE(10)如图，在MCB中，/ACB=120)相切于点D,BC与圆O相交于点E,C,AC=BC=3,点O在BC边上，且圆O与AB(11)右图表示的是求首项为-41,公差为2的等差数列an前n项和的最小值的程序框图处可填写；处可填写.(12)若双曲线M上存在四个点A,B,C,D,使得四边形ABC

4、D是正方形，则双曲线M的离心率的取值范围是.(13)用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色.若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是.(用数字作答)表示的平面区域为D,已知点,3,3x-4_0,(14)设关于x,y的不等式组,(y-1)(3xy-6)<0,则人的取值范围是O(0,0),A(1,0),点M是D上的动点.OA篇而三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(15)(本小题满分13分)在AABC中，c=5,b=25a=36cosA.2(i)求a的值；(n)求证：NB=2/A.(16)(本小题满分13分)某中

5、学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽取男、女生各20名进行测试，记录的数据如下:男生投掷距离":单位：米)Q女生投掷距离(单位：米)/97斤5.*4gF876+16.+45$6§。”r&g7.*09245JJ58S5530S.*Ip了31好9.+p22010.*已知该项目评分标准为:男生投掷距寓C米），,*546.0)6.0:6.6)6.6,7.4)7-4J.8)78.8.6)A8.6J00)10.0,+x)*生挪离Q女投距CPX5.4)545.6)炉5.6±6.4)646.8)6.8.72)7.27.6)7.6±+x)个人得分

6、（分一什4a7-31gp注：满分10分，且得9分以上（含9分）定为“优秀”.（I）求上述20名女生得分的中位数和众数；（n）从上述20名男生中，随机抽取2名，求抽取的2名男生中优秀人数X的分布列；（m）根据以上样本数据和你所学的统计知识，试估计该年级学生实心球项目的整体情况.（写出两个结论即可）u(17)(本小题满分13分)如图所示，在四锥P-ABCD中，AB/CD,AB_LAD,AB=AD=AP=2CD=2,M是棱PB上一点.（I）若BM=2MP,求证：PD平面MAC;（n）若平面PAB，平面ABCD,平面PAD_L平面ABCD,求证：PA_L平面ABCD；（出）在（n）的条件下，若二面角B

7、-AC-M的余弦值为-,求工业的值.3PB（18）（本小题满分14分）已知函数f（x）=L*.x(I)求函数f(x)的零点及单调区间；Inx(n)求证：曲线y-存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标Y0<-1.(19)(本小题满分13分)x2y2已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以椭圆C的短轴ab为直径的圆O经过这两个焦点，点A,B分别是椭圆C的左、右顶点.(I)求圆O和椭圆C的方程；(n)已知P,Q分别是椭圆C和圆O上的动点(P,Q位于y轴两侧)，且直线PQ与x轴平行，直线AP,BP分别与y轴交于点M,N.求证：/MQN为定值.(20)(本

8、小题满分14分)对于数列A:a1，a2,L,an,经过变换T:交换A中某相邻两段的位置(数列A中的一项或连续的几项称为一段)，得到数列T(A).例如，数列A:a1,ai,a44如溜和0444442444443ai为*L,an(p'1'q'1)MN经交换M,N两段位置，变换为数列T(A):a1,ai,加喻424a团4力3张力施4443,ai4P七书,L,an.NM设Ad是有穷数列，令Ak噌=T(Ak)(k=0,1,2,L).(I)如果数列Ao为3,2,1,且A2为1,2,3.写出数列A1；(写出一个即可)(n)如果数列Ao为9,8,7,6,5,4,3,2,1,A为5,4,

9、9,8,7,6,3,2,1,A2为5,6,3,4,9,8,7,2,1As为1,2,3,4,5,6,7,8,9.写出数列A3,A4;(写出一组即可)(出)如果数列A0为等差数列：2015,2014,L,1,An为等差数列：1,2,L,2015,求n的最小值.、选择题（共(1)C(5)B二、填空题（共4-1(9)2,3数学（理）答案及评分参考8小题，每小题5分，共40分）(3)D(6)A2015.5(4)A(8)C6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）(10)30，1(11)a>0,a=a+2(12)(、2,二)(13)14(14),1三、解答题（共6小题，共8

10、0分）(15)(共13分)解：（i）因为a=*2八36b2ccosA,所以a=x22bc因为c=5,b=276,所以3a2+40a49M3=0.,一一.49斛得：a=3,或a=（舍）.3(n)由(i)可得：cosA=2A3=-63.63所以cos2A=2cos2A-1=-3因为a=3,c=5,b=2J6,所以cosBa2c2-b212ac12分因为c>b>a,所以A(0,，因为所以B=2A.13分(16)(共13分)所以cos2A=cosB.解：(I)20名女生掷实心球得分如下：10.5,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,10,所以中位数为8,众数

11、为9.,（n）X的可能取值为0,1,2.”.P(X.2).nJ95'PX)Y；0_95，PX=0鸣=33；PX=1=空Co95Co所以抽取的2名男生中优秀人数X的分布列为:Xp32rPa33一r9548一.9514一r95（出）略.10分13分评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.连结OM.因为AB/CD,(17)(共(I)证明:14分）连结BD交AC于点OAB=2CD,也NBOABc所以=2.因为BM=2MPBMPM所以因为所

12、以OMOM/PD.u平面MAC,DO9BM=2.所以PM2分PD0平面MAC,PD/平面MAC.CDBO一DO(n)证明：因为平面PAD_L平面ABCD,AD_LAB,平面PAD"平面ABCD=AD,AB二平面ABCD,所以AB_L平面PAD.因为PAu平面PAD，所以AB-LPA.同理可证：AD_PA.因为ADU平面ABCD,ABU平面ABCD,ADAB=A,所以PA_L平面ABCD.(出)解：分别以边AD,AB,AP所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由AB=AD=AP=2CD=2得A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,1,0),D(2,0,0),P(0,

13、0,2),uuuuir则AC=(2,1,0),PB=(0,2,-2).由(n)得：PA，平面ABCD.r所以平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1).,10分PMuuuuiruuiruuuuur设二九(0<1),即PM=?uPB.所以AM=AP+九PB=(0,2九,227J.PBur设平面AMC的法向量为m=(x,y,z),则2xy=0,即,2y(2-2)z=0.urm=(-1,2-2',-2').uruuumAC=0,uruuumAM=0,令x=>“一1,则y=22九，z=2九.所以因为二面角B-AC-M的余弦值为2,所以.|2|=-,解得儿=.3.9'

14、;2-10'532-PM-1所以PM的值为1.,14分PB2(18)(共13分)解：(I)令f(x)=0,得x=e.故f(x)的零点为e.,1、22lnx-3-3(x>0).x(-)x-(1-Inx)2xf'(x)一不(x)3令f'(x)=0,解得x=e2.当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表:3(Od)/J5(eT.-Kr)Pnip0/+X33所以f(x)的单调递减区间为6分(0,e2),单调递增区间为宕，口).,(H)令g(x)=Jn_x.则g'(x)x-1因为f()=441n221-11nx1-lnx,=2=2-=f(x).，xx

15、1>4+4-=6,f(e)=0,且由(I)得,f(x)在(0,e)所以存在唯一的1,，、一、八x°%,叽使得川)0i.当xwe,十无)时,f(x)<0.x一存在以(x0,g(x0)为切点，斜率为10分由g'(x。)=1-lnx02=6得：lnx0=1-6x0.所以/、1nx0g(%)-x1-6xox01c=6x0.x因为x0所以V。=g(x0)：t.13分内是减函数，(19)(共14分)2a=4,解：(i)依题意得<c=b,2Ja-b解得：a=2,b=c=%2.2=c.所以圆O的方程为222_xx+y=2,椭圆C的方程为42y=1.2(n)如图所示，设P(x

16、0,y0)(y0#0),Q(%,y0),则«4222Xq+yo=1,即=2,-22Xo=4-2y°,2c2XQ=2-y0.又由AP:y=-y0(x+2)得M(0,-2y-).xo2X02由BP:y=-y°(x2)得N(0,-2y-).X0-2X0-2uulr2y0%所以QM=(-XQ,0-y0)=(-XQ,-0-),x02x02uuuQN=(-Xq,2y0X0-2%y。)X0222(4-2y；)y；-2y2所以QM_LQN,即/MQN=90°.川,”14分2，J4分，6分我们称之为“顺序数”.则,2015的顺序数为2014.uumuuu9x2y29所以Q

17、MQN=xQ竽0-=2-y；x0-4，(20)(共13分)解：(I)A：2,1,3或A：1,3,2.分(n)A3：5,6,7,2,3,4,9,8,1;A4：5,6,7,8,1,2,3,4,9.(出)考虑数列A:a1,a2,L,an，满足ajcai4t的数对2,4中的个数,等差数列A:2015,2004,L,1的顺序数为0,等差数列An：1,2,L首先，证明对于一个数列，经过变换T,数列的顺序数至多增加2.实际上，考虑对数列L,p,a,L,b,c,L,d,q,L,交换其相邻两段a,L,bc,L2的位置,变换为数列L,p,c,L,d,a,L,b,q,L.显然至多有三个数对位置变化.假设三个数对的元

18、素都改变顺序，使得相应的顺序数增加，即由p>a,b>c,d>q变为p<c,d<a,b<q.分别将三个不等式相加得p+b+da+c+q与p+b+d<a+c+q,矛盾.所以经过变换T,数列的顺序数至多增加2.其次，第一次和最后一次变换，顺序数均改变1.设n的最小值为x,则2+2(x-2/2014,即x>1008.,10分最后，说明可以按下列步骤，使得数列A008为1,2,L,2015.对数列A0:2015,2014,L,1,第1次交换1,2,L,1007和1008,1009位置上的两段，得到数列A1:1008,1007,2015,2014,L,1010,1009,1006,1005,L,2,1;第2次交换2,3,L,1008和1009,1010位置上的两段，得到数列A2:1008,1009,1006,1007,2015,2014,L,1011,1010,1005,1