《平面直角坐标系》教学设计

1、精选优质文档-倾情为你奉上1.1平面直角坐标系（谷杨华）一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，能根据问题的几何特征选择建立适当的平面直角坐标系，在数学建模过程中体会坐标法的思想（二）学习目标1根据问题的几何特征建立适当的平面直角坐标系2通过实例概括坐标伸缩变换公式3了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化情况,体会坐标法思想（三）学习重点1根据几何特征选择坐标系2坐标法思想3平面直角坐标系中的伸缩变换（四）学习难点1适当直角坐标系的选择2对伸缩变换中点的对应关系的理解二、教学设计（一）课前设计1预习任务（1）读一读：阅读教材第2页至第7页，填空：设点是平面直角坐标系中的任意一点,在变换

2、: 的作用下,点对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2预习自测（1）如何由正弦曲线ysin x经伸缩变换得到ysinx的图象()A将横坐标压缩为原来的，纵坐标也压缩为原来的B将横坐标压缩为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍C将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的【知识点】伸缩变换【解题过程】将正弦曲线ysin x的横坐标伸长为原来的2倍得到，再由的图像的横坐标不变，纵坐标压缩为原来的即可得ysinx的图像【思路点拨】可根据三角函数的知识求解【答案】D（2）在平面直角坐标系中，两点分别在轴、轴上滑动，且|AB|4，则A

3、B中点P的轨迹方程为_【知识点】点轨迹方程【数学思想】函数与方程的思想【解题过程】 设，则，再设线段中点的坐标为，则，所以，即得中点的轨迹方程为【思路点拨】由两点间距离公式表示出，再利用中点坐标公式建立线段的中点与其两端点的坐标关系，最后代入整理即可【答案】（3）在平面直角坐标系中，方程对应的图形经过伸缩变换后得到的图形对应的方程是（ ）ABCD【知识点】伸缩变换【解题过程】将经过变形得代入到方程，整理得【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为，在代入原图形对应的方程，从而得到变形后的图形对应的方程【答案】B（4）将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C对应的方程为_【知识点

4、】伸缩变换【数学思想】【解题思路】设为圆上任意一点，在已知变换下变为曲线C上对应的点为，依题意，得，而，得，所以曲线C的方程为【思路点拨】将问题转化为伸缩变换问题，再由伸缩变换公式求解【答案】(二)课堂设计1知识回顾（1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标（有序实数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合（2）坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究他的性质及其他几何图形的关系2问题探究探究一 结合实例，感受坐标法思想例1 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们

5、晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s，各观测点均在同一平面上.）活动 实际问题抽象转化为数学问题我们将正东、正西、正北的三个观测点分别记为，爆炸点记为.由于同时听到由点发出的响声，因此，所以点在线段的垂直平分线上，由于点听到的响声比晚，所以，说明点在以点为焦点的双曲线上,所以点在直线与双曲线的交点.【知识点】平面直角坐标系，双曲线定义【数学思想】数形结合，转化与化归【解题过程】解:以信息中心为原点,正东、正北方向为轴、轴正向,建立直角坐标系.设分别是东、西、北观测点,则于是直线的方程为 设双曲线的方程是由已知得 , 于是双曲线

6、的方程是将代入上述方程,解得,由已知,响声在双曲线的左半支上,所以,所以巨响发生在接报中心的西偏北距中心处. 【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题.【答案】巨响发生在接报中心的西偏北距中心处.同类训练 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航某日，甲舰在乙舰正东6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【知识点】平面直角坐标系的应用【数学思

7、想】坐标法思想【解题过程】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(3,0)，C(5,2)|PB|PC|，点P在线段BC的垂直平分线上kBC，线段BC的中点D(4，)，直线PD的方程为y(x4)又|PB|PA|4，点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为1(x2)联立，解得P点坐标为(8,5)，kPA.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.【思路点拨】本题的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A、B、C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解

8、【答案】甲舰行进的方位角为北偏东30°.【设计意图】从生活实例到数学问题，体会坐标法的提炼、抽象过程活动 归纳梳理、理解提升通过实例,合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，那么利用坐标法解决问题的基本步骤是什么呢?坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；ABCOyxFE第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.活动 学以致用,理论实践例2 已知的三边 满足 , BE,CF分别为边AC,AB上的

9、中线, 建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系.【知识点】平面直角坐标系，轨迹方程【数学思想】数形结合【解题过程】解: 如图, 以ABC的顶点A为原点O, 边AB所在的直线为x轴, 建立直角坐标系. 由已知, 点A,B,F的坐标分别为,设点的坐标为,点的坐标为.由可得即 ,整理得因为 所以由此,与相互垂直.【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题.【答案】与相互垂直.同类训练 已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此最小值.【知识点】平面直角坐标系【数学思想】数形结合思想【解题过程】 如右图,以BC所在直线为x轴,BC

10、的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A(0, a),B(-,0),C(,0).设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2=x2+(y- a)2+(x+)2+y2+(x-)2+y2=3x2+3y2-ay+=3x2+3(y-a)2+a2a2,当且仅当x=0,y=a时,等号成立,所求最小值为a2,此时P点坐标为P(0,a),是正三角形ABC的中心.【思路点拨】建立适当的平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，从而简化问题【答案】所求最小值为a2,此时P点坐标为P(0,a),是正三角形ABC的中心【设计意图】通过把平面几何的问题转化为代数问题，认识坐标法思想的优势.探究二 探究平面直角坐标

11、系中的伸缩变换活动 温故知新、提炼概念在三角函数图像的学习中,我们研究过下面一些问题:你还能分析出由正弦曲线怎样得到曲线吗？在由正弦曲线上任取一点，保持纵坐标不变，将横坐标缩为原来的，就的到曲线.从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持纵坐标不变，将横坐标缩为原来的”的实质是什么？（讨论）即，设为平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标缩为原来的，得到点，则 我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换.【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫活动 温故知新、提炼概念那么如何由正弦曲线怎样得到曲线呢？在由正弦曲线上任取一点，保持横坐标不变，

12、将纵坐标伸长为原来的3倍，就的到曲线.从坐标系中的点的对应关系出发，你认为“保持横坐标不变，将纵坐标伸长为原来的3倍”的实质是什么？（讨论）即，设为平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，得到点，则 我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.【设计意图】通过对三角函数图像的变换的回顾，为后面一般图形的伸缩变换表示做好铺垫活动 巩固理解、提炼概念同理，由正弦曲线怎样得到曲线呢？这个可以认为是是上述两个的“合成”，即先保持纵坐标不变，将横坐标缩为原来的，再保持横坐标不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就可得曲线.类比上述情况，即 ：设平面直角坐标系中任意一点经过上述变

13、换后为点，那么 我们把式叫做平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.一般地，设是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.【设计意图】通过对前面的总结，发现一般情况，从而得出伸缩变换的概念活动 巩固基础，检查反馈例3 在同一平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.； 【知识点】伸缩变换【数学思想】转化与化归的思想【解题过程】由伸缩变换得代入，得到经过伸缩变换后的图形方程为同理可得式经过伸缩变换后的图形方程为式经过伸缩变换后的图形方程为【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为，在代入原图形对应的方程，从而得到变形后的图形对

14、应的方程.同类训练 在平面直角坐标系中, 求方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形对应的方程为 .【知识点】坐标的伸缩变换【数学思想】转化与化归思想【解题过程】由伸缩变换得代入，得到经过伸缩变换后的图形方程为【思路点拨】伸缩变换公式的应用【答案】活动 强化提升、灵活应用例4 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，求曲线的方程【知识点】伸缩变换逆向应用【解题过程】将伸缩变换代入曲线得到曲线对应的方程为【思路点拨】伸缩变换公式的应用【答案】同类训练 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，求曲线的方程【知识点】伸缩变换逆向应用【解题过程】将伸缩变换代入曲线得到曲线对应的

15、方程为【思路点拨】伸缩变换公式的应用【答案】3.课堂总结知识梳理（1） 坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.（2）建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系:第一：如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；第二：如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；第三：使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上.（3）一般地，设是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.重难点归纳（1

16、）坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法（2）在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩.因此,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.（三）课后作业基础型 自主突破1已知f1(x)=cosx,f2(x)=cosx(>0),f2(x)的图象可以看作是把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）而得到的，则为( )A. B.2 C.3 D.【知识点】三角函数图像，伸缩变换公式【解题过程】:将其代入y=cosx,得到y=cos3x,即f2(x)=cos3x.【思路点拨】函数y=

17、cosx,xR（其中>0,1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当>1时）或伸长（当0<<1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到.应用时谨防出错【答案】C2.曲线经过: 变换后得到的新曲线的方程是（ ）.A B C D【知识点】伸缩变换公式与应用【解题过程】曲线经过: 变换后,即 代入到圆的方程,可得 即所求新曲线的方程为 【思路点拨】将表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的方程.【答案】D3将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是()A.椭圆 B.比原来大的圆 C.比原来小的圆 D.双曲线【知识点】伸缩变换的应用【解题过程】由伸缩变换的公式可知不可能得到的

18、图形是双曲线，只能是圆或者椭圆【思路点拨】将伸缩变换的公式进行变形可得【答案】D4. 将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是()A BC D【知识点】伸缩变换公式与应用【解题过程】设此变换为则所以所求变换为【思路点拨】将伸缩变换公式进行变形得到【答案】B5已知函数则的最小值为_【知识点】平面直角坐标系的应用【数学思想】数形结合的思想【解题过程】f(x)可看作是平面直角坐标系下x轴上一点(x,0)到两定点(1,1)和(1,1)的距离之和，结合图形可得，f(x)的最小值为.【思路点拨】利用代数式的几何意义来处理【答案】6在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线，则曲线C的方程为_

19、【知识点】伸缩变换公式应用【解题过程】将伸缩变换代入，得【思路点拨】灵活应用伸缩变换公式【答案】能力型 师生共研7设曲线对应的方程为，曲线经过伸缩变换后得到曲线,则曲线为（ ）A双曲线 B椭圆 C抛物线 D随的系数不同曲线也不同【知识点】双曲线，伸缩变换【解题过程】将变换转化为代入双曲线方程得，所以曲线为双曲线.【思路点拨】伸缩变换公式的应用以及双曲线定义【答案】A8在同一平面直角坐标系中，将曲线变成曲线，求满足条件的伸缩变换【知识点】伸缩变换公式应用【解题过程】解：x236y28x120可化为9y21.x2y24x30可化为(x2)2y21.比较，可得即所以将曲线x236y28x120上所有

20、点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x2y24x30的图象【思路点拨】灵活应用伸缩变换公式【答案】探究型 多维突破9ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条直线移动，求ABC外心的轨迹方程【知识点】平面直角坐标系的应用，轨迹方程【数学思想】数形结合【解题过程】解：以边BC所在的定直线为x轴，过A作x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系，则点A的坐标为(0，b)设ABC的外心为M(x，y)取BC的中点N，则MNBC，即MN是BC的垂直平分线|BC|2a，|BN|a，|MN|y|.又M是ABC的外心，|MA|MB|.又|MA|，|MB|，化简，得所求的轨迹方程为x22byb2a20.【思路点拨】选择恰当的坐标系，坐标系如果选择得恰当，可使解题过程简化，减少计算量.【答案】自助餐1将正弦曲线ysin x作如下变换：得到的曲线方程为()Ay3sinx Bysin 2xCysin 2x Dy3sin 2x【知识点】三角函数图形、伸缩变换【解题过程】将转化为代入ysin x 可得【思路点拨】将伸缩变换公式进行变形后再应用【答案】D2将曲线F(x，y)0上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来的，得到的曲